Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Part 1 : Các bài toán
Bài 1 :Giải bất phương trình (x−1) √x2−2x+ 5 −4x√x2+ 1 ≥2 (x+ 1)
Lời giải tham khảo :
(x−1) √x2−2x+ 5 −4x√x2+ 1 ≥2 (x+ 1)
⇔(x+ 1) 2 + √x2−2x+ 5+ 2x2√x2+ 1 −√x2−2x+ 5≤0
⇔(x+ 1) 2 + √x2−2x+ 5+2x(4x2+ 4 −x2+ 2x−5)
2√x2+ 1 + √x2−2x+ 5 ≤0
⇔(x+ 1) 2 + √x2−2x+ 5+2x(x+ 1) (3x−1)
2√x2+ 1 + √x2−2x+ 5 ≤0
⇔(x+ 1) 2 + √x2−2x+ 5+2x(3x−1)
2√x2+ 1 + √x2−2x+ 5≤0
⇔(x+ 1) "4√x2+ 1 + 2√x2−2x+ 5 + 2p(x2+ 1) (x2−2x+ 5) + (7x2−4x+ 5)
2√x2+ 1 + √x2−2x+ 5 #≤0
Có 7x2−4x+ 5 = 7 x2−4
7x+4
49+31
7≥31
7nên biểu thức trong ngoặc luôn > 0.
Do đó bất phương trình ⇔x+ 1 ≤0⇔x≤ −1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T= (−∞;−1]
Bài 2 :Giải bất phương trình √x+ 2 + x2−x+ 2 ≤√3x−2
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x≥2
3
bpt ⇔√x+ 2 −√3x−2 + x2−x−2≤0
⇔−2 (x−2)
√x+ 2 + √3x−2+ (x−2) (x+ 1) ≤0
⇔(x−2) −2
√x+ 2 + √3x−2+x+ 1≤0
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 1
Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Xét f(x) = −2
√x+ 2 + √3x−2+x+ 1 ⇒f′(x) =
1
√x+ 2 +3
√3x−2
√x+ 2 + √3x−2+ 1 >0
⇒f(x)≥f2
3>0
Do đó bất phương trình ⇔x−2≤0⇔x≤2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T=2
3; 2
Bài 3 :Giải bất phương trình 4√x+ 1 + 2√2x+ 3 ≤(x−1) (x2−2)
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x≥ −1
Nhận thấy x = - 1 là một nghiệm của bất phương trình
Xét x > - 1 ta có bất phương trình tương đương với
4√x+ 1 −2+ 2 √2x+ 3 −3≤x3−x2−2x−12
⇔4 (x−3)
√x+ 1 + 2 +4 (x−3)
√2x+ 3 + 3 ≤(x−3) (x2+ 2x+ 4)
⇔(x−3) 4
√x+ 1 + 2 +4
√2x+ 3 + 3 −(x+ 1)2−3≤0
Vì x > - 1 nên √x+ 1 >0và √2x+ 3 >1⇒4
√x+ 1 + 2 +4
√2x+ 3 + 3 <3
Do đó 4
√x+ 1 + 2 +4
√2x+ 3 + 3 −(x+ 1)2−3<0
Suy ra bất phương trình ⇔x−3≥0⇔x≥3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T={1} ∪ [3; +∞)
Bài 4 :Giải bất phương trình px(x+ 2)
q(x+ 1)3−√x≥1
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x≥0. Khi x≥0ta có q(x+ 1)3−√x > 0
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 2
Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
px(x+ 2)
q(x+ 1)3−√x≥1⇔px(x+ 2) ≥q(x+ 1)3−√x
⇔x2+ 2x≥x3+ 3x2+ 4x+ 1 −2 (x+ 1) px(x+ 1)
⇔x3+ 2x2+ 2x+ 1 −2 (x+ 1) √x2+x≤0
⇔(x+ 1) x2+x+ 1 −2√x2+x≤0
⇔x2+x+ 1 −2√x2+x≤0⇔√x2+x−12≤0
⇔√x2+x= 1 ⇔x=−1±√5
2
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x=√5−1
2
Bài 5 :Giải bất phương trình 1
√x+ 2 −1
√−x−1−2
3x≥1
