Các bài tập phần số phức

Chia sẻ: Đỗ Thị Bích Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

246
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài1: Biểu diễn các số phức sau và các số phức của chúng trên mặt phẳng phức 2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i Bài2: Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức Bài3: Cho 2 số phức : z = a+bi ; z' = a'+b'i Với điều kiện nào giữa a,b,a',b'

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài tập phần số phức

CÁC BÀI TẬP PHẦN SỐ PHỨC (Biên soạn :Nguyễn Văn Ngọc NC2) Bài1: Biểu diễn các số phức sau và các số phức của chúng trên mặt phẳng phức 2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i Bài2: Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt ph ẳng ph ức Bài3: Cho 2 số phức : z = a+bi ; z' = a'+b'i Với điều kiện nào giữa a,b,a',b' thì a/ Tổng , hiệu của z và z' là số thực ; là số thuần ảo b/ Tích , thương của z và z' là số thực ; là số thuần ảo c/ z2 , z3 là số thực ; là số thuần ảo Bài4: Cho z và z' là hai số phức bất kì . Chứng minh rằng : ( z + z ') = z + z ' ( z − z ') = z − z ' z. z ' = z . z ' � � z z = � � (z ' 0) �z'� z' Bài5: Thực hiện các phép tính (m,a,b >0) m a+i a a+i b a/ b/ c/ i m a −i a i a Bài6: Cho số phức z = a+bi . Hỏi a,b phải thoả mãn điều ki ện gì để a/Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = -2 và x = 2 b/Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = -3i và y = 3i c/Điểm biểu diễn cúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2 Bài7: Phân tích ra thừa số phức a/ a2 + 1 b/ 2a2 + 3 c/ 4a2 + 9b2 d/ 3a2 + 5b2 Bài8: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau a/ 1 + i 3 b/ 2 + i 2 c/ 3 − i d/ 3 + 0i Bài9: Viết dưới dạng đại số các số phức sau π π c/ 3 ( cos120 + i sin120 ) o o a/ cos 45o + i sin 45o b/ 2(cos + i sin ) 6 6 Bài10: Thực hiện các phép tính a/ 3 ( cos120 + i sin120 ) (cos 45o + i sin 45o ) b/ 2 ( cos18 + i sin18 ) (cos 72o + i sin 72o ) o o o o π π π π cos85o + i sin 85o c/ 5(cos + i sin )3(cos + i sin ) d/ 6 6 4 4 cos 40o + i sin 40o 2π 2π 2(cos + i sin ) 3 3 2(cos 45o + i sin 45o ) e/ f/ π π 3(cos15o + i sin15o ) 2(cos + i sin ) 2 2 π π 5 1 1 g/ (cos − i sin )i .(1 + 3i ) h/ z + 2008 biết z + = 1 7 2008 3 3 z z Bài11: Tìm vị trí của những điểm biểu diễn các số phức a/ Có module bằng 2 ; 3 π b/ Có acgumen bằng 30o , 60o , 135o , - 4 Bài12: Áp dụng công thức Moivre để tính
12 �1 3� a/ (cos15 + i sin15 ) o o 5 b/ 2 ( cos 30 + i sin 30 o ) o 7 c/ (1 + i ) 16 d/ � + i � �2 2 � Bài13: Tìm các căn bậc 5 của 1.CMR: Tổng các giá trị căn này bằng 0 Bài14: a/Hãy tìm các căn bậc 2 của các số phức : 3+4i ; 1 - i ; -2 + 3i b/Hãy tìm các căn bậc 3 của số phức : 1 − i 3 c/Hãy tìm các căn bậc 4 của các số phức : -1 ; 3+i Bài15: Hãy giải các phương trình sau trong tập C a/ 3x 2 − x + 2 = 0 x 2 − 3x + 1 = 0 3 2 x 2 − 2 3x + 2 = 0 b/ ix 2 + 2ix − 4 = 0 x 2 − (3 − i ) x + 4 − 3i = 0 3ix 2 − 2 x − 4 + i = 0 c/ 3x 3 − 24 = 0 2 x 4 + 16 = 0 ( x + 2)5 + 1 = 0 Bài16: Giải các phương trình sau với ẩn là z 2+i −1 + 3i a/ z= b/ z − 2 z = −1 − 8i c/ 2 z − 3z = 1 − 12i 1− i 2+i 1 e/ z + z = 0 2 d/ ((2 − i ) z + 3 + i )(iz + ) = 0 f/ z 2 + z = 0 2i 4 2 �+i� z g/ z 2 + z = 0 h/ z + 2 z = 2 − 4i k/ � �= 1 � −i � z l/ z .sin(Re z ) = 0 2 m/ z.cos (Im z ) = 0 2 n/ ( z + 1)(e − 1) = 0 2 Rez o/ ( z 2 − 1). tan(Im z ) = 0 (Trong đó Rez và Im z lần lượt là phần thực và phần ảo của s ố ph ức z) Bài17:Giải các hệ phương trình sau z − 12 5 z −1 z1 + z2 + z3 = 1 = =1 z − 8i 3 z −i a/ b/ c/ z1 + z2 + z3 = 1 z−4 z − 3i =1 =1 z1. z2 . z3 = 1 z −8 z +i z1. z2 = −5 − 5i z1 + z2 = 4 + i z13 + z2 = 0 5 d/ e/ g/ z12 + z2 = −5 + 2i 2 z12 + z2 = 5 − 2i 2 z12 .( z2 ) 4 = 1 Bài18:Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thoả mãn m ỗi điều kiện sau: a/ z + 1 < 1 b/ 1 < z − i < 2 c/ 2i − 2 z = 2 z − 1 d/ 2iz − 1 = 2 z + 3 1 Bài19*:Cho biết z + = a .Tìm số phức có module lớn nhất , module nhỏ nhất z i i Đáp số : Các số phức cần tìm là : z = ( a + a + 4) và z = ( a − a 2 + 4) 2 2 2 Bài20: a/Trong các số z thoả mãn : 2 z − 2 + 2i = 1 hãy tìm số z có moidule nhỏ nhất b/Trong các số z thoả mãn : z − 5i 3 hãy tìm số z có acgumen dương nhỏ nhất 2π 2π Bài21: Hãy tính tổng S = 1 + z + z 2 + z 3 + ... z n −1 biết rằng z = cos + i sin n n Bài22: Giải các phương trình sau : a/ z = z n −1 ( n N ) b/ ( z + a )�ι z n ( n N , a R, a =n 0)
D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vÒ sè phøc C©u1: Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sau: �1 � � 5 � 2 a. (2 - i) + � − 2i � b. ( 2 − 3i ) − � − i � �3 � � 4 � 3 � 1 ��3 �1 � 1 ��5 3 �� 3 4 � c. � − i � � + 2i � i 3 + − − d. � + i � � + i � � 3 − i � − − + − � 3 ��2 �2 � 5 ��4 5 �� 5 � 4 C©u2: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: 3 �1 � a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i) 2 c. � − 3i � �2 � C©u3: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: 1+ i 2 − 3i 3 2 + 3i a. b. c. d. 2−i 4 + 5i 5−i ( 4 + i ) ( 2 − 2i ) C©u4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau (víi Èn lµ z) trªn tËp sè phøc a. ( 4 − 5i ) z = 2 + i b. ( 3 − 2i ) ( z + i ) = 3i 2 � 1 � 1 3 + 5i b. z � − i � 3 + i 3 = d. = 2 − 4i � 2 � 2 z z=0 C©u5: Cho hai sè phøc z, w. chøng minh: z.w = 0 ⇔ w =0 C©u6: Chøng minh r»ng mäi sè phøc cã m«®un b»ng 1 ®Òu cã thÓ viÕt díi x +i d¹ng víi x lµ sè thùc mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh x −i D¹ng 2: T×m tËp hîp ®iÓm biÓu diÔn sè phøc tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tríc C©u1: T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tháa m·n: a. z + 3 = 1 b. z + i = z − 2 − 3i C©u2: T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tháa m·n: a. z + 2i lµ sè thùc b. z - 2 + i lµ sè thuÇn ¶o z − 3i c. z.z = 9 d. = 1 lµ sè thùc z+i c¨n bËc hai cña Sè phøc. ph¬ng tr×nh bËc hai D¹ng 1: tÝnh c¨n bËc hai cña sè C©u1: TÝnh c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: 4 5 a. -5 b. 2i c. -18i d. − − i 3 2 D¹ng 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai C©u1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc a. x2 + 7 = 0 b. x2 - 3x + 3 = 0 c. x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d. x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e. ix2 + 4x + 4 - i = 0 g. x2 + (2 - 3i)x = 0 C©u2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc ( a. ( z + 3i ) z − 2z + 5 = 0 2 ) b. ( z + 9 ) ( z ) 2 2 − z +1 = 0 c. 2z3 − 3z 2 + 5z + 3i − 3 = 0 C©u3: T×m hai sè phøc biÕt tæng vµ tÝch cña chóng lÇn lît lµ: a. 2 + 3i vµ -1 + 3i b. 2i vµ -4 + 4i C©u4: T×m ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè thùc nhËn α lµm nghiÖm: a. α = 3 + 4i b. α = 7 − i 3 C©u5: T×m tham sè m ®Ó mçi ph¬ng tr×nh sau ®©y cã hai nghiÖm z1, z2 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®· chØ ra: a. z2 - mz + m + 1 = 0 ®iÒu kiÖn: z1 + z 2 = z1z 2 + 1 2 2 b. z2 - 3mz + 5i = 0 ®iÒu kiÖn: z1 + z3 = 18 3 2 Bµi tËp: C©u1: TÝnh c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: 1 2 a. 7 - 24i b. -40 + 42i c. 11 + 4 3 i d. + i 4 2 C©u2: Chøng minh r»ng: a. NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cña hai sè phøc a + bi th× x - yi lµ c¨n bËc hai cña sè phøc a - bi x y b. NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cña sè phøc a + bi th× + i lµ c¨n bËc hia k k a b cña sè phøc 2 + 2 i (k ≠ 0) k k C©u3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a. z2 + 5 = 0 b. z2 + 2z + 2 = 0 c. z2 + 4z + 10 = 0 d. z2 - 5z + 9 = 0 e. -2z2 + 3z - 1 = 0 g. 3z2 - 2z + 3 = 0 C©u4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a. (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0 b. (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0 c. (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0 d. z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0 C©u5: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: 2 � + i � 4z + i 4z �− 5 +6=0 2 a. (z + 2i) + 2(z + 2i) - 3 = 0 b. � �z − i � z−i C©u6: T×m ®a thøc bËc hai hÖ sè thùc nhËn α lµm nghiÖm biÕt: a) α = 2 - 5i b. α = -2 - i 3 c. α = 3 − i 2
C©u7: Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ R) cã nghiÖm phøc α ∉ R th× α còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã. C©u8: Cho ph¬ng tr×nh: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0 H·y x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña tham sè m sao cho ph¬ng tr×nh a. ChØ cã ®óng 1 nghiÖm phøc b. ChØ cã ®óng 1 nghiÖm thùc c. Cã ba nghiÖm phøc C©u9: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a. z2 + z + 2 = 0 b. z2 = z + 2 c. (z + z )(z - z ) = 0 d. 2z + 3 z = 2 + 3i C©u10: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau biÕt chóng cã mét nghiÖm thuÇn ¶o a. z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0 b. z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0 C©u11: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: 1 1 1 1 x + 2y = 1 − 2i + = − i a. b. x y 2 2 x + y =3−i x 2 + y 2 = 1 − 2i x + y =5−i x+y=4 c. d. x 2 + y 2 = 8 − 8i xy = 7 + 4i x + y =5−i x + y =1 e. f. x 2 + y 2 = 1 + 2i x 3 + y3 = −2 − 3i x 2 + y 2 = −6 x + y = 3 + 2i g. 1 1 2 h. 1 1 17 1 + = + = + i x y 5 x y 26 26