Sáng kiến kinh nghiệm: Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

233
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm: Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ đưa ra những giải pháp nhằm giúp cho các em học sinh sinh lớp 10 biết cách phân loại và nhận dạng các phương trình và bất phương trình vô tỷ. Với các bạn chuyên ngành Sư phạm Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. XUẤT PHÁT ĐIỂM VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là một phần kiến thức trọng tâm và then chốt trong chương trình đại số lớp 10 ở bậc THPT . Ở đây, các em học sinh được trang bị một cách đầy đủ, hoàn chỉnh và chi tiết về khái niệm phương trình , bất phương trình và hình thành các kỹ năng giải các phương trình, bất phương trình đại số,vô tỷ. Việc giải phương trình và bất phương trình vô tỷ giúp phát triển tư duy của học sinh đặc biệt là tư duy lý luận và tư duy giải quyết vấn đề của học sinh. Đây là một lớp các bài toán hay, khó và đem lai nhiều hứng thú cho học sinh nhưng cũng đồng thời đem lại nhiều khó khăn bỡ ngỡ như: phức tạp và không có các bước giải mẫu mực sẵn có; tìm được nghiệm mà không biết các trình bầy, giải sai, giải thiếu nghiệm hoặc không tìm được lời giải. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực tế cho thấy, trong nhiều năm qua để đánh giá khả năng tư duy và phẩm chất trí tuệ của học sinh thông qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng người ra đề đã chọn phương trình, hệ phương trình và bất phương trình vô tỷ như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh. Đây là một trong những đề tài mà nhiều người quan tâm xong chưa có một hệ thống đầy đủ và đa dạng bài tập cũng như các phương pháp giải khiến cho học sinh không khỏi khó khăn vướng mắc khi đứng trước dạng bài tập này. Kiến thức này được giảng dạy cho các em học sinh ở khối lớp 10 lần đầu tiên được tiếp cận với phương pháp học mới với những yêu cầu và đòi hỏi cao hơn học sinh THCS về khả năng tự học, tự nghiên cứu mà hệ thống bài tập này trong sách giáo khoa lại không nhiều. III. GIẢ THIẾT KHOA HỌC Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em phân loại, nhận dạng và giải được các phương trình bất phương trình vô tỷ và hệ phương trình vô tỷ đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Ths. Phạm Thị Nga Trang 1
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ PHẦN 1:MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU I. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Mục đích nghiên cứu Trước những thực tế đặt ra trên, ta cần hướng dẫn cho các em học sinh lớp 10 biết cách phân loại và nhận dạng các phương trình và bất phương trình vô tỷ nhằm vào các mục đích sau: 1.1 Thứ nhất: giúp các em giải quyết tốt bài toán giải phương trình, bất phương trình vô tỷ, hệ phương trình vô tỷ và các bài toán có liên quan. Hình thành được một hệ thống kiến thức tổng hợp và vững chắc về lĩnh vực này. 1.2 Thứ hai: củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số có liên quan như phương trình và bất phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình và bất phương trình quy về bậc hai. Rèn luyện kỹ năng biến đổi, tính toán. 1.3 Thứ ba: rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo; tư duy giải quyết vấn đề tư duy biện chứng; xây dựng và phát triển lòng say mê và yêu thích toán học nói riêng và khoa học nói chung . 2. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được các mục đích đặt ra như trên, đề tài xác định giải quyết các nhiệm vụ sau: 2.1 Nhiệm vụ 1: Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc giải bài toán giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình vô tỷ 2.2 Nhiệm vụ 2: Xây dựng hệ thống bài tập và phân dạng bài tập giải phương trình hệ và bất phương trình vô tỷ. II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Với mục đích nhiệm vụ đặt ra như trên, sau nhiều năm nghiên cứu và thực nghiệm tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “ Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ” bằng việc phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau: 1. Nghiên cứu lí luận: Hình thức chủ yếu tôi dùng là nghiên cứu tài liệu lí luận và phân tích tiên nghiệm. Sử dụng các kiến thức có trong sách giáo khoa theo chương trình mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các kết quả đã có trong một số tài liệu có liên quan trên cơ sở kế thừa những cái hay, phê phán những cái dở, bổ sung và hoàn chỉnh những tri thức đã đạt được. Đồng thời dựa vào những yếu tố lịch sử, những cách tiếp cận khác nhau của lí thuyết về nghiệm của phương trình bất phương bậc nhất, bậc hai và các phương trình bất phương trình quy về bậc hai để dự kiến những quan niệm có thể có của học sinh về bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỷ cũng như hệ phương trình và các bài toán có liên quan. Ths. Phạm Thị Nga Trang 2
