CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC

Chia sẻ: Lotus_3 Lotus_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

1.237
lượt xem 69
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của một đoạn thẳng. - Rèn luyện kĩ năng vẽ hình dùng thước, êke, compa. - Biết vận dụng các kiến thức lí thuyết vào giải các bài toán chứng minh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC A. Mục tiêu: - Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của một đoạn thẳng. - Rèn luyện kĩ năng vẽ hình dùng thước, êke, compa. - Biết vận dụng các kiến thức lí thuyết vào giải các bài toán chứng minh. B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài C. Bài tập: Tiết 33: Bài 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, A/M/ là đường trung tuyến của tam giác A/B/C/. biết AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A/B/C/ bằng nhau. A Giải: Xét ABC và  A/B/C/ có: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C A/ (Có AM là trung tuyến của BC và A/M/ là trung tuyến của B/C/) AM = A/M/ (gt) / / / ABM   A B M (c.c.c) Suy ra B = B/ B/ M/ C/ Vì có AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trên) Suy ra: ABC   A/B/C/ Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) trung tuyến AM, tia đối của tia MA lấ y điể m D sao cho MD = MA.
a. Tính số đo ABM b. Chứng minh ABC  BAD c. So sánh: AM và BC Giải: a. Xét hai tam giác AMC và DMB có: B D MA = MD; MC = MB (gt) M1 = M2 (đối đỉnh) M Suy ra AMC  DMB (c.g.c)  MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mà BA  AC (A = 900) A C 0  BA  BD  ABD = 90 b. Hai tam giác vuông ABC và BAD có: AB = BD (do AMC  DMB c/m trên) AB chung nên ABC  BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau) c. ABC  BAD 1 1  BC = AD mà AM = AD (gt) Suy ra AM = BC 2 2 Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng CN > BM. Giải: Gọi G là giao điểm của BM và CN Xét ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC 2 2 Suy ra Gb = BM; GC = CN 3 3 Vẽ đường trung tuyến AI của ABC A Ta có: A; G; I thẳng hàng
Xét AIB và AIC có: AI cạnh chung, BI = IC G AB < AC (gt)  AIB < AIC Xét GIB và GIC có B I C GI cạnh chung; BI = IC AIC > AIB  GC > GB  CN > BM Bài 4: Cho tam giác ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến và CN > BM. Chứng minh rằng AB < AC Giải: A Gọi G là giao điểm của BM và CN  ABC có: BM và CN là hai đường trung tuyến N M Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC G 2 2 Suy ra GB = BM; GC = CN 3 3 Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC B I C thì I đi qua G (Tính chất ba đường trung tuyến) 2 2 Ta có: CN > BM mà GB = BM; GC = CN nên GB < GC 3 3 Xét GIB  GIC có: GI cạnh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC Xét AIB và AIC có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Tiết 34: Bài 5: Trên hình bên có AC là tia phân giác góc BAD và CB = CD Chứng minh: ABC = ADC B Giải: H Vẽ CH  AB (H  AD) A C
CK  AD (K  AD) C thuộc tia phân giác BAD K D Do đó: CH = CK Xét CHB (CHB = 900 ) Và tam giác CKD (CKD = 900) Có CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CHB  CKD (cạnh huyền - góc vuông)  HBC = KDC  ABC = ADC Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC tại C kẻ đường thẳng song song với tia Ax, nó cắt tiâ đối của tia AB tại D. Chứng minh: xAB = ACD = ADC Giải: D Vì Ax là tia phân giác của góc BAC Nên xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt bởi đường thẳng AC A hai góc xAC và ACD là 2 góc so le trong nên xAC = ACD (2) x hai góc xAB và ADC là 2 góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So sánh (1); (2); (3) ta có: xAB = ACD = ADC Bài 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx của góc B, Bx cắt tia AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt BC tại N. Từ N kẻ tia NY // Bx. Chứng minh: B a. xAB = BMN b. Tia Ny là tia phân giác của góc MNC N Giải:
a.Trong tam giác ABC tại đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx là tia phân giác của góc B) A M C BMN = ABx (2 góc so le trong vì MN // BA) Vậy xBC = BMN x y b. BMN = MNy (2 góc so le trong vì Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị vì Ny // Bx) Vậy MNy = yNC mà tia Ny là tia nằm giữa hai tia NM và NC Do đó: Ny là tia phân giác của MNC Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A và B. Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: Ba phân giác củam một tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân giác của góc C. Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 góc so le trong) A C1 = C2 nên C2 = I2 Do đó: NIC cân và NC = NI (1) M N Chứng minh tương tự ta có: MB = MI (2) Từ (1) và (2) ta có: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Tiết 35: Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 900) các đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnh BC Giải: Vì D là giao điểm của đường trung trực của các cạnh AB và AC nên 2 tam giác A DAB và DAC là cân và các góc ở đáy của mỗi tam giác đó bằng nhau.
