intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề tích phân & ứng dụng

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
463
lượt xem 164
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong thời gian ôn thi đại học chuyên môn toán học - Chuyên đề tích phân & ứng dụng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề tích phân & ứng dụng

  1. ồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng 1. Bảng nguyên hàm của các hàm số. 1 3 x Bài 1: Tính tích phân I dx . 2. Các phương pháp tính tích phân: 2 x 1 0 a) Phương pháp đổi biến số: HD: Đặt t = x2 + 1 hay x = tant. ĐS I =1/2(1-ln2). * Loại 1: ln 3 ex Bài 2: Tính tích phân I dx dx 2 2 a x dx , Dạng: đặt x = asint. (e x 1)3 0 2 2 a x b dx dx u du . ĐS I 21 HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng Dạng: 2 đặt x = atant, đặt ax b ctant x a2 (ax b) 2 2 a c 0 b x (e 2 x 3 Bài 3: Tính tích phân I 1 x ) dx * Loại 2: f (u ( x))u '( x)dx. Đặt t = u(x). 1 a ĐS I=3/4e-2 - 4/7 HD Tách thành 2 tích phân. + Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx. b b 2 6 1 cos3 x .sin x.cos5 dx Bài 4: Tính tích phân I + Ta cũng có thể biến đổi: f (u ( x))u '( x)dx f (u ( x ))d (u ( x )) 0 a a b) Phương pháp tích phân từng phần: 6 1 cos3 x cos3x = 1- t6. HD: t = ĐS I =12/91 b b b x 23 P( x) sin xdx, P( x) cos xdx, P( x) e dx, Dạng: 1 Bài 5: Tính tích phân I dx a a a x. x 2 4 5 Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx). x2 t 4 . ĐS I=1/4.ln5/3 HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt b b x x Dạng: dx, dx, 2 2 a cos x a sin x 4 x Bài 6: Tính tích phân I dx dx dx 1 cos 2 x Đặt u = x, dv = hoặc dv = . 0 2 sin 2 x cos x HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I = /8-1/4.ln2 3. Một số tích phân thường gặp: 1 1 x 3 1 x 2 dx ; J x 2 1 x 2 dx Bài 7: Tính tích phân I b P( x) dx P(x), Q(x) là các đa thức. a) Tích phân hữu tỉ: 0 0 Q( x) a 3 tgx + Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x). Bài 8: Tính tích phân I dx + Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc cos x. 1 cos 2 x phương pháp hệ số bất định. 4 b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác. + Nắm vững các công thức biến đổi. HD: Biến đổi về dạng .Đặt c) Tích phân hồi quy: b b 2 x e x sin xdx, e x cos xdx. Dạng Bài 9 :Tính tích phân : I dx 1 x1 a a 1 x Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e dx. Tích phân từng phần 2 lần. 2tdt x 1 0; x 2 t1 x1 x1 t2 1 t2 t Đặt t x dx b b 1 1 1 t1 2 2 3 tt sin(ln x)dx, cos(ln x)dx. Dạng: 2tdt 2 2 t2 t 2 I dt dt 1t t1 t1 a a 0 0 0 Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần. 1 1 1 11 t3 t2 2 2t 2 ln t 1 2 2 2 ln 2 4 ln 2 d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ: 3 2 3 2 3 0 Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và: a a 2 sin 2 x sin x f ( x)dx 2 f ( x)dx . + y = f(x) chẵn thì Bài 10:Tính tích phân : I dx 1 3cos x a 0 0 a Ñaë t t 1 3cos x t 2 1 3cos x 2tdt 3sin xdx f ( x)dx 0. + y = f(x) lẻ thì: 2tdt sin xdx . Ñoå i caä n : x 0 t 2; x t1 a 3 2 f ( x) t2 1 2tdt dx trong đó f(x) là hàm số chẵn. e) Tích phân dạng 2 1 ax 1 2 2 cos x 1 sin xdx 1 3 3 2sin x cos x sin x 2 I dx Cách giải: Tách thành 2 tích phân : t 1 3cos x 1 3cos x 0 0 2 0 2 f ( x) f ( x) f ( x) 2 2 2t 2 1 2 2t 3 2 16 2 2 1 34 t dx dx dx x x x 31 3 39 3 3 9 3 9 3 27 a1 a1 0a 1 1 0 f ( x) sin 2 x 2 Xét tích phân dx đổi biến số x = -t. Bài 11 : Tính tích phân : I dx ax 1 cos x 4sin 2 x 2 0 f ( x) dx f ( x)dx . Kết quả ta được Ñaë t t cos2 x 4sin 2 x t 2 1 3sin 2 x 2tdt 6sin x cos xdx ax 1 0 2tdt 3sin 2 xdx sin 2 xdx . Ñoå i caä n : x 0 t 1; x t2 a a 3 2 f) Tích phân dạng: f ( a x)dx f ( x )dx trong đó f(x) là hàm 2tdt 2 2 2 0 0 2 2 4 2 2 3 I dt t số liên tục trên [0; a]. 31 3 3 3 3 t 1 1 Đổi biến x = a - t.