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 2. Quan sát điều tra: Tiến hành theo dõi quá trình phát hiện và lĩnh hội kiến thức để giải quyết các bài toán có liên quan đến việc giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ theo trình tự thời gian trên một lớp các đối tượng là các em học sinh lớp 10 lớp 11 và lớp 12 của trường THPT Vĩnh Lộc. 3. Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện. Từ đó khám phá ra những mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề đặt ra. 4. Thực nghiệm giáo dục: Từ việc tạo nên một loạt những tác động sư phạm lên một lớp đối tượng gồm các em học sinh lớp10 THPT nhằm xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó. Lấy học sinh lớp 11 và 12 để so sánh hiệu quả của tác động giáo dục này lên tư phẩm chất trí tuệ và năng lực tư duy của các em khi giải quyết các vấn đề khác và các vấn đề có liên quan. III. tæ chøc nghiªn cøu 1. Thời gian nghiên cứu: Đề tài được nghiên cứu từ tháng 8 năm 2011 đến tháng 5 năm 2013 theo các giai đoạn sau: * Giai đoạn 1: Từ tháng 8 năm 2011 đến tháng 10 năm 2011. Đây là giai đoạn thu thập tài liệu, xác định phương pháp, các nhiệm vụ và các vấn đề cần thiết trong quá trình nghiên cứu của đề tài. Lập đề cương nghiên cứu. * Giai đoạn 2: Từ tháng 10 năm 2011 đến tháng 02 năm 2012 tôi thu thập các tài liệu chuyên môn, tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài. Tiến hành phân dạng các bài tập cơ bản. Sau khi giải quyết các nhiệm vụ mang tính chất lí luận tôi xây dựng hệ thống các bài tập mẫu có tính chất khái quát của vấn đề đặt ra. Và ứng dụng trong thực tiễn giảng dạy, kết hợp đồng thời với việc quan sát và theo dõi quá trình phát hiện, lĩnh hội kiến thức của học sinh. * Giai đoạn 3: Từ tháng 3 năm 2012 đến tháng 5 năm 2012. Tiến hành thu thập các kết quả của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1. * Giai đoạn 4: Từ tháng 5 năm 2012 đến tháng 5 năm 2013. Dựa trên các kết quả thu thập được của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1, tôi điều chỉnh và tiến hành thực nghiệm lần 2, kiểm nghiệm và so sánh kết quả trên lớp các đối tượng học sinh được thực nghiệm và không được thực nghiêm. Sau đó tổng kết đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện nhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề. Cuối cùng là bổ sung và hoàn thiện các tri thức đã đạt được và tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm. 2. Đối tượng nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu trên được thực nghiệm đồng thời trên hai nhóm các đối tượng học sinh. Ths. Phạm Thị Nga Trang 3
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Nhóm 1: Các em học sinh lớp 10A3,10A7 trường THPT Vĩnh Lộc với nhiệm vụ là xây dựng cho các em cơ sở lí luận và thực tiễn của việc phân loại và giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ Nhóm 2: Các em học sinh lớp 12A1, 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc với nhiệm vụ là ứng dụng việc giải phân loại và giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ vào việc giải quyết các bài toán đại số và giải tích có liên quan như: giải phương trình lượng giác có chứa căn, giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình mũ, logarit có chứa căn. PHẦN 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Khái niệm phương trình một ẩn a. Các định nghĩa Cho hai hàm số y= f x và y= g x có tập xác định lần lượt là D f , D g . Đặt D D f D g . Mệnh đề chứa biến “ f x g x ’’ được gọi là phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D là tập xác định. Số x0 D gọi là nghiệm của phương trình nếu “ f x0 g x0 ’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm được gọi là tập nghiệm. Giải phương trình là tìm tập nghiệm. Hai phương trình cùng ẩn gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm. b. Các phép biến đổi tương đương phương trình Định lí: Phương trình f x g x có tập xác định D ; h x là hàm số xác định trên D ( h x có thể là hằng số). Khi đó trên D , f x g x tương đương với 1) f x h x g x h x 2) f x h x g x h x nếu h x 0 với mọi x D Hệ quả: Cho phương trình f x g x có tập xác định D . 1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f x g x f x 2n 1 g x 2n 1 ;n N * 2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu f x và g x cùng dấu x D thì 2n 2n f x g x f x g x ;n N* 2. Khái niệm bất phương trình một ẩn 2.1 Các định nghĩa Cho hai hàm số y= f x và y= g x có tập xác định lần lượt là D f , D g . Đặt D D f D g . Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f x g x , f x g x , f x g x , f x g x được gọi là bất phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định. Số x0 D gọi là một nghiệm nếu “ f x0 g x0 ’’ là mệnh đề đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm Ths. Phạm Thị Nga Trang 4
