Cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi ĐH môn Toán - Phần 2

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

218
lượt xem 78
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi đh môn toán - phần 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi ĐH môn Toán - Phần 2

  x 2 + xy − 12 y 2 = 0 ( x − 3 y ) ( x + 4 y ) = 0  ⇒ 2 ⇔ 2 2 x − 3y = 6 2 x − 3y = 6    y = 1⇒ x = 3 x − 3y = 0 x = 3y TH1:  2 ⇔ 2 ⇔  y = −1 ⇒ x = −3 2 x − 3y = 6 6 y = 6  78 −4 78 ⇒x= y =  x = −4 y  x = −4 y 13 13 ⇔ TH2:  2 ⇔  2 2 x − 3y = 6 13 y = 6 78 4 78 ⇒x= y = −  13 13 V y nghi m c a phương trình là:  78 −4 78   − 78 4 78  ( x; y ) = (1;3) , ( −1; −3) ,   13 ; 13  ,  13 ; 13       ( x − y ) ( x + y ) = 13 (1) 2 2  Gi i h phương trình  VD4. (D b 2005) ( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25 ( 2 )   Gi i: Nhân c 2 v c a (1) cho 25. Nhân c 2 v c a (2) cho 13. Sau ó l y (1)-(2). ⇔ 13( x + y ) 2 ( x − y ) − 25 ( x − y ) ( x 2 + y 2 ) = 0 ⇔ ( x − y ) 13 ( x + y ) − 25 ( x 2 + y 2 )  = 0 2 (1)-(2)   ⇔ ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0 ⇔ −2 ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0 2 2 2 2 D th y x=y không th a mãn h .  3x = 2 y  y = −3   25 2  − y  ⇔   3 x = 2 y y .  = 25  x = −2  9 ( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0 3    ⇔ ⇒ ⇔ 2 x = 3 y ( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25  2 x = 3 y    2 ( x + y ) ( x − y ) = 25      25 y 2 .  1 y  = 25 ⇔   x=3   4  2  y = 2  L i bình: ( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) thành nhân t 2 ( 3x − 2 y ) ( 2 x − 3 y ) ?? Làm sao ta có th phân tích nhanh Lúc này, công c c a chúng ta chính là máy tính b túi! Các b n hãy làm như sau: ( −12 x + 26 x − 12 ) = 0 Ch c 2 Coi như ta không th y n y. v y nên ta có phương trình b c 2 theo x: h n các b n u bi t gi i phương trình b c 2 này b ng máy CASIO. Ta b m ư c nghi m: 3 2 x = ∨ x = . Lúc này ta g i l i n y b ng cách thêm y vào sau các nghi m tìm ư c. 2 3 3 2 x = y ∨ x = y . Quy ng b m u vì m u là h ng s . ta có nhân t c n phân tích. Lưu ý là 2 3 ( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) = 0 ⇔ ( 3x − 2 y ) ( 2 x − 3 y ) = 0 . N u gi i b t phương trình, b n nên chú ý n 2 ( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) = −2 ( 3 x − 2 y ) ( 2 x − 3 y ) = 0 ) 2 d u khi phân tích (Trư ng h p này là d u - : Khi g p d ng phương trình a th c có h ng s phía v ph i (ho c có th ưa c 2 phương trình v d ng có h ng s v ph i), Ta nhân c 2 v c a phương trình trên cho s v ph i c a phương trình dư i và nhân c 2 v c a phương trình dư i cho s phương trình trên. Sau ó tr v theo 10
