Cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi ĐH môn Toán - Phần 5

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

160
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi đh môn toán - phần 5', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi ĐH môn Toán - Phần 5

Bài t p t luy n 1 1 y = x 3 − ( m + 1) x 2 + 2 ( m 2 + m ) x − . 1. Cho hàm s nh m hàm s : 3 3 a) Tăng trên R b) Gi m trên (0;1) c) Tăng trên (-∞;2) dài b ng 3 d) Gi m trên o n có e) Tăng trên 2 kho ng (-∞;0) và (2; +∞) ( Cm ) : y = x3 + 3mx 2 + 3 ( −m2 + m + 1) x + m3 + 1 . Tìm m 2. Cho hàm s : a) (Cm) có i m c c i n m trên x=5 b) Hàm s tc c i và c c ti u t i nh ng i m có hoành >1 −14 xx i và c c ti u t i x1 và x2 sao cho: 1 + 2 = c) Hàm s tc c 5 x2 x1 ( Cm ) : y = x3 − 3x + 2 . 3. Cho hàm s a) Vi t phương trình ti p tuy n có h s góc nh nh t b) Vi t phương trình ti p tuy n i qua M(1;0) c) Tìm trên Ox nh ng i m mà t ók ư c trên C úng: ◊ m t ti p tuy n ◊ hai ti p tuy n ◊ Ba ti p tuy n ◊ hai ti p tuy n vuông góc v i nhau d) Tìm trên ư ng th ng x=1 nh ng i m mà t ók ư c trên C úng: ◊ m t ti p tuy n ◊ hai ti p tuy n ◊ Ba ti p tuy n e) Tìm trên (C) nh ng i m mà t ók ư c trên C úng 1 ti p tuy n. ( Cm ) : y = x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 . Tìm m 4. Cho hàm s (Cm) c t Ox t i b n di m phân bi t có hoàn lp thành c p s c ng. x3 + mx 2 − 1 = 0 5. Xác nh m phương trình có nghi m duy nh t: ( Cm ) : y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m2 − 1) x − m3 . Tìm m 6. Cho hàm s (Cm) c t Ox t i 3 i m phân bi t trong ó có úng 2 i m có hoành âm. 3 ( Cm ) : y = x + k ( x + 1) + 1 . Tìm k (∆) : y = x +1 7. Cho hàm s (Ck) ti p xúc v i ư ng th ng ( Cm ) : y = x3 − 3mx 2 + 4m3 . Tìm m (d ) : y = x 8. Cho hàm s (Cm) c t ư ng th ng t i A,B,C sao cho AB=BC. 2x + 1 ( Cm ) : y = 9. Cho hàm s . Ch ng t r ng ư ng th ng y=-x+m luôn luôn c t th t i hai i m x+2 phân bi t AB. Tìm m o n AB ng n nh t. ( 3m + 1) x − m2 + m ( Cm ) : y = (1) . Trong 10. Cho hàm s ó m là tham s khác 0: x+m th không i qua ∀m . a) Tìm nh ng i m mà b) Ch ng minh r ng th c a (1) luôn ti p xúc v i 2 ư ng th ng c nh. 3 2 ( Cm ) : y = ( m + 3) x − 3 ( m + 1) x − ( 6m + 1) x + m + 1 (1) . Ch 11. Cho hàm s ng minh r ng h th (Cm) luôn luôn i qua 3 i m c nh th ng hàng. 30
