Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 4): hàm số đơn điệu trên tập con của r', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 4): Hàm số đơn điệu trên tập con của R
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
D ng 4 : Hàm s ơn i u trên t p con c a » .
Phương pháp:
* Hàm s y = f (x , m ) tăng ∀x ∈ I ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ I ⇔ min y ' ≥ 0 .
x ∈I
* Hàm s y = f (x , m ) gi m ∀x ∈ I ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ I ⇔ max y ' ≤ 0 .
x ∈I
Ví d 1 : Tìm m các hàm s sau
mx + 4
1. y =
x +m
luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( )
( )
2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( )
Gi i :
mx + 4
1. y =
x +m
luôn ngh ch bi n kho ng −∞;1 . ( )
* Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −∞;1 . ( )
m2 − 4
* Ta có y ' = 2
, x ≠ −m
(x + m )
y ' < 0, ∀x ∈ −∞;1
( )
(
Hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞;1 khi và ch khi ) ( )
−m ∉ −∞;1
m 2 − 4 < 0
−2 < m < 2
−2 < m < 2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1
(
−m ∉ −∞;1 )
−m ≥ 1
m ≤ −1
V y : v i −2 < m ≤ −1 thì tho yêu c u bài toán .
( )
2. y = x 3 + 3x 2 + m + 1 x + 4m ngh ch bi n trên kho ng −1;1 . ( )
* Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −1;1 . ( )
* Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m + 1
Cách 1 :
Hàm s ã cho ngh ch bi n trên kho ng −1;1 khi và ch khi ( )
( ) hay.
y ' ≤ 0, ∀x ∈ −1;1
Xét hàm s g ( x ) = − ( 3x 2
( ) )
+ 6x + 1 , ∀x ∈ −1;1
⇒ g ' ( x ) = −6x − 6 < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1)
và lim g ( x ) = −2, lim g ( x ) = −10
x →−1+ x →1−
* B ng bi n thiên.
20
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
x −1 1
g' x ( ) −
−2
g x ( )
−10
V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán .
Cách 2 :
( )
f '' x = 6x + 6
( )
Nghi m c a phương trình f '' x = 0 là x = −1 < 1 . Do ó, hàm s ã
cho ngh ch bi n trên kho ng ( −1;1) khi và ch khi m ≤ lim g x = −10 .
−
x →1
( )
V y m ≤ −10 tho yêu c u bài toán .
Bài t p t luy n:
Tìm m các hàm s sau:
mx − 1
1. y =
x −m
luôn ngh ch bi n kho ng 2; +∞ . ( )
x − 2m
2. y = luôn ngh ch bi n kho ng 1;2 . ( )
(
2m + 3 x − m )
x 2 − 2m
3. y =
x −m
luôn ngh ch bi n kho ng −∞; 0 . ( )
( )
m − 1 x2 + m
4. y =
x + 3m
luôn ngh ch bi n kho ng 0;1 . ( )
Ví d 2 : Tìm m các hàm s sau
1. y = 2x 3 − 2x 2 + mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( )
2. y = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( )
1
3. y =
3
( ) (
mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m) ng bi n trên kho ng 2; +∞ . ( )
Gi i :
1. y = 2x 3 − 2x 2 + mx − 1 ng bi n trên kho ng 1; +∞ . ( )
* Hàm s ã cho xác (
nh trên kho ng 1; +∞ . )
* Ta có : y ' = 6x 2 − 4x + m
21
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
Hàm s ã cho (
ng bi n trên kho ng 1; +∞ khi và ch khi )
( ) ( )
y ' ≥ 0, ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ g x = 6x 2 − 4x ≥ −m, x > 1
Xét hàm s g ( x ) = 6x − 4x liên t c trên kho ng (1; +∞ ) , ta có
2
g ' ( x ) = 12x − 4 > 0, ∀x > 1 ⇔ g ( x ) ng bi n trên kho ng (1; +∞ )
và lim g ( x ) = lim ( 6x − 4x ) = 2, lim g ( x ) = +∞
2
x →1+ x →1+ x →+∞
* B ng bi n thiên.
