Cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi ĐH môn Toán - Phần 3

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

167
lượt xem 70
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi đh môn toán - phần 3', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cẩm nang các phương pháp giải nhanh đề thi ĐH môn Toán - Phần 3

π π ( ) 3 tan 2 t + 1 dt 4 π 1 I=∫ = t 4= ( ) 9 tan 2 t + 1 3 12 0 0 5 2 dx =∫ Tính tích phân: I VD 6. 2 9 − ( x − 1) 1 Gi i: t x-1= 3sint ⇒ dx = 3 cos tdt X 5 1 2 t π 0 6 π π π π 6 6 6 π 3cos tdt cos tdt cos tdt I=∫ =∫ =∫ =t 6 = 1 − sin t 0 cos t 6 9 − 9sin 2 t 2 0 0 0 3 dx I =∫ VD 7. Tính tích phân: 2 x2 + 3 x 1 Gi i: 3 tan t ⇒ dx = 3 ( tan 2 x + 1) dx t x= X 1 3 t π π 6 3 1 π π dt ( ) 3 tan 2 t + 1 3 −1 3 cos tdt 1 2 cos t I =∫ dx = ∫ ∫ = 3 π sin 2 t 3 π sin 2 t 3 tan 2 t 3 tan 2 + 3 1 cos 2 t cos 2 t 6 6 π π 1 3 d ( sin t ) 1 3 6−2 3 I =− ∫ =− = 2 3sin t π 3 π sin t 9 6 6 10
B. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN T NG PH N: Công th c: b bb ∫ udv = uv a∫ − vdu (1) a a Cách l y ph n các tích phân: Kí hi u P(x) là a th c. Khi g p hai d ng nguyên hàm sau ây, ta thư ng dùng phương pháp tích phân t ng ph n: ∫ P ( x ) ln xdx t u= ln x (Do lnx không có nguyên hàm) D ng 1: ta eax +b    D ng 2: ∫ P ( x ) . sin( ax + b) dx ta t u=P(x) cos(ax + b)    V i cách y khi l y công th c 1 ta s ư c bài toán d n t i nguyên hàm ng d ng v i b c c a P(x) th p hơn… GI I CÁC VÍ D : π 2 I = ∫ (x + 1)sin2xdx. VD 1. Tính tích phân: ( d b kh i D 2005) 0 Gi i: π u = x + 1 ⇒ du = dx π − ( x + 1)  12 π cos 2 x 2 + ∫ cos 2 xdx = + 1 ⇒I= t:  −1 dv = s in2xdx ⇒ v = 2 cos 2 x 2 20 4 0  2 I = ∫ (x − 2)lnx dx. VD 2. Tính tích phân: ( d b kh i D 2006) 1 Gi i:  1 du = x dx u = ln x  x2  2 2 x    5 ⇒ I =  − 2 x  ln x − ∫  − 2  dx = − ln 4 + ⇒ t:  dv = ( x − 2 ) dx  1 12  2 2 4  x  v = − 2x   2 π2 4 ∫ sin xdx VD 3. Tính tích phân: 0 Gi i: x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx t t= X π2 0 4 t π 0 2 11
π 2 B = 2 ∫ t sin tdt 0 π 2 I = ∫ t sin tdt Tính 0 u = t du = dt ⇒  t: dv = sin tdt v = − cos t π π π 2 π π I = −t cos t 2 + ∫ cos tdt = − cos + 0 cos 0 + sin t 2 = 1 2 2 00 0 B=2I=2 π 2 ∫e x cos xdx VD 4. Tính tích phân: A= 0 Gi i: u = e x du = e x dx ⇒  t: dv = − sin xdx v = − cos x π π π π π 2 2 2 π A = −e x cos x 2 + ∫ e x cos xdx = −e 2 cos + e0 cos 0 + ∫ e x cos xdx = 1 + ∫ e x cos xdx (1) 2 00 0 0 π 2 K = ∫ e x cos xdx Tính 0 u = e x du = e x dx ⇒ t:  dv = cos xdx v = sin x π π π 2 K = e sin x 2 − ∫ e sin xdx = e 2 − A x x 00 π π π 1+ e 2 A = 1+ e 2 − A ⇒ 2A = 1+ e 2 ⇒ A = Thay vào (1): 2 π ∫ x sin x cos 2 xdx VD 5. Tính tích phân: A= 0 Gi i:  du = dx u = x ⇒  t: dv = sin x cos xdx v = ∫ sin x cos xdx 2 2  v = ∫ sin x cos 2 xdx Tính: t = cos x ⇒ dt = − sin xdx t: 12
