Chuyên đ : Ph ng trình l ng giácề ươ ượ
Ch ng I: Ph ng trình l ng giác c b n ươ ươ ượ ơ ả
và m t s ph ng trình l ng giác th ng g pộ ố ươ ượ ườ ặ
Đ gi i 1 PTLG , nói chung ta ti n hành theo các b c sau:ể ả ế ướ
B c 1:ướ Đ t đi u ki n đ ph ng trình có nghĩa. Các đi u ki n y bao hàm các đi u ki n đ căn cóặ ề ệ ể ươ ề ệ ấ ề ệ ể
nghĩa, phân s có nghĩa, bi u th c logarit có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có ch a các bi u th cố ể ứ ứ ể ứ
ch a ứ
tan x
va
cot x
thì c n đi u ki n đ ầ ề ệ ể
tan x
và
cot x
có nghĩa.
B c 2ướ : B ng ph ng pháp thích h p đ a các ph ng trình đã cho v m t trong các ph ng trình cằ ươ ợ ư ươ ề ộ ươ ơ
b n.ả
B c 3:ướ Nghi m tìm đ c ph i đ i chi u v i đi u ki n đã đ t ra. Nh ng nghi m nào không thoệ ượ ả ố ế ớ ề ệ ặ ữ ệ ả
mãn đi u ki n y thì b lo i.ề ệ ấ ị ạ
1.1-Ph ng trình l ng giác c b nươ ượ ơ ả
1.1.1- Đ nh nghĩa:ị Ph ng trình l ng giác là ph ng trình ch a m t hay nhi u hàm s l ng giác .ươ ượ ươ ứ ộ ề ố ượ
1.1.2- Các ph ng trình l ng giác c b n.ươ ượ ơ ả
a) Gi i và bi n lu n ph ng trình ả ệ ậ ươ
sin x m=
(1)
Do
[ ]
sin 1;1x−�
nên đ gi i ph ng trình (1) ta đi bi n lu n theo các b c sauể ả ươ ệ ậ ướ
B c1:ướ N u |m|>1 ph ng trình vô nghi mế ươ ệ
B c 2:ướ N u |m|<1 ,ta xét 2 kh năngế ả
- Kh năng 1:ả N u m đ c bi u di n qua sin c a góc đ c bi t, gi s ế ượ ể ễ ủ ặ ệ ả ử
α
khi đó ph ng trình s cóươ ẽ
d ng đ c bi t.ạ ặ ệ
2
sin sin ,
2
x k
x k
x k
α π
απ α π
= +
=��
= − +
ﾢ
-Kh năng 2:ả N u m không bi u di n đ c qua sin c a góc đ c bi t khi đó. Ta có:ế ể ễ ượ ủ ặ ệ
arcsin 2
sin ,
arcsin 2
x m k
x m k
x m k
π
π π
= +
=��
= − +
ﾢ
Nh v y ta có th k t lu n ph ng trình có 2 h nghi m ư ậ ể ế ậ ươ ọ ệ
Đ c bi t ta c n ph i nh đ c các giá tr c a các cung đ c bi t nh ặ ệ ầ ả ớ ượ ị ủ ặ ệ ư
; ; ; ; ;2
6 4 2 3
π π π π π π
� �
� �
�
vì sau khi
bi n đ i các bài toán th ng đ a v các cung đ c bi t.ế ổ ươ ư ề ặ ệ
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
1
sin 4
x=
Gi i:ả
Ta nh n th y ậ ấ
1
4
không là giá tr c a cung đ c bi t nào. Khi đó ta có:ị ủ ặ ệ
V y ph ng trình có 2 h ngi mậ ươ ọ ệ
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
3
sin(3 )
4 2
x
π
+ =
Gi i:ả
Phan Bá Linh 1
Chuyên đ : Ph ng trình l ng giácề ươ ượ
Do
3
sin 3 2
π
=
nên
3
sin(3 ) sin(3 ) sin
4 2 4 3
2
3 2 3 2
4 3 4 3 24 3
5 2
3 2 3 2
4 3 3 4 24 3
x x
x k x k x k
k
x k x k x k
π π π
π π π π π π
π π
π π π π π π
π π π π
+ = + =�
� � �
+ = + = − + + = +
� � �
� � � �
� � �
� � �
+ = − + = − − + = +
� � �
� � �
ﾢ
V y ph ng trình có hai h nghi m.ậ ươ ọ ệ
Bài t pậ
1. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.
