intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi Toán: Số phức

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST
Báo xấu
192
lượt xem 41
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một s

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi Toán: Số phức

  1. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ Số Phức định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2  1 Dạng đại số của số phức Hai số phức bằng nhau: Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ : Cho z1  5  3i ; z 2  a  3i tìm tất cả các số thực m để z1  z 2 Giải : a  5 z1  z 2  5  3i  a  3i   a 5 3  3 Phép cộng và phép trừ của hai số phức : Cho hai số phức . z1  a 1  b1i và z 2  a 2  b 2i khi đó Phép cộng . a 1  b1i  a 2  b 2i  a 1  a 2   b1  b 2 i Phép trừ . a 1  b1i  a 2  b 2i   a 1  a 2   b1  b 2 i Tóm lại : Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Ví dụ : Tìm phần thực và phần ảo của số phức . z  3  9i   6  5i  61
  2. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ Giải : z  3  9i   6  5i   12  14i  Re z  12 ; Im z  14 Phép nhân Cho hai số phức . z1  a 1  b1i và z 2  a 2  b 2i khi đó Phép nhân . a1  b1i .a 2  b 2i   a 1a 2  b1b 2   a 1b 2  b1a 2 i Tóm lại : Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i 2  1 Ví dụ : thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại số 2 z  1  2i 2  i   5i Giải :   2 z  1  2i 2  i   1  2i  4  4i  i 2  1  2i 3  4i   3  2i  8i 2  11  2i Định nghĩa số phức liên hợp: Số phức z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z  a  bi . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức . z  2  5i 1  3i  Giải : z  2  5i 1  3i   2  i  15i 2  17  i vậy số phức liên hợp là z  17  i Tính chất của số phức liên hợp: Cho z ,w là hai số phức z , w là hai số phức liên hợp zz là một số thực là một số thực z.z zz khi z là một số thực 62
  3. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ zw  zw z.w  z.w zz n z n  z  với n là số tự nhiên Phép chia hai số phức cho z = a + bi , w = c + di (w  0) ta có . z a  bi a  bi c  di  ac  adi  bci  bdi 2    w c  di c  di c  di  c2  d2 ac  bd   bc  ad i  ac  bd  bc  ad i  c2  d 2 c2  d 2 c2  d 2 ( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu ) Dạng lượng giác Imz 63
  4. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ b M(a;b)  a + bi r Trục thực 0 Rez  a Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: Modz   r  a 2  b 2 ký hiệu z vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau . z  4  3i Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 4 2  32  5 Định nghĩa argument của số phức :   a bi z  a  bi  a 2  b 2    2  a  b2 a 2  b2   Trong đó . 64
  5. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ   2 2 r  a  b  a   z  r cos   sin i  cos   a  b2 2   b sin    a  b2 2  là dạng lượng giác a  cos   a 2  b2  Mọi nghiệm của hệ phương trình  gọi là argument của b sin    a 2  b2  số phức z  a  bi  0 . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần 2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Góc  được giới hạn trong khoảng 0    2 hoặc       Ví dụ: Tìm argument của số phức z  1  3i Giải : a  1 , b  3 ta tìm góc  a 1  cos   r    2  vậy Argz =   3 3 sin   b  3  r 2  Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: 65
  6. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ    2  k 2 z1  z 2   1 r1  r2 Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. z1.z 2  r1.r2 cos1   2   sin 1   2 .i Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :   z  1  i  1  3i Giải :   z  1  i  1  3i        2  cos  sin .i 2 cos  i sin  .  4 4  3 3        2 2 cos    i sin     4 3 4 3    2 2 cos  sin  i 12 12 Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. z1 r1  cos1   2   sin 1   2 .i z 2 r2 Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : 2  12i z  3 i Giải : 66
