Cách nhìn mới về tiến trình dạy học
khái niệm toán học
Các khái niệm cơ sở
Cơ chế hoạt động của một khái niệm
Cơ chế công cụ
Một khái niệm (KN) hoạt động dưới dạng công cụ (hay cơ chế
công cụ) nếu nó được sử dụng như là một phương tiện để giải
quyết một vấn đề nào đó.
Khái niệm có cơ chế “công cụ ngầm ẩn”, khi nó được sử
dụng một cách không ý thức bởi chủ thể, chủ thể không thể
trình bày hay giải thích được về việc dùng khái niệm.
Ngược lại, nếu chủ thể ý thức được về việc sử dụng khái
niệm và có thể trình bày hay giải thích nó, thì ta nói đến cơ
chế “công cụ tường minh”.
Ví dụ: Tại Cộng hòa Pháp, trong một tình huống bàn về diện
tích của một hình vuông ở lớp 7, trước câu hỏi: ”Có hay không
một hình vuông diện tích là 12?”, một học sinh trả lời: ”Nếu
cạnh là 3 cm thì diện tích là 9, còn nếu cạnh là 4 cm thì diện tích
là 16. Do đó, khi cạnh thay đổi từ 3 đến 4, phải có một thời điểm
mà diện tích là 12”.
Ở đây, học sinh đã dùng một cách ngầm ẩn khái niệm “hàm số
liên tục trên một khoảng” và tính chất của nó, nhưng không ý
thức về việc vận dụng này.
Cơ chế đối tượng
Khái niệm có cơ chế “đối tượng”, khi mà nó là đối tượng nghiên
cứu được định nghĩa, được khai thác các tính chất,...
Hình thức thể hiện của khái niệm
Y.Chevallard (1991) phân biệt ba kiểu khái niệm khác nhau:
Khái niệm ”protomathématique” (tạm dịch là ”tiền toán
học”): đó là các khái niệm có tên, không có định nghĩa.
Chúng chỉ hiện diện một cách ngầm ẩn (khái niệm hàm số
liên tục ở ví dụ trên).
Khái niệm ”paramathématique” (tạm dịch là ”gần toán
học”): có tên nhưng không có định nghĩa. Chúng là công cụ
của toán học, nhưng không phải là đối tượng nghiên cứu
(khái niệm ”tham số”,...).
Khái niệm ”mathématique” (tạm dịch là toán học”): có tên
và có định nghĩa. Chúng vừa là đối tượng vừa là công cụ
của hoạt động toán học.
Việc phân biệt các kiểu khái niệm như trên chỉ là tương đối, vì
nó phụ thuộc vào cấp độ, thời gian, phạm vi toán học, vào chủ
thể của hoạt động,...
