Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian" nhằm hệ thống hóa cơ sở lí luận về mô hình hóa toán học, quy trình mô hình hóa toán học;năng lực và năng lực mô hình hóa; Xác định các biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học cần bồi dưỡng và phát triển cho học sinh ở bậc trung học phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian

MỤC LỤC Trang PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài 2 2. phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2 3. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu 3 4. Dự kiến những đóng góp của đề tài 3 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở lí luận 1.1. Khái niệm mô hình hóa toán học 4 1.2. Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán 4 1.3. Năng lực mô hình hóa toán học 5 2. Thực trạng của vấn đề 2.1. Bài toán mô hình hóa trong chương trình môn Toán của Việt Nam 8 2.2. Thực trạng các bài toán thực tiễn phần hình học không gian trong 8 chương trình sách giáo khoa phổ thông và trong các đề thi 3. Giải pháp tổ chức và thực hiện 3.1. Hệ thống các kiến thức cần thiết về hình học không gian trong sách giáo 11 khoa hình học lớp 11, lớp 12. 3.2. Tìm hiểu quan hệ giữa giải toán hình học không gian và phát triển năng 13 lực mô hình hóa. 3.3. Các bước thiết lập mô hình hóa các bài toán hình học không gian. 13 3.4. Một số ví dụ minh họa việc vận dụng các bước thiết lập mô hình hóa các bài toán hình học không gian ứng dụng trong thực tiễn để phát triển năng lực 15 mô hình hóa cho học sinh 4. Thực nghiệm sư phạm 4.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm sư phạm 51 4.2. Tổ chức thực nghiệm và đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 53 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận 56 2. Một số kiến nghị 57 Tài liệu tham khảo 58 1
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Toán học có liên hệ rất mật thiết với thực tiễn, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học, công nghệ, trong sản xuất và đời sống. Toán học có vai trò đặc biệt thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Vậy nên, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều hết sức cần thiết đối với sự phát triển của xã hội, phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học. Việc thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang định hướng tiếp cận năng lực của người học. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực mô hình hóa là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu: thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống; đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập. Mô hình là được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng của ngôn ngữ toán học. Trong đó, mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó. Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá, giải quyết các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa… Là một giáo viên hiện nay đang thực hiện chương trình giáo dục mới, bản thân tôi tự đặt ra câu hỏi: “Việc hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh như thế nào, thông qua những hoạt động nào?” Trong quá trình dạy học, tôi nhận thấy việc dạy học sinh giải các bài toán hình học không gian có thể phát triển rất tốt năng lực mô hình hóa cho học sinh. Do đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian”. 2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2.1. Đối tượng nghiên cứu * Mô hình, mô hình hóa toán học: - Khái niệm. - Quy trình mô hình hóa. * Năng lực mô hình hóa toán học: - Khái niệm, biểu hiện và yêu cầu cần đạt. - Các bài toán hình học không gian ứng dụng trong thực tiễn. 2.2. Phạm vi nghiên cứu 2
- Tập trung nghiên cứu việc học sinh thiết lập được mô hình hóa ở các bài toán hình học không gian. 3. Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn. - Xác định các dạng toán ứng dụng của hình học không gian trong thực tiễn. - Nghiên cứu các bước thiết lập mô hình hóa bài toán. * Phương pháp nghiên cứu 1. Nghiên cứu phương pháp - lý thuyết. 2. Nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn. 4. Dự kiến những đóng góp của đề tài - Hệ thống hóa cơ sở lí luận về mô hình hóa toán học, quy trình mô hình hóa toán học; năng lực và năng lực mô hình hóa. - Xác định các biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học cần bồi dưỡng và phát triển cho học sinh ở bậc trung học phổ thông. - Thiết lập được mô hình trong một số bài toán hình học không gian ứng dụng trong thực tiễn, qua đó phát triển được năng lực mô hình hóa cho học sinh. 3