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ gọi là tập nghiệm. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. Hai bất phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình mới tương đương với nó. 2.2 Các phép biến đổi tương đương bất phương trình Định lí: Cho f x g x có tập xác định D ; h x là một hàm số xác đinh trên D ( h x có thể là một hằng số). Khi đó trên D , f x g x tương đương với 1) f x h x g x h x 2) f x h x g x h x nếu h x 0 với mọi x D 3) f x h x g x h x nếu h x 0 với mọi x D Hệ quả: Cho bất phương trình f x g x có tập xác định D . 1. Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f x g x f x 2n 1 g x 2n 1 ;n N * 2. Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc chẵn: Nếu f x và g x không âm x D thì f x g x f x 2n g x ; n N * 2n II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất một ẩn b Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax b 0(a 0) nghiệm là: x a 2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2 bx c 0 ( a 0 ) (1) Biệt thức Denta: b 2 4ac Biệt thức: 2 ; b' b ' b' ac 2 Nếu 0 thì (1) vô nghiệm. Nếu ' 0 thì (1) vô nghiệm. Nếu 0 thì (1) có nghiệm kép: Nếu ' 0 thì (1) có ghiệm kép: x b' b a x 2a Nếu ' 0 thì phương trình (1) có 2 Nếu 0 thì phương trình (1) có 2 b' nghiệm phân biệt: x1,2 . b a nghiệm phân biệt: x1, 2 . 2a 3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình a. Định nghĩa: Hàm số y f x là hàm đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi x1 , x 2 a; b : x1 x 2 f x1 f x2 Hàm số y f x là hàm nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi x1 , x 2 a; b : x1 x 2 f x1 f x2 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b) thì được gọi là hàm đơn điệu trên khoảng (a;b). b. Ứng dụng: Ths. Phạm Thị Nga Trang 5
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Ứng dụng 1: Cho hàm số y f x đơn điệu trên khoảng (a;b). Khi đó x1 , x 2 a; b : f x1 f x2 x1 x2 Ứng dụng 2:Đồ thị của hàm đồng biến là một đường đi lên từ trái sang phải. Đồ thị của hàm nghịch biến là một đường đi xuống từ trái sang phải. Do đó hai đồ thị hàm số y f x đồng biến và y g x nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu cắt nhau trên (a;b) thì chỉ cắt tại duy nhất một điểm. Khi đó phương trình f x g x nếu có nghiệm trên khoảng (a;b) thì nghiệm này là duy nhất. Điều này vẫn đúng nếu một trong hai hàm là đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng. Chú ý: Khẳng định trên không đúng nếu y f x và y g x là những hàm cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến. III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất là: f x ax b; a, b R, a 0 . Nghiệm của nhị thức là b x a Định lí: Nhị thức bậc nhất f x ax b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó. 2. Định lí thuận về dấu tam thức bậc hai Định lí: Cho tam thức bậc hai f x ax 2 bx c ( a 0 ). Nếu 0 thì tam thức f x cùng dấu với a với mọi x R b Nếu 0 thì tam thức f x cùng dấu với a với mọi x R\ 2a Nếu 0 thì tam thức f x có hai nghiệm x1 ; x 2 và: Tam thức f x cùng dấu với a với x ; x1 x2 ; Tam thức f x trái dấu với a với x x1 ; x 2 3. Cách lấy nghiệm của bất phương trình bậc hai Xét bất phương trình bậc hai: ax 2 bx c 0; a 0 . Dựa vào định lí thuận về dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau: 0 Th1: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx R a 0 0 b Th2: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx a 0 2a 0 Th2: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx a 0 Ths. Phạm Thị Nga Trang 6
