Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 1): tính đơn điệu của hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 1): Tính đơn điệu của hàm số
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
Chương 1
NG D NG C A O HÀM KH O SÁT
VÀ V TH C A HÀM S
Bài 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S
1.1 TÓM T T LÝ THUY T
1. nh nghĩa :
Gi s K là m t kho ng , m t o n ho c m t n a kho ng . Hàm s f xác nh
trên K ư c g i là
• ( ) ( )
ng bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 ;
• Ngh ch bi n trên K n u v i m i x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f ( x ) > f (x ) .
1 2
2. i u ki n c n hàm s ơn i u :
Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I
• N u hàm s f ( )
ng bi n trên kho ng I thì f ' x ≥ 0 v i m i x ∈ I ;
• N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I thì f ' ( x ) ≤ 0 v i m i x ∈I .
3. i u ki n hàm s ơn i u :
Gi s I là m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t o n , f là hàm s liên t c
trên I và có o hàm t i m i i m trong c a I ( t c là i m thu c I nhưng
không ph i u mút c a I ) .Khi ó :
( )
• N u f ' x > 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ng bi n trên kho ng I ;
• N u f ' (x ) < 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I ;
• N u f ' (x ) = 0 v i m i x ∈ I thì hàm s f không i trên kho ng I .
Chú ý :
• N u hàm s f liên t c trên a;b và có
( )
o hàm f ' x > 0 trên kho ng
(a;b ) thì hàm s f ng bi n trên a;b .
• N u hàm s f liên t c trên a;b và có
( )
o hàm f ' x < 0 trên kho ng
f ngh ch bi n trên a;b .
(a;b ) thì hàm s
• Gi s hàm s f liên t c trên o n a;b .
* N u hàm s f ( )
ng bi n trên kho ng a;b thì nó ng bi n trên o n
a;b .
5
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
( )
* N u hàm s f ngh ch bi n trên kho ng a;b thì nó ngh ch bi n trên o n
a;b .
* N u hàm s f không ( )
i trên kho ng a;b thì không i trên o n a;b .
4. nh lý m r ng
Gi s hàm s f có o hàm trên kho ng I .
• N u f '(x ) ≥ 0 v i ∀x ∈ I và f '(x ) = 0 ch t i m t s h u h n i m thu c
I thì hàm s f ng bi n trên kho ng I ;
• N u f '(x ) ≤ 0 v i ∀x ∈ I và f '(x ) = 0 ch t i m t s h u h n i m thu c
I thì hàm s f ngh ch bi n trên kho ng I .
1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P
D ng 1 : Xét chi u bi n thiên c a hàm s .
( )
Xét chi u bi n thiên c a hàm s y = f x ta th c hi n các bư c sau:
• Tìm t p xác nh D c a hàm s .
• Tính o hàm y ' = f ' x . ( )
• Tìm các giá tr c a x thu c D ( ) ( )
f ' x = 0 ho c f ' x không xác nh
( ta g i ó là i m t i h n hàm s ).
( )
• Xét d u y ' = f ' x trên t ng kho ng x thu c D .
• D a vào b ng xét d u và i u ki n suy ra kho ng ơn i u c a hàm s .
Ví d 1: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
x +2 −x 2 + 2x − 1
1. y = 2. y =
x −1 x +2
Gi i:
x +2
1. y =
x −1
* Hàm s ã cho xác ( ) (
nh trên kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ . )
3
* Ta có: y ' = - 2
< 0, ∀x ≠ 1
( x −1 )
* B ng bi n thiên:
x −∞ 1 +∞
y' − −
1 +∞
y
−∞ 1
6
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
V y hàm s (
ng bi n trên m i kho ng −∞;1 và 1; +∞ . ) ( )
−x 2 + 2x − 1
2. y =
x +2
* Hàm s ã cho xác (
nh trên kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ . ) ( )
−x 2 − 4x + 5
* Ta có: y ' = 2
, ∀x ≠ −2
( x +2 )
x = −5
y' = 0 ⇔
x = 1
* B ng bi n thiên :
x −∞ −5 −2 1 +∞
y' − 0 + + 0 −
+∞ +∞
y
−∞ −∞
V y, hàm s ( ) (
ng bi n trên các kho ng −5; −2 và −2;1 , ngh ch bi n trên các )
( ) (
kho ng −∞; −5 và 1; +∞ . )
Nh n xét:
ax + b
* i v i hàm s y = (a.c ≠ 0) luôn ng bi n ho c luôn ngh ch
cx + d
bi n trên t ng kho ng xác nh c a nó.
ax 2 + bx + c
* i v i hàm s y = luôn có ít nh t hai kho ng ơn i u.
a 'x + b '
* C hai d ng hàm s trên không th luôn ơn i u trên » .