  7. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ 1 3 4    2 2 i 2  12i 2  2 3i   z   3 1   3i  3i 2   2  2 i      2 cos  i sin  7 7  3 3    2 cos  i sin   5 5 6 6  cos  i sin 6 6 Dạng mũ số phức Định lý Euler (1707-1783): z  ei  cos   i sin  Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. z   3  i Giải :  3 1 z   3  i  2    2  2 i   5 5    2 cos  i sin  6 6  5 i. 6  2e Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 67
  8. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ z  e 2i Giải : z  e 2i  e 2 e i  e 2 cos   i sin  Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. Dạng lũy thừa z  a  bi   z 2  z.z  a  bi a  bi   a 2  b 2  2abi z 3  a  bi   a 3  3a 2 bi  3ab 2i 2  b 3i 3 3  ...... n n z n  a  bi    C k a n k b k n k 0  C a b  C1 a n 1b1  ............  C n a 1b n 1  C1 a 0 b n 0 n 0 0 n n n  A  Bi Ví dụ: tính z 5 của z  2  i Giải : 5 z  2  i   C 5 2 5 k i k k k 0  C 2 i  C1 2 4 i1  C 5 2 3 i 2  C 5 2 2 i 3  C 5 21 i 4  C1 2 0 i 5 1 50 2 3 4 55 5  32  80i1  80  40i  10  i  38  41i Lũy thừa bậc n của số phức i: 68
  9. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ i 5  i 4 .i  i ii i 2  1 i 6  i 4 .i 2  1 i 3  i 2 .i  i i 7  i 4 .i 3  i i 4  i 2 .i 2  1 i 8  i 4 .i 4  1 vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó i n  i r , với r là phần dư của n chia cho 4. Ví dụ: t ính z c ủa z  i 403 Giải : Ta . 403 = 100.4 +3 z  i 403  i100.43  i 3  1 về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta r cos   i sin n  r n cos n  i sin n Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: 25 z 25  1  i  Giải : 1 1 z  1  i  2  i 2 2     2  cos  i sin  4 4  25 25   25  25 vậy . z 25  1  i   2  cos  i sin  4 4     = 4096 2  cos  i sin  4 4  Định nghĩa căn bậc n của số phức: 69
  10. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ n Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w = z, trong đó n là số tự nhiên z  a  bi  cos   i sin  z  n r cos   i sin    n   k 2   k 2   z k  n r  cos  i sin  n n   với k  1,2,3,....n  1 Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1  3i và z 2  5  i Giải : Vì z1  3i và z 2  5  i là hai nghiệm nên z1  3i và z 2  5  i cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt Bài tập 1) tính trong C 2 c ) 1  5i  b) (2+6i)(5  8i) a) 9 + 5i +(7-2i) 1  2i d) 2i 70
  11. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ 1  i tan  e) 1  i tan  Giải : a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i b) (2+6i)(5  8i) = 10  16i  30i  48i 2  58  14i 2 c) 1  5i   1  10i  25i 2  24  10i 1  2i 1  2i 2  i  2  i  4i  2i 2 5i d)    2  i 2  i 2  i  3 3 1  i tan  1  i tan 1  i tan   e)  1  i tan  1  i tan 1  i tan  1  2i tan   tan 2   cos 2   2i sin  cos   sin 2   1  tan 2   cos 2  i sin 2 2) giải phương trình trong C : a) x 2  2 x  2  0 b) x 2  5x  7  0 Giải : a) x 2  2 x  2  0   1 x1, 2  1   1 phương trình có hai nghiệm phức : x1  1  i , x 2  1  i 2 b) x  5x  7  0   3 5 3 x 1, 2  phương trình có hai nghiệm phức 2 5 3i 5 3i x1   , x2   2 2 2 2 3) tìm nghiệm thực của phương trình : 71
  12. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ a) x  6i  7  yi b) 1  i x   2  5i y  4  17i c) 12 2 x  i 1  i   x  y 3  2i   17  6i Giải : x  7 a)   y  6 b) 1  i x   2  5i y  4  17i x  xi  2 y  5 yi  4  17i x  2 y  x  5 y i  4  17i x  2 y  4 x  2   x  5y  17 y  3  17  6i  a) 12 2 x  i 1  i   x  y 3  2i      12    2 x  2xi  i  i 2  3x  2xi  3y  2 yi   1  5x  3y   1  2 y i 1 17    1  5x  3y  12 x  3     1  2 y  6 y  1    12  4 4) giải phương trình trong C : a) x 2  1  i x  1  i   0 b) x 2  1  2i x  i  1  0 Giải : a) x 2  1  i x  1  i   0  x  1  i   41  i  2  4  2i 72