Bài VI: M t s d ng toán khác c n lưu ý. I/ Gi i h n: D ng toán này ã t ng xu t hi n trong thi i h c t r t lâu (năm 2002 – 2003) Tuy nhiên ã r t lâu không th y xu t hi n trong thi i h c. Tuy nhiên ta cũng nên chú ý n d ng toán này. làm bài d ng này là “ G i s h ng v ng b ng h s b t âu tôi xin trình bày phương pháp t ng quát nh”. 5 − x3 − 3 x2 + 7 lim Bài 1. Tìm x2 − 1 x →1 Gi i:  5 − x3 − 2 3 x2 + 7 − 2  5 − x3 − 3 x2 + 7 = lim   (1) lim − Ta có: x →1  x2 − 1  x2 − 1 x2 −1 x →1   − ( x 2 + x + 1) 5 − x3 − 2 1 − x3 −3 ( 2) = lim = lim = lim ( ) ( ) 2 ( x2 − 1) 5 − x3 + 2 x→1 ( x + 1) 5 − x3 + 2 8 x −1 x →1 x →1 3 x2 + 7 − 2 x2 − 1 1 1 ( 3) lim = lim = lim = ( x − 1)  3 ( x2 + 7 ) + 2 3 x2 + 7 + 4   x2 − 1 12 2 x →1 x →1 x →1 2 (x + 7) + 2 x + 7 + 4 2 3 2 2 3    −3 1 11 Thay (2),(3) vào (1) có: A = −= 8 12 24 Lưu ý: Trong l i gi i ta ã thêm s 2 vào t th c f(x). Có l b n ang t h i: ● T i sao ph i thêm s 2 ? ● Làm cách nào nh n ra s 2 ? S 2 là h ng t ã b xóa! Mu n làm d ng bài này, ta ph i khôi ph c nó. Mu n khôi ph c s 2 này ta làm như sau:  5 − x3 − c 3 x 2 + 7 − c  ∀c ∈ R luôn có: f ( x ) =   − B1:  x2 − 1 x2 − 1    f1 ( x ) = 5 − x 3 − c và B2: Trong các s c ó. Ta tìm s c sao cho x2-1 có cùng nhân t chung v i f 2 ( x ) = 3 x 2 + 7 − c . i u ó x y ra khi và ch khi c là nghi m c a tuy n:   f1 (1) = 0   c = 2  f 2 (1) = 0   ⇔  c = 6 ⇔ c = 2   ó chính là lí do t i sao 2 xu t hi n trong bài gi i.   c = 2  f1 ( −1) = 0    f −1 = 0  2( )   ây là vi c nên làm trong gi y nháp. Không nh t thi t trình bày trong bài làm. Qua ví d trên ta nêu lên thu t toán sau: f ( x) 0 F ( x) = Gi s có gi i h n g ( x) 0 31
f1 ( x ) + c f2 ( x ) − c f ( x) = + B1: Phân tích . g ( x) g ( x) α i ( i = 1; 2;...) B2: (Tìm c): G i là nghi m c a h g(x)=0  f1 (α i ) + c = 0  ( i = 1; 2;...) Khi ó c là nghi m c a h :   f1 (α i ) − c = 0  f1 ( x ) + c f2 ( x ) − c lim lim V i c tìm ư c thì và s ho c là d ng xác nh ho c là d ng quen thu c. g ( x) g ( x) x →α i x →α i Sau khi tìm c, vi c trình bày l i gi i như ã làm. BÀI T P ÁP D NG: 3 3x 2 − 1 + 2 x 2 + 1 A= lim ( d b 2002) 1 − cos x x →0 1 + 2 x − 3 1 + 3x B= lim x2 x →0 II/Phương trình và b t phương trình mũ và logarit: ây là d ng toán cũng r t thư ng xuyên xu t hi n trong thi. Nhìn chung, d ng toán này không khó. T t c các phép bi n i ch xoay quanh các công th c ã nêu trong sách giáo khoa. ph n này, tôi không nêu l i các công th c trên. Xin trình bày cách gi i c a 1 s thi g n ây. Bài làm qua 2 bư c: B1: t i u ki n. (N u i u ki n quá ph c t p thì có th n bư c 2 r i th nghi m vào i u ki n) B2: Bi n i phương trình hay b t phương trình v d ng ơn gi n cùng cơ s c 2v : • Mũ: Chia log b x log a x = Logarit: • log b a m log an x n = log a x n t = log a f ( x ) t n ph : phương trình h u t ho c phương trình mũ • f ( x) t=a phương trình h u t . Phương pháp hàm s • 2 x 2 −3 x +1 2 2 81.42 x −3 x +1 − 78.62 x −3 x +1 (1) + 16.9 ≤0 Bài 1. Gi i: ( ) 2 x 2 −3 x +1 2 x 2 − 3 x +1 2 x 2 − 3 x +1 2. 