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 0 Th3:Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là a 0 Tx ; x1 x2 ; , trong đó x1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0; a 0 0 Th4: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là Tx x1 ; x 2 , a 0 trong đó x1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0; a 0 Với phương pháp tư duy tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm của các bất phương trình dạng còn lại: ax 2 bx c 0; a 0 ; ax 2 bx c 0; a 0 ; ax 2 bx c 0; a 0 . 4. Cách giải bất phương trình tích và thương các nhị thức và tam thức Cho bất phương trình: f x 0 ( hoặc f x 0; f x 0; f x 0 ) trong đó f x là tích hoặc thương của các nhị thức và tam thức ta có hai cách giải sau: Cách 1: Lập bảng xét dấu của các nhị thức, tam thức có trong f x và dấu f x sau đó chọn miền nghiệm của bất phương trình là là miền giá trị của biến số làm dấu của f x phù hợp với dấu bất phương trình. Cách 2: Sử dụng phương pháp khoảng Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong f x và biểu diễn các nghiệm bội lẻ của f x trên trục số theo chiều tăng dần (nghiệm bội lẻ là nghiệm được lặp lại số lẻ lần ). Khi đó các nghiệm này sẽ chia trục số thành nhiều khoảng khác nhau. Bước 2: Lấy một giá trị x0 trên trục số thuộc tập xác định và không trùng với f x trên khoảng chứa x0 . Dấu của f x sẽ bị đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ đã xếp trên trục số Bước 3: Chọn miền nghiệm của bất phương trình là miền giá trị của biến x làm dấu của f x cùng dấu với bất phương trình. PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Khi giải các phương trình này ta phải khử căn thức để đưa về phương trình đã biết cách giải như: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình tích… Tùy vào đặc điểm cụ thể của mỗi phương trình mà ta sử dụng phương pháp thích hợp để biến đổi thì mới khử được căn thức. Để học sinh dễ tiếp cận và rèn luyện kỹ năng biến đổi, nhận dạng từng phương trình, tôi đã thiết lập một hệ thống bài tập từ dễ đến khó và phân dạng theo từng phương pháp biến đổi xử lý căn thức như sau: 1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương Đây là dạng phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất. Ths. Phạm Thị Nga Trang 7
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở Phần 2, mục I.1.2 để đưa phương trình đã cho về phương trình tích hoặc phương trình hữu tỷ đã biết cách giải. Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức. Thông thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn bậc hai : f x 0 g x 0 Dạng 1: f x g x ; Dạng 2: f x g x f x g x f x g2 x f x 0 Dạng 3: f x g x h x g x 0 2 f x g x h x f x 0 g x 0 Dạng 4: f x g x h x h x 0 2 f x g x h2 x Tương tự ta cũng sẽ có các dạng phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng với các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của nhiều căn thức cùng bậc hơn. Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Và có thể ban đầu các phương trình đã cho chưa ở dạng trên nhưng sau một vài phép biến đổi tương đương đơn giản học sinh có thể biến đổi về các dạng này hoặc phương trình tích của một trong các biểu thức dạng này mà có một vế bằng 0. Hệ thống bài tập: Bài 1 Giải các phương trình sau 1) 3 x 2 3x 8 2 2) x 2 3x 1 2 x 7 3) 16 x 17 8 x 23 4) x 2 6 x 6 2 x 1 5) x 3 2 2 x 5 6) x 3 x 1 4 7) x 3 2x 8 7 x 8) x 1 x x 1 1 9) x 2 x 1 x2 x 1 10) 3 x 7 3 x 2 3 11) 2 3 x 1 3 x 2 3 2 x 3 12) x 6 5 x 7 x 3 13) 2 x 2 8 x 6 x 2 1 2x 2 14) x 2 x 1 x 2 x 1 2 2 x 7 x 12 7 x 12 64 7 15) 3 x 2 1 x 16) x 3x 2 2 12 3 17) 2 x 2 8 x 6 x 2 1 2 x 2 18) x 1 x 3 2x 3 2 2x 1 19) x x 1 x x 2 2 x 2 20) x 2 x 1 x 1 x x2 x 0 Ths. Phạm Thị Nga Trang 8
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Ví dụ: Giải phương trình sau 20) x 2 x 1 x 1 x x2 x 0 Giải: 20) x 1 2 x 1 1 x 1 x xx 1 0 2 x 1 1 xx 1 x 1 1 0 2 x 1 1 0 * x 1 1 xx 1 x 1 1 0 x 1 1 x 1x 0 * * Giải (*) x 1 1 x 1 1 x 2 x 1 0 Giải (**) x 1 1 x 1x xx 1 0 x 1 1 2 xx 1 x2 x x 1 x 1 2 (vô nghiệm). 2 x2 x x2 2x 2 2 x2 x x 1 1 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 2 . 2. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ Sau đây là dạng phương trình vô tỷ không cơ bản. Để giải chúng ta không thể chỉ sử dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở trên vì nếu chỉ biến đổi như vậy sẽ có thể nhận được phương trình mới phức tạp hơn và không giải được. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải quan sát thật tinh tế các biểu thức có trong phương trình và biến đổi chúng thành những biểu thức chung, giống nhau rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình mới hoặc hệ phương trình đã biết cách giải. Như vậy tôi có thể chia lớp bài toán này thành ba dạng đặt ẩn phụ khác nhau tùy vào đặc điểm nhận dạng và cách giải cụ thể của chúng như sau: a. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình mới dễ giải hơn Đặc điểm nhận dạng: Quan sát phương trình ta thấy có thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn trong phương trình về một biểu thức giống nhau. Khi đó ta thực hiện các bước giải như sau: Các bước giải: Bước 1: Quan sát phương trình và biến đổi để tìm ra biểu thức giống nhau k x rồi đặt biểu thức đó lầm ẩn mới: t k x . Bước 2: Tìm điều kiện của ẩn mới trên cơ sở điều kiện của ẩn cũ (nếu có). Đây chính là bài toán tìm miền giá trị của hàm số t k x ( cũng là bài toán tìm max, min của hàm số ) Bước 3: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới (chỉ chứa ẩn mới, không còn chứa ẩn cũ). Bước 4: Biến đổi yêu cầu bài toán cũ thành bài toán mới cho phù hợp với yêu cầu phương trình mới. Giải bài toán mới, tìm nghiệm ẩn mới. Ths. Phạm Thị Nga Trang 9