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Khái niệm mô hình hóa toán học Mô hình: Là vật thay thế mang đầy đủ các tính chất của một vật thực tế. Qua việc nghiên cứu mô hình, có thể nắm vững được các thuộc tính của đối tượng cần nghiên cứu mà không cần tiếp xúc trực tiếp với vật thật. Theo Kai Velten (2009), mô hình tốt nhất chính là mô hình đơn giản nhất nhưng vẫn đáp ứng được đầy đủ các mục tiêu cần khảo sát. Mô hình toán học: Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm Mô hình hóa toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn. Định nghĩa của Singapore: “Mô hình hóa toán học là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn”. Theo Nguyễn Danh Nam, “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học.” Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để mô hình hoá là: đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình, bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán. Mô hình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán học, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng lớn hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn. 1.2. Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán Theo Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bước của quá trình mô hình hóa như sau: Bước 1: Chuyển từ vấn đề thực tế ban đầu thành mô hình trung gian bằng cách chuyển ngữ, loại bỏ hoặc thêm vào một số dữ kiện để vấn đề cần giải quyết trở nên rõ ràng hơn và khả thi hơn. Có thể xuất hiện nhiều mô hình trung gian cùng lúc, yêu cầu người học phải lựa chọn, hoặc lần lượt trải qua. Bước 2: Chuyển mô hình trung gian ở bước 1 thành mô hình thuần tuý toán học. Trong đó, các đối tượng, mối quan hệ đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học. Người học có thể phải đối diện trước nhiều mô hình toán học. Bước 3: Trước câu hỏi toán học được đặt ra trong bước 2, người học buộc phải huy động các kiến thức toán học để đưa ra một câu trả lời, cũng mang bản chất toán học. Bước 4: Câu trả lời mang màu sắc “toán học” ở bước 3 được biên dịch thành câu trả lời cho vấn đề thực tế ban đầu. Có thể xuất hiện khả năng câu trả lời không phù hợp với bối cảnh thực tế ban đầu do lời giải toán học ở bước 3 có vấn đề, hoặc do mô hình 4
toán học được xây dựng ở bước 2 chưa thoả đáng, hoặc có thể do mô hình trung gian ở bước 1 chưa phản ánh đủ bối cảnh thực tế. 1.3. Năng lực mô hình hóa toán học 1.3.1. Năng lực Có nhiều định nghĩa về khái niệm năng lực, chẳng hạn: Theo Xavier Roegiers (1996): “Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra”. Hoàng Phê (2003) định nghĩa trong Từ điển tiếng Việt: “Năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”. Bùi Minh Hạc (1992) cho rằng: “Năng lực chính là một tổ hợp đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”… Từ các khái niệm và cách tiếp cận trên, có thể rút ra một số điểm chung của năng lực như sau: - Năng lực chính là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng sẵn có và tiếp nhận được thông qua quá trình học tập và rèn luyện của người học. - Năng lực bao gồm những yếu tố về kiến thức, kĩ năng, thái độ và các thuộc tính cá nhân như: xúc cảm, động cơ học tập, niềm tin, ý chí,... - Năng lực hình thành và phát triển nhằm giải quyết các hoạt động thực tiễn, trong một bối cảnh và điều kiện nhất định. 1.3.1. Năng lực toán học Năng lực toán học là thuộc tính cá nhân, hình thành và phát triển thông qua quá trình học tập và rèn luyện. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học, gồm các thành phần cơ bản: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Khung đánh giá năng lực Toán học của chương trình đánh giá học sinh quốc tế ( PISA) cũng cơ bản đề cập đến 3 mức độ năng lực toán phổ thông, được thể hiện cụ thể trong bảng dưới đây: Cấp độ của năng lực Đặc điểm Cấp độ 1 - Nhớ lại các khái niệm, đối tượng, định nghĩa và tính chất toán Ghi nhớ, tái hiện học. - Thực hiện một cách làm quen thuộc. - Áp dụng một thuật toán tiêu chuẩn. 5
- Kết nối, tích hợp thông tin để giải quyết các vấn đề đơn giản. Cấp độ 2 - Tạo những kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau. Kết nối, tích hợp - Đọc và giải thích được các kí hiệu và ngôn ngữ hình thức (toán học) và hiểu chúng với ngôn ngữ tự nhiên. - Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có tính vấn đề Cấp độ 3 phải giải quyết. Khái quát hóa, - Vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn. toán học hóa - Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát hóa trong chứng minh toán học. 1.3.3. Năng lực mô hình hóa Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa toán học, nó gồm có nhiều kĩ năng, thành phần. Theo Blom và Jensen, năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước. Theo Maab, năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định. Các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học như sau: (1) Đơn giản giả thuyết  (2) Làm rõ mục tiêu  (3) Thiết lập vấn đề  (4) Xác định biến, tham số, hằng số  (5) Thiết lập mệnh đề toán học  (6) Lựa chọn mô hình  (7) Biểu diễn mô hình thích hợp  (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Các trình độ của năng lực mô hình