  2. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng xB DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ xB kx 2 kx 1 5 3 x 2 dx 5 kx x3 S TRÒN XOAY. 2 xA xA 1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); 2 2 kx B kx A 5 k xB 5 k xA 3 3 xB xA b 2 2 f ( x ) g( x ) dx x = a; x = b có diện tích: SD= k2 a 5 k xB 2 3 3 x xA xA xB xA 2B 2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi k quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : 5k 2 2 xB xA x xA xA x A xB xB 2B b f 2 ( x )dx k5 k2 kk VOx= . 5k 3 23 9 3 a 3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi 3k 2 90 18k 2k 2 6k 5 k 2 12k 60 quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : 3.18 54 b 3 1 1 3 f 2 ( y )dy 2 k 2 12k 60 k6 24 Vaä y Smin 6 k VOy= 54 54 a Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3. 1 x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong y pt tieá p tuyeá n taï i ñieå m M laø : y y M y ' xM x xM x x3 1 y 9 2.3 x 3 6x 9 y 0 x2 y x yx 2 1 1 Ta coù : S dx , 1;2 , 0 x Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng : y9 1 1 3 3 xx xx 6x 9 y x 1 6 1 3 3 x x 2 2 2 1 2 dx x y9 S dx dx pt tung ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø 9 36 y y 2 18y 81 y y x x3 1 x x3 1 x x3 1 6 1 1 1 9 y9 y9 1 x 1' 3 2 2 2 y 2 18y 81 0 9. S y 0;9 : y 0 1 1 3x 2 1 1 y y dy ln x ln x 3 1 dx dx 6 6 3 x3 1 3 x3 1 3 x x 0 1 1 1 9 9 2 y3 y9 9y 27 27 9 y2 1 1 4 1 Vaä y : S 18 y dy ñvdt ln 2 ln 9 ln 2 . ln 2 ln 9 ñvdt S 6 12 6 3 4 2 4 3 3 3 3 0 0 Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0 quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục x sin x 0 Ox và đường y x Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng : y x, y 2x x2 Phöông trình hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : 0 x x0 2x x 2 3x 0 0 3 x2 x x x Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x sin x 0 x sin x 0 3 3 2 x dx x 2 3 x dx 0;3 , x 2 3 x 0 x2 Vaä y S x x 2 x sin x dx x sin 2 xdx VOx 0 0 0 0 3 3 3x 2 27 9 x3 neâ n S 3x 9 x 2 dx ñvdt 1 cos 2 x x2 3 2 3 2 2 x cos 2 xdx x dx xdx I I 0 0 2 20 2 4 2 4 2 0 0 0 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : du dx y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x (Đại học khối A – 2007) u x Ñaë t 1 cos 2 xdx dv Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : e 1 x 1 ex x sin 2 x v 2 0 x 0 x 1 1 3 x 0 x xe e sin 2 x sin 2 xdx 0 cos 2 x 0 I VOx ñvtt x1 ex e 2 20 4 4 0 0 1 1 e 1x 1 e x x dx x e e x dx ; S Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx , 0 0 y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi 1 0;1 , ta luoâ n coù x e e x 0, vaä y S x e ex x dx quay hình H quanh trục Ox 0 x 0 (loaï i) Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x ln x 0 u x du dx ln x 0 x1 Ñaë t e e x dx e e x dx ex e x dv v e e 2 x ln x dx x 2 ln 2 xdx Vaä y VOx I1 1 1 2 ex e e 1 1 1 1 1 ñvdt x ex e x ex e x dx ex S e 2 2 2 2 ln x 0 du dx 0 0 e e ln 2 x u 22 2 x3 2 e3 x 2 ln x x ln xdx Ñaë t I1 I Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x và đường thẳng (d) qua 3 31 3 32 x3 2 dv x dx x 2 dx v 1 M(1;5) có hệ số góc là k. 3 d Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) P x3 dx và (d) có diện tích nhỏ nhất. Ñaë t u ' ln x du ' ; dv ' v' x 2 dx x 2 dx 3 x Ta coù pt ñt (d) : y 5 k x 1 kx k 5 y e e e 12 1 2e3 1 x3 e3 x3 e3 e3 ln x I2 x dx Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a (P) vaø (d) : 3 31 3 9 3 9 9 9 3x 2 kx k 5 3x 2 kx k 5 0 1 1 5e3 2 2 2e 1 3 3 e k . VOx ñvtt xA 3 3 9 27 6 12k 60 0, k (d ) luoâ n caé t (P) ôû A vaø B. 2 k k xB 6