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Bước 5: Thay nghiệm của ẩn mới vừa giải được vào cách đặt ở bước 1 để tìm nghiệm là biến cũ. Hệ thống bài tập: Bài 2 Giải các phương trình sau 1) x 1 3 x 1 2) 3 x 2 1 1 x 2 3) 3 x 1 x 3 4) x 5 x 5 x x 56 5) x 2 x 2 x x 12 6) x 2 1 7 x 2 1 10 0 7) x 2 x 5 5 8) x x 1 3 2 x 2 6 x 5 25 2 x 9) x 1 x 5 x 1 4x 3 3 0 10) x 2 4 x x2 6 x 11 11) x 3 x x 7 2 x2 7x 35 2 x 12) x 2 x2 x 2 x2 3 2 x 13) 1 x 1 x 2 14) x 1 4 x 5 x 1 4 x 4 2 2x 1 15) 2 x 1 3 2x 16) x 4 x2 2 3 x 4 x 2 17) 2 3 x x 2 1 1 3 4 18) x x x a 19) x 4 x2 2 3x 4 x 2 x 2 3 x 2 4 20) 3 2 x 1 x3 16 3 2 x 1 21) 3 4 10 2 x 3 10 2 x 3 1 2 22) x 2 x 2 2 x 2 4 2 x 2 23) 1 x x2 x 1 x 24) 3 2x 1 x2 3x 1 0 25) x 5 2 x 3 x2 3x 26) 3 2 x 1 x 1 3 1 x 35 27) 3 x 2x 7 28) x ; 29) 2 x 2x x2 1 12 1 4x 4x 4 1 4x 2x 4 30) 2 x 1 1 2 x 2 1 4x 2 2 2x 1 Ví dụ 1: Giải phương trình sau 15/ 2 x 1 3 2 x 2 1 3 Giải: Đk: x ; . 2 2 Đặt t 2x 1 3 2x t 0 2 x 1 3 3x 4x 2 4x 3 t2 t2 t4 2 (đk: t 2) . 2 2 2x 1 4 2x 1 2t 2 2 4 Thay vào phương trình 16) ta được: t 0l 2 t4 4 2 t 0 t 2 2t 2t t 8t 8t 0 3 t 2 4 t 8t 8 0 t 1 5l t2 2t 4 0 3 x 2 2x 1 2 2 Với t=2 thay vào cách đặt được: 2x 1 4 2x 1 2 1 x 2 Ths. Phạm Thị Nga Trang 10
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 3 1 Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là: Tx ; 2 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau 26) 3 2 x 1 x 1 Giải: Đk: x 1 . Đặt 3 2 x a a 3 2 x x 2 a 3 . Thay vào phương trình 27) ta được: a 0 a 1 a 1 a 1 1 a3 1 a3 1 a 2 a 1 1 a 1 a3 1 a 2a a 2 0 a 2 Với a=0 thay vào cách đặt được: x=2 (thỏa mãn) Với a=1 thay vào cách đặt được x=1 (thỏa mãn) Với a=2 thay vào cách đặt được x=10 (thỏa mãn) Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 1;2;10 x 35 Ví dụ 3: Giải phương trình sau 28) x 12 x2 1 Giải: Nhận thấy điều kiện xác định và có nghiệm của phương trình là: x2 1 0 x 1; x 0 x 35 x2 2x 2 1225 Khi đó ta có : x 12 x2 2 144 x2 1 x 1 x2 1 2 x2 x2 1 x2 x2 x4 x2 2 1225 2 1225 . Đặt x2 tt 0 . x2 1 x2 1 144 x2 1 x2 1 144 x 1 25 t tm 1225 12 Khi đó phương trình đã cho trở thành: t 2 2t 144 49 t l 12 25 x2 25 Với t thay vào cách đặt được: 2 12 x 2 25 x 2 1 12 x 1 12 25 5 x2 x 9 3 144 x 4 625 x 2 1 144 x 2 625 x 2 625 0 25 5 x2 x 16 4 5 5 Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là: Tx ; . 3 4 b. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình chứa hai ẩn Phương pháp giải: Ngoài những dạng phương trình vô tỷ như đã nói ở trên, ta còn gặp những phương trình mà không thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn về một biểu thức giống nhau. Ta có thể đặt căn thức làm ẩn mới rồi biến đổi phương trình đã cho về phương trình mà có chứa cả hai ẩn cũ và mới. Lúc này ta coi một trong hai ẩn làm tham số, giải phương trình với Ths. Phạm Thị Nga Trang 11
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ ẩn còn lại rồi thay kết quả vừa tìm được vào cách đặt để tìm ẩn ban đầu. Về thực chất thì đây cũng là phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ xong ta không chỉ rõ hệ mà thôi Đặc điểm nhận dạng: trong những phương trình này thường xuất hiện biểu thức tích của một căn thức với một đa thức chứa ẩn, đồng thời xuất hiện một đa thức bậc hai hoặc đa thức có cùng bậc với bậc của đa thức trong căn. Hệ thống bài tập: Bài 3 Giải các phương trình sau 1) 4 x 1 x 2 1 2 x 2 2 x 1 2) 2 1 x x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 3) x 2 3x 1 x 3 x 2 1 4) 4 x 1 x 3 1 2 x 3 2 x 1 5) x 3 10 x 2 x 2 x 12 6) x 2 x x 1 2 x 1 0 Ví dụ: Giải phương trình: 1) 4 x 1 x 2 1 2 x 2 2 x 1 Giải: Đặt t x2 1 t 1 t 2 x2 1 x 2 t 2 1 . Thay vào phương trình 1) ta được: 4 x 1 t 2 t 2 1 2 x 1 2t 2 4 x 1 t 2 x 1 0 * . Nhận thấy t 2x 1 2 phương trình (*) có: t 4 x 3 nên luôn có hai nghiệm là: 1 . t l 2 Với t 2 x 1 thay vào cách đặt ta được: 1 x 1 2 2x 1 0 x 4 x2 1 2x 1 2 x 0 x x2 1 2x 2 4x 1 3 3x 2 4x 0 4 x 3 4 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 3 c. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Có nhiều phương trình vô tỷ không thể xử lí bằng phương pháp đặt ẩn phụ được thì ta có thể đặt thêm một hoặc hai ẩn mới nữa rồi biến đổi thành một hệ phương trình hai ẩn để giải. Sau khi tìm được nghiệm của hệ thay vào cách đặt ta được một phương trình. Giải phương trình này là tìm được ghiệm của phương trình đã cho.Hệ thống bài tập: Bài 4 Giải các phương trình sau 3 1 1 4 1) x 3 1 23 2 x 1 2) x 3 3 43 4 x 3 3) 3 x 3 1 x 4) x 3 2 10 x 2 5) 3 2 x 1 x 1 6) 1 x 2 23 1 x 2 3 7) x 2 x 3 3 8) 3 8 x 2 3 8 x x 27 3 x 27 2 7 Ví dụ: Giải phương trình sau: 1) x 3 1 23 2 x 1 Giải: Đặt y 3 2 x 1 y 3 2 x 1 (*) Thay vào 1) ta được: x 3 1 2a (**) Ths. Phạm Thị Nga Trang 12