Bài t p tương t :
Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
2x − 1 3x
1. y = 4. y = 2
x +1 x +1
2
x + 4x + 3 x 2 − 4x + 3
2. y = 5. y = 2
x +2 2x − 2x − 4
x +1 x 2 + 2x + 2
3. y = 6. y = 2
3 x 2x + x + 1
Ví d 2: Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y = − x 3 − 3x 2 + 24x + 26 2. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1
7
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
Gi i:
3 2
1. y = − x − 3x + 24x + 26
* Hàm s ã cho xác nh trên » .
* Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24
x = −4
y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔
x = 2
* B ng xét d u c a y ' :
x −∞ −4 2 +∞
y' − 0 + 0 −
( )
+ Trên kho ng −4;2 : y ' > 0 ⇒ y ng bi n trên kho ng ( −4;2 ) ,
+ Trên m i kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) : y ' < 0 ⇒ y ngh ch bi n trên các
kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) .
Ho c ta có th trình bày :
* Hàm s ã cho xác nh trên » .
* Ta có : y ' = −3x 2 − 6x + 24
x = −4
y ' = 0 ⇔ −3x 2 − 6x + 24 = 0 ⇔
x = 2
* B ng bi n thiên :
x −∞ −4 2 +∞
y' − 0 + 0 −
+∞
y
−∞
V y, hàm s ( )
ng bi n trên kho ng −4;2 , ngh ch bi n trên các kho ng
( −∞; −4 ) và (2; +∞ ) .
2. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1
* Hàm s ã cho xác nh trên » .
* Ta có: y ' = 4x 3 − 12x + 8 = 4(x − 1)2 (x + 2)
x = −2
y ' = 0 ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = 0 ⇔
x = 1
* B ng xét d u:
x −∞ −2 1 +∞
y' − 0 + 0 +
8
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
V y,hàm s ng bi n trên kho ng (−2; +∞) và ngh ch bi n trên kho ng
(−∞; −2) .
Nh n xét:
* Ta th y t i x = 1 thì y = 0 , nhưng qua ó y ' không i d u.
* i v i hàm b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e luôn có ít nh t m t
kho ng ng bi n và m t kho ng ngh ch bi n. Do v y v i hàm b c b n
không th ơn i u trên » .
Bài t p tương t :
Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y = x 3 − 3x 2 + 2 4
5. y = − x 5 + x 3 + 8
2. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 5
1 3 3
1 4 6. y = x 5 − 2x 4 + x 2 − 2x
3. y = − x + 2x 2 − 1 5 4 2
4
7
4. y = x + 2x 2 − 3
4
7. y = 9x 7 − 7x 6 + x 5 + 12
5
Ví d 3 : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y = x 2 − 2x 3. y = x 1 − x 2
2. y = 3x 2 − x 3 4. y = x + 1 − 2 x 2 + 3x + 3
Gi i:
1. y = x 2 − 2x .
* Hàm s ã cho xác nh trên m i n a kho ng −∞; 0 ∪ 2; +∞ .
( )
x −1
* Ta có: y ' = ( ) (
, ∀x ∈ −∞; 0 ∪ 2; +∞ . )
x 2 − 2x
Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 2 .
Cách 1 :
( )
+ Trên kho ng −∞; 0 : y ' < 0 ⇒ hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞; 0 ,( )
+ Trên kho ng ( 2; +∞ ) : y ' > 0 ⇒ hàm s ng bi n trên kho ng ( 2; +∞ ) .
Cách 2 :
B ng bi n thiên :
x −∞ 0 2 +∞
y' − || || +
y
9
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
V y , hàm s ngh ch bi n trên kho ng −∞; 0 và ( ) (
ng bi n trên kho ng 2; +∞ )
2. y = 3x 2 − x 3
* Hàm s ã cho xác nh trên n a kho ng (−∞; 3] .
3(2x − x 2 )
* Ta có: y ' = , ∀x ∈ −∞; 0 ∪ 0; 3 .( ) ( )
2 3x 2 − x 3
Hàm s không có o hàm t i các i m x = 0, x = 3 .
( ) ( )
Suy ra, trên m i kho ng −∞; 0 và 0; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 2
B ng bi n thiên:
x −∞ 0 2 3 +∞
y' − || + 0 − ||
y
Hàm s ng bi n trên kho ng (0;2) , ngh ch bi n trên các kho ng (−∞; 0) và
(2; 3) .
3. y = x 1 − x 2
* Hàm s ã cho xác nh trên o n −1;1 .
1 − 2x 2
* Ta có: y ' = , ∀x ∈ −1;1 ( )
1 − x2
Hàm s không có o hàm t i các i m x = −1, x = 1 .
2
( )
Trên kho ng −1;1 : y ' = 0 ⇔ x = ±
2
B ng bi n thiên:
x 2 2
−∞ −1 − 1 +∞
2 2
y' || − 0 + 0 − ||
y
2 2
Hàm s ng bi n trên kho ng − ; , ngh ch bi n trên m i kho ng
2 2
2 2
−1; − và ;1 .