x −1 +∞
g' x ( ) +
+∞
( )
g x
−2
D a vào b ng bi n thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔ m ≥ −2
2. y = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 ng bi n trên kho ng −3; 0 . ( )
* Hàm s ã cho xác nh trên kho ng −3; 0 . ( )
* Ta có : y ' = 3mx 2 − 2x + 3
Hàm s ã cho ( )
ng bi n trên kho ng −3; 0 khi và ch khi y ' ≥ 0,
(
∀x ∈ −3; 0 . )
2x − 3
Hay 3mx 2 − 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇔ m ≥ ( ) 3x 2
, ∀x ∈ −3; 0 ( )
2x − 3
Xét hàm s g x = ( ) 3x 2
liên t c trên kho ng −3; 0 , ta có ( )
−6x 2 + 18x
( )
g' x =
9x 4
( ) ( )
< 0, ∀x ∈ −3; 0 ⇒ g x ngh ch bi n trên kho ng −3; 0 ( )
4
( )
và lim+ g x = − , lim g x = −∞
x →−3 27 x →0−
( )
* B ng bi n thiên.
x −3 0
g' x ( ) −
4
−
( )
g x 27
−∞
22
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
4
D a vào b ng bi n thiên suy ra m ≥ −
27
1
3. y =
3
( ) (
mx 3 + 2 m − 1 x 2 + m − 1 x + m ng bi n trên kho ng 2; +∞ . ) ( )
* Hàm s ã cho xác nh trên kho ng 2; +∞ . ( )
)
* Ta có : y ' = mx 2 + 4 m − 1 x + m − 1 (
Hàm s ng bi n trên kho ng ( 2; +∞ ) khi và ch khi
y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ mx + 4 (m − 1) x + m − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ )
2
4x + 1
( )
⇔ x 2 + 4x + 1 m ≥ 4x + 1, ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ m ≥ ( ) 2
x + 4x + 1
(
, ∀x ∈ 2; +∞ )
4x + 1
Xét hàm s g x = ( )
x + 4x + 1
, x ∈ 2; +∞2 ( )
−2x 2x + 1 ( )
( )
⇒ g' x = 2
< 0, ∀x ∈ 2; +∞ ⇒ g x ngh ch bi n trên kho ng( ) ( )
2
(
x + 4x + 1 )
9
(2; +∞ ) và lim g (x ) = 13 , lim g (x ) = 0
x → 2+ x →+∞
B ng bi n thiên.
x 2 +∞
g' x ( ) −
9
g x ( ) 13
0
9
V y m≥ tho yêu c u bài toán .
13
Bài t p t luy n:
Tìm m các hàm s sau:
2
(
mx + m + 1 x − 1 )
1. y =
2x − m
)
ng bi n trên kho ng 1; +∞ . (
2. y = x 3 − mx 2 − 2m 2 ( − 7m + 7 ) x + 2 (m − 1)( 2m − 3 ) ng bi n trên
(
kho ng 2; +∞ . )
23
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
1
3. y = mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + 1 ng bi n trên kho ng (2; +∞) .
3
Ví d 3 : Tìm m các hàm s sau :
mx 2 + 6x − 2
1. y =
ngh ch bi n trên n a kho ng 2; +∞ . )
x +2
2. y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) ng bi n trên n a
kho ng 1; +∞ .
)
Gi i :
mx 2 + 6x − 2
1. y = ngh ch bi n trên n a kho ng 2; +∞ .
)
x +2
* Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng 2; +∞
)
* Ta có y ' = 3x 2 − 2(m + 1)x − (2m 2 − 3m + 2)
Hàm ng bi n trên n a kho ng 2; +∞ . ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞
) )
⇔ f (x ) = 3x 2 − 2(m + 1)x − (2m 2 − 3m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ )
Vì tam th c f (x ) có ∆ ' = 7m 2 − 7m + 7 > 0 ∀m ∈ » nên f (x ) có hai nghi m
m +1 − ∆' m + 1 + ∆'
x1 = ; x2 = .
3 3
x ≤ x 1
Vì x 1 < x 2 nên f (x ) ⇔ .
x ≥ x 2
Do ó f (x ) ≥ 0 ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ x 2 ≤ 2 ⇔ ∆ ' ≤ 5 − m
)
m ≤ 5
m ≤ 5
3
⇔ 2
⇔ 2 ⇔ −2 ≤ m ≤ .
∆ ' ≤ (5 − m ) 2m + m − 6 ≤ 0 2
2. y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + m(2m − 1) ng bi n trên n a
kho ng 1; +∞ .
)
* Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng 1; +∞
)
mx 2 + 4mx + 14
* Ta có y ' =
(x + 2)2
Hàm ngh ch bi n trên n a kho ng [1; +∞) ⇔ f (x ) = mx 2 + 4mx + 14 ≤ 0 ,
∀x ∈ 1; +∞ ) (*) .