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ y3 2x 1 y3 x3 2 x y Từ (*) và (**) ta có hệ: x3 2y 1 x3 2y 1 x y x 1 2 2 x y x xy y 2 0 vn 1 5 3 x3 2x 1 0 x x 2y 1 2 1 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: T x 1; 2 . Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 8) 3 8 x 2 3 8 x x 27 3 x 27 2 7 a 3 8 x a3 8 x Giải: Đặt 3 a3 b3 35 . Thay a, b vào phương b 3 x 27 b x 27 trình 11) ta được: a 2 ab b 2 7 . Do đó ta có hệ phương trình: a3 b3 35 a b a2 ab b2 35 a b 5 a b 5 2 a 2 ab b 2 7 a 2 ab b 2 7 a b 3ab 7 ab 6 a 2 a 3 3 8 x 2 3 8 x 3 hoặc . Thay vào cách đặt ta được: hoặc b 3 b 2 3 x 27 3 3 x 27 2 x 0 hoặc x 19 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: Tx 0; 19 3. Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp Ngoài hai phương pháp khử căn thức trong phương trình vô tỷ như trên tùy vào đặc điểm cụ thể của các biểu thức trong phương trình mà ta có thể sử dụng các hằng đẳ thức sau để tạm thời phá căn biến đổi tương đương phương trình đã cho về một phương trình tích: a b a b a2 b 2 ; a b a 2 ab b 2 a 3 b 3 ; a b a 2 ab b 2 a 3 b 3 Khi đó ta gọi a b và a b ; a b và a 2 ab b 2 ; a b và a 2 ab b 2 là những biểu thức liên hợp của nhau. Và gọi phương pháp biến đổi này là phương pháp nhân liên hợp Chú ý: 1> Khi sử dụng phương pháp này nên tìm điều kiện xác định của phương trình trước 2> Khi nhân hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp phải chú ý điều kiện khác 0 của biểu thức đó. 3> Chỉ sử dụng phương pháp này được sau khi nhân liên hợp làm xuất hiện biểu thức giống nhau trong phương trình để có thể đưa phương trình đã cho về phương trình tích. Hệ thống bài tập Ths. Phạm Thị Nga Trang 13
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Bài 5 Giải các phương trình sau x 3 1) 4x 1 3x 2 2) 3 2 x 2 2x x 6 3) 1 x 1 x x 5 21 x 21 x 21 4) 21 x 21 x x 5) 3 8 x 2 3 8 x x 27 3 x 27 2 7 1 1 3 6) 1 1 x 1 1 x x 7) x 2 13x 6 6 x 1 0 x 3 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1) 4x 1 3x 2 5 2 Giải: Điều kiện x 3 . Khi đó nhân cả hai vế của 1) với 4 x 1 3x 2 0 ta được: 2 2 x 3 1) 4x 1 3x 2 4x 1 3x 2 5 x 3 x 3 5 4x 1 3x 2 x 3 5 4x 1 3x 2 0 x 3l 4 x 1 3 x 2 2 4 x 1 3x 2 25 2 12 x 2 5x 2 26 7 x 4x 1 3x 2 5 2 26 2 26 x x 3 7 3 7 x 2 x 2 x2 344 x 684 0 x 324 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 2 . Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5) 3 8 x 2 3 8 x x 27 3 x 27 2 7 Giải: Nhận thấy 3 8 x 3 x 27 0 x R Nhân cả hai về của 5) với 3 8 x 3 x 27 Ta được: 2 2 5) 3 8 x 3 x 27 3 8 x 3 8 x x 27 3 x 27 73 8 x 3 x 27 8 x x 27 7 3 8 x 3 x 27 5 3 8 x 3 x 27 125 8 x x 27 33 8 x x 27 3 8 x 3 x 27 3 8 x x 27 6 x 0 x2 19 x 0 x 19 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 0; 19 . 4. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá Khi gặp một phương trình vô tỷ mà không sử dụng được ba phương pháp trên ta có thể nghĩ đến phương pháp đánh giá để giải phương trình. Và đây đôi khi lại là phương pháp giải ngắn gọn độc đáo nhất. Tuy nhiên không phải bài nào cũng giải được bằng phương pháp này mà phải dựa vào đặc điểm riêng biệt của loại phương trình này nữa. Thông thường loại phương trình này hay vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất. Do vậy ta thường nhẩm lấy một nghiệm rồi dùng hàm số hoặc bất đẳng thức để đánh giá chứng minh tính duy nhất nghiệm. Do đó ta có hai kiểu đánh giá như sau: Ths. Phạm Thị Nga Trang 14
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Kiểu 1: Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế của phương trình vế trái (VT) và vế phải (VP) như sau: VT a VT a Nếu VP a thì VT VP VP a Kiểu 2: Dùng hàm số để đánh giá. Cụ thể là dùng bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất để đánh giá hai vế hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số đế chứng minh tính duy nhất nghiệm như đã trình bầy ở Phần 2 mục III.3. Hệ thống bài tập Bài 6 Giải các phương trình sau 1) x 2 x 12 x 1 36 2) x 2 4 x x 2 6 x 11 3) x 2 15 3 x 2 x 2 8 4) 4 x 1 4x 2 1 1 5) x 2 x 7 x 3 2 1 8 x 1 1 8 x 6) 2 7 x 3 11x 2 25 x 12 x 2 6 x 1 2 1 1 4x 2 1x y 3 5 2y 0 7) 2 x2 2 4 x 8) x2 x 4x 2 y2 2 3 4x 7 9) 3x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 Ví dụ 1:Giải phương trình 1) x 2 x 12 x 1 36 Giải: Đk: x 1 Cách 1: Nhận thấy phương trình 1) có nghiệm x=3. Ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất. Thật vậy: x2 9 Với x>3 x 3 VT x2 x 12 x 1 36 VP x 1 4 12 x 1 24 nên phương trình 1) không có nghiệm x>3 x2 9 Với 1 x 3 x 3 VT x2 x 12 x 1 36 VP x 1 4 12 x 1 24 nên phương trình 1) không có nghiệm x