2 x 2 −3 x +1 6 9 3 3 (1) ⇔ 81 − 78   + 16   ≤ 0 ⇔ 81 − 78   + 16   ≤0 4 4 2 2 2 x 2 − 3 x +1 3 t t =  k: t>0 2  3 27  16t 2 − 78t + 81 ≤ 0 ⇔ t ∈  ;  Phương trình tr thành: 2 8  2 x 2 −3 x +1 3 3 27 ⇔ 1 ≤ 2 x 2 − 3x + 1 ≤ 3 ⇔ ≤  ≤ 2 2 8 32
 3  x ≥ 2  x ≥ 2 2 x 2 − 3x + 1 ≥ 1 2 x 2 − 3x ≥ 0  x ≤ 0   ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x ≤ 1  x ≤ 1 2 x − 3x + 1 ≤ 3 2 x − 3x − 2 ≤ 0    2  2  x ≥ 2  e x+ x −1 − e1+ x −1 ≤ x −1 Bài 2. Gi i b t phương trình: Gi i: u = x + x − 1   ⇔ u − v = x −1 t: v = 1 + x − 1  u v Phương trình tr thành: e − e = u − v ⇔ f (u ) ≤ f ( v ) f ( x ) = e x − x; x ≥1 Vi ⇒ f ' ( x ) = e x + 1 > 0 ⇒ f ( x ) tăng. u ≤ v ⇔ x + x − 1 ≤ 1 + x − 1 ⇔ x ≤ −1 Do ó ( ) log 2 1 + x = log 3 x Bài 3. Gi i phương trình: Gi i: log 3 x = t ⇔ x = 3t t t ( ) ( 3) = 2 log 2 1 + x = t ⇔ 1 + x = 2t ⇔ 1 + t Do ó: 2 t t 1  3 1  3 1  3 2 t t   +  =1⇔   +  =  +  2  2  2  2  2  2        t 1  3 t ⇔ f ( t ) = f ( 2 ) ⇔ t = 2 (Vì f ( x ) =   +   là hàm gi m) 2  2    ⇔t =2⇔ x=9 log x log 2 ( 4 x +1 − 8)  ≥ 1 (1) Bài 4. Gi i b t phương trình:   Gi i: 5 2( x −1) 4 x −1 − 8 > 0 ⇔ 2 > 23 ⇔ 2 ( x − 1) > 3 ⇔ x > K: 2 (1) ⇔ log x log 2 ( 4 − 8 ) ≥ log x x ⇔ log 2 ( 4 − 8) ≥ x ⇔ log 2 ( 4 x −1 − 8 ) ≥ log 2 2 x x +1 x −1    2 x ≤ 0 ( loai ) 4x x −1 x x −8 ≥ 2 ⇔ − 2 −8 ≥ 0 ⇔  x ⇔4 ⇔ x≥3 2 ≥ 8 4   x −1 + 2 − y = 1 (1)   Bài 5. Gi i h phương trình: ( H A 2005) 3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3 2 3 ( 2)  33
Gi i: x ≥ 1  k: 0 < y ≤ 2 ( 2 ) ⇔ 3 (1 + log 3 x ) − 3log 3 y = 3 ⇔ log3 x = log3 y ⇔ x = y Thay x=y vào (1) ta có: ( x − 1)( 2 − x ) = 1 x −1 + 2 − x = 1 ⇔ x −1 + 2 − x + 2 ( x − 1)( 2 − x ) = 0 ⇔ x = 1, ⇔ x=2 V y h có hai nghi m là (x;y)=(1;1) và (x;y)=(2;2) 1 1 log 4 ( x − 1) + (1) = + log 2 x + 2 Bài 6. Gi i phương trình: (D b 1A – 2007) log 2 x +1 4 2 Gi i: K: x>1 1 (1) ⇔ log 4 ( x − 1) + log 4 ( 2 x + 1) − log 4 ( x + 2 ) = 2  ( x − 1) ( 2 x + 1)  1 ⇔ log 4  = và x > 1 x+2 2  2 x2 − x − 1 ⇔ = 2 và x > 1 x+2 5 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 5 = 0 và x > 1 ⇔ x = 2 BÀI T P ÁP D NG: log 2 ( x 2 + 6 x − 7 ) )( ) ( log 3 x + x 2 − 15 log 5 x − x 2 − 45 = 2 4) 1) ≥2  1 1 + log 4  x 2 − x +  log 0.2 ( x − 2 ) + log3 x ≥ log 5 ( x + 2 ) 5)  4 ( x + 3) log 2 2 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log 3 ( x + 2 ) = 16 6) 2) log 2 x + log 3 x ≥ log 2 x log 3 x x log 2 3 + x 2 = x log 2 5 3) 1 log 2 ( 3 x − 1) + = 2 + log 2 ( x + 1) 7) log x +3 2 8) CMR: v i m i a>0, h phương trình sau có nghi m duy nh t: e x − e y = ln (1 + x ) − ln (1 + y )   x − y = a  log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )  ( x, y ∈ R ) 9) Gi i h phương trình:  2 ( H A 2009) 2 3x − xy + y = 81  34
10) Tìm m 15) Tìm m phương trình sau có úng 1 phương trình sau có úng 1 nghi m: nghi m: 2 2 x x 9sin x + 9cos x = m ( ) ( ) 5 + 1 + 2m 5 −1 = 2x 16) log 3 x − x 2 ( 3 − x ) > 1 3x 2x 2x 3x 11) 7 + 9.5 = 5 + 9.7 16 x −3 + ( x − 6 ) 4 x −3 + 8 − 2 x = 0 17) 7x 5x ( 5) = (7) 12) 18) Cho b t phương trình: x −10 x ( 3) + ( 3) ) ( 5 10 13) − 84 = 0 x 2 + 1 < log 2 ( ax + a ) (1) log 2 16 x −3 + ( x − 6 ) 4 x −3 + 8 − 2 x = 0 14) a) Gi i b t phương trình khi a=2 b) Tìm t t c giá tr c a a b t phương trình có nghi m x2 − x 2 ( 5x + 4 ) − 5x − 3 ≤ 5x + 3 = 9 − 6x + x2 19) 23) x −3 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) .5x − 2 + 3 − x = 0 24) Tìm m 20) h có nghi m: log 2 ( x + y ) + log m ( x − y ) = 1  21) Tìm m phương trình có 2 nghi m trái 2 d u: 2 x − y = m  ( m + 3)16 x + ( 2m − 1) 4 x + m + 1 = 0 22) Tìm m phương trình có nghi m: x x 9 − m.3 + 2m + 1 = 0 26) Gi i b t phương trình 25) Gi i b t phương trình:  x +1    3x − 1     ≤ log 1  log 1  log 3  log 4   15     x +1   log 2 log 0.5  2 x −   ≤ 2 4 3x − 1  3  16    2
PH L C: M T S THI C N THAM KH O (Theo c u trúc thi c a B GD& T 2010) 1: A. PH N CHUNG: 12 ( x − m )( x 2 + 1) , m là tham s . y= Câu 1: Cho hàm s (C) 4 1. Kh o sát và v th (C) khi m =3 2. nh m bi t th hàm s (C) c t Ox t i A và B sao cho 2 ti p tuy n t i A và B vuông góc. Câu 2: 7 cos3 2 x + sin 2 x = 2sin x 1. Gi i phương trình: 2 2. Gi i phương trình: x x + ( x − 4 ) 4 − x = 4 ( x − 2 ) x 2 + log 2 ( cos x ) lim Câu 3: Tính gi i h n: 2 x sin x − x 2 + 1 x →0 Câu 4: Cho hình nón nh S có thi t di n qua tr c SO=a là m t tam giác vuông. M t ph ng qua S và c t ư ng tròn áy t i A và B sao cho ∆ SAB u. Tình th tích hình c u ngo i ti p hình chóp SOAB. 2 2 2 ∈ [ 0;1] . Tìm giá tr l n nh t: A = ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) Câu 5: Cho x,y,z B. PH N T CH N: (Thí sinh ch ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7 Câu 6: (Chương trình chu n) a. Trong Oxy cho ∆ ABC có