hóa toán học Xuất phát từ các nghiên cứu về mô hình hóa toán học đã được nhiều nhà khoa học công bố, kết hợp với kinh nghiệm giáo dục, chúng tôi cho rằng có thể phân bậc năng lực mô hình hóa toán học của mỗi người như sau: Trình độ Thành phần 1. Học sinh tiểu học 2. Học sinh THCS 3. Học sinh THPT 1. Xác định mô 1. Lựa chọn được: 1. Sử dụng được các mô 1. Thiết lập được mô hình toán học: các phép toán, công hình toán học: công hình toán học: công công thức, phương thức số học, sơ đồ, thức toán học, sơ đồ, thức, phương trình, sơ trình, bảng biểu, đồ bảng biểu, hình vẽ để bảng biểu, hình vẽ, đồ, hình vẽ, bảng biểu, thị,…cho tình trình bày, diễn đạt phương trình, hình biểu đồ thị,…để mô tả tình huống xuất hiện (nói hoặc viết) được diễn,…để mô tả tình huống đặt ra trong một trong bài toán thực các nội dung, ý tưởng huống xuất hiện trong số bài toán thực tiễn. tiễn. của tình huống xuất một số bài toán thực tiễn hiện trong bài toán không quá phức tạp. thực tiễn đơn giản. 6
2. Giải quyết 2. Giải quyết được 2. Giải quyết được 2. Giải quyết được những vấn đề toán những bài toán xuất những vấn đề toán học những vấn đề toán học học trong mô hình hiện từ sự lựa chọn trong mô hình được thiết trong mô hình được được thiết lập. trên. lập. thiết lập. 3. Thể hiện và 3. Nêu được câu trả 3. Thể hiện được lời giải 3. Lí giải được tính đánh giá lời giải lời cho tình huống toán học vào ngữ cảnh đúng đắn của lời giải: trong ngữ cảnh xuất hiện trong bài thực tiễn, làm quen với những kết luận thu được thực tế và cải tiến toán thực tiễn. việc kiểm chứng tính là có ý nghĩa hay không, được mô hình nếu đúng đắn của lời giải. có phù hợp với thực tiễn cách giải quyết hay không. không phù hợp. 1.3.4. Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh Triết học cho rằng “Phát triển” là một phạm trù chỉ ra tính chất của những biến đổi đang diễn ra trong thế giới. “Phát triển” là một thuộc tính của vật chất. Mọi sự vật và hiện tượng trong hiện thực không tồn tại ở trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu vong,… nguồn gốc của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập. “Phát triển” trong dạy học là “rèn luyện” những tri thức cập nhật trên cơ sở những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm. Nó làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả của việc học tập. Từ quan điểm hoạt động trong giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Năng lực có thể và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động của chính người học”. Bên cạnh đó, định hướng đổi mới dạy học trong giai đoạn hiện nay là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” (Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 04/11/2013). Do đó, để phát triển một năng lực cụ thể cho người học, người giáo viên (GV) cần tạo ra cho học sinh (HS) những tình huống học tập mà ở đó, HS phải thể hiện mức độ thành thạo của các kĩ năng khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó. Dựa trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, có thể xác định bản chất của việc bồi dưỡng năng lực toán học cho HS nhằm để nâng cao hiệu quả học tập, hoàn thiện một quá trình dạy học. Hay nói một cách khái quát, phát triển năng lực toán học cho HS là quá trình tổ chức, rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để thực hiện các hoạt động học tập tương thích với thành tố và các biểu hiện đặc trưng của từng năng lực. Dựa trên cơ sở của việc rèn luyện năng lực toán học và năng lực mô hình hóa toán học, chúng ta có thể khẳng định rằng: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học là quá trình tổ chức cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt động mô hình hóa toán học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra.” 7
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 2.1. Bài toán mô hình hóa trong chương trình môn Toán của Việt Nam Hiện nay, các bài toán có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa ở trường phổ thông đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa, được thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài toán này chưa hẳn đã xảy ra trong cuộc sống thực; chẳng hạn, những tình huống diễn tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,... Mặt khác, giả thiết của bài toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết quả nhằm trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn "rất đẹp". Nói như vậy không có nghĩa là các bài toán trong sách giáo khoa không có tác dụng gì trong dạy học; ngược lại, nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn. Những bài toán có nội dung thực tiễn đó là cầu nối đầu tiên nối liền toán học với cuộc sống. Các bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là các bài toán có tính “mở”, khi thực hiện giải quyết chúng, học sinh phải tự mày mò tìm ra giả thiết hoặc kết luận. Khi giải quyết những bài toán mở về phía kết luận, HS cần phải mày mò biện luận các trường hợp có thể xảy ra. Trong khi dạy học, GV nên chú ý đến loại toán này bởi chúng phản ánh thực tiễn một cách chân thực. Nó chính là cái “giá” để giúp GV hình thành cho HS nhiều thao tác tư duy, phẩm chất trí tuệ quan trọng. 