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : −2< x < −1 (∗)
bpt ⇔31
√x+ 2 −1
√−x−1≥√x+ 22−√−x−12
⇔3≥√x+ 2√−x−1√x+ 2 −√−x−1
Đặt a=√x+ 2 −√−x−1⇒√x+ 2.√−x−1 = 1−a2
2
Ta được bất phương trình a−a3
2≤3⇔a3−a+ 6 ≥0⇔(a+ 2) (a2−2a+ 3) ≥0⇔
a≥ −2
⇒√x+ 2 −√−x−1≥ −2⇔√x+ 2 + 2 ≥√−x−1⇔x+ 6 + 4√x+ 2 ≥ −x−1
⇔4√x+ 2 ≥ −(2x+ 7) (1)
(1) luôn đúng với điều kiện (*). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T= (−2; −1)
Bài 6 :Giải bất phương trình √x+ 1
√x+ 1 −√3−x> x −1
2
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x∈[−1; 3] \{1}
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 3
Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
bpt ⇔√x+ 1 √x+ 1 + √3−x
2 (x−1) > x −1
2⇔x+ 1 + √−x2+ 2x+ 3
2 (x−1) > x −1
2(∗)
Trường hợp 1 : 1< x ≤3 (1)
(∗)⇔x+ 1 + √−x2+ 2x+ 3 >2x2−3x+ 1
⇔2 (−x2+ 2x+ 3) + √−x2+ 2x+ 3 −6>0
⇔√−x2+ 2x+ 3 >3
2⇔x∈ 2−√7
2;2 + √7
2!
Kết hợp với (1) ta được x∈ 1; 2 + √7
2!
Trường hợp 2 : −1< x < 1 (2)
(∗)⇔x+ 1 + √−x2+ 2x+ 3 <2x2−3x+ 1
⇔2 (−x2+ 2x+ 3) + √−x2+ 2x+ 3 −6<0
⇔0≤√−x2+ 2x+ 3 <3
2⇔x∈"−1; 2−√7
2!∪ 2 + √7
2; 3#
Kết hợp với (2) ta được x∈"−1; 2−√7
2!
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T="−1; 2−√7
2!∪ 1; 2 + √7
2!
Bài 7 :Giải bất phương trình 6x2−2 (3x+ 1) √x2−1 + 3x−6
x+ 1 −√x−1−√2−x−p2 (x2+ 2) ≤0
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : 1≤x≤2
Ta có
(x+ 1)2=x2+ 2x+ 1 ≤x2+x2+ 1 + 1 ≤2x2+ 2 <2x2+ 4
⇒x+ 1 <p2 (x2+ 2) ⇒x+ 1 −√x−1−√2−x−p2 (x2+ 2) <0∀x∈[1; 2]
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 4
Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
bpt ⇔6x2−2 (3x+ 1) √x2−1 + 3x−6≥0
⇔4 (x2−1) −2 (3x+ 1) √x2−1 + 2x2+ 3x−2≥0
⇔√x2−1−x+1
2√x2−1−x
2−1≥0 (1)
Xét 1≤x≤2ta có √x2−1−x
2−1≤√3−2<0
Do đó bất phương trình ⇔√x2−1−x+1
2≤0⇔1≤x≤5
4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T=1; 5
4
Bài 8 :Giải bất phương trình 2√x3+5−4x
√x≥rx+10
x−2
Lời giải tham khảo :
Điều kiện : x > 0
bpt ⇔2x2−4x+ 5 ≥√x2−2x+ 10
⇔2 (x2−2x+ 10) −√x2−2x+ 10 −15 ≥0
⇔√x2−2x+ 10 ≥3
⇔x2−2x+ 10 ≥9
bất phương trình cuối luôn đúng. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T= (0; +∞)
Bài 9 :Giải bất phương trình 32x2−x√x2+ 3<2 (1 −x4)
Lời giải tham khảo :
bpt ⇔2 (x4+ 3x2)−3xpx2(x2+ 3) −2<0
Đặt x√x3+ 3 = t⇒x4+ 3x2=t2
Khi đó bpt ⇒2t2−3t−2<0⇔ −1
2< t < 2⇔ −1
2< x√x2+ 3 <2
* Với x≥0ta có
bpt ⇔(x≥0
x√x2+ 3 <2⇔(x≥0
x4+ 3x2−4<0⇔(x≥0
x2<1⇔0≤x < 1
* Với x < 0 ta có
—————— Nguyễn Minh Tiến —————– 5