  3. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005 2005 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005 2 cos 3x I dx KQ: 2 3ln 2 sin x 1 2 sin 2 x sin x 34 0 KQ: I dx Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 27 1 3cos x 0 I ln 2 Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005 x sin 2 xdx 3 2 sin xdx KQ: I ;J 3 2 x 0 sin 2 x cos x J 2 sin 2 x cos x sin 2 x 2 cos x.cos 2 0 3 4 I dx KQ: 2 ln 2 1 2 1 cos x 0 Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005 e e2 1 I x ln xdx KQ: 2 4 1 esin x I cos x cos xdx KQ: e 1 Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 4 0 2 Bài 4. Tham khảo 2005 2 4 7 4 I x sin xdx KQ: x2 141 I dx KQ: 2 0 3 10 x1 0 Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005 Bài 5. Tham khảo 2005 23 x 2x2 4x 9 I dx KQ: 6 x2 4 3 8 3 sin 2 xtgxdx 0 I KQ: ln 2 Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005 8 0 1 xdx 1 Bài 6. Tham khảo 2005 KQ: I 3 8 0x1 1 4 tgx esin x .cos x dx KQ: ln 2 e 2 I 1 Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 0 e dx Bài 7. Tham khảo 2005 KQ: I 6 x 1 ln 2 x e 2 1 1 2 KQ: e3 I x ln xdx Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005 9 9 1 Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005 sin 2004 x 2 I dx KQ: 1 63 8 2004 x cos 2004 x 0 sin 4 x3 . x 2 KQ: I 3dx 5 Bài 25. CĐSP KonTum – 2005 0 Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 4sin 3 x 2 3 x3 I dx KQ: 2 I dx KQ: 6 ln 3 8 1 cos x 3x1 x3 0 1 2006 Bài 10. CĐ GTVT – 2005 1 8 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006 x 5 1 x 2 dx I KQ: 105 0 2 2 sin 2 x Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 dx KQ: I 3 2 2 cos x 4sin x 3 0 2 3.e 2 5 Bài 2. Tham khảo 2006 3x I e sin 5 xdx KQ: 6 34 31 dx 0 KQ: ln I Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 2 12 2 2x 1 4x 1 3 Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006 848 x 3 1.x 5 dx I KQ: 1 5 3e 2 105 x 2 e2 x dx 0 KQ: I Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 2 0 1 2sin 2 x 4 1 2 I dx ln 2 KQ: Bài 4. Tham khảo 2006 I x 1 sin 2 x dx KQ: 1 2 1 sin 2 x 4 0 0 Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005 2 5 Bài 5. Tham khảo 2006 I x 2 ln x dx KQ: ln 4 0 dx 3 4 KQ: I 1 x2 2 x 4 18 Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006 1 Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 ln 5 dx 3 I KQ: ln e ln x 2 e x 2e x 3 2 I dx KQ: 1 ln 3 x2 e 10 1 dx Bài 7. Tham khảo 2006 I KQ: 2 ln 2 1 Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005 x2x1 7 5 3 x1 46 e 3 2 ln x 10 11 I dx KQ: Bài 8. Tham khảo 2006 I dx KQ: 2 3 15 3x 1 3 3 x 1 2 ln x 0 1
  4. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006 Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006 1 1 x ln 1 x 2 dx (Đổi biến t 1 x 2 , từng phần)KQ: ln 2 I 2 sin 3 x 2 I dx KQ: Không tồn tại 0 2 cos 3 x 1 0 Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006 2 ln 1 x 3 1 I dx KQ: 3ln 2 ln 3 1 x2 x ln 1 x 2 dx 2 I KQ: ln 2 1 2 0 Bài 11. CĐ Nông Lâm – 2006 Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006 1 221 x x 2 1dx 2 KQ: I xx1 32 3 I dx KQ: 10 ln 3 0 x5 3 1 1 x 1 Bài 30. CĐ Xây dựng số 3 – 2006 Bài 12. ĐH Hải Phòng – 2006 I dx KQ: ln 2 1 x2 2 1 5 0 x cos3 x sin x dx KQ: I 4 2 sin x cos x 0 Bài 13. CĐ Y Tế – 2006 I dx KQ: ln 2 1 sin 2 x 2 cos x 15 Bài 31. CĐ GTVT III – 2006 I dx KQ: ln 4 5 2sin x 23 Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006 0 3 2 1 x ln x 2 5 dx I 14 ln14 5ln 5 9 J 2 x 7 ln x 1 dx KQ: KQ: 24 ln 3 14 2 0 0 Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006 4 2 cos 2 x 1 76 1 tg 8 x dx I I dx KQ: KQ: 3 32 105 sin x cos x 3 0 0 Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006 4 4x 3 I dx KQ: 18 ln 2 7 ln 3 4 2 2 3x 3x 2 I x 1 cos x dx KQ: 1 8 Bài 34. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006 0 Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006 sin 3 x sin 3 3 x 6 11 I dx KQ: ln 2 4 1 cos 2 x 1 cos 3 x 63 I dx KQ: ln 3 0 1 2sin 2 x 4 Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006 0 Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 e ln x 3 2 ln 2 x 33 3 3 22 2 ln 2 e2 x I dx KQ: 8 KQ: 2 3 x I dx 8 1 3 ex 2 0 Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006 Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 4 1 cos 4 x sin 4 x dx I KQ: 3 2 4sin x 2 I dx KQ: 2 0 1 cos x Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006 0 Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 4 1 cos 2 x I dx ln 3 KQ: 4 x 2 1 2sin 2 x 4 ln I dx KQ: 0 2 4 2 0 cos x Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006 Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 2 3 2 x3 I sin x sin 2 xdx KQ: I dx KQ: 6 ln 3 8 3 13 x 1 x3 0 Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 1 9 x 4 1 468 x. 3 1 x dx I dx KQ : ln I KQ: 2 3 4 7 0x 3 1 Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006 e x3 1 2e 3 11 Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006 I ln x dx KQ: 9 18 x 2 2 1 x 2 cos xdx I 2 KQ: 1 2 4 x 2 2 x3 dx Bài 24. I KQ: 33 22 1 9 Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006 0 e dx I KQ: 2 2 1 2 2 x 1 cos 2 xdx 4 1 x 1 ln x Bài 25. I KQ: 1 2 4 2 0 sin x cos x 2 1 e2 1 Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006 I dx KQ: ln 2 x e2 x 3 Bài 26. I x 1 dx KQ: 1 sin 2 x 4 14 4 0
  5. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006 Bài 8. Tham khảo khối D – 2007 2 3 2 ln tgx 12 x 2 cos x dx KQ: KQ: I dx 2 ln 3 sin 2 x 4 16 0 4 Bài 9. CĐSPTW – 2007 Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương 7 2 trình y x 2 2 ; y x ; x 15 1; x 0 . KQ: 3 sin 2 x 1 sin 2 x dx KQ: I 6 4 0 Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 4 cos3 x 2 Bài 10. CĐ GTVT – 2007 dx KQ: 2 e ln x 1 sin x I dx KQ: 4 2 e 0 x Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007 0 Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 7 x2 231 dx KQ: 1 1 3 10 x1 I dx KQ: 0 x2 2 x 2 4 Bài 12. CĐ Khối A – 2007 0 Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 2007 1 32008 22008 1 1 KQ: 1 dx 7 2 x x 2008 3 x2 46 1 I dx KQ: 3 3 15 3x 1 Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007 0 Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006 e 1 2 5e3 2 x ln x dx KQ: 27 4 x 2 1 ln I dx KQ: Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007 2 4 2 0 cos x Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006 3 2 4 1 2 x sin x dx KQ: 2 384 32 4 I 4 x 1 ln x dx KQ: 6 ln 2 2 1 Bài 15. CĐ Khối B – 2007 1 Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x cos 2 x , x 3 x, y 0, x . KQ: y 2 dx ln 2 . KQ: I 2 3 0 sin x.sin x Bài 16. CĐ Khối D – 2007 KQ: 1 x 1 dx 6 3 2 2007 Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007 3 dx 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: KQ: 1 2 2 3 12 x x 1 e 1 y e 1 x , y 1 ex x . KQ: 1 2 3 14 3 x 3 x 2 1 dx KQ: Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007 Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007 5 1 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x ln x , Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007 y 0, y e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi 0 3 31 x e2 x 2 x 1 dx KQ: e 3 5e 2 4 60 quay hình H quanh trục Ox. KQ: 1 27 1 xe