DBA = DAB và DAC = DCA Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800 Từ đó suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng Hơn nữa vì DB = DC nên D là trung điểm của BC Bài 10: Cho hai điểm A và D nằm trên đường trung trực AI của đoạn thẳng BC. D nằm giữa hai điể m A và I, I là điểm nằm trên BC. Chứng minh: a. AD là tia phân giác của góc BAC b. ABD = ACD A Giải: a. Xét hai tam giác ABI và ACI chúng có: AI cạnh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC) B I C Vậy ABI  ACI (c.g.c)  BAI = CAI Mặt khác I là trung điểm của cạnh BC nên tia AI nằm giữa hai tia AB và AC Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC b. Xét hai tam giác ABD và ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên)
Vậy ABD  ACD (c.g.c)  ABD = ACD (cặp góc tương ứng) Bài 11: Hai điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, N là trung điể m của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia NM cxác định M/ sao cho MN/ = NM a. Chứng minh: AB là ssường trung trực của đoạn thẳng MM/ b. M/A = MB = M/B = MA Giải: a. Ta có: AB  MM/ (vì MN là đường trung trực của đoạn M thẳng AB nên MN  AB ) Mặt khác N là trung điểm của MM/ (vì M/ nằm trên tia đối của tia NM và NM = NM/) A N B Vậy AB là đường trung trực của đoạn MM/. b. Theo gả thiết ta có: MM/ là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB; M/B = M/A M/ Ta lại có: AB là đường trung trực của đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Từ đó suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC. Xác định điểm D trên cạnh AC sao cho : DA + DB = AC Giải: Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại D D là điểm cần xác định A Thật vậy Ta có: DB = DC (vì D thuộc đường trung D trực của đoạn thẳng BC) Do đó: DA + DB = DA + DC
Mà AC = DA + DC (vì D nằm giữa A và C) B C Suy ra: DA + DB = AC Tiết 36: Bài 13: a. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác ABc. Chứng minh rằng CKB = CAH b. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH và BK là các đường cao Chứng minh rằng CBK = BAH Giải: a. Trong tam giác AHC và BKC có: K CBK và CAH đều là góc nhọn Và có các cạnh tương ứng vuông góc với nhau A CB  AH và BK  CA Vậy CBK = CAH b. Trong tam giác cân đã cho thì đường cao AH B H C cũng là đường phân giác của góc A A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH và CBK là hai góc nhọn và K có các cạnh tương ứng vuông góc nên CAH = CBK. Như vậy BAH = CBK B H C Bài 14: Hai đường cao AH và BK của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại D. a. Tính HDK khi C = 500
b. Chứng minh rằng nếu DA = DB thì tam giác ABC là tam giác cân. Giải: A Vì hai góc C và ADK đều là nhọn và có các K cạnh tương ứng vuông góc nên C = ADK Nhưng HDK kề bù với ADK nênhai góc C và HDK là bù nhau. Như vậy HDK = 1800 - C = 1300 b. Nếu DA = DB thì DAB = DBA B H C Do đó hai tam giác vuông HAB và KBA bằng nhau Vì có cạnh huyền bằng nhau và có một góc nhọn bằng nhau Từ đó suy ra KAB = HBA hai góc này cùng kề với đáy AB của tam giác ABC Suy ra tam giác ABC cân với CA = CB Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A phân giác AM. Kẻ đường cao BN cắt AM tại H. a. Khẳng định CN  AB là đúng hay sai? A. Đúng B. Sai b. Tính số đo các góc: BHM và MHN biết C = 390 A. BHM = 1310; MHN = 490 C. BHM = 1410; MHN = 390 B. BHM = 490; MHN = 1310 D. BHM = 390; MHN = 1410 Giải: A a. Chọn A vì AM  BC tam giác ABC câb tại A N Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC H Do đó CH  AB b. Chọn D B M C 0 Ta có: BHM = C = 39 (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc và một góc nhọn, một góc tù) Vậy ta tìm được BHM = 390; MHN = 1410
Bài 16: Cho góc xOy = 600 điểm A nằ m trong góc xOy vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AC, vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? b. Tính số đo góc BOC A. 600; B. 900; C. 1200; D. 1500 Giải: a. Chọn A B Nhận xét là: x OA = OB vì Ox là đường trung trực của AB OA = OC vì Oy là đường trung trực của AC Do đó: OB = OC b. Chọn C. O A Nhận xét là: Tam giác OAB cân tại O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân tại O nên O3 = O4 y Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 C Vậy ta có: BOC = 1200 Bài 17: Chứng minh rằng trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn trung tuyến ứng với cạnh nhỏ. Giải: Xét tam giác ABC các đường trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần đi chứng minh CP > BN G
Thật vậy Với hai tam giác ABM và ACM B M C Ta có: MB = MC (vì M là trung điểm của BC) AM chung: AB < AC do đó: M1 < M2. Với hai tam giác GBM và GCM ta có: MB = MC (M là TĐ của BC); GM chung 2 2 Do đó: GB < GC  GB < GC  BN < CP 3 3