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 2 4x Ta có y ' 4x 1 x2 1 0 nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng 1 x 2 ; nên phương trình 4) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất. 1 Kết luận: Tập nghiệm là T x 2 . Ví dụ 3: Giải phương trình 5) x 2 2 x 7 x 3 2 1 8 x 1 1 8x Giải: Ta có : 5) x 2 2 x 7 x 3 2 1 8 x 1 1 8 x 2 x 3 2 x 3 1 1 8x 1 1 8x 1 Xét hàm f x x2 x với x 0 y' 2 x 0 x 0 nên hàm số đồng x biến trên miền x>0. ( Chú ý: Học sinh lớp 10 có thể xét tính đơn điệu như sách giáo khoa 10 đã hướng dẫn). Do đó ta có: 5) f x 3 f 1 1 8 x x 3 1 1 8x x 2 x 2 x 2 x 3 2 2 x 1 1 8x x 2 x 4x 3 0 x 1 x 3 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là Tx 1;3 II. PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Vì vậy đối với bất phương trình vô tỷ ta cũng có thể áp dụng cách phân loại bài tập và phương pháp giải như trên. Tuy nhiên trong phương pháp biến đổi tương đương để cho việc biến đổi bất phương trình đỡ phức tạp ta có thể chia bài giải thành các trường hợp nhỏ. Hơn thế nữa, trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải bất phương trình thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình chứa hai ẩn và đặt ẩn phụ đưa về hệ bất phương trình lại tỏ ra không được hiệu quả vì việc đánh giá và xét dấu với hai ẩn là rất khó khăn nên hạn chế dùng. 1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương Đây là dạng bất phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất. Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở Phần 2, mục I.2.2 để đưa bất phương trình đã cho về bất phương trình tích hoặc bất phương trình hữu tỷ đã biết cách giải. Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức. Thông thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn bậc hai : g x 0 f x 0 Dạng 1: f x g x Dạng 2: f x g x f x 0 f x g x f x g2 x Ths. Phạm Thị Nga Trang 16
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ gx 0 g x 0 Dạng 3: f x gx hoặc f x 0 f x g2 x h x 0 f x 0 Dạng 4: f x g x h x g x 0 2 f x g x h2 x h x 0 hx 0 f x 0 Dạng 5: f x g x h x g x 0 hoặc f x 0 2 g x 0 f x g x h2 x Đối với các bất phương trình có đấu ; phương pháp biến đổi cũng tương tự như trên chỉ khác là các điều kiện xác định không ngặt nghèo như trên mà các hàm số dưới dấu căn và các điều kiện chỉ cần là không âm. Tương tự ta cũng sẽ có các dạng bất phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng với các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của nhiều căn thức cùng bậc hơn. Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Hệ thống bài tập: Bài 1: phương pháp biến đổi tương đương a. Phương pháp luỹ thừa hai vế 1) 2 x 1 3 2) 3 2 x x 3) x 2 3 x 2 2 x 1 4) 3x 2 2 x 5) 2 x 2 6 x 1 x 2 6) x 2 6 x 5 8 x 7) x 5 3x 4 4 x 1 8) x 1 4 x x 2 9) x x 3 5 10) x 2 x 1 x 11) x 1 1 x x 12) x 4 2 x 2 1 1 x 13) x 5 x 4 x 3 14) 7 x 13 3x 9 5 x 27 3 15) x 3 2 x 8 7 x 16) 5 x 1 4 x 1 3 x 17) x 2 x 1 x 2 x 1 2 b. Phương pháp chia khoảng Để quá trình biến đổi đỡ phức tạp hoặc khi đã biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích hoặc khi cần quy đồng hai vế của một bất phương trình vô tỷ ta có thể chia thành các trường hợp để giảm bớt sự phức tạp cho việc giải bất phương trình. 1) x 5 x 2 4 x 2 2 x 15 2) x 2 3x 2 x 2 4 x 3 2 x 2 5 x 4 1 4x2 x2 3) 1 1 3x 24 2 x 12 x x 2 12 x x 2 3 4) 1 x2 1 x2 1 5) 1 6) x x x 11 2x 9 1 1 7) 2x 2 3x 5 2 x 1 8) x2 4x 3 2 x 2 3x 1 x 1 2. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 2: ( Phương pháp đặt ẩn phụ ) Ths. Phạm Thị Nga Trang 17