24
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
Cách 1: Dùng tam th c b c hai
()
• N u m = 0 khi ó * không th a mãn.
• N u m ≠ 0 . Khi ó f (x ) có ∆ = 4m 2 − 14m
B ng xét d u ∆
m −∞ 0 7 +∞
2
∆' + 0 − 0 +
7
• N u 0 < m < thì f (x ) > 0 ∀x ∈ » , n u f (x ) có hai nghi m x 1, x 2 thì
2
()
f (x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ (x 1; x 2 ) nên * không th a mãn.
7
• N u m < 0 ho c m > . Khi ó f (x ) = 0 có hai nghi m
2
−2m + 4m 2 − 14m −2m − 4m 2 − 14m
x1 ; x2 =
m m
7 x ≤ x 1
Vì m < 0 ho c m > ⇒ x 1 < x 2 ⇒ f (x ) ≤ 0 ⇔
2 x ≥ x 2
Do ó f (x ) ≤ 0 ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ x 2 ≤ 1 ⇔ −3m ≥ 4m 2 − 14m
)
m < 0
14
⇔ 2 ⇔m≤− .
5m + 14m ≥ 0 5
−14
Cách 2: (*) ⇔ m ≤ = g (x ) ∀x ∈ 1; +∞ ⇔ m ≤ min g(x )
)
2 x ≥1
x + 4x
14 14
Ta có min g (x ) = g (1) = − ⇒m ≤− .
x ≥1 5 5
Bài t p t luy n :
Tìm m các hàm s sau :
( )
x2 + m − 2 x − 2
ng bi n trên n a kho ng −∞;1 .
1. y =
x +m
(
1 3
2. y = x + m − 1 x 2 − m − 1 x + 1 ngh ch bi n trên n a kho ng −∞; −2 .
( ) ( ) (
3
Ví d 4 : Tìm t t c các tham s m hàm s y = x 3 + 3x 2 + mx + m ngh ch
bi n trên o n có dài b ng 1 ?.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh trên » .
25
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
* Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m có ∆ ' = 9 − 3m
i N u m ≥ 3 thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ » , khi ó hàm s luôn ng bi n trên » , do ó
m ≥ 3 không tho yêu c u bài toán .
( )
i N u m < 3 , khi ó y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 x 1 < x 2 và hàm s
ngh ch bi n trong o n x 1; x 2 v i
dài l = x 2 − x 1
m
Theo Vi-ét, ta có : x 1 + x 2 = −2, x 1x 2 =
3
Hàm s ngh ch bi n trên o n có dài b ng 1 ⇔ l = 1
2 2 4 9
( ) ( )
⇔ x 2 − x 1 = 1 ⇔ x 1 + x 2 − 4x 1x 2 = 1 ⇔ 4 − m = 1 ⇔ m = .
3 4
Bài t p tương t :
1. Tìm t t c các tham s m hàm s y = x 3 − 3m 2x 2 + x + m − 1 ngh ch
bi n trên o n có dài b ng 1 ?.
2. Tìm t t c các tham s m hàm s y = −x 3 + m 2x 2 + mx + 3m + 5 ng
bi n trên o n có dài b ng 3 ?.
Ví d 5: Tìm m hàm s y = x + m cos x ng bi n trên » .
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh trên » .
* Ta có y ' = 1 − m sin x .
Cách 1: Hàm ng bi n trên »
⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ 1 − m sin x ≥ 0, ∀x ∈ » ⇔ m sin x ≤ 1,∀x ∈ » (1)
* m = 0 thì (1) luôn úng
1 1
* m > 0 thì (1) ⇔ sin x ≤ ∀x ∈ » ⇔ 1 ≤ ⇔ 0 < m ≤ 1.
m m
1 1
* m < 0 thì (1) ⇔ sin x ≥ ∀x ∈ R ⇔ −1 ≥ ⇔ −1 ≤ m < 0 .
m m
V y −1 ≤ m ≤ 1 là nh ng giá tr c n tìm.
Cách 2: Hàm ng bi n trên » ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ »
1 − m ≥ 0
⇔ min y ' = min{1 − m;1 + m} ≥ 0 ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 .
1 + m ≥ 0
Bài t p t luy n:
1. Tìm m ( )
hàm s y = x m − 1 + m cos x ngh ch bi n trên » .
2. Tìm m hàm s y = x .sin x + m cos x ng bi n trên » .
26
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
27
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