3
sin 5 2
x
π
� �
+ = −
� �
� �
b.
( )
2
sin 25 2
o
x+ = −
c.
( )
1
sin 2 1 2
x+ = −
d.
5
sin 3 3 2
x
π
� �
− = −
� �
� �
e.
( )
2
sin 3 3
x− =
b) Gi i và bi n lu n ph ng trình l ng giácả ệ ậ ươ ượ
cos ( )x m b=
Ta cũng đi bi n lu n (b) theo mệ ậ
B c 1:ướ N u ế
1m>
ph ng trình vô nghi m .ươ ệ
B c 2:ướ N u ế
1m
ta xét 2 kh năng: ả
-Kh năng 1:ả N u ế
m
đ c bi u di n qua ượ ể ễ
cos
c a góc đ c bi t, gi s gócủ ặ ệ ả ử
α
. Khi đó ph ng trìnhươ
có d ngạ
2
cos cos ,
2
= +
=��
= − +
ﾢ
x k
x k
x k
α π
αα π
-Kh năng 2:ả N u ế
m
không bi u di n đ c qua ể ễ ượ
cos
c a góc đ c bi t khi đó ủ ặ ệ
Ta có:
arccos 2
cos ,
arccos 2
x m k
x m k
x m k
π
π
= +
=��
= − +
ﾢ
Nh v y ta có th k t lu n ph ng trình có 2 h nghi m ư ậ ể ế ậ ươ ọ ệ
Ví D Minh Ho .ụ ạ
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình sau:ả ươ
1
cos 2
x= −
Gi i:ả
Do
2 1
cos( ) cos
3 3 2
π π
π
− = = −
nên
1 2 2
cos cos cos 2 ( )
2 3 3
x x x k k
π π π
= − = = +� � � �ﾢ
V y ph ng trình có 2 h nghi m ậ ươ ọ ệ
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình:ả ươ
3cos(2 ) 1
6
x
π
+ =
Gi i:ả
1
3cos(2 ) 1 cos(2 )
6 6 3
x x
π π
+ = + =�
Phan Bá Linh 2
Chuyên đ : Ph ng trình l ng giácề ươ ượ
Vì
[ ]
11;1
3−�
và
1
3
không là giá tr c a cung đ c bi tị ủ ặ ệ
Ta có:
1 1
cos(2 ) 2 ar os 2
6 3 6 4
x x cc k
π π π
+ = + = +� �
1 1 1
2 ar os 2 ar os ( )
6 3 12 2 3
x cc k x cc k k
π π
π π
= − + = − +� � � � �ﾢ
V y ph ng trình có hai h nghi m.ậ ươ ọ ệ
Bài t pậ
2. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.
3
os 3 2
c x
π
� �
+ = −
� �
� �
b.
( )
2
os 25 2
o
c x − = −
c.
( )
1
os 2 1 2
c x + =
d.
5
os 2 3 2
c x
π
� �
− =
� �
� �
e.
