Các bài tập hình học không gian tổng hợp giải bằng phương pháp toạ độ phần II: Hình chóp

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

118
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Gửi đến các bạn tài liệu Các bài tập hình học không gian tổng hợp giải bằng phương pháp toạ độ phần II: Hình chóp. Tài liệu được biên soạn với các nội dung: Phương pháp chung giải toán, hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, hình chóp đều, hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài tập hình học không gian tổng hợp giải bằng phương pháp toạ độ phần II: Hình chóp

Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian 1 CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẦN II: HÌNH CHÓP Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định vungocvinh59@yahoo.com PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. Bài toán đơn giản hay không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuông góc và đơn vị trên các trục. Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp, chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O ( Đỉnh của góc vuông, tâm mặt cầu ….) Böôùc 2: Dựa vào điều kiện của bài toán để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy. (coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát) Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo : +)YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa ñoä). +) Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä +) Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. +) Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. Böôùc 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài toán sang tính chất đại số và giải tích, đưa bài toán về bài toán đại số, giải tích. Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn . Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp: - Ñoä daøi ñoïan thaúng - Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng - Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng - Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng - Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng - Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng - Goùc giöõa hai maët phaúng - Theå tích khoái ña dieän - Dieän tích thieát dieän - Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc - Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích Boå sung kieán thöùc : ' 1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc  giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu S '  S . cos  2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A', B', C' khaùc vôùi S Ta luoân coù: vungocvinh59@yahoo.com 1 2 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian V S . A ' B 'C ' V S . ABC  SA ' SB ' SC ' . . SA SB SC Chú ý. a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:   a a a 3 a a H(0; 0; 0), A ; 0; 0 , B ; b; 0 , C  ; b; 0 , D  ; 0; 0 , S  0; 0; .   2 2 2  2 2           Phần II. 1 . HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY ( Hay hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy) * Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh bên vu«ng gãc đáy. Ví dụ 1. Tø diÖn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; z AB = 3; AC = AD= 4 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) B ( KD: 2002) Giảii + Chän hÖ trôc Oxyz sao cho A  O D Ox; C  Oy và B  Oz A  A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)  Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cña (BCD) lµ: x y z    1  3x + 3y + 4z - 12 = 0 D 4 4 3 Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) lµ: x 6 34 d(A; mp’(BCD)) = 17 y C Ví dụ 2. Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, AC = b, AB = c.Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng : 2S  abc  a  b  c  (DB – ÑH. K. D – 2003) Giaûi Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0 ;0;a) vungocvinh59@yahoo.com 2 3 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian         BC    c; b; 0  ,BD    c; 0;a  ,  BC,BD   ab;ac; bc       1 1 2 2 2 2 SBCD   BC,BD   a b  a c  b2 c2 ñpcm   2 2 z D  a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c)  a2 b2  a2 c2  b2 c2  abc(a  b  c) Theo BÑT Cauchy ta ñöôïc : y A a2 b2 +b2 c2  2ab2 c   b2 c2 +c2 a2  2bc2a  Coäng veá : a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2  abc(a  b  c) c2 a2  a2 b2  2ca2 b   C B x Ví dụ 3. Cho hình choùp S.ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD), SA  a 2. Maët phaúng () qua A vuoâng goùc vôùi SC caét SB, SC, SD laàn löôït laø M, N, P. Chöùng minh raèng töù giaùc AMNP coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vaø tính dieän tích cuûa töù giaùc. z Giải S a 2 Döïng heä truïc Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, vôùi A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a 2)    SC  (a; a;  a 2)  a(1; 1;  2)  a.u1   SB  (a; 0;  a 2)  a(1; 0;  2)  a.u 2    SD  (0; a;  a 2)  a(0; 1;  2)  a.u 3 N P M D A Phöông trình mp(qua A(0; 0; 0) vôùi   phaùp vectô n  u1  (1; 1;  2) : a y O B a C x () : x  y  2z  0.  Phöông trình ñöôøng thaúng SC qua C(a; a; 0) vôùi vectô chæ phöông u1 : x  a  t (SC) :  y  a  t  z   2t  N  SC  N(a  t; a  t;  2t) N  ()  a  t  a  t  2( 2t)  0  t   a a a 2 a  N ; ;  2 2 2 2  Phöông trình ñöôøng thaúng (SB): x = a + t; y = 0; x   2t.  2a a a 2  M  ; 0;  . Phöông trình ñöôøng thaúng (SD): 3 3   3  2a a 2  a x  0; y  a  t; z   2t. Ta coù: P  SD; P  ()  t    P  0; ;  3 3   3 Ta coù: M  SB; M  ()  t   vungocvinh59@yahoo.com 3 4 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian   a a a 2    2a 2a  2a 2 AN   ; ; .  ; AN  a; MP    ; ; 0  ; MP  2 2 2  3  3 3    a  2a  a 2a a 2 a2 a2 .0     0  AN  MP Ta coù: AN.MP  .     .  2 3 2 3 2 3 3 Dieän tích töù giaùc AMNP: S  (ñpcm) 2 1 1 2a 2 a 2 .AN.MP  .a.  . 2 2 3 3 Ví dụ 4. Cho hình choùp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng coù BC = 2a, AD  a vaø ñöôøng cao AB = a. M laø ñieåm treân caïnh SA, ñaët AM = x (0  x  a) . Tính ñoä 2 daøi ñöôøng cao DE cuûa BMD. Ñònh x ñeå DE ñaït giaù trò nhoû nhaát. Giải Döïng heä truïc Axyz vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),   B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D  0;   BM  (a; 0; x). a  ; 0  , S(0; 0; a), M(0; 0; x) . 2  z a S Phöông trình ñöôøng thaúng BM qua B vôùi ,vectô chæ phöông: x  a  at  (BM) :  y  0 z  xt  M E A    a  E BM  E(a  at; 0; xt)  DE   a  at;  ; xt  B  2  a      x a DE  BM  DE.BM  0  (a  at)(a)  .0  xt.x  0 2   ax2  a2 a a2 x  2 2 2  (x  a )t  a  t  2 . Ta coù: DE   2 ; ; 2  2 x  a2   x  a2 x  a2 a2 x 4 a2 a4 x 2  DE     (x 2  a2 )2 4 (x 2  a2 )2  DE  D y C a2 a2 x 2 (x 2  a2 a 4x 2   1 2 4 2 (x 2  a2 )2 x  a2 a a  min DE   x 2  0  x  0  M  A. 2 2 Ví dụ 5. Cho hình choùp SABCD, ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD), SA = 2a. Maët phaúng () qua BC hôïp vôùi AC moät goùc 30o, caét SA, SD laàn löôït taïi M, N. Tính dieän tích thieát dieän BCNM. Giải. Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a). Ñaët: AM = h; (0 < h < 2a)  M(0; 0; h) vungocvinh59@yahoo.com 4 5 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian     BM  (a;  a; h), BC  (0; a; 0),     [BM; BC]  (a.h; 0;  a2 )  a(h; 0; a)    a.n , vôùi n  (h; 0; a)   n  (h; 0; a) laø phaùp vectô cuûa maët phaúng (). y 2a N M Ñöôøng thaúng AC coù vectô chæ phöông    u  (a; a; 0)  a(1; 1; 0)  a.u1 , vôùi u1  (1; 1; 0) . () hôïp vôùi AC moät goùc 30o. H 1  sin 30o   1  1  0. h 2  0  a2 2 h 1   2 h 2  a2 2 S D a A 1.h  1.0  0.a y B a C x  h 2  h 2  a2  2h 2  h 2  a2  h  a  M laø trung ñieåm SA. MN  ()  (SAD)  MN // BC // AD. BC // AD BC  (SAB)  BC  BM  BCNM laø hình thang vuoâng taïi B vaø M. Ta coù:   ABM vuoâng caân ñænh A  BM  a 2. MN laø ñöôøng trung bình cuûa  SAD  MN  a . Dieän 2 1 3a2 2 tích hình thang vuoâng BCNM: S  .BM(MN  BC)  . 2 4 Ví dụ 6. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3  zM = 3. Tương tự  M(1; 2; 3). x y z pt(ABC):    1 a b c 1 2 3 M  (ABC)     1 (1). a b c 1 VO.ABC  abc (2). 6 1 2 3 1 2 3 (1)  1     3 3 . . a b c a b c 1  abc  27 . 6 vungocvinh59@yahoo.com 5