A(0;2), B(2;6), và C ∈ d : x − 3 y + 1 = 0 sao cho phân giác k t A song song v i d. Tìm t a C. y −1 z −1 x b. Trong Oxyz vi t phương trình ư ng th ng ∆ qua A(0;1;2) c t d1 : = = và h p v i −1 1 1 x +1 y − 2 z − 4 m t góc 600 d2 = = = 2 1 −1 n −1 n n c. Cho an ( x − 1) + an −1 ( x − 1) + ... + a1 ( x − 1) + a0 = x , ∀x ∈ R . Tìm n bi t a2 + a3 + a1 = 231 (Chương trình nâng cao) Câu 7: x2 y2 M ∈(E) : a. Trong Oxy tìm + = 1 bi t kho ng cách t M n d: x+y=0 là l n nh t 6 3 b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng qua M(1;2;2) và c t Ox, Oy, Oz t i A,B,C sao cho: 1 1 1 1 + + = 2 2 2 OM 2 OA OB OC nπ 2n n C2 n − C22n + C24n − ... + ( −1) C2 nn = 2n cos 0 2 (1 + i ) c. B ng cách khai tri n: hãy ch ng minh: , 2 ( n ∈ N , n > 0) . 2
2: A. PH N CHUNG: 22 y = − x4 + x Câu 1: Cho hàm s (C) 9 1. Kh o sát và v th (C) 2. Tìm trên th (C) các i m A bi t ti p tuy n t i A c t (C) t i B và C sao cho AB=AC ( B,C khác A) Câu 2: (1 − ) ( ) 3 cos x sin x + 3 − cos x cos x = 1 1. Gi i phương trình:  x + 2y − x − 2y = 2  3 2. Gi i h phương trình: 2 2  x + 3 + x − 4y = 5  e dx ∫ x+x Câu 3: Tính tích phân: 1 − ln 2 x 1 ∆ ABC vuông cân t i A. Tính th tích lăng Câu 4: Cho lăng tr ng ABC.A’B’C’ có AB’=a; BC’=b và (a < b < a 2 ) tr . x, y ∈ [1; 2] . Tính giá tr l n nh t và nh nh t: Câu 5: Cho 1 1 1 1 A = ( x2 + y 2 )  2 + 2  + 4 ( x − y )  −  x y x y ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7 B. PH N T CH N: (Thí sinh ch (Chương trình chu n) Câu 6: x2 y2 M ∈(E) : = 1 bi t góc F1MF2 b ng 600. a. + Trong Oxy tìm 6 3 b. Trong Oxyz vi t phương trình tham s ư ng th ng ∆ song song v i (P): 2x+2y-z-3=0 và c t hai x − 2 y z −1 x −1 y +1 z ư ng th ng d1 : == và d 2 : = = t i A và B sao cho AB=3 −2 1 1 1 −2 1 c. Gieo ng th i 3 con xúc x c, tính xác su t tích 3 s n t xu t hi n là 1 s ch n. (Chương trình nâng cao) Câu 7: a. Trong Oxy vi t phương trình chính t c hypebol qua M(2;1) th a góc F1MF2 b ng 600 b. Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng h p v i (Oxy) m t góc 450, song song v i Ox và cách Ox m t 2 kho ng b ng 3 + i . Tìm s t nhiên n>0 sao cho z n là s nguyên dương bé nh t. c. Cho z= 3