2 2
10
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
4. y = x + 1 − 2 x 2 + 3x + 3
* Hàm s ã cho xác nh trên » .
2x + 3
* Ta có: y ' = 1 −
x 2 + 3x + 3
3
x ≥ −
y ' = 0 ⇔ x 2 + 3x + 3 = 2x + 3 ⇔ 2 ⇔ x = −1
x 2 + 3x + 3 = 2x + 3 ( )
2
B ng bi n thiên :
x −∞ −1 +∞
y' + 0 −
y
Hàm s ng bi n trên kho ng (−∞; −1) , ngh ch bi n trên kho ng (−1; +∞) .
Bài t p tương t :
Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y = 2x − x 2 (
5. y = 4 − 3x ) 6x 2 + 1
2. y = x + 1 − x 2 − 4x + 3 2x 2 − x + 3
6. y =
3. y = 3 3x − 5 3x + 2
3 x +2
4. y = x 2 − 2x 7. y =
x2 − x + 3
Ví d 4 :Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau: y =| x 2 − 2x − 3 |
Gi i:
x 2 − 2x − 3 khi x ≤ −1 ∨ x ≥ 3
2
y =| x − 2x − 3 | = 2
−x + 2x + 3 khi − 1 < x < 3
* Hàm s ã cho xác nh trên » .
2x − 2 khi x < −1 ∨ x > 3
* Ta có: y ' =
−2x + 2 khi − 1 < x < 3
Hàm s không có o hàm t i x = −1 và x = 3 .
( )
+ Trên kho ng −1; 3 : y ' = 0 ⇔ x = 1 ;
+ Trên kho ng ( −∞; −1) : y ' < 0 ;
+ Trên kho ng ( 3; +∞ ) : y ' > 0 .
11
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
B ng bi n thiên:
x −∞ −1 1 3 +∞
y' − || + 0 − || +
y
Hàm s ng bi n trên m i kho ng (−1;1) và (3; +∞) , ngh ch bi n trên m i
kho ng (−∞; −1) và (1; 3) .
Bài t p tương t :
Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
1. y = x 2 − 5x + 4 3. y = −x + 1 − 2x 2 + 5x − 7
2. y = −3x + 7 + x 2 − 6x + 9 4. y = x 2 + x 2 − 7x + 10
Ví d 5 :
Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y = 2 sin x + cos 2x trên o n 0; π .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh trên o n 0; π
* Ta có: y ' = 2 cos x 1 − 2 sin x , x ∈ 0; π .
( )
x ∈ 0; π
cos x = 0 π π 5π
Trên o n 0; π : y ' = 0 ⇔
⇔x = ∨x = ∨x = .
1 2 6 6
sin x = 2
B ng bi n thiên:
x π π 5π
0 π
6 2 6
y' + 0 − 0 + 0 −
y
π
D a vào b ng bi n thiên suy ra : hàm s ng bi n trên các kho ng 0; và
6
π 5π π π 5π
; , ngh ch bi n trên các kho ng ; và ; π .
2 6 6 2 6
Bài t p tương t :
Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau:
12
- Nguy n Phú Khánh – à L t .
π
1. y = sin 3x trên kho ng 0; .
3
cot x
2. y =
x
( )
trên kho ng 0; π .
1 1 π
3. y = sin 4x −
8
(
4
)
2 − 3 cos 2x trên kho ng 0; .
2
π π
4. y = 3 sin x − + 3 cos x + trên o n 0; π .
6 3
Ví d 6: Ch ng minh r ng hàm s y = sin2 x + cos x ng bi n trên o n
π π
0; và ngh ch bi n trên o n ; π .
3 3
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh trên o n 0; π
( ) ( )
* Ta có: y ' = sin x 2 cos x − 1 , x ∈ 0; π
1 π
( ) ( )
Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > 0 nên trên 0; π : y ' = 0 ⇔ cos x =
2
⇔x = .
3
π π
+ Trên kho ng 0; : y ' > 0 nên hàm s ng bi n trên o n 0; ;
3 3
π π
+ Trên kho ng ; π : y ' < 0 nên hàm s ngh ch bi n trên o n ; π .
3 3
Bài t p tương t :
( ) ( )(
1. Ch ng minh r ng hàm s f x = x − sin x π − x − sin x ) ng bi n trên
π
o n 0; .
2
2. Ch ng minh r ng hàm s y = cos 2x − 2x + 3 ngh ch bi n trên » .
x
3. Ch ng minh r ng hàm s y = t a n
2
( )
ng bi n trên các kho ng 0; π và
(π ;2π ) .
3x π
4. Ch ng minh r ng hàm s y = cos 3x + ng bi n trên kho ng 0; và
2 18
π π
ngh ch bi n trên kho ng ; .
18 2
13
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