2.2. Thực trạng các bài toán thực tiễn phần hình học không gian trong chương trình sách giáo khoa phổ thông và trong các đề thi 2.2.1. Trong chương trình sách giáo khoa hiện hành Chương trình sách giáo khoa (SGK) phổ thông hình học lớp 11, 12 các bài toán liên hệ với thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy với số lượng rất ít ỏi. Cụ thể, xét trong chương trình SGK và Nâng cao như sau: - SGK Hình học 11 Nâng cao có 2 bài toán trong chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng; không có bài toán nào trong cả 2 chương Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song và Vec tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc. - SGK Hình học 12 Nâng cao không có một bài toán liên hệ với thực tiễn nào. Từ số liệu trên chúng ta nhận thấy số lượng bài toán thực tiễn so với lượng lý thuyết khổng lồ mà học sinh đã học còn quá ít. Vì vậy, học sinh cảm thấy môn Toán chưa thực sự gần gũi và cần thiết trong cuộc. Bên cạnh đó, giáo viên vì gặp nhiều khó khăn trong việc đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy, gặp khó khăn trong việc tìm tòi các ví dụ từ đó dẫn đến lảng tránh, xem nhẹ các bài toán thực tiễn mà không biết rằng những bài toán như vậy mới có thể hấp dẫn và lôi cuốn học sinh vào môn học của mình, giúp học sinh có thể liên hệ những kiến thức học được vào các tình huống bắt gặp trong cuộc sống. Thay vào đó, do lượng kiến thức trong mỗi tiết dạy là quá nhiều, ít giờ dạy thực hành thậm chí là không có các tiết thực hành nên giáo viên thường dành thời gian chú trọng vào các bài toán sử dụng thuật giải, các bài toán tính toán phức tạp, trong khi học sinh 8
không biết mình đang học cái gì, mình học để làm gì và có ứng dụng gì trong cuộc sống hay không? 2.2.2. Trong các đề thi, kiểm tra Chúng ta đã biết, chương trình sách giáo khoa bậc phổ thông chưa có đầu tư kĩ lưỡng về số lượng, chất lượng các bài toán thực tiễn dẫn đến vấn đề yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tiễn không được đặt ra thường xuyên trong các hình thức kiểm tra đánh giá. Nói cách khác, nó thường không xuất hiện trong các đề thi hoặc bài kiểm tra. Rõ ràng, Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và phát triển để giải quyết các vấn đề thực tiễn, thế nhưng việc kiểm tra đánh giá môn học này lại chẳng có một chút nào liên quan đến thực tiễn. Trong những năm gần đây, cùng với sự thay đổi trong phương thức kiểm tra, đánh giá, một số đề thi đã đưa các bài toán gắn với thực tiễn như liên quan đến lãi suất kép và tính diện tích thể tích nhờ ứng dụng của tích phân nhưng vẫn còn rất ít. Vì vậy, chúng ta cần phải thay đổi hơn nữa, cần nhân rộng các bài toán thực tiễn, các đề thi có các bài toán thực tiễn để nhằm đánh giá năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa toán học và liên hệ Toán học vào các tình huống thực tế cụ thể. 2.3. Thực trạng năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học ở trương THPT 2.3.1. Học sinh Khi nghiên cứu lí thuyết và thực hành dạy học, những khó khăn thường gặp của HS là thiếu động lực để học Toán, không đủ thời gian giải quyết, thiếu kĩ năng làm bài, thiếu công cụ, phương tiện mô hình hóa bài toán. Ngoài những khó khăn thường gặp trên, HS còn vấp phải nhiều biểu hiện cụ thể trong quy trình mô hình hóa Toán học như: - Vấn đề hiểu tình huống: HS không tự nhận ra hết những thông tin quan trọng của tình huống cần chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học và thường bị chi phối bởi những hình ảnh minh họa. Do đó, dẫn đến xây dựng mô hình toán học chưa phù hợp. - Vấn đề toán học hóa: HS khó khăn trong việc đơn giản bài toán, xử lí điều kiện bài toán, chuyển bài toán sang ngôn ngữ toán học. - Vấn đề giải bài toán: HS quên kiến thức cũ, thiếu linh hoạt trong tìm phương pháp giải, có thói quen giải theo dạng, khả năng liên tưởng còn rất hạn chế. - Kinh nghiệm thực tiễn của HS: Mô hình hóa chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn rất cần thiết, tuy nhiên HS thường thiếu kiến thức thực tiễn, khả năng liên hệ kiến thức liên môn còn yếu. - Vấn đề đối chiếu thực tế: HS chỉ quan tâm đến kết quả toán tìm được mà không quan tâm việc trả lời cho kết quả tình huống; mối quan hệ giữa kết quả và yếu tố đã cho. 2.3.2. Giáo viên Mặc dù mô hình hóa (MHH) rất có ích trong dạy học Toán nhưng GV lại gặp rất nhiều khó khăn, cụ thể như: 9