  13. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ 2 gọi a  bi   4  2i  a 2  b 2  2abi  4  2i a 2  b 2  4 a 2  b 2  4    2 a  b 2  2 5 2ab  2   a  52  a  5  2   2 b   5  2     b 2  5  2    ab  1  a   5  2    b  52  Vậy phương trình có nghiệm .  1  i    5  2  i 5  2      x 1, 2  2 b) x 2  1  2i x  i  1  0  x  1  2i   4i  1 2  4i 2  5  1 Vậy phương trình có nghiệm . x 1  1  i , x 2  i 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1  3i và z 2  2  i làm nghiệm . Giải : Đa thức cần tìm là . f (z)  z  z1 z  z1 z  z 2 z  z 2   z  3i z  3i z  (2  i)z  (2  i)      z 2  9 z 2  4z  5 6)tìm tất cả các nghiệm của P(z )  z 4  4z 3  14z 2  36z  45 biết z  2  i là một nghiệm . 73
  14. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. P(z) có thể phân tích thành . z  (2z  i z  (2  i)  z 2  4z  5 P(z) có thể tách thành .    P( z )  z 2  4 z  5 z 2  9 Mà z 2  9  z  3i z  3i  vậy phương trình có 4 nghiệm . 2  i , 2  i , 3i ,  3i 7) giải phương trình sau trong C : z 9  i  0   z 9  i  0  z  9  i  9 cos  i sin  2 2 Giải :     k 2   k 2  z k  cos 2  i sin 2 9 9 với k  0,1,2,......,8 8) giải phương trình sau trong C a )z 5  1  i  0 b)z 2  z  1  0 c)z 2  2z  1  i  0 Giải : a) 1 1 z5  1  i  0  z  5  1  i  5 2   i 2 2  3 3   5 2  cos  i sin  4 4  74
  15. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ 3 3    k 2  k 2    z k  10 2  cos 4  i sin 4  5 5       với k  0,1,2,3,4 b)z 2  z  1  0   3 phương trình có hai nghiệm . 1   3 1  i 3 x 1, 2   2 2 1 3 1 3 x1    i , x2    i 22 22 c)z 2  2z  1  i  0   i phương trình có 2 nghiệm . z1, 2  1  i 9) mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau : f )1  z  2  2 a ) Re z  0 g ) z  1  Re z b) 0  Im z  1 k) z 1  z  2 c) Im z  2  d) z  1 m)0  arg z  4 e) z  1  2  n)   arg z  4 Giải : a ) Re z  0  x  0 là nửa mặt phẳng x  0 b) 0  Im z  1  0  y  1 là dải 0  y  1 c) Im z  2  y  2 là dải  2  y  2 d) z  1 đặt z  x  yi ta có z  x 2  y 2 75
  16. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ  x 2  y 2  1 là phần trong của có tâm I(0;0) bán kính R=1 e) z  1  2 đặt z  a  bi ta có 2 z  i  x  1  yi  x  1  y 2  2 Là phương trình đường tròn tâm I(-1,0) bán kính R=4 . f )1  z  2  2 đặt z  x  yi ta có x  2 2  y 2 z  2  x  2  yi  1  x  2   y 2  4 2 Là hình khuyên giữa 2 đường tròn x  2 2  y 2  1 và x  2 2  y 2  1 mà x  2 2  y2  1 không thuộc hình khuyên g) z  1  Re z đặt z  x  yi ta có x 2  y 2  1  x  x 2  y 2  1  x 2  2x y 2  1  2x   vậy D  x, y y 2  1  2x k ) z  1  z  2 đặt z  x  yi ta có z  1  x  1  yi  x  12  y 2 z  2  x  2  yi  x  2 2  y2 2 2 ycbt  x  1  y 2  x  2  y 2  4x  2 y  3  0 Là phương trình đường thẳng 4x  2 y  3  0  m)0  arg z  là hình quạt được giới hạn bởi 4 l1  x , y y  0, x  0 và l2  x, y y  x, x  0 76
  17. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ    n )   arg z     arg z    4 4 4 3 5   arg z  4 4 Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia . l1  x , y y  x, x  0 và l2  x, y y   x , x  0 10) Tìm dạng mũ của số phức sau: z  3i Giải : 5 5   z   3  i  2 cos  i sin  6 6  5 i. 6  2e 11) chứng minh công thức Ơle (Euler) : e i  e i cos   2 Giải :  i e  cos   i sin  Ta có  i e  cos   i sin   e i  e i cos   i sin   cos   i sin     cos  2 2 12) chứng minh công thức Ơle (Euler): e i  e i sin   2i Giải :  i e  cos   i sin  Ta có  i e  cos   i sin   e  e  i cos   i sin   cos   i sin  i   sin  2i 2i 77
  18. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ Bài tập tự làm 13) chứng minh công thức Moivre : Nếu z  r.e i thì z n  r n .e in 14) tính theo Moivre : a ) 1  i  10 1  i 5 b) 1  i 3 20  1  3i   c)  1 i      6 d)1  i  1  i 3 8 15)chứng minh các đẳng thức : n n n   n a ) 1  i   2 2  cos  i sin  4 4  n n    n b) 3  i  2 n  cos  i sin  6 6  16) tìm căn bậc 3 của số : a  2  2i 3 17) tìm nghiệm của đa thức z 6  2z 3  1 : 18) giải phương trình trong C : a ) z 2  2z  5  0 b)4 z 2  2z  1  0 c) z 2  2i  3z  5  i  0 d) z 3  1  0 4 4 e)z  1  16 f )z  1  16 19)tìm tất cả các nghiệm của P(z )  z 4  6z 3  9z 2  100 biết z  1  2i là một nghiệm . 78
  19. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwa http://www.foxitsoftware.com For evaluation on Ñ AÏI SOÁ 109 NGUỄN THÁI BÌNH ,F3 ,TÂN AN , LONG AN 79
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
8=>2