Bất phương trình vô tỷ - Nguyễn Minh Tiến

Maths287<br /> <br /> B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T<br /> <br /> Part 1 : Các bài toán<br /> √ √ Bài 1 : Gi i b t phương trình (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2 (x + 1) L i gi i tham kh o : √ √ (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2 (x + 1) ⇔ (x + 1) 2 + ⇔ (x + 1) 2 + √ √ √ x2 − 2x + 5 + 2x 2 x2 + 1 − x2 − 2x + 5 ≤ 0<br /> <br /> √ 2x (4x2 + 4 − x2 + 2x − 5) √ x2 − 2x + 5 + √ ≤0 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ 2x (x + 1) (3x − 1) √ ≤0 ⇔ (x + 1) 2 + x2 − 2x + 5 + √ 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ 2x (3x − 1) √ ⇔ (x + 1) 2 + x2 − 2x + 5 + √ ≤0 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ √ 4 x2 + 1 + 2 x2 − 2x + 5 + 2 (x2 + 1) (x2 − 2x + 5) + (7x2 − 4x + 5) √ √ ≤0 ⇔ (x + 1) 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 4 4 31 31 Có 7x2 − 4x + 5 = 7 x2 − x + + ≥ nên bi u th c trong ngo c luôn > 0. 7 49 7 7 Do đó b t phương trình ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = (−∞; −1] Bài 2 : Gi i b t phương trình L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ≥ bpt ⇔ ⇔√ 2 3 √ x + 2 + x2 − x + 2 ≤ √ 3x − 2<br /> <br /> √ √ x + 2 − 3x − 2 + x2 − x − 2 ≤ 0<br /> <br /> −2 (x − 2) √ + (x − 2) (x + 1) ≤ 0 x + 2 + 3x − 2 −2 √ +x+1 ≤0 x + 2 + 3x − 2<br /> <br /> ⇔ (x − 2) √<br /> <br /> —————— Nguy n Minh Ti n —————–<br /> <br /> 1<br /> <br /> Maths287<br /> <br /> B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T<br /> <br /> 1 3 √ +√ −2 3x − 2 x+2 √ √ + x + 1 ⇒ f (x) = √ +1>0 Xét f (x) = √ x + 2 + 3x − 2 x + 2 + 3x − 2 ⇒ f (x) ≥ f 2 > 0 3 Do đó b t phương trình ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = 2 ;2 3<br /> <br /> √ √ Bài 3 : Gi i b t phương trình 4 x + 1 + 2 2x + 3 ≤ (x − 1) (x2 − 2) L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ≥ −1 Nh n th y x = - 1 là m t nghi m c a b t phương trình Xét x > - 1 ta có b t phương trình tương đương v i √ √ 4 x + 1 − 2 + 2 2x + 3 − 3 ≤ x3 − x2 − 2x − 12 4 (x − 3) 4 (x − 3) +√ ≤ (x − 3) (x2 + 2x + 4) ⇔√ x+1+2 2x + 3 + 3 4 4 ⇔ (x − 3) √ +√ − (x + 1)2 − 3 x+1+2 2x + 3 + 3 Vì x > - 1 nên Do đó √ √ x + 1 > 0 và √ 2x + 3 > 1 ⇒ √<br /> <br /> ≤0<br /> <br /> 4 4 +√ 0<br /> <br /> —————— Nguy n Minh Ti n —————–<br /> <br /> 2<br /> <br /> Maths287 x (x + 2) √ ≥1⇔ (x + 1)3 − x<br /> <br /> B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T √<br /> <br /> x (x + 2) ≥<br /> <br /> (x + 1)3 −<br /> <br /> x<br /> <br /> ⇔ x2 + 2x ≥ x3 + 3x2 + 4x + 1 − 2 (x + 1) x (x + 1) √ ⇔ x3 + 2x2 + 2x + 1 − 2 (x + 1) x2 + x ≤ 0 √ ⇔ (x + 1) x2 + x + 1 − 2 x2 + x ≤ 0 √ √ 2 x2 + x − 1 ≤ 0 ⇔ x2 + x + 1 − 2 x2 + x ≤ 0 ⇔ √ √ −1 ± 5 ⇔ x2 + x = 1 ⇔ x = 2 K t h p v i đi u ki n ta có nghi m c a b t phương trình là x =<br /> <br /> √<br /> <br /> 5−1 2<br /> <br /> 1 2 1 Bài 5 : Gi i b t phương trình √ − x≥1 −√ −x − 1 3 x+2 L i gi i tham kh o : Đi u ki n : −2 < x < −1 (∗) √ √ 1 1 2 ≥ x+2 − −x − 1 bpt ⇔ 3 √ −√ −x − 1 x+2 √ √ √ √ ⇔ 3 ≥ x + 2 −x − 1 x + 2 − −x − 1 Đ ta= √ √ √ √ 1 − a2 x + 2 − −x − 1 ⇒ x + 2. −x − 1 = 2<br /> 2<br /> <br /> a − a3 Ta đư c b t phương trình ≤ 3 ⇔ a3 − a + 6 ≥ 0 ⇔ (a + 2) (a2 − 2a + 3) ≥ 0 ⇔ 2 a ≥ −2 √ √ √ √ √ ⇒ x + 2 − −x − 1 ≥ −2 ⇔ x + 2 + 2 ≥ −x − 1 ⇔ x + 6 + 4 x + 2 ≥ −x − 1 √ ⇔ 4 x + 2 ≥ − (2x + 7) (1) (1) luôn đúng v i đi u ki n (*). V y t p nghi m c a b t phương trình là T = (−2; −1) 1 x+1 √ Bài 6 : Gi i b t phương trình √ >x− 2 x+1− 3−x L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ∈ [−1; 3] \ {1} √<br /> <br /> —————— Nguy n Minh Ti n —————–<br /> <br /> 3<br /> <br /> Maths287 √ bpt ⇔ x+1 √ x+1+ 2 (x − 1) √ 3−x<br /> <br /> B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T √ 1 x + 1 + −x2 + 2x + 3 1 >x− ⇔ >x− (∗) 2 2 (x − 1) 2<br /> <br /> Trư ng h p 1 : 1 < x ≤ 3 (1) √ (∗) ⇔ x + 1 + −x2 + 2x + 3 > 2x2 − 3x + 1 √ ⇔ 2 (−x2 + 2x + 3) + −x2 + 2x + 3 − 6 > 0 √ √ √ 3 2− 7 2+ 7 ⇔ −x2 + 2x + 3 > ⇔ x ∈ ; 2 2 2 K t h p v i (1) ta đư c x ∈ √ 2+ 7 1; 2<br /> <br /> Trư ng h p 2 : −1 < x < 1 (2) √ (∗) ⇔ x + 1 + −x2 + 2x + 3 < 2x2 − 3x + 1 √ ⇔ 2 (−x2 + 2x + 3) + −x2 + 2x + 3 − 6 < 0 √ √ 2− 7 3 2 + 2x + 3 < ⇔ 0 ≤ −x ⇔ x ∈ −1; 2 2 √ 2− 7 K t h p v i (2) ta đư c x ∈ −1; 2<br /> <br /> ∪<br /> <br /> √ 2+ 7 ;3 2<br /> <br /> √ 2− 7 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = −1; 2<br /> <br /> ∪<br /> <br /> √ 2+ 7 1; 2<br /> <br /> √ 6x2 − 2 (3x + 1) x2 − 1 + 3x − 6 Bài 7 : Gi i b t phương trình ≤0 √ √ x + 1 − x − 1 − 2 − x − 2 (x2 + 2) L i gi i tham kh o : Đi u ki n : 1 ≤ x ≤ 2 Ta có (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ≤ x2 + x2 + 1 + 1 ≤ 2x2 + 2 < 2x2 + 4 √ √ ⇒ x + 1 < 2 (x2 + 2) ⇒ x + 1 − x − 1 − 2 − x − 2 (x2 + 2) < 0 ∀x ∈ [1; 2]<br /> <br /> —————— Nguy n Minh Ti n —————–<br /> <br /> 4<br /> <br /> Maths287 bpt ⇔ 6x2 − 2 (3x + 1) √<br /> <br /> B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T<br /> <br /> x2 − 1 + 3x − 6 ≥ 0 √ ⇔ 4 (x2 − 1) − 2 (3x + 1) x2 − 1 + 2x2 + 3x − 2 ≥ 0 x − 1 ≥ 0 (1) 2 √ x Xét 1 ≤ x ≤ 2 ta có x2 − 1 − − 1 ≤ 3 − 2 < 0 2 √ 5 1 Do đó b t phương trình ⇔ x2 − 1 − x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 ⇔ x2 − 1 − x + x2 − 1 − V y t p nghi m c a b t phương trình là T = 1; 5 4 √ 1 2 √ √<br /> <br /> √ 5 − 4x ≥ Bài 8 : Gi i b t phương trình 2 x3 + √ x L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x > 0 √ x2 − 2x + 10 √ ⇔ 2 (x2 − 2x + 10) − x2 − 2x + 10 − 15 ≥ 0 √ ⇔ x2 − 2x + 10 ≥ 3 bpt ⇔ 2x2 − 4x + 5 ≥ ⇔ x2 − 2x + 10 ≥ 9<br /> <br /> x+<br /> <br /> 10 −2 x<br /> <br /> b t phương trình cu i luôn đúng. V y t p nghi m c a b t phương trình là T = (0; +∞) √ Bài 9 : Gi i b t phương trình 3 2x2 − x x2 + 3 < 2 (1 − x4 ) L i gi i tham kh o : bpt ⇔ 2 (x4 + 3x2 ) − 3x x2 (x2 + 3) − 2 < 0 √ Đ t x x3 + 3 = t ⇒ x4 + 3x2 = t2 √ 1 1 Khi đó bpt ⇒ 2t2 − 3t − 2 < 0 ⇔ − < t < 2 ⇔ − < x x2 + 3 < 2 2 2 * V i x ≥ 0 ta có bpt ⇔ x≥0 √ ⇔ x x2 + 3 < 2 x≥0 ⇔ x4 + 3x2 − 4 < 0 x≥0 ⇔0≤x