x dx KQ: 1 Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007 Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007 e 0 5e 4 1 x3 ln 2 x dx 2008 Tính tích phân I KQ: 32 1 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008 Bài 4. Tham khảo khối A – 2007 4 2x 1 tg 4 x 6 1 10 KQ: 2 ln 2 dx dx KQ: ln 2 3 1 2x 1 cos 2 x 2 93 0 0 Bài 5. Tham khảo khối B – 2007 Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sin x dx x1 x 1 4 432 4 ln 2 1 . KQ: y 0 và y KQ: x2 1 42 4 sin 2 x 2 1 sin x cos x 0 Bài 6. Tham khảo khối B – 2007 2 ln x 3 2 ln 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường dx Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008 KQ: 3 1x 16 1 2 2 x2 . KQ: y x và y Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol Bài 7. Tham khảo khối D – 2007 9 1 xx 1 3 x 2 4 x và đường thẳng d : y x .KQ: P :y (đvdt) dx KQ: 1 ln 2 ln 3 2 2 2 0x 4
  6. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng 1 Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân 1 2t ln .dt 0 I I = 1 2t Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm 1 Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo 2 x 2 .dx khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi Thí dụ 2: Tính x 22 1 phân: d F ( x) F ( x) C Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận x = -2 t = 2 và x = 2 t = -2 2 2t 1 1 .t 2 .dt t dt 2 2 2 2 2 .t .dt 2 2 t t dt Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được Do đó: I = = 2 1 2t 1 1 2t 2t 1 t nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo 2 2 2 2 2 2 1 32 1 1 32 t 2 .dt 8 dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho t 2 .dt . .t t I I 3 23 3 22 1 2 2 t gọn bài viết). 2 Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm 2 ln x.dx s inx.dx 7 2x 1 x2 s inx.cos7 x.dx 3. x 5 .dx 1. 2. Thí dụ 3: Tính x sinx cosx 0 1 8 7 7 2x 1 x x 5 .dx x 5 .d x x 5 = x2 x5 2 2 2 x C và x 0 x x t dx dt .Đổi cận: x = 0 t t 1. Đặt t = 8 2 2 2 2 Do đó: 1 1 ( cos7 x).d(cosx)= d - cos8x - cos8x+C s inx.cos7 x.dx = 2. 8 8 sin t .( dt ) 2 0 cost.dt cosx.dx 2 2 ln x.dx 12 I J ln x.d (ln x ) ln x C 3. cost sint cosx sinx 2 x 0 0 sin cos t t 2 2 2 Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm dx x.dx s inx.dx cosx.dx 1 2 2 2 dx x2 I J sin 3x.cos2x.dx 1. 2. 3. Vì I + J = + = 2 4 sinx cosx cosx sinx 3 2 xx1 x 1 0 0 0 0 1 1 1 sin 3 x.cos2x.dx sin 5 x s inx .dx = cos5x-cosx d 1. 2 2 5 Thí dụ 4: Tính x.s inx.sin3x.dx 0 1 1 cos5x - cosx + C = Đặt t = −x x= −t dx = − dt. Đổi cận: x = 0 t= ,x= t =0 10 2 Do đó: 2d x 0 dx t .sin t .sin 3 t .( dt ) = t .sin t.sin 3t.dt d 2 ln x1 2 ln x1 I x x C 2. xx1 2 1 x 0 sin t.sin 3t.dt t.sin t.sin 3t.dt = cos2t-cos4t dt I = d x2 1 2 32 x.dx 12 2 1 x1 x1 .d x 2 1 d 3 3 0 0 0 3. 4 2 1 3 1 2 x 1 1 2 x2 1 3 cos2t-cos4t .dt sin 2t sin 4t 0 I 4 42 4 0 32 2 0 x1 3 C 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây. dx dx Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1. 2. 1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz) cos 4 x s inx Đ ịnh lý : N ếu h àm s ố y = f(x) li ên t ục tr ên [a ; b] và F(x) x x là m ột nguyên hàm c ủa f(x) th ì d d 2 2 dx b b 1. = x x x x s inx f ( x)dx F ( x) F (b) F (a) sin .cos tg .cos 2 a 2 2 2 2 a Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt x d tg buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có 2 x x d ln tg ln tg C được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết : x 2 2 tg 3 2 3 4 dx 1 4 d tgx dx dx I tan x 1 (?). Lưu ý : f ( x) không cos 2 x cos 2 x 0 2. cos4 x cos2 x.cos2 x cos2 x 0 13 13 3 1 tg2 x .d (tgx ) tg x = tgx tg x C d tgx xác