- Lựa chọn một vấn đề ngoài toán học để ủy thác cho HS không phải dễ: Bài toán liên hệ với thực tế có độ khó cao, chương trình SGK hàn lâm. Vì vậy, cần một tình huống thực tiễn thật sự hay biến đổi đến mức nào thì phù hợp trong việc giảng dạy. - Năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tế còn hạn chế: GV rất khó để xây dựng hoặc lựa chọn mô hình toán học; HS thường không thích thử phương pháp mới. - Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa nhiều, các bài toán thực tế chỉ mang tính lí thuyết, ít thực hành, không có trong nội dung thi: Thông thường nếu không có trong nội dung thi sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi GV và HS. Dạy học MHH đòi hỏi GV cần nhiều thời gian để hướng dẫn HS so với dạy học truyền thống. - Hiểu biết xã hội, kinh nghiệm sống và kiến thức liên môn của GV còn hạn chế: Không chỉ HS mà GV cũng hiểu không hết về mô hình hóa. Ngoài ra kinh nghiệm giảng dạy các bài toán liên hệ còn ít, kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin trong mô hình hóa còn hạn chế, tài liệu tham khảo ít nên dạy học mô hình hóa vẫn chưa phổ biến. 10
3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 3.1. Hệ thống các kiến thức cần thiết về hình học không gian trong sách giáo khoa hình học lớp 11, lớp 12. a, Một số nội dung cần nắm về quan hệ song song và vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. * Hai đường thẳng trong không gian song song với nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung. * Hai đường thẳng vuông góc trong không gian khi góc giữa chúng bằng 900 . Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. * Hai mặt phẳng song song trong không gian nếu chúng không có điểm chung. * Hai mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian nếu góc giữa chúng bằng 900 . Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. * Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. * Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi chúng không có điểm chung. b, Định nghĩa hình đa diện, khối đa diện. * Hình đa diện được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất: - Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. - Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. * Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai miền trong và ngoài. Hình đa diện và miền trong của nó tạo thành khối đa diện. c, Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu. * Mặt nón: Đường thẳng d,  cắt nhau tại O tạo thành góc  với 00    900 , mặt phẳng (P) chứa d,  quay xung quanh trục  với góc  không đổi, đường sinh d tạo thành một mặt nón tròn xoay đỉnh O, trục  , góc ở đỉnh 2  . 11
+ Hình nón: Cho tam giác OAB, vuông tại A. Đường gấp khúc OBA quay xung quanh OA tạo thành hình nón tròn xoay đỉnh O, đáy là đường tròn tâm A, bán kính AB, OB là đường sinh. + Khối nón: Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón. * Mặt trụ: Cho đường thẳng l //  quay xung quanh  , cách  một khoản R không đổi tạo thành mặt trụ tròn xoay, có l là đường sinh, trục  , bán kính mặt trụ là R. + Hình trụ: Khi cho đường gấp khúc OABO’của hình chữ nhật OABO’ quay xung quanh OO’tạo thành hình trụ tròn xoay trục OO’, đường sinh AB, bán kính OA. + Khối trụ: Là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. * Mặt cầu: Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. Kí hiệu S(I; R). Ta có: S ( I ; R )  M IM  R . + Khối cầu hoặc hình cầu tâm I, bán kính R là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(I; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó. • Diện tích mặt cầu: Sc  4 .R 2 . 4 • Thể tích mặt cầu: Vc   R 3 . 3 d, Một số nội dung cần nắm về phương pháp tọa độ trong không gian. * Hệ tọa độ trong không gian: Hệ gồm 3 trục Ox; Oy; Oz đôi một vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian. Với O  0;0;0 là gốc tọa độ; Ox là trục hoành; Oy là trục tung; Oz là trục cao. Các mặt phẳng tọa độ  Oxy  ;  Oyz  ;  Oxz  đôi một vuông góc với nhau.   + i , j, k là các vectơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox , Oy , Oz .       + i  1;0;02  ; j   0;1;0      ; k   0;0;1  ; i  j  k  1 và 2 2 i  j  k 1; i  j , j  k , k  i .     * Tọa độ của điểm: M  x; y; z   OM  xi.  y. j  z.k 12
     * Tọa độ của vectơ: u   x; y; z   u  x.i  y. j  z.k Chú ý: + M   Oxy   z  0 ; M   Oyz   x  0 ; M   Oxz   y  0 . + M Ox  y  z  0 ; M  Oy  x  z  0 ; M  Oz  x  y  0 .  + M   x; y; z   OM   x; y; z  . Các tính chất của phương pháp tọa độ trong không gian tương tự như phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, chỉ thêm thành phần cao độ. 3.2. Tìm hiểu quan hệ giữa giải toán hình học không gian và phát triển năng lực mô hình hóa. Như chúng ta đã biết, Mô hình hóa toán học (MHHTH) là một trong những năng lực đặc trưng trong dạy học Toán cần phát triển cho HS phổ thông. Để phát triển năng lực mô hình hóa toán học có nhiều cách tiếp cận. Ở đây, tôi lựa chọn cách tiếp cận thông qua việc giải quyết các bài toán hình học không gian. Câu hỏi đặt ra là tại sao giải bài toán hình học không gian có thể phát triển được năng lực mô hình hóa cho HS? Rõ ràng, từ một bài toán thực tiễn sẽ có nhiều cách sử dụng các ngôn ngữ và công cụ toán học để tìm ra cách giải. Tuy nhiên, các cách giải đó cần chỉ ra được các yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm trong bài toán, mối quan hệ giữa các yếu tố đó làm căn cứ để xác định các bước giải bài toán theo một trình tự logic. Các yếu tố này tạo nên mô hình toán học của bài toán thực tiễn. Do vậy, có thể hướng dẫn HS vận dụng các kiến thức, kĩ năng về hình học không gian để giải các bài toán thực tiễn có liên quan. Tùy theo mục đích và yêu cầu dạy học, giáo viên có thể phân loại hệ thống bài tập bằng các tiêu chí khác nhau để giải bài toán hình học không gian, tạo hứng thú và niềm say mê toán học cho học sinh. 3.3. Các bước thiết lập mô hình hóa các bài toán hình học không gian. Bước 1: Quan sát và thu thập số liệu của các tình huống thực tiễn liên quan trực tiếp đến việc tìm giải pháp cho vấn đề. Hai nhiệm vụ quan trọng nhất trong bước 1 là quan sát và thu thập số liệu. Ở bước này, cần phát hiện được các yếu tố có liên quan trong tình huống thực tiễn, yếu tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố. Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối quan hệ để biểu diễn tình huống thành một bài toán có liên đến hình học không gian. Sắp xếp các mối quan hệ và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic và phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ toán học. Bước 3: Dùng công cụ toán học – Hình học không gian và các vấn đề liên quan để giải bài toán đã được thiết lập. Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mô hình thực tiễn và kết luận. Đánh giá lời giải và đối chiếu với mô hình thực tiễn của bài toán. Từ đó, đưa ra kết luận về MHHTH cho bài toán thực tiễn ban đầu. 13
3.4. Một số ví dụ minh họa việc vận dụng các bước thiết lập mô hình hóa các bài toán hình học không gian ứng dụng trong thực tiễn để phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh Dạng 1. Một số bài toán thực tế liên quan đến mô hình hình chóp a, Kiến thức cần nắm về hình chóp - Hình chóp là một khối đa diện có mặt đáy là đa giác lồi, các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh là đỉnh của hình chóp. - Có nhiều loại hình chóp khác nhau, tên gọi quy định theo đa giác mặt đáy. Chẳng hạn, hình chóp tam giác sẽ có đáy là hình tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác lồi,… - Đường cao là đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy. - Nếu các cạnh bên bằng nhau hay hợp với mặt đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Nếu các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau hay các đường cao của các mặt bên xuất phát từ đỉnh hình chóp bằng nhau thì chân đường cao là đường tròn nội tiếp đáy. - Nếu hình chóp có mặt bên hay mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp sẽ là đường cao của mặt đó. - Các loại hình chóp thường gặp: Trong thực tế, chúng ta thường gặp những kì quan hay công trình, vật dụng có hình dạng hình chóp đa giác đều hay hình chóp cụt đều. * Hình chóp đa giác đều: Là hình chóp có đáy là các đa giác đều ( ví dụ, tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều,..) các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Tâm đáy trùng với chân đường cao. * Hình chóp cụt: Là phần chóp nằm giữa đáy và thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với đáy của hình chóp. Hai đáy là hai đa giác đồng dạng, các mặt bên là các hình thang, các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm. Nếu được cắt từ một hình chóp đều thì ta được một hình chóp cụt đều, khi đó các bên là các hình thang cân bằng nhau. - Các công thức liên quan đến hình chóp: * Diện tích xung quanh của hình chóp đa giác đều: S xq  p.d Trong đó S xq : là diện tích xung quanh, p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn ( nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy). 14
* Diện tích toàn phần: Stp  Sxq  Sđáy. * Thể tích khối chóp: V = 1/3.Sđáy. h.(V là thể tích khối chóp, h là chiều cao). 1 * Diện tích xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều: S xq  4.  a  b  .h  2  a  b .h 2 ( a, b lần lượt độ dài cạnh hai đáy, h là chiều cao của mặt bên). * Diện tích toàn phần của hình chóp cụt đều: Stp  S xq  S dl  S dn , ( Sdl , Sdn lần lượt là diện tích đáy lớn và diện tích đáy bé của hình chóp cụt đều). 1 * Thể tích khối chóp cụt đều: V  h.  a2  ab  b2  , ( a, b lần lượt độ dài cạnh hai đáy, h 3 là chiều cao khối chóp cụt). b, Bài tập liên quan Ảnh chụp lại từ trang hanoiled.com Ví dụ 1: Hiện nay, trong các nhà hàng, quán cafe, phòng khách,… rất ưa chộng treo đèn chùm thả phân tử, làm cho không gian nhìn đẹp sang trọng, lịch sự. Biết rằng, loại đèn thả phân tử khung hình tứ diện đều có cạnh khung dài 30cm . Chủ nhà muốn dán mỗi mặt của khung một loại gương phản quang sơn màu khác nhau giúp phòng thêm lung linh hơn, giá tiền gương phản quang là 300 ngàn đồng một mét vuông, chủ nhà muốn dán 3 đèn thì phải chi thêm bao nhiêu tiền? Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một số câu hỏi gợi ý như: - Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Khung đèn có hình dạng? Cạnh là bao nhiêu? Từ cạnh ta xác định được gì? Tính chiều cao mỗi mặt của khung đèn cần xác định gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và xác định được chiều cao mỗi mặt của khung đèn. Bước 2: GV giúp SV phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học: “Cho tứ diện đều ABCD cạnh 30cm . Tính diện tích toàn phần của tứ diện?”. Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. + Vì tứ diện ABCD đều nên 4 mặt của tứ diện là 4 tam giác đều bằng nhau. 15
1 + Gọi M trung điểm của BC  AM  BC và MB  BC  15  cm  . 2 1 1 + S ABC  AM .BC  .15.30  225  cm 2   S tp  4.S ABC  4.225  900  cm 2  . 2 2 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. 900 Trả lời: Chủ nhà cần chi thêm một khoản là: 3. .300  81 (ngàn đồng). 10000 Ảnh chụp lại từ trang https://m.vietnamnet.vn Ví dụ 2: Giả sử Bảo tàng Hà Nội với kết cấu “kim tự tháp ngược” có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều với phần đỉnh chìm dưới mặt đất. Chiều cao 30,7m tính từ mặt đất (gồm 4 tầng nổi), độ sâu 11,5m (2 tầng hầm), diện tích sàn tầng một là 12.000m 2 . Một chủ quán có ý định thuê mặt bằng tầng thượng để kinh doanh cafe sân vườn, giá thuê 1 m 2 là 100 ngàn đồng/ năm, tiền lãi từ lượng khách quen biết cũ của chủ quán khoảng 28 đến 30 triệu mỗi tháng, chưa kể lượng khách lạ. Hỏi chủ quán đó cần chi khoảng bao nhiêu tiền thuê mặt bằng trong 2 năm (Biết rằng tổng tiền lãi bình quân gấp 1,5 lần tiền thuê là chủ quán sẽ thuê để đổi địa điểm, không kể chi phí đầu tư ban đầu vì đã có sẵn ở quán cũ). Theo em, chủ quán có nên thuê tầng thượng để đổi địa điểm không? Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một số câu hỏi gợi ý như: - Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Hình dạng của bảo tàng? Cạnh của sàn tầng 1 là bao nhiêu? Từ cạnh ta xác định được gì? Xác định được cạnh của tầng thượng không? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin vẽ mô hình minh họa và xác định được cạnh của đáy. Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học: “Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD . Thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng   song song với đáy là tứ giác MNPQ có diện tích 12.000 m 2 . Biết khoảng cách từ (MNPQ) tới ( ABCD) là 30,7m, từ (MNPQ) tới đỉnh S là 11,5m. Tính diện tích mặt đáy?” Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Từ giả thiết suy ra ABCD và MNPQ là hình vuông, MN  12.000  40 15  m  . 16
MN 11,5 11,5 Ta có (MNPQ) // ( ABCD)  MN // AB    AB 30, 7  11,5 42, 2 11,5 11,5 2300 15  2300 15  2  AB  .MN  .40 15   m ; S ABCD  AB   2    1782,3  m   2 42,2 42,2 211  211   Số tiền cần trả để thuê mặt bằng trong 2 năm là: 1782,3.2.0,1  356,5 (đồng). 560 + Tỉ số tiền lãi và tiền thuê :  1,57 . 356,5 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Trả lời:  356,5 triệu đồng và nên thuê để đổi địa điểm. Ảnh chụp lại từ trang kienviet.net Ví dụ 3. Giả sử Bảo tàng Hà Nội với kết cấu “kim tự tháp ngược” có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều với phần nổi trên mặt đất là một hình chóp cụt đều, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 600 . Chiều cao 30, 7m tính từ mặt đất (gồm 4 tầng nổi), diện tích sàn tầng một là 12.000m 2 . Người ta dự định lắp điều hòa cho toàn bộ không gian phía trong, phần nổi trên mặt đất, giả thiết tường mỏng không đáng kể. Ước tính 12.500m3 cần lắp một điều hòa công suất lớn, hỏi cần phải lắp ít nhất bao nhiêu cái điều hòa như vậy để đảm bảo yêu cầu làm mát? Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một số câu hỏi gợi ý như: - Hình dạng bảo tàng? Chiều cao? Tính đường chéo AC nghĩa là cần xác định gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và xác định được: Bảo tàng có hình dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy bé là hình vuông có diện tích 12.000m 2 , khoảng cách gữa hai đáy bằng 30, 7m ; Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 600 . Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học: “Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.MNPQ , các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 , đáy bé MNPQ có diện tích 12.000m 2 , chiều cao 30, 7m . Tính thể tích của hình chóp cụt ABCD.MNPQ ?” Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. + Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M và N trên mặt phẳng đáy lớn ( ABCD)  H , K thuộc AC ; AH  CK  x và MP  HK  AC  2 x  MP . 17