v . M c ích c a phương pháp này là quy h v phương trình tích sau ó ti n hành phân tích. H u h t các lo i phương trình a th c u gi i ư c theo cách này! Bài t p t luy n  x 4 − x3 y + x 2 y 2 = 1 4 3 22  x + 2x y + x y = 2x + 9 3 2 Bài 1. Bài 7. 2  x y − x + xy = 1  x + 2 xy = 6 x + 6    xy + x + 1 = 7 y  x2 + y 2 + x + y = 4  22 Bài 8.  Bài 2. 2  x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2  x y + xy + 1 = 13 y   3  x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y )  x +1 − y = 8 − x   Bài 9. 2 Bài 3. 4 ( x − 1) = y 2 2  x + xy + y = 7 ( x − y )    log x ( x3 + 2 x 2 − 3x − 5 y ) = 3 y2 + 2  3y =   Bài 4.  x2 log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3  Bài 10. 3 2  2 3x = x + 2  x ( x + y + 1) − 3 = 0  y2    Bài 5. 1 5 1 2 ( x + y ) − 2 + 1 = 0 x − x = y − y  x  Bài 11. 2 y = x3 + 1 x + y = 1 9 9    25 Bài 6. 25 16 16 x + y = x + y  11
Bài III: Phương trình lư ng giác. M ts công th c lư ng giác c n nh : 1 1 sin 2 x + cos 2 x = 1;1 + tan 2 x = ;1 + cot 2 x = . 1. 2 sin 2 x cos x sin x cos x 1 tanx = ;cot x = ; tan x = 2. . cos x sin x cot x sin(a ± b) = sin a cos b ± cos asinb 3. Công th c c ng: cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b 4. Công th c nhân ôi: sin2x = 2sinxcosx 5. cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x cos 2 x = ;sin 2 x = 6. Công th c h b c: 2 2 7. Công th c nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx. 8. Công th c bi u di n theo tanx: 1 − tan 2 x 2 tan x 2 tan x sin 2 x = ;cos 2 x = ; tan 2 x = 2 2 1 − tan 2 x 1 + tan x 1 + tan x 1 ( cos(a − b) + cos(a + b) ) cos a cos b = 2 1 sin a sin b = ( cos(a − b) − cos(a + b) ) 9. Công th c bi n i tích thành t ng 2 1 sin a cos b = ( sin(a − b) + sin(a + b) ) 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 2 10.Công th c bi n i t ng thành tích x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 2
Cách gi i các phương trình lư ng giác trong thi i h c: Lưu ý trư c khi gi i : Các phương trình lư ng giác trong thi i h c nhìn qua m t h c sinh thư ng r t khó khăn ph c t p nhưng chúng u quy v nh ng phương trình ơn gi n. thi i h c các năm u xoay quanh bi n i v d ng phương trình tích, t n ph . Năm 2009, thi có bi n i hơn ó là phương trình cu i bi n i v d ng công th c c ng. Nhìn chung phương pháp gi i d ng toán này là các em h c thu c các công th c trên ây và rèn luy n kĩ năng phân tích a th c thành nhân t … GI I M T S THI TIÊU BI U:  π 1. Gi i phương trình: 2 sin  2 x −  + 4 sin x + 1 = 0 (1)  6 Gi i: ( ) 3 cos 2 x + 2 − 2sin 2 x = 0 3 sin 2 x − cos 2 x + 4sin x + 1 = 0 2sin x (1) sinx = 0 ⇔ x = kπ  ( )  3 cos x − 1 sin x = −1 ⇔ cos  x + π  = cos x  2sin x 3 cos x − sin x + 2 = 0    6  2   x = kπ   x = 5π + 2kπ  6  −7π x = + 2 kπ  6 2. Tìm nghi m trên kho ng (0; π)c a phương trình : 3π x 4 sin 2 − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − ) 2 4 Gi i: ∈ ( 0, π ) Tìm nghi m x 3π   4 sin 2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2  x −  (1) Ta có 2 4  3π   ⇔ 2 (1 − cos x ) − 3 cos 2x = 1 + 1 + cos  2x −  (1) 2  ⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2x = 2 − sin 2x (1) ⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x . Chia hai v cho 2: (1) 3 1 ⇔ − cos x = cos 2x − sin 2x (1) 2 2 5π 2π 7π  π ⇔ cos  2x +  = cos ( π − x ) ⇔ x = +k ( a ) hay x = − + h2π ( b ) 18 3 6 6  3
