Chuyên đề "Sử dụng hàm số tìm điều kiện nghiệm của phương trình" cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán, các dạng bài toán thường gặp về hàm số tìm điều kiện nghiệm của phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đang học tập và ôn thi đại học, cao đẳng.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Chuyên đề: Sử dụng hàm số tìm điều kiện nghiệm của phương trình
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Chuyên Đề
SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình
f(x) = g(m) (1)
có nghiệm thực x ∈ D .
Các bước giải tổng quát:
i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X.
ii) Bước 2: min f(x) ≤ g(m) ≤ max f(x) .
Chú ý:
+ Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem X = Df(x)
(miền xác định của f(x)).
+ Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay
bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x).
+ Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở
lên thì ta phải dùng BBT.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t).
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 + 2x − m = 2x − 1 (1)
1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
⎪⎧⎪ 1 ⎪⎧⎪ 1
x ≥ x ≥
⇔ ⎪⎨ 2 ⇔ ⎪⎨ 2
(1) ⎪⎪ x 2 + 2x − m = (2x − 1)2 ⎪⎪ m = −3x 2 + 6x − 1.
⎩⎪ ⎩⎪
1
Đặt y = −3x + 6x − 1 , với
2 x ≥
2 ta có:
Bảng biến thiên
1
x −∞ 2 1 +∞
y 2
5
4
−∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Đt : 0919.008.716 1 Email : ngvuminh249@yahoo.com
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
5 5
1) m ≤ 2 , 2) m < ∨ m = 2, 3) ≤ m < 2 .
4 4
1 1
Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình x + x + + x + = m (2) có
2 4
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
+∞
1 1
Đặt t = x + ≥ 0 ⇔ x = t2 − , (2) trở thành:
4 4
1 1 1
t2 − + t2 + t + = m ⇔ t2 + t + = m .
4 4 4
1
y ' = 2t + 1 = 0 ⇔ t = −
2
Bảng biến thiên :
x −∞ −1/ 2 0 +∞
y’ − 0 + +
y +∞
1
4
1
Suy ra : m ≥
4
m
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 16 − x2 − −4 = 0
16 − x2
(3) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = 16 − x2 ⇒ t ∈ (0; 4] ,
m
(3) trở thành t − − 4 = 0 ⇔ t2 − 4t = m .
t
Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t , ta có −4 ≤ m ≤ 0 .
x −1 x +2
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình −m + 2 = 0 (4)
x+2 x −1
có nghiệm thực.
Đt : 0919.008.716 2 Email : ngvuminh249@yahoo.com
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
HƯỚNG DẪN GIẢI
x −1
Đặt t = ⇒ t ∈ (0; +∞) \ {1} ,
x+2
m
(4) trở thành t − + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t = m .
t
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có 0 < m ≠ 3.
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình
x + 1 − m x − 1 + 2 4 x 2 − 1 = 0 (5) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện: x ≥ 1 .
+ x = 1: (5) vô nghiệm.
x +1 x −1
+ x > 1: (5) ⇔ − m4 +2 = 0.
4
x −1 x +1
x +1 2
Đặt t = = 1+ ⇒ t ∈ (1; +∞) ,
4 4
x −1 x −1
m
(5) trở thành t − + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t = m .
t
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình x − 2x − 3 = x + m (6)
2
1) có nghiệm thực,
2) có 2 nghiệm phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có (6) ⇔ x 2 − 2x − 3 − x = m.
Đặt y = x 2 − 2x − 3 − x
Với : x ≤ −1 ∨ x ≥ 3
x −1
⇒ y' = −1
x − 2x − 3
2
x − 1 − x 2 − 2x − 3 .
=
x 2 − 2x − 3
Đt : 0919.008.716 3 Email : ngvuminh249@yahoo.com
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Bảng biến thiên
x −∞ –1 3 +∞
y’ – +
y +∞ −1
1 –3
Dựa vào bảng biến thiên:
1) −3 ≤ m < −1 ∨ m ≥ 1 , 2) không có m.
Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
x + 1 + 1 − x = m (7).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số
1− x − 1+ x
f(x) = 1 + x + 1 − x, x ∈ [−1; 1] ⇒ f / (x) = .
2 1 − x2
Bảng biến thiên
X −∞ −1 0 1 +∞
f’(x) + 0 –
2
f(x)
− 2 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
+ m < 2 ∨ m > 2 : (7) vô nghiệm.
+ m = 2 : (7) có 1 nghiệm.