( )
1
os 2 3 4
c x − =
c) Gi i và bi n lu n ph ng trình l ng giác ả ệ ậ ươ ượ
tan ( )=x m c
Ta cũng bi n lu n ph ng trình (c) theo các b c sau:ệ ậ ươ ướ
B c 1:ướ Đ t đi u ki n ặ ề ệ
,
2
x k k
ππ
+ ﾢ
B c 2:ướ Xét 2 kh năngả
-Kh năng 1:ả N u ế
m
đ c bi u di n qua tan c a góc đ c bi t , gi s ượ ể ễ ủ ặ ệ ả ử
α
khi đó ph ng trình cóươ
d ngạ
tan tan ,= = +� �ﾢx x k k
α α π
-Kh năảng 2: N u ế
m
không bi u di n đ c qua tan c a góc đ c bi t, khi đó ta cóể ễ ượ ủ ặ ệ
tan arctan ,x m x m k k
π
= = +� �ﾢ
Nh n xét: Nh v y v i m i giá tr c a tham s ph ng trình luôn có nghi m ậ ư ậ ớ ọ ị ủ ố ươ ệ
Ví D Minh Ho :ụ ạ
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
tan 3x=
Gi i :ả
Do
3 tan 6
π
=
nên ta có:
tan 3 tan tan 6 6
x x x k
π π π
= = = +� �
kﾢ
V y ph ng trình có 1 h nghi m.ậ ươ ọ ệ
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
tan( ) 2
5x
π
− =
Gi i:ả
Đi u ki n: ề ệ
cos( ) 0
5 5 2
x x k
π π π π
− − +�� �
Do
2
không th bi u di n đ c qua ể ể ễ ượ
tan
c a góc đ c bi t. T đó ta có ủ ặ ệ ừ
tan( ) 2 arctan 2 arctan 2 ( )
5 5 5
x x k x k k
π π π
π π
− = − = + = − −� � �ﾢ
V y ph ng trình có m t h nghi m.ậ ươ ộ ọ ệ
Bài t pậ
3. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.
1
tan( )
33
x
π
− = −
b.
tan(2 30 ) 1
o
x− = −
c.
tan( ) 3
2
x
π
+ = −
Phan Bá Linh 3
Chuyên đ : Ph ng trình l ng giácề ươ ượ
d) Gi i và bi n lu n ph ng trình l ng giácả ệ ậ ươ ượ
cot ( )=x m d
Ta cũng đi bi n lu n theo ệ ậ
m
B c1ướ : Đ t đi u ki n ặ ề ệ
x k k
π
ﾢ
B c 2:ướ Xét 2 kh năngả
-Kh năng 1:ả N u ế
m
đ c bi u di n qua cot c a góc đ c bi t , gi s ượ ể ễ ủ ặ ệ ả ử
α
khi đó ph ng trình cóươ
d ngạ
cot cot ,x x k k
α α π
= = +� �ﾢ
-Kh năng 2:ả N u ế
m
không bi u di n đ c qua cot c a góc đ c bi t. ta cóể ễ ượ ủ ặ ệ
cot ar cot ,x m x c m k k
π
= = +� �ﾢ
Nh n xét: Nh v y v i m i giá tr c a tham s ph ng trình (d) luôn có nghi m.ậ ư ậ ớ ọ ị ủ ố ươ ệ
Ví D Minh Ho :ụ ạ
Ví d 1:ụ
Gi i ph ng trình sau: ả ươ
1
cot( )
43
x
π
− =
(1)
Gi iả:
Đi u ki n ề ệ
cos( ) 0
4− x
π
4 4
x k x k k
π π
π π
− −� �۹ � ﾢ
(*)
Ta có:
(1)
cot( ) cot
4 3 4 3 12
x x k x k k
π π π π π
π π
− = − = + = − −� � �ﾢ
H nghi m trên tho mãn đi u ki n (*)ọ ệ ả ề ệ
V y ph ng trình có 1 h nghi m.ậ ươ ọ ệ
Ví d 2ụ: Gi i ph ng trìnhả ươ
cot(4 35 ) 1
o
x+ = −
Gi i:ả
Ta nh n th y ậ ấ
cot( 45 ) 1
o
− = −
nên ta có
cot(4 35 ) 1 cot(4 35 ) cot( 45 )
o o o
x x+ = − + = −�
4 35 45 180 4 80 180 20 45 ( )
o o o o o o o
x k x k x k k+ = − + = − + = − +� �ﾢ
V y ph ng trình có 1 h nghi m .ậ ươ ọ ệ
L u ý: Không đ c ghi hai lo i đ n v ( radian ho c đ ) trong cùng m t công th c.ư ượ ạ ơ ị ặ ộ ộ ứ
Bài t pậ
4. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.