x ∈ ( 0, π ) nên h nghi m (a) ch ch n k=0, k=1, h nghi m (b) ch ch n h = 1. Do ó ta có ba Do 5π 17π 5π ( 0, π ) x1 = , x2 = , x3 = nghi m x thu c là 18 18 6 π : 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 (2) . 3. Gi i phương trình 4 Gi i: 3  π   (2) ⇔  2 cos  x −   − 3cos x − sin x = 0 4    3 ⇔ ( cos x + sin x ) − 3cos x − sin x = 0 ⇔ cos3 x + sin3 x + 3cos2 xsin x + 3cos xsin2 x − 3cos x − sin x = 0  cos x = 0  cos x ≠ 0   hay  ⇔ 3 2 3 2 3 sin x − sin x = 0 1 + 3tgx + 3tg x + tg x − 3 − 3tg x − tgx − tg x = 0   π π ⇔ sin2 x = 1 hay tgx = 1 ⇔ x = + kπ x= + kπ hay 2 4 π cos 2 x − 1 : tg ( + x ) − 3tg 2 x = . ( 4. Gi i phương trình d b kh i B 2005) cos 2 x 2 Gi i: −2sin2 x 2 (2) ⇔ − cot gx − 3tg x = cos2 x 1 π − tg2 x = 0 ⇔ tg3x = −1 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z ⇔− tgx 4 PHƯƠNG PHÁP T N PH TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC: A. t t=sinx Cos2x= 1 – sin2x = 1-t2 t ∈ [-1;1] 2 2 sin x t Tan2x = = cos x 1 − t 2 2 2 Cos2x = 1 − 2sin x = 1-2t2 3 3 Sin3x = 3sin x − 4sin x = 3t − 4t B. t t = cosx sin x = 1 − cos 2 x = 1 − t 2 2 cos 2 x = 2t 2 + 1 sin 2 x 1 − t 2 tan 2 x = cos 3 x = 4 cos3 x − 3cos x = 4t 3 − 3t =2 cos 2 x t C. t t= tanx 4
1 1 cos 2 x = cot x = 1+ t2 t t2 1− t2 2 sin x = cos 2 x = 1+ t2 1+ t2 1 2t t an2x = s in2x=2t  2 1+ t2  1+ t  a sin x + b cos x a tan x + b at + b = = c sin x + d cos x c tan x + d ct + d − 2 ; 2  t∈ D. t t=sinx ± cosx   t 2 −1 ( ) 2 sinxcosx = sin2x= ± t + 1 ±2  t 2 −1  3 − t3 ( ) 3 3 2 2 sin x + cos x = ( sin x + cos x ) sin x + cos x − sin x cos x = t 1 − = 2 2  NGUYÊN T C CHUNG GI I PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC Bi n i: tt Phân tích thành tích Nguyên t c : Lũy th a H bc Tích T ng T ng Tích Bi n i không ư c thì i bi n. GI I M T S THI TIÊU BI U: cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x cot x − 1 = Bài 1. 1 + tan x 2 Gi i: t t=tanx, pt tr thành:  1− t2   2 2  1 + t  + t − 1 2t t ≠ 0; t ≠ −1 1 ( ) −1 = 1+ t2 2 1+ t 2 1+ t t π ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 2t − 1 = 0 + kπ ⇔ t =1 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = 4 cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 Bài 2. Gi i: t t=cosx, pt tr thành: ⇔ 4t 3 − 3t + 2t 2 − 1 − t − 1 = 0 5
cos x = ±1  x = kπ  t = ±1  −1 ⇔  ⇔ ⇔ cos x = cos 2π  x = ± 2π + 2kπ t =    3 3 2 1 − sin x + 1 − cos x = 1 ( Bài 3. Gi i phương trình: thi d b 2 A – 2004) (1) Gi i: 1 − sin x − cos x + 2 (1 − sin x)(1 − cos x) = 0 (1) t t=sinx +cosx t 2 −1 ⇔ sin xcosx = 2 t 2 −1 − t = 0 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 4 + 2t 2 − 2 − 4t ⇔ (t − 1)2 = 0 ⇔ t = 1 1− t + 2 1+ Pt tr thành: 2  π  π π  x = kπ 2 sin  x +  = 1 sin  x +  = sin   Sinx+cosx =1  4  4 4 cos 2 x + 6 tan 2 x (1 − sin x ) = 2 sin x + Bài 4. 1 + sin x Gi i: t ∈ [ −1;1] t t=sinx pt tr thành: 1− t2 t2 1 − t ) = 2 ⇔ 6t 2 − t − 1 = 0 2( t+ +6 1+ t 1− t  π   x = 6 + 2 kπ 1   1 t = 2 sin x = 2 ⇔  x = 5π ⇔ + 2 kπ ⇔   t = −1 6  sin x = sin α   3  x = arccos −1 + 2kπ   3 1 sin 6 x + cos 6 x = cos 8 x (1) Bài 5. 4 Gi i: 3  1 − cos 4 x  1 3 1 1 − sin 2 2 x = cos 8 x ⇔ 1 −   = cos8 x (1) 4 4 4 4 2 t ∈ [ −1;1] pt tr thành: t t=cos4x    π kπ π 2 t =  4 x = 4 + kπ  x = 16 + 4 3 1− t  1 2 2  = 2t − 1 ⇔  ( ) ⇔ ⇔ 1−   4 2  4  4 x = 3π + kπ  x = 3π + kπ −2 t =      4 16 4 2 6