+ Ta có MN  12.000  40 15  m   MP  40 15. 2  40 30  m  ; MH 30, 7 30,7 30,7 30,7 tan 600    x   AC  2.  40 30  254,54 m AH x tan600 3 3 AC 1  AB  2 3    180  m  V  .30,7(12.000  40 15.180 1802 )  739721,4 m3 . V - Ta có:  59 nên phải lắp ít nhất 59 cái điều hòa. 12500 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Trả lời: Phải lắp ít nhất 59 cái điều hòa. Ảnh chụp lại từ trang tuoitre.vn Ví dụ 4: Giả sử đài phát thanh ‘Kim tự tháp ngược Slovakia’ có hình dạng là hình chóp tứ giác đều, chiều cao từ mặt đất (đỉnh chóp) đến sàn tầng thượng (đáy) khoảng 70m ( không tính chiều cao của cột đăng ten). Diện tích của tầng thượng khoảng 900m 2 . Người ta quyết định lắp 2 camera với độ phân giải cao ở chính giữa mặt trước và mặt sau của tòa nhà. Camera ở mặt trước cách mặt đất 30m , ở mặt sau cách mặt đất 50m . Hệ thống wifi chung của 2 camera được gắn sát mái của tầng thượng. Biết rằng camera hoạt động tốt nhất khi ở gần hệ thống phát wifi nhất. Em hãy xác định vị trí gắn hệ thống phát wifi để 2 camera cùng hoạt động tốt nhất (Giả thiết đường truyền từ hệ thống wifi đến 2 camera không bị cản trở gì, tường và trần bằng phẳng, dày không đáng kể)? Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin qua một số câu hỏi gợi ý như: - Hình dạng tòa nhà? Hãy gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ từ đó tìm tọa độ các điểm liên quan? Camera gắn ở vị trí chính giữa mặt trước và mặt sau, wifi gắn ở vị trí bất kỳ trên trần tầng thượng. Từ các số liệu ta xác định được gì? - Tính khoảng cách từ các camera đến trần tầng thượng tức là xác định gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin gắn được hệ trục tọa độ và xác định được vị trí của các camera. 18
Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học: “Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có chiều cao 70m , diện tích đáy 900m 2 . I , J lần lượt là trung điểm của AB; CD . Trên SI lấy điểm M , trên SJ lấy điểm N sao cho khoảng cách từ M đến ( ABCD) là 40m , từ N đến ( ABCD) là 20m . Xác định vị trí của điểm K trên ( ABCD) sao cho KM  KN bé nhất.” Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gắn hệ toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ trùng với tâm O của đáy ABCD , trục Ox trùng với đường thẳng IJ , Oy trùng với đường thẳng đi qua trung điểm của BC và AD , Oz trùng với đường thẳng SO (hình vẽ). - Điểm M , N thuộc mặt phẳng ( SIJ ) chính là mặt phẳng Oyz nên yM  yN  0 ; 3 45 5 75 MT  40; NR  20  zM  40; z N  20 ; xM  .15  ; xN   .15   7 7 7 7  45   75   M   ; 0; 40 ; N  ; 0; 20 . P là điểm đối xứng của N qua ( ABCD) tức là  7   7   75  mp Oxy  P   ;0; 20  . Khi đó,  7  MK  KN  MK  KP  MP  MK  KN nhỏ nhất khi M , K , P thẳng hàng, hay K là giao điểm của MP và Ox  yK  z K  0. x K  OK  K   xK ;0;0 . Đường thẳng MP có phương   x  45  2t  7  35 trình:  y  0 chứa điểm K  xK    5  K  z  40  7t 7    nằm trên OJ sao cho KO  5m , KJ  10m . Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Trả lời: K nằm trên OJ sao cho KO  5m , KJ  10m . 19
Bài tập luyện tập Câu 1. Có 3 bình trồng hoa hình chóp cụt tứ giác đều với kích thước hai đáy như nhau, đáy lớn có diện tích 625cm 2 , đáy nhỏ có diện tích 225cm 2 , chiều cao lần lượt là 40cm , 50cm và 60cm (hình bên). a, Người ta có ý định sơn lại xung quanh 3 bình màu khác, hãy tính số lượng sơn cần sử dụng, biết 1kg sơn có thể sơn 2 được 6 m ? Ảnh chụp lại từ trang b, Các bình trên được đổ đất mùn để trồng hoa, biết đất đổ binhduong247.vn đầy ngang bình, bình dày không đáng kể, đất nặng 180kg / m3 . Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg đất mùn để đổ đầy 3 bình trên? Câu 2. Một địa điểm du lịch có ý định xây dựng một rạp chiếu phim 3D hình kim tự tháp có dạng là một khối chóp tứ giác đều, cạnh bên là một số dương a không đổi. Em hãy giúp kiến trúc sư xác định độ nghiêng của cạnh bên so với đáy để không gian bên trong của nó lớn nhất? Ảnh chụp lại từ trang vtv.vn Câu 3. Kim tự tháp Louver được xây dựng ngay lối vào của bảo tàng Louver tại thủ đô Paris nước Pháp. Phần nổi của kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao và cạnh bên của kim tự tháp lần lượt là 21m và 35m theo tỉ lệ thu nhỏ từ kim tự tháp nổi tiếng Kheops của Ai Cập. Bốn mặt (trừ mặt đáy) phủ bằng kính kim cương phẳng trong suốt được đặt sản xuất riêng biệt. a, Cần bao nhiêu m 2 kính để phủ lên hình chóp? b, Do dịch bệnh phức tạp, lượng khách tham quan nhiều, người ta dự định lắp 2 thiết bị “UVGI vùng trên căn phòng” chiếu xạ diệt khuẩn bằng tia cực tím. Thiết bị thứ nhất gắn bên trong, chính giữa mặt trước kim tự tháp, cách mặt đất 5m , thiết bị thứ hai nằm chính giữa tầng hầm cách mặt đất 3m . sàn tầng hầm cách mặt đất 6m (hình vẽ). Hai khách tham quan bất kì di chuyển dưới sàn tầng hầm luôn cách nhau 2m . Giả sử hiệu số khoảng cách từ người thứ nhất đến thiết bị thứ nhất và người thứ 2 đến thiết bị thứ 2 có giá trị tuyệt đối tối đa lớn hơn 17m nhỏ hơn 18m thì an toàn và có hiệu quả đối với 20