định tại x nên I không tồn tại. 0; = 3 3 2 4 2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân. 7 3 b ( x 1)dx Thí dụ 1 : Tính I (ĐH Ngoại ngữ HN-1999) f ( x).dx mà không thể Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân 3 3x 1 0 a 7 7 tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin 2 1 1 3 [(3x 1) 2]dx 13 [(3x 1) 3 2(3 x 1) 3 ]d(3x 1) I gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x. 30 90 3x 1 3 1 1 2x 7 ln .dx Thí dụ 1: Tính 5 2 13 46 3 (3 x 1) 3 3(3 x 1) 3 1 2x 95 15 1 0 Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận: x = -1 t = 1 và x = 1 t = -1. 1 dx 1 1 1 1 1 1 2x 1 2t 1 2t 1 2t Thí dụ 2 : Tính I (ĐH Ngoại thương HN-1999) ln .dx ln .( dt ) ln .dt ln .dt I ( x 2 3x 2) 2 1 2x 1 2t 1 2t 1 2t 0 1 1 1 1
  7. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 dx dx x u 2 ( du) I dx dx I dx u du du x1 x2 x1 x2 1 s inx 1 s inu 1 s inu ( x 1)2 ( x 2)2 1 sin u 0 0 0 0 0 0 0 x1 2 3 1 1 u u 1 ( x 1) ( x 2) 2 ln 2 ln 1 1 . 2 d I d I x2 3 4 0 2 2 4 2 u u u cos 2 0 0 sin cos 2 4 Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách 2 2 cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối. u 2. tg 3 Do đó : I = 2 40 x x2 Thí dụ 3 : Tính I 2 x .dx b 1 f ( x)dx mà tính mãi không được, Chú ý : Nếu gặp tích phân 3 0 2 3 x x 2 2 x .dx 2 x .dx 2 x .dx 2 x .dx x x2 x x2 x x2 I a 1 1 0 2 các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ 0 2 3 trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng. 2 x .dx 2 x .dx 2 x .dx x x2 x2 x x2 x Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần 1 0 2 2x3 0 2x3 2 2x3 3 x4 x4 x4 aT T 4 4 3 4 30 4 32 1 hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có : f ( x)dx f ( x)dx a 0 aT T aT aT 2. Phương pháp biến đổi số : f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (*). Xét J f ( x )dx , Ta có Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì a a T T đặt u = x - T x=u+T dx = du.Đổi cận : x = T u=0;x=a+T u = a, u (b ) b f [u(x)].u'(x)dx f (t ) dt a a a f (u T ). du f (u)du f ( x )dx .Thay vào (*) ta có đpcm. do đó : J a u( a) 0 0 0 4 Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của dx Thí dụ 4 : Tính I (Học viện KTQS - 1999) hàm số tuần hoàn. 2 xx 9 7 2007 1 1 dt s inx dx Thí dụ 9 : Tính dx Đặt t x . x t t2 0 1 1 Chứng minh dễ dàng hàm số y = s inx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là t 7 t Đổi cận : x . ;x=4 . 4 7 2007 2 2007 s inx dx s inx dx s inx dx ... s inx dx Do đó : Do đó : 1 1 0 0 2006 1 7 1 d (3t ) 1 1 7 17 dt 4 7 ln (3t )2 1 3t ln ln I 2007 s inx dx 2007 s inx.dx 2007cosx 5014 3 3 3 2 64 9t 2 1 (3t )2 1 1 0 1 1 0 0 4 4 7 3. Sử dụng công thức tích phân từng phần : 1 x 4 dx b b Thí dụ 5 : Tính I (Đề Học viện BCVT - 1999) b x udv u.v vdu Ta có : 11 2 a a a Đặt t = x x = t dx = dt. Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = 1 t = 1 ta có : pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải 1 1 1 1 1 ( t ) .( dt ) 2 .t dt 15 2 4 t4 4 t dt 1 t 4dt I I t I I . kết hợp với phương pháp đổi biến : 5 5 5 1 24 1 2t 1 2t 1 1 1 1 1 2 b Thí dụ 10 : Tính I sin xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999) Chú ý : - Để tính f ( x)dx không nhất thiết phải tìm nguyên 0 a t2 2 x t=0; x Đặt t x hàm F(x) của f(x). dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 t= nên : g ( x)dx 2 sin t 2 2 t sin tdt 2 t.d (cos t ) 2 t cos t cos tdt I - Cách tích phân dạng với a > 0 và g(x) là hàm số = 0 0 ax 1 0 0 0 chẵn, đều làm như trên. 1 Thí dụ 11 : Tính I = x 5 .e x .dx 1 2x Thí dụ 6 : Tính ln dx 0 2x 1 1 x n .e x .dx . Đặt u nu n 1; dv xn e x dx ex . Giải : Xét I n du v Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó : 0 -1 1 -1 1 1 1 2-x 2+t 2+t 2-t 2-t Theo công thức tích phân từng phần ta có : I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I. I = 0. 