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 2) x x 1 x 1 x x 1 3 1) 5 x 2 10 x 1 7 x 2 2 x 2 x 3 3) x 1 x 2 5 1 3 1 4) 5 x 2x 2x 4 5) 3 x 2x 2x 7 6) x 2 2 x 4 4 x 2 x 12 0 2 x 2 x x2 7) x x 2 2 x 2 2 x 44 2 x 8) 1 x 1 x 2 9) 2 x 2 x 2 5 x 6 10 x 15 4 10) 2 x 2 4x 3 3 2x x 2 1 11) 7 x 7 7 x 6 2 49 x 2 7 x 42 181 14 x 12) xx 4 x2 4x 13) x 1 x 2 1 3x x 1 0 14) x 2 2 2 3 x 1 x 3 2 x 3 2 x 1 15) x 1 x 2 4 x 1 3 x (KB2012) 2 16) Với giá trị nào của m thì bất phương trình: 1 2 x 3 x m 2 x 2 5 x 3 1 thỏa mãn x [ 2 ;3] 3. Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp Bài 3: ( Phương pháp nhân liên hợp) 1 1 4x 2 4x2 1) 3 2) 1 x 1 x x 3) 2 2 2x 9 x 1 1 2x 2 4) 4 x 1 2 2 x 10 1 3 2 x 5) 2 x 1 x 2 x 2 2x 2 6) x 5 x 3 1 x 2 2 x 15 8 7) 2 x 21 3 9 2x 4. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá Bài 4: ( Phương pháp đánh giá) 6x 2 x3 6x 5 x3 4 x2 2x 6 1) 1 x 2 3 1 x2 3 , 2) x x2 1 x x 2 1 2 ,3) x 2 1 2 x x2 Một số bài toán bài toán chứa tham số Bài 1 Tìm m để các phương trình,hệ phương trình sau có nghiệm thực. x 1 a) 3 x 6 x 3 x 6 x m ; b) x 3 x 1 4x 3 m; x 3 x 1 y 1 2 x 1 y 1 2y3 y 2x 1 x 3 1 x c) (HSG2010) d) 1 1 2y2 1 y m x 4 m x 1 y 1 Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau a/ x a a x m e/ x 1 a x 2 b/ x 2 x a x c/ x 2ax a 2 x 2ax a 2 2a c/ a 2 x x 2 b 2 a 2 x a III. HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CỦA HỆ THỐNG BÀI TẬP 1. Hướng dẫn và đáp án bài tập phương trình và hệ phương trình vô tỷ Ths. Phạm Thị Nga Trang 18
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 21 Bài 1: 1) Tx 0,3 , 2) Tx 5 ,3) Tx 4 ,4) Tx 1 ,5) Tx ,6) T 4 7) Tx 5;6 x 2 5 3 8) T x 3 , 9) T x 4 , 10) Tx 6;1 , 11) Tx 1;2; 2 12) Tx , 13) Tx 1;1 , 7 7.12 17 9 14) Tx 1;5 ,15) Tx 1 ,16) T x 7 256 7 7 , 17) Tx 1 ,18) Tx 2 , 19) T x 0, 8 1 37 Bài 2: 1) Tx 0, 1 , 2) Tx 1 , 3) Tx 7 , 4) Tx 1024 ,5) T x 2 , 6) Tx 3; 24 1 21 1 17 841 7) Tx 2 ; 2 , 8) Tx 2;5 , 9) Tx 1 5;1 13 , 10) Tx 3 ,11) Tx 137 1 3 3 1 12) Tx 1 ,13) Tx 0 ,14) Tx 0;3 ,15) Tx ; 2 2 ,16) Tx 2;0;2 ,17) Tx ; 2 2 1 1 3 1 1 3 3 2 18) a ; Tx ;a ; Tx a a , 19) Tx ; 4 2 ,20) Tx 0; 2 ; 8 ,21) Tx 3 4 4 3 2 2 22) Tx 2 , 23) Tx 0;1 , 24) Tx 1;2 2 25) Tx 4;1 , 27) Tx 2 ,29) HD: 1 1 5 Bình phương hai vế, chia cả hai vế cho x 4 , đặt t 4 x 2 Tx 2 ; x2 2 3 3 30) HD:Bình phương hai vế, đặt t 1 4x 2 Tx 2 3 2 29 Bài 3: 2) Tx 1 6 , 3) Tx 8 , 4) Tx 3 4 ;2 ,5) Tx 3 , 6) Tx 25 ;2 8 3 1 13 9 5 10 55 1 13 Bài 4: 2) Tx 1; 2 ,3) Tx 27 ,4) T x 2 ,5) Tx 1;2;10 ,6) Tx 0 ,7) Tx 1;2; 2 11 3 5 1 23 6 17 Bài 5: 2) Tx 3; 2 , 3) Tx 0 , 4) Tx 21 , 6) Tx ,7) Tx 0; 4 4 Bài 6: 2) HD:dùng Bunhiaccôpxki đánh giá vế trái, VP x 3 2 2 Tx 3 3) Tx 1 , 6)HD sử dụng Côsi cho vế trái Tx 1;7 , 7) dùng Bunhiaccôpxki 3 3 2x 2x 5 2y 5 2y 1 Tx 1 , 8) Dùng hàm số được T x;y ;2 , 9) Tx 1 4x 2 y 2 2 3 4x 7 2 2. Hướng dẫn, đáp án bài tập bất phương trình,hệ bất phương trình vô tỷ 1 3 1 65 1 65 7 57 Bài 1a: 1) T x 2 ;4 ,2) T x 1; 2 ,3) T x ; 2 2 ; ,4) T x 2 ;2 , 3 7 4 7 5) Tx ; 2 3; ,6) Tx ,7) Tx ; 5 3 ;4 \ 1 ,8) Tx 1;2 2 ; , 9) 16 3 12 Tx 3; ,10) Tx 3 ; 11) Tx ,12) Tx ;2 0; ,13) Tx ; 4 3;2 , 5 458 10521 1 14) Tx 118 ;23 , 15) Tx 4;5 6;7 , 16) T x 4 ; , 17) Tx R Ths. Phạm Thị Nga Trang 19
Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ 13 11 1 1 2 1 1 2 Bài 1b:1) Tx 6 ; 2 2; ,2) Tx 2 ; ,3) T x ; 2 2 \ 0 ,4 T x 5 ; 2 2 ; 5 1 5) Tx 6;4 \ 0;3 ,6) Tx ,7) Tx 2; ,8) Tx ; 2 1 3 2 2 3 2 2 Bài 2:1) Tx ; 3 1; ,2) Tx 0; ,3) Tx 1;0 1;2 ,4) Tx ; 2 2 ' 8 16 252 16 252 5 55 5 55 5) T x 0; 4 4 ; ,6) Tx 2;4 \ 1 5;1 5 ,7) Tx ,8) Tx 1;1 ,9 T x ; 2 2 ; 7 17 1 10) Tx 3;1 ,12) Tx ;2 2 ,13) Tx 1; ,14) Tx 2 ,15) Tx 0; 4; 4 11 1 45 3 17 Bài 3:1) T x ; \0 2 2 ,2) Tx 1;0 ,3) Tx ; \0 2 8 ,4) T x 2 ;3 5) Tx ,6) Tx 4; ,7) Tx 18 ; 1 Bài 4:1) T x ,2) T x 0; 8 ,2)HD: dùng Côsi Tx 1 ,3) HD: dùng Côsi Tx 2 VI. Thùc nghiÖm vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 1. Kết quả đạt được của quá trình nghiên cứu Trên đây tôi vừa trình bầy nội dung sang kiến kinh nghiệm về phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. Toàn bộ kiến thức đã sử dụng trong bài viết này đều được trang bị rất đầy đủ và chi tiết trong chương trình học tập của học sinh lớp 10 và lớp 12 theo chương trình sách giáo khoa mới biên soạn của Bộ Giáo Dục và đào Tạo. Kết quả đạt được là: 1.1 Kết quả thứ nhất: Tìm ra bốn cách giải các bài toán giải phương trình và bất phương trình bậc hai 1.2 Kết quả thứ hai: Ứng dụng bài toán trên để giải quyết một số vấn đề của đại số và giải tích có liên quan đến phương trình và bất phương trình vô tỷ. 1.3 Kết quả thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề, tư duy biện chứng, xây dựng và phát triển sự say mê và yêu thích toán học. Kết quả thực nghiệm cho thấy sự tiến bộ của các em học sinh thể hiện rõ rệt. Các em giải quyết tốt các bài toán đặt ra một cách linh hoạt và sáng tạo. Đứng trước các bài toán này các em tỏ ra tự tin, chủ động và linh hoạt hơn để phân tích và nhận định bài toán nhằm lựa chọn cách giải thích hợp và ngắn gọn. Giờ học toán và các tiết kiểm tra được các em hào hứng chờ đợi, đặc biệt là trong các giờ luyện tập các em thi đua nhau tìm ra những lời giải hay, cách giải đẹp làm không khí học tập trong lớp rất sôi nổi. 2. Phương pháp đánh giá Ths. Phạm Thị Nga Trang 20