Bài t p t luy n 1 1 sin 2x + sin x − − = 2 cot g2x 2 sin x sin 2x  5x π  x π 3x sin −  − cos −  = 2 cos  2 4 2 4 2 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) sin 2x cos 2x = tgx − cot gx + cos x sin x 1 ( 2 cos x − 1)( sin x + s in2x ) − cos 2 x = 2 ( 2sin x + 1) ( 2 cos x − 1) = 1 sin 3 x + cos3 x = 2 (1 − sin x cos x ) x 2 sin x cos − cos x = 1 2  π  π 3 sin 4 x + cos 4 x + cos  x −  .sin  3 x −  − = 0  4  4 2 2 sin x + cos x + 1 =a Cho phương trình: (2) ( d b kh i a 2002) sin x − 2 cos x + 3 1 1. gi i phương trình khi a= 3 2. tìm a phương trình (2) có nghi m.  x tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan   2 ( 2 − sin ) 2 2 x sin 3 x 4 tan x +1 = 4 cos x 7
Bài IV: Tích Phân Lưu ý trư c khi gi i thi: Tích phân là bài toán r t thư ng xu t hi n trong thi i h c. K t năm 2002, khi b t u ti n hành thi “Ba chung” các d ng toán tích phân và ng d ng luôn xu t hi n và là câu 1 i m. Bài t p ph n này không quá khó nhưng v n ph i òi h i kĩ năng phán oán, phân tích , và n m rõ ư c các cách làm bài toán tích phân cơ b n như i bi n s và tính theo tích phân t ng ph n… các em cùng theo dõi các ví d dư i ây. NGUYÊN T C CHUNG GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN: G m có 2 phương pháp chính: A. I BI N: i bi n lo i 1: • f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx t t=u(x) Chú ý: Các bi u th c có quan h o hàm GI I CÁC VÍ D : π 2 sin 2 x ∫ 3 + cos Tính tích phân: I = VD 1. 2 x 0 Gi i: ⇒ dt = 2 cos x ( − sin x ) dx ⇒ dt = −2sin 2 xdx 2 t t = 3 + cos x X π 0 2 t 4 3 4 4 − dt 4 I =∫ = ln t ⇒ I = ln 3 3 t 3 6 dx ∫ 2x + 1 + VD2. Tính tích phân: I = ( DB 1A – 2006) 4x + 1 2 Gi i: 1 4x +1 ⇒ t 2 = 4x + 1 ⇒ tdt = dx t t= 2 X 2 6 t 3 5 ( t + 1 − 1) dt = 5 dt − 5 dt 5  1 5 31 ∫ ( t + 1)2 ∫ t + 1 ∫ ( t + 1)2 = ln t + 1 +  3 = ln 2 − 12  t + 1 3 3 3 π 4 dx ∫ cos VD3. Tính tích phân: I = 2 x 1 + tan x 0 Gi i: 8
dx ⇒ t 2 = 1 + tan x ⇒ 2tdt = t t= 1 + tan x cos 2 x X π 0 4 t 2 1 2 2 2tdt 2 ∫ = 2 ∫ dt = 2t I= = 2 2 −2 t 1 1 1 e 3 − 2 ln x ∫ I= dx. VD 4. Tính tích phân: x 1 + 2 ln x 1 Gi i: dx ⇒ t 2 = 1 + 2 ln x ⇒ tdt = t t= 1 + 2 ln x x X e 1 t 2 1 ( )tdt = 2 3 − t −1 2 2 10 2 − 11 ∫ ∫ ( 4 − t ) dt = 2 I= 3 t 1 1 1. i bi n lo i 2: B c t l n hơn b c m u: chia a th c B c t nh hơn b c m u: o hàm ⇒ Xét quan h i bi n M u có nghi m ⇒ Tách phân th c Hàm h u t (m u vô nghi m): du ∫ u ( x) t u(x)=atant 2 () + a2 Hàm căn th c: 2 a2 + (u ( x )) ⇒ t u(x)=atant 2 a2 − ( u ( x )) ⇒ t u(x)=asint (ho c u(x)=asint) 3 dx ∫x VD 5. Tính tích phân: I= 2 +9 0 Gi i: t x=3tan(t) ( ) ⇒ dx = 3 tan 2 t + 1 dt X 0 3 t π 0 4 9