2+x 2-t 2-t 2+t 2+t 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 x n .e x .dx x n .e x n x n 1e x dx In udv uv vdu e nI n 1 0 0 Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ 0 0 0 0 luôn bằng 0. 1 1 1 1 x.e x .dx 1. xe x e x dx e ex với mọi n nguyên và n >1.Ta có : I1 + Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số : 0 0 0 0 b b b e 2 I1 e 2; I 3 e 3I 2 e 3(e 2) 6 2e; I2 f ( x)dx f (u )du f (t )dt = ... e 4I 3 e 4(6 2e) 9e 24; I e 5I 4 e 5(9e 24) 120 44e I4 I5 a a a x dx Thí dụ 7 : Tính Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương 1 s inx 0 tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho 0 ;x 0. u . Ta có : x u u x x Đổi biến số u = n = 2;3;4;5. Mặt khác : dx = -du.
  8. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng x1 2 t 3 3 CÁC BÀI TOÁN CH ỌN LỌC dx xdx Ñaë t t 1 x 2 2 xdx. I dt x 1 x2 x2 1 x2 3 4 x t 23 1 1 dx 1. Tính tích phân : I (A – 2003) 1t t1 4 4 4 1 1 1 1 1 dt 4 x x2 4 ln t 1 ln t I dt dt 5 22t t 1 22 t t 1 22 t 1 t 2 2 4 4 2tdt 2 xdx x2 t2 x2 Ñaë t t tdt xdx 4 1 t1 1 3 1 13 ln ln ln ln Ñoå i caä n : x 5 3; x 23 4 t t 2 2 4 2 22 t2 1 t2 t2 23 4 4 4 xdx tdt dt I dt 43 t 2 t 2 t2t2 4t t2 4 2 2 x x 2 3 3 5 cos x cos xdx (D – 2005) esin x Tính tích phân : I 7. 4 4 1 1 1 1 1 t2 4 ln t 2 ln t 2 ln dt 0 43 t 2 t2 4 4 t2 3 3 2 2 1 1 1 15 esin x cos xdx cos2 xdx I AB ln ln ln 4 3 5 43 0 0 1 2 x 3 1 x 2 dx (Dự bị 2A – 2003) esin x cos xdx : Ñaë t t sin x cos xdx. Tính A dt Tính tích phân : I 2. 0 0 1 1 Ñoå i caä n : x 0 0, x t 1. A e1 e t dt et t 1 x2 t2 1 x2 1 t2 2 xdx 2tdt x2 Ñaë t t xdx tdt 2 0 Ñoå i caä n : x 0 t 1; x 1 0 0 t 1 1 cos 2 x sin 2 x x 2 2 1 0 1 2 1 1 2 t3 t5 cos2 xdx Tính B dx x 2 1 x 2 xdx 1 t2 t t 2 t 4 dt I tdt 2 2 4 4 3 5 3 5 15 0 0 0 0 1 0 0 e1 Vaä y I AB e 1 3ln x ln x 4 Tính tích phân : I dx 3. (B – 2004) x 1 1 1 x 2 dx Tính tích phân : I 8. 3dx 2tdt dx 1 3ln x 1 3ln x 2tdt t2 Ñaë t t 0 3 x x Khi gaë p a 2 x 2 , ta ñaë t x a sin t , ; t 1 t 1; x 2 x e t 22 2 2 2 1 2tdt 2 2t 2 32 8 11 116 2 5 3 t t t 4 t 2 dt I t sin t t ; cos tdt. Đặt x dx 3 3 91 95 3 9 5 3 53 135 22 1 1 ln 5 dx 0 sin t 0 0; x 1 sin t 1 x t t Tính tích phân : I ( B – 2006) Đổi cận 2 2e x 3 x ln 3 e 2 2 2 e x dx. x ln 3 3, x ln 5 5 ex Ñaë t t dt t t 1 sin 2 t cos tdt cos2 t cos tdt cos t cos tdt I t1 t2 ln 5 5 5 5 x e dx dt dt 0 0 0 I dt 2 3e x 3t 2 t1t2 t1t2 e2 x t2 1 cos 2t 1 1 2 2 ln3 3 3 3 2 cos2 tdt sin 2t dt t 5 2 2 4 4 5 1 1 t2 3 1 3 5 0 0 0 ln t 2 ln t 1 ln ln ln ln dt t2 t1 t1 4 2 2 3 1 dx 3 3 9. Tính tích phân : I 01 x2 sin 2 x cos x 2 4. Tính tích phân : I dx (B – 2005) 1 cos x 1 Khi gaë p , ta ñaë t x atgt , t ; 0 22 a2 x2 2sin x cos x cos x sin x cos2 x 2 2 dx 2 I dx ; 1 tg2 t dt Ñaë t x tgt t dx 1 cos x 1 cos x 22 0 0 Ñaë t t 1 cos x sin xdx; Ñoå i caä n : x 0 2, x t1 dt t 0 0 0; x 1 tgt 1 x tgt t t 2 4 2 2 t1 dt 1 2 2 2t 1 1 2 2 t t 1 tg2 t dt 2 2 2 t2 2 2t ln t I dt dt 4 4 2 t t t I dt t4 2 1 1 4 1 1 tg2 t 0 0 0 1 2 2 4 ln 2 2 2 ln 2 1 2 1 dx 10. Tính tích phân : I x x1 2 1 2 sin 2 x 4 0 5. Tính tích phân : I dx (B – 2003) 1 1 3 3 dx 1 s in2 x . Ñaë t x ; 1 tg 2t dt I tgt t dx 0 2 2 22 2 2 2 1 3 0 0 t1 x x cos 2 x 4 2 2 dx Ñaë t t 1 sin 2 x 2 cos 2 xdx . I dt 1 sin 2 x 2 x t 0 3 1 1 3 3 4 0 ;x 1 3 x tgt tgt t tgt tgt t 2 2 6 2 2 3 2 3 1 dt 1 1 2 Vaä y I ln t ln 2 21 t 2 2 1 3 3 1 tg2 t dt 2 33 23 23 3 3 2 I dt t 3 dx 32 3 3 3 33 6 9 6. Tính tích phân : I tg t (Dự bị 1 B – 2004) x x3 4 4 6 6 1 6