1
t( )
33
co x
π
+ = −
b.
cot(2 20 ) 1
o
x+ = −
c.
cot( ) 3
4
x
π
+ = −
Bài t p t ng h pậ ổ ợ
5. Gi i ph ng trình sau: ả ươ
Gi iả
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
(1) os sin os sin sin 4x 1 0 os2x os 4x 0c x x c x x c c+ − − = − =� �
x
2x
os2x 0 4 2
2,
os4x 0 4x
4x 8 4
2
k
k
ck l
cl
l
π π
ππ
π π
ππ
= +
= +
=
� � � �
=
= +
= +
Z
6. Gi i ph ng trình sau: ả ươ
( )
3 osx sinx 1 os2x sin 2x (1)c c− = + −
Gi iả
Phan Bá Linh 4
Chuyên đ : Ph ng trình l ng giácề ươ ượ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
(1) 3 osx sinx 2 os 2sin x osx 3 osx sinx 2 osx osx sinx
osx sinx 3 2 osx 0 osx sinx 0
t anx 1 4
c c x c c c c
c c c
x k k
ππ
− = − − = −� �
− − = − =� �
= = +� � �Z
7. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ
a.
tan 3x.t anx 1=
b.
( )
( )
1 2 os2x 3 2sinx 0c+ + =
c.
sin 2x 0
1 os2xc=
+
d.
( )
tan 2x sinx 3 sinx 3 tan 2x 3 3 0+ − − =
1.2- M t s ph ng trình l ng giác th ng g p.ộ ố ươ ượ ườ ặ
1.2.1- Ph ng trình b c hai đ i v i m t hàm s l ng giácươ ậ ố ớ ộ ố ượ
D ng 1:ạ
2
sin sin 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ﾢ
(1)
Cách gi i:ả Đ t ặ
sint x=
, đi u ki n ề ệ
| |t
1
Đ a ph ng trình (1) v ph ng trình b c hai theo ư ươ ề ươ ậ
t
, gi i tìm ả
t
chú ý k t h p v i đi u ki n r i gi i tìm ế ợ ớ ề ệ ồ ả
x
D ng 2:ạ
2
cos cos 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ﾢ
(2)
Cách gi iả: Đ t ặ
cost x=
đi u ki n ề ệ
| |t
1
Đ a ph ng trình (2) v ph ng trình b c hai theo ư ươ ề ươ ậ
t
, gi i tìm ả
t
r i tìm ồ
x
D ng 3ạ:
2
tan tan 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ﾢ
(3)
Cách gi i:ả Đi u ki n ề ệ
cos 0 ,
2
x x k k
ππ
+�۹ � ﾢ
Đ t ặ
( )
tant x t= ﾢ
ta đ a ph ng trình (3) v ph ng trình b c hai theo ư ươ ề ươ ậ
t
, chú ý khi tìm đ cượ
nghi m ệ
x
c n thay vào đi u ki n xem tho mãn hay khôngầ ề ệ ả
D ng 4:ạ
2
cot cot 0 ( 0; , , )a x b x c a a b c+ + = ﾢ
(4)
Cách gi i:ả Đi u ki n ề ệ
sin 0x x k k
π
�۹� ﾢ
Đ t ặ
cot ( )t x t= ﾢ
. Ta cũng đ a ph ng trình (4) v ph ng trình b c hai theo n t.ư ươ ề ươ ậ ẩ
Ví D Minh Ho :ụ ạ
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình ả ươ
2
2cos 3cos 1 0x x− + =
(1)
Gi i:ả
Ph ng trình (1)ươ
2
cos 1
,
12
cos 3
2
x k
x
k
x k
x
π
ππ
=
=
� � �
= +
=
ﾢ
V y ph ng trình có 3 h nghi m.ậ ươ ọ ệ
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
2
cot tan 4sin 2 sin 2
x x x x
− + =
(2)
Gi iả:
Đi u ki n ề ệ
sin 2 0 ,
2
�۹� ﾢ
k
x x k
π
Ta có:
Phan Bá Linh 5