3: A. PH N CHUNG: mx + 2 y= Câu 1: Cho hàm s (C) x+m 1. Kh o sát và v th (C) khi m =-1 2. Tìm trên th (C) c t Ox t i A, C t Oy t i B sao cho 2 ti p tuy n t i A và B song song Câu 2: 1 cos 2 x + cos x + 3 sin x = 3. Gi i phương trình: 2 ) ) ( ( log 2 x + x 2 − 12 .log 3 x − x 2 − 12 = 2 4. Gi i phương trình: π 2 sin 3xdx ∫ (1 + cos x ) Câu 3: Tính tích phân: 4 0 Câu 4: Tính th tích hình chóp S.ABCD có áy là hình ch nh t, chi u cao SA=a h p v i (SBC) và (SBD) các góc 450 và 300 2 y2 1  x − xy + = h sau có nghi m:  Câu 5: nh m 24  x2 + x − y = m  ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7) B. PH N T CH N: (Thí sinh ch (Chương trình chu n) Câu 6: a. Vi t phương trình ư ng tròn i qua g c t a và c t Ox, Oy t i A,B sao cho AB= 4 2 . Bi t r ng tâm ư ng tròn thu c d:x+y-4=0 x −3 y z b. d: = = và cách Trong Oxyz vi t phương trình m t ph ng (P) qua M(1;1;0), song song v i 4 −5 3 g ct a m t kho ng b ng 1. 5i a b c. Tìm a, b ∈ R bi t phương trình + = 3 có 1 nghi m z1 = . Tìm nghi m còn l i. z +1 z − 5 1 + 2i (Chương trình nâng cao) Câu 7: a. Tìm t a 3 nh ∆ ABC vuông cân t i A có tr c A ∉ Ox; B ∈ Oy và i x ng là x-2y+1=0; C ∈ d : x + y −1 = 0 . b. Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng d qua M(1;2;0), song song v i (P):2x-y+z-1=0 và h p v i (Q): x+y+2z-1=0 m t góc 600 c. Trong h p ng 15 viên bi g m 4 bi , 5 bi xanh và 6 bi vàng. Tính xác su t ch n ư c 4 viên bi c 3 màu. 4
4: A. PH N CHUNG: x3 y = − + x 2 có Câu 1: Cho hàm s th (C) 3 1. Kh o sát và v th (C) 2. Vi t Phương trình ư ng th ng d qua g c t a O và c t (C) t i A và B (khác O) saocho 2 ti p tuy n c a (C) t i A và B vuông góc. Câu 2: 4tan x + 2tan x +sin 2 x = 21+ 2sin 2x 5. Gi i phương trình: 2 + 2x − 3 x ≥x 6. Gi i b t phương trình: 2 − 2x − 5 x π sin 4 x 4 ∫ sin 4 x + cos4 xdx Câu 3: Tính tích phân: 0 Câu 4: Tính th tích hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông chi u cao SA. Bi t SC=2a h p v i (SAB) m t góc 300. a 2 + b2 + c 2 A = a 3 + b3 + c 3 − Câu 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm giá tr nh nh t: 3 ư c ch n Câu 6 ho c Câu 7) B. PH N T CH N: (Thí sinh ch (Chương trình chu n) Câu 6: I/ Trong Oxyz cho A(2;3;-1), B(5;-3;2) và (P): x+y+z-3=0: a. Vi t phương trình tham s ư ng th ng d vuông góc v i (P) và c t ư ng th ng AB t i I sao cho AI + 2 BI = 0 b. Tìm M ∈ ( P ) sao cho AM2+2BM2 nh nh t II/ Hãy phân ph i 2010 i m lên 2 ư ng th ng song song sao cho t ng s tam giác thu ư c là l n nh t. (Chương trình nâng cao) Câu 7: I/ a Vi t phương trình ư ng tròn trong Oxy i qua A(2;1), Tâm thu c Oy và c t Ox t i B và C sao cho góc BAC b ng 600 b. Trong Oxyz cho A(0;1;2), B(1;-1;1), C(-1;3;0). Vi t phương trình tham s ư ng th ng d vuông góc v i (ABC) và c t (ABC) t i tr c tâm H c a ∆ ABC. x 2 − ( m + 1) x + 2m − 1 II/ y= nh m bi t th hàm s ti p xúc v i Ox. x−m 5