+ 2 ≤ m < 2 : (7) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình
x + 9 − x = −x 2 + 9x + m (8) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
⎪⎧⎪ x + 9 − x ≥ 0 ⎧⎪ 0 ≤ x ≤ 9
⎪
(8) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨
⎪⎪ 9 + 2 9x − x2 = 9x − x2 + m ⎪⎪ −(9x − x2 ) + 2 9x − x 2 + 9 = m.
⎪⎩ ⎩
x + (9 − x) 9
Đặt t = 9x − x 2 ⇒ 0 ≤ t ≤ = , ∀x ∈ [0; 9]
2 2
ta có (8) trở thành: −t2 + 2t + 9 = m .
Đt : 0919.008.716 4 Email : ngvuminh249@yahoo.com
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
9
Lập BBT của hàm số y = −t2 + 2t + 9 trên [0 ; 9/2] ta có − ≤ m ≤ 10 .
4
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x + 4 x − 4 + x + x − 4 = m (9) có
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = x − 4 ≥ 0 ⇒ x = t2 + 4. Ta có (9) trở thành:
t2 + 4t + 4 + t2 + 4 + t = m ⇔ t2 + 2t + 6 = m.
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t + 6, t ≥ 0 ta có m ≥ 6 .
Bài 10. Tìm m để phương trình x − 1 + 3 − x − (x − 1)(3 − x) = m (10) có
nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = x − 1 + 3 − x ≥ 0 ⇒ t2 = 2 + 2 x − 1. 3 − x ≥ 2 ⇒ t ≥ 2.
Mặt khác
t2 = 2 + 2 x − 1. 3 − x ≤ 2 + [(x − 1) + (3 − x)] = 4 ⇒ 2 ≤ t ≤ 2.
Ta có (10) trở thành:
t2 − 2 1
t− = m ⇔ − t2 + t + 1 = m.
2 2
1 2
Lập BBT của hàm số y = − t + t + 1, t ∈ ⎡⎢ 2; 2 ⎤⎥ ta có 1 ≤ m ≤ 2 .
2 ⎣ ⎦
Chú ý: Nên lập BBT của t = x −1 + 3 − x để tìm miền giá trị t.
Bài 11. Tìm m để phương trình 1 + x + 8 − x + (1 + x)(8 − x) = m
9+6 2
có nghiệm thực. Đáp số: 3 ≤ m ≤ .
2
4
Bài 12. Tìm m để phương trình x 4 + 4x + m + x 4 + 4x + m = 6
(12) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
4
Đặt t = x 4 + 4x + m ≥ 0. Ta có:
4
(12) ⇔ t2 + t − 6 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x 4 + 4x + m = 2
⇔ −x 4 − 4x + 16 = m .
Đt : 0919.008.716 5 Email : ngvuminh249@yahoo.com
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
Lập BBT của hàm số y = −x − 4x + 16 trên \ ta có m ≤ 19 .
4
3x2 − 1
Bài 13. Chứng tỏ rằng phương trình = 2x − 1 + mx (13)
2x − 1
luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI
⎧⎪ 1 ⎧⎪
⎧⎪ 2x − 1 > 0
⎪ ⎪ ⎪ x > ⎪⎪ x > 1
(13) ⇔ ⎪⎨ 3x 2 − 1 ⇔ ⎪⎨ 2 2 ⇔⎪ ⎨ 2
.
⎪
⎪ − 2x − 1 = mx ⎪
⎪ 3x − 2x ⎪
⎪ 3x − 2
⎪ = mx = m
⎪
⎩ 2x − 1 ⎪⎩⎪⎪ 2x − 1 ⎪⎪
⎩⎪ 2x − 1
3x − 2 1 3x − 1
Xét hàm số f(x) = , x>
2
⇒ f / (x) = .
2x − 1 (2x − 1) 2x − 1
3x − 2 3x − 2
Mặt khác xlim = +∞ , lim = −∞ .
→+∞
2x − 1 1
x→
+
2x − 1
2
Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là \. Vậy (13) luôn có nghiệm thực với mọi m.
x +1
Bài 14. Tìm m để phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) = m (14)
x−3
có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
x +1
Điều kiện ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∨ x > 3 .
x−3
+ Với x ≤ −1 : (16) ⇔ (x − 3)(x + 1) − 4 (x − 3)(x + 1) = m .
Đặt t = (x − 3)(x + 1) ≥ 0, ∀x ≤ −1 ,
(14) trở thành t − 4t = m ⇒ m ≥ −4 .
2
+ Với x > 3 : (14) ⇔ (x − 3)(x + 1) + 4 (x − 3)(x + 1) = m ⇒ m ≥ 0 .