−t 3 cos3 x ∫ t dt = 2 V= − +C = − +C 3 3 cos3 x Ch n C=0 ⇒ v = − 3 π 3 cos x π 1 π1 + ∫ cos 3 xdx = + K V y A = −x (1) 3 0 30 33 π π K = ∫ cos3 xdx = ∫ 1 − sin 2 x cos xdx ( ) Tính 0 0 ⇒ dt = cos xdx t t=sin(x) π 0 X t 0 0 0 K = ∫ 1 − t 2 dt = 0 ( ) 0 π π 1 A= + K= Thay vào (1): 33 3 π 2 x + sin x D=∫ dx VD 6. Tính tích phân: π 1 + cos x 3 Gi i: u = x + sin x π du = (1 + cos x ) dx    2 x + sin x 1 D=∫ dx ⇒  t:  dv = x x 2x  v = tan 2 cos 2 π 2 cos  2   2 3 2 π π  π 3 3 π x2 2 x − ∫ (1 + cos x ) tan dx =  + 1 −  + V y: D = ( x + sin x ) tan  − K (3) 2  3 2  3 2π π 2   33 π π π 2 2 2 x 2x x V i: K = ∫ (1 + cos x ) tan dx = ∫ 2 cos tan dx = ∫ sin xdx 2 2 2 π π π 3 3 3 π 1 2 = − cos x = π 2 3 (9 + 2 3 )π Thay vào (3) ta có: D= 18 L i bình: t u như sau: nh t “log” – nhì “ a” ( a th c) – tam tích phân t ng ph n ta có cách nh “Lư ng” (Lư ng giác) – T “mũ”. Trong phép tính tích phân t ng ph n, g p phép nào ng trư c trong 4 phép trên, hãy t u b ng phép ó! 13
Bài t p t luy n π 3 I = ∫ sin 2 x.tgxdx Tính tích phân: 0 7 x+2 I =∫ dx Tính tích phân: 3 x +1 0 e I = ∫ x 2 ln xdx Tính tích phân: 0 π 4 I = ∫ (tgx + esin x cos x)dx Tính tích phân: 0 π I = ∫ cos x sin xdx Tính tích phân: 0 π 3 I = ∫ tan 2 x + cot 2 x − 2dx Tính tích phân: π 6 π 2 ∫ 2 (1 + cos 2 x ) dx I= Tính tích phân: −π 2 π 3 sin 4 x sin 3x I=∫ dx Tính tích phân: tan x + cot 2 x π 6 10 dx ∫ x−2 I= Tính tích phân: x −1 5 e 3 − 2 ln x ∫ I= dx. Tính tích phân: x 1 + 2 ln x 1 π x sin x I =∫ Tính tích phân: 1 + sin 2 x 0 π sin x + sin 3 x 6 I=∫ Tính tích phân: cos 2 x 0 (P) : y = x2 − x + 3 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol và ư ng th ng d : y = 2x + 1. x2 27 2 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ư ng: ( C1) y = x ; ( C 2 ) y = ; ( C 3) y = 27 x 14
Bài V:Các bài toán liên quan n ng d ng c a o hàm và th hàm s . Lưu ý trư c khi gi i thi: Các bài toán d ng này là câu chi m 1 i m, thư ng n m câu th 2 sau ph n kh o sát hàm s trong thi i h c. Mu n gi i ư c d ng toán này ta c n n m v ng các lí thuy t v s tăng, gi m hàm s , các vn v c c tr , s tương giao gi a hai th ( i u ki n ti p xúc c a hai ư ng cong)… Các ví d dư i ây s trình bày m t cách có h th ng các v n nêu trên và cách gi i ơn gi n và d hi u nh t. Các bn tham kh o các ví d sau ây: I: S TĂNG GI M C A HÀM S : Nh c l i ki n th c: y = f ( x ) có Cho hàm s o hàm trên mi n I f ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ I Hàm s tăng f ( x ) ≤ 0; ∀x ∈ I Hàm s gi m 13 ( ) x − mx 2 + m2 + m − 2 x y = f ( x) = VD 1. Cho hàm s : 3 Tìm m hàm s : a. Tăng trên R b. Gi m trên (0;2) ( 4; +∞ ) c. Tăng trên d. Gi m trên o n có dài b ng 2 ( −∞; 4 ) và ( 2; +∞ ) e. Tăng trên 2 kho ng Gi i: D=R TX : y ' = x 2 − 2mx + m2 + m − 2 ⇒ ∆ ' = − m + 2 a. Ycbt ∆ ' ≤ 0 ⇔ −m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≥ 2  2  y '(0) ≤ 0 m + m − 2 ≤ 0  ⇔ 2 b. Ycbt ⇔ m ≤1  y ' ( 2) ≤ 0 m − 3m + 2 ≤ 0   Vì x -∞ 0 2 +∞ F’(x) + - + F(x) c. Ycbt ∆ ' ≤ 0 ⇔ −m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≥ 2 TH1: 15