Vậy m ≥ −4 . Chú ý : bài này sẽ có 2 bảng biến thiên.
Bài 15 (ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
( )
m 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 (15)
có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt t = 1 + x2 − 1 − x2 , − 1 ≤ x ≤ 1
Đt : 0919.008.716 6 Email : ngvuminh249@yahoo.com
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
⇒ t' =
x ( 1 + x2 + 1 − x2 )=0⇔x=0
1 + x2 . 1 − x2
t(±1) = 2, t(0) = 0 ⇒ t ∈ ⎡⎢ 0; 2 ⎤⎥ , ∀x ∈ ⎡⎣ −1; 1 ⎤⎦ .
⎣ ⎦
−t2 + t + 2
(15) trở thành m(t + 2) = 2 − t + t ⇔ m =
2
.
t+2
−t2 + t + 2 −t2 − 4t
Xét hàm số y = ⇒ y' = ≤ 0, ∀t ∈ ⎡⎢ 0; 2 ⎤⎥ .
t+2 (t + 2)2 ⎣ ⎦
Bảng biến thiên
x −∞ 0 2 +∞
y’ 0 –
y 1
2 −1
Dựa vào bảng biến thiên, (15) có nghiệm thực ⇔ 2 − 1 ≤ m ≤ 1.
Bài 16. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
m x2 + 2 = x + m (16).
HƯỚNG DẪN GIẢI
x
(16) ⇔ m ( x + 2 − 1 ) = x ⇔ m = ( do )
x 2 + 2 − 1 > 0, ∀x ∈ \ .
2
x2 + 2 − 1
x
Xét hàm số y =
x2 + 2 − 1
x2
x + 2 −1−
2
⇒ y' = x2 + 2
( )
2
x2 + 2 − 1
2 − x2 + 2
= =0⇔x=± 2
.
( )
2
x +2
2
x + 2 −1
2
x
lim y = lim ⇒ lim y = ±1.
Giới hạn x →∞ x →∞ ⎛ 2 1 ⎟⎞ x →±∞
x ⎜⎜⎜ 1 + 2 − ⎟⎟
⎜⎝ x x ⎟⎠
Bảng biến thiên
Đt : 0919.008.716 7 Email : ngvuminh249@yahoo.com
- GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
x −∞ − 2 2 +∞
y’ – 0 + 0 –
y –1 2
− 2 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta có m < − 2 ∨ m > 2 : (16) vô nghiệm.
BÀI TẬP :
Bài 1 (ĐH Khối B – 2006) : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân
biệt x 2 + mx + 2 = 2x +1 . (Đáp Số : m ≥ 9 / 2 )
Bài 2 (ĐH Khối D – 2004) : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
⎧⎪ x + y = 1
⎨ . (Đáp Số : 0 ≤ m ≤ 1 / 4 )
⎪⎩ x x + y y = 1 − 3m
Bài 3 (ĐH Khối A – 2002) : Tìm m để hệ phương trình sau có í nhất một nghiệm
thuộc đoạn ⎡⎣1; 3 ⎤⎦ : log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 . (Đáp Số : 0 ≤ m ≤ 2 )
3 2 2
Bài 4 (CĐ KTĐN – 2007) : tìm m để phương trình sau có nghiệm
x 2 − 2x + 3 − m = 0 . (Đáp Số : m ≥ 2 )
Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm
m.4 x − ( m + 1) .2 x + m + 1 = 0 . (Đáp Số : m < 1 / 3 )
Bài 6 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x < 0
x 3 − 2x 2 − 4x + 3m − 2 = 0 . (Đáp Số : m ≥ 14 / 81 )
Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm
cos 2 x + 6sinx = 4m 2 − 2 . (Đáp Số : − 2 ≤ m ≤ 2 )
Bài 8 : Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm
( x − 3 )( x − 1) + 4x − x 2 − 2m + 1 = 0 . (Đáp Số : 1 ≤ m ≤ 17 / 8 )
Bài 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
( ) ( )
x x
5 +1 +m 5 −1 = 2 x . (Đáp Số : m = 1 ∨ m ≤ 0 )
4
Bài 10 (ĐH Khối B – 2007) : CMR phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân
biệt khi m dương : m ( x − 2 ) = x + 2x − 8
2
Bài 11 (CĐ Tài Chính Hải Quan – 2007) : tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 x + 1 − m − x = 0 . (Đáp Số : m ≤ 2 )
Đt : 0919.008.716 8 Email : ngvuminh249@yahoo.com
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