 ∆ ' > 0 m < 2  2 TH2:  y ' ( 4 ) ≥ 0 ⇔  m + 9m + 14 ≥ 0 S  m < −4   0    −m + 2 > 0   y ' ( 4) ≥ 0 m ≥ 2  ⇔  ⇔  m 2 + 9m + 14 ≥ 0 ⇔    2   y ' ( −2 ) ≥ 0  −2 ≤ m ≤ 1  m − 3m + 2 ≥ 0     −4 < S < 2   −4 < m < 2    2 m2 −1 2 ( ) x + mx 2 + m − m 2 x + y= VD 2. Cho hàm s tìm m hàm s : 3 3 a. Gi m trên mi n xác nh. b. Tăng trên (0;2) ( 6; +∞ ) c. Gi m trên d. Tăng trên o n có dài b ng 2 e. Gi m trên 2 kho ng ( −∞; 0 ) và ( 6; +∞ ) Gi i: MX : D=R y ' = − x 2 + 2mx + m − m2 ∆' = m a. Gi m trên mi n xác nh. ⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ m ≤ 0 b. Tăng trên (0;2)  y ' ( 0) ≥ 0 2  −m + m ≥ 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ m =1  y ' ( 2) ≥ 0 − m + 5m + 4 ≥ 0   c. Gi m trên ( 6; +∞ ) ∆' ≤ 0 ⇒ m ≤ 0 ( 6; +∞ ) ) TH1: (Rõ ràng vì gi m trên D cũng có nghĩa là gi m trên 16
 ∆ ' > 0 m > 0  2 TH2:  y ' ( 6 ) ≤ 0 ⇔  − m + 13m − 36 ≤ 0 S m < 6  
c. Hàm s t C và CT t i i m có hoành >-1 d. Hàm s t C và CT t i i m có hoành n m trong [-2;3] e. Hàm s t C và CT t i i m có hoành dương f. Hàm s t C và CT t i i m có hoành trái d u nhau (x ) 3 + x23 nh nh t g. Hàm s tC và CT t i x1;x2 sao cho 1 Gi i: MX : D=R y ' = x 2 − 2mx + 2m 2 − 1 ∆ ' = −m2 + 1 ∆' > 0: +∞ −∞ X1 X2 X Y’ + 0 - 0 + C Y CT a. Ycbt Hàm s tc c i t i x=0  y '(0) = 0  2m 2 − 1 = 0  2 ⇔ ⇔ ⇔m= S 2 m > 0 0 <  2 b. Ycbt :   m 0 ⇔ 2m 2 − 2m > 0 ⇔   m > 1 S m < 1   -1   m 0 ⇔ 2m + 2m > 0 ⇔   ⇔ 0 < m −1    > −1 m > −1  2 d. Hàm s tC và CT t i i m có hoành n m trong [-2;3] ∆ ' > 0  m
−1 < m < 1   m ≤ − 2 ∆ ' > 0 −1 < m < 1   2 2 ⇔ 2 ≤ m 0   Ycbt ⇔ (1) 3  P = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 )  min →  −m2 + 1 > 0  x1 x2 = 2m 2 − 1   Vi V y ta có (1) ⇔  3 ( ) 2  P = ( 2m ) − 3 2m − 1 .2m → min  x1 + x2 = 2m   −1 < m < 1 ⇔ 3  P = 4m + 6m → min  2 m = 2 ⇒ P ' = −12m 2 + 6 ⇒ P ' = 0 ⇔   2 m = −  2 B ng bi n thiên: 2 2 +∞ −∞ − -1 1 X 2 2 Y’ - 0 + 0 - 22 -2 Y -2 2 2 −2 Pmin = −2 2 khi m = 2 L i bình: Có l các b n ang th c m c: “T i sao l i có nh ng l i gi i ng n g n và d dàng như v y?” Bí quy t n m bi u th c y’ và d u c a nó. Lúc này, t t c yêu c u bài toán (ycbt) liên quan n c c tr u n m n dư i nh ng d u + - c a y’. Và tr c quan hơn n a, ta th y ư c hư ng i c a mình qua b ng bi n thiên. Tôi s minh h a kĩ câu d c a ví d trên ây: Ycbt : Hàm s t C và CT t i i m có hoành n m trong [-2;3] y’=0 có hai nghi m ⇒ ∆ ' > 0 - có c c i và c c ti u - V b ng bi n thiên: 19