  9. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng 1 2 3 1 2 x2 x3 x3 x2 x - x 2 dx x 2 - x dx - - Vaä y I ln x 2 11. Tính tích phân : I x dx (D – 2004) 23 32 0 1 0 1 2 11 8 11 - -2 - - 1 2x 1 23 3 32 ln x 2 u x du dx Ñaë t : x2 x dv dx 2 x4 x 1 v x 17. Tính tích phân : I dx (Dự bị 2 A – 2004) x 2x-1 x2 4 3 3 3 3 1 3 3 I= udv= uv - vdu= xln x 2 -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx 0 x-1 x x-1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 17 x3 xdx dx 16 I= x 2 -4- + dx= -4x - +17 2 =- -A+17B 3 =3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3 3 3 x +4 x 2 +4 0 x +4 0 x +4 2 2 2 0 0 Tính A : Ñaë t t 4 2 xdx ; x 0 4, x 2 8 x2 dt t t 1 x 2 e2 x dx 12. Tính tích phân : I (D – 2006) Tính B : Ñaë t x 2tgt t ; 2 1 tg t dt ; x 0 2 dx 0 22 du=dx u=x-2 0 0, x 2 tgt 1 tgt t t Ñaë t : Þ 1 4 dv=e dx 2x v= e2x dx= e2x 2 8 1 dt 1 1 1 8 ln t ln 8 ln 4 ln 2 ln 2 A 1 1 1 1 1 1 2x 1 2x 1 1 5-3e2 24 t 2 2 2 1 4 I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e2 +2 - e2x = 2 20 2 4 4 0 0 0 0 0 2 1 tg2 t dt 14 1 16 17 4 4 ln 2 B dt t Vaä y I 20 2 8 3 8 4 4tg2 t 4 x 0 0 13. Tính tích phân : I dx (Dự bị 1 – A2003) 1 cos2 x 1 2 2 dx 0 18. Chứng minh rằng : 9 7 18 x3 ux du dx 14 x 1 x 4 I1 Ñaë t : I dx dx dx dx 1 1 1 2 0 cos2 x 2 2 cos2 x dv v tgx 1;1 thì 1x1 1 x3 1 7 8 x3 9 x 0 cos2 x cos2 x 9 7 8 x3 1 1 1 1 2 2 dx dx cos x ' 11 11 ñpcm 4 4 4 4 I1 udv uv vdu xtgx tgxdx dx 9 7 9 7 8 x3 8 x3 4 4 4 cos x 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 5 2 ln cos x ln ln 2. I ln 2 I 4 3 2sin 2 xdx 4 4 4 2 21 8 4 2 0 19. Chứng minh rằng : 2 4 1 2 4 x 3 e x dx 14. Tính tích phân : I (Dự bị 1 D – 2003) 0 ; , ta coù : x 42 2 xdx. Ñoå i caä n : x 0 0, x 1 t1 x2 Ñaë t t dt t 2 1 1 1 1 1 1 dt sin x 1 sin 2 x 1 1 2sin 2 x 2 4 3 2sin 2 x 5 2 x 2 e x xdx tet tet dt I I 2 2 2 20 21 0 0 2 ut du dt 1 1 1 2 3 2sin 2 x 5 2 3 2sin 2 xdx 5 Ñaë t I1 udv uv vdu 2 4 2 4 t t dv e dt ve 0 0 0 4 1 1 1 1 e1 1 tet et dt et e e I 5 2 2 0 0 3 2sin 2 xdx ñpcm 0 2 4 2 4 x sin xdx (Dự bị 1 D – 2004) 15. Tính tích phân : I 1 4 x2 5 0 20. Chứng minh rằng : 1 dx 2 2 2tdt. 2 Ñaë t t x x t dx 0 0;1 0 x1 0 x2 1 4 4 x2 5 x Ñoå i caä n : x 0 0; x Vaä y I 2 t sin tdt 2 I1 2 2 t t 0 4x 5 2 2 4 x2 5 1 du 2tdt u t2 2 2 Ñaë t sin tdt cos t v dv sin tdt 1 4 x2 5 1 (ñieà u phaû i chöù ng minh) dx 2 2 0 Vaä y I1 t 2 cos t 2 t cos tdt 2I 2 2 0 0 4 du ' dt u' t 1 cos2 xdx 21. Tính tích phân : I Ñaë t v' cos tdt sin t dv ' cos tdt 3 Vaä y I2 t sin t sin tdt cos t 11 2 p p p p 0 0 0 4 4 4 4 0 0 I= 2sin 2 xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx - sinxdx 4 2 8 2 2 I1 I p p p p 0 0 - - - - 3 3 3 3 2 p 1 1 32 x2 0 16. Tính tích phân : I x dx =2 -cosx - -cosx =2- +1- -1+ = -1 4 (D – 2003) p 2 2 0 - 2 3 0 Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1 x -∞ 0 1 2 +∞ 5x 1 2 x2 – x + 0 –0+ + 22. Tính tích phân : I dx x6 x2 1
  10. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng 5x 5 5x 5 Ax 2 A Bx 3B A B Ta coù : s in3 x cos3 x 2 2 x3 x2 x2 x 6 x3x2 x3x2 dx ; J 28. Cho I dx . 0 sin x+cos x 0 sin x+cos x 3 3 3 3 AB5 A2 5x 5 A B x 2 A 3B 2 A 3B 5 B3 Tính I bằng cách đặt t x 2 3 2 2 2 ln x - 3 3 ln x 2 3 ln 4 - 2 ln 2 3 ln 3 dx 2 I x -3 x2 1 0 x t 1 6 ln 2 - 2 ln 2 - 3 ln 3 4 ln 2 - 3 ln 3 2 Ñaë t t x dt dx 2 23. Xác định các hằng số A, B sao cho : 0 x t 2 3x 1 3x 1 A B ,x 1 . Tìm: dx 3 3 2 3 sin3 t x1 x1 x1 x1 0 2 cos3 t cos3 x 2 2 I dt dt dx J cos3 t sin3 t cos3 x sin3 x A Bx 1 B3 2 sin cos 3 3 A t t 3x 1 A B Bx AB 0 0 2 2 2 AB1 B3 3 3 2 3 3 x1 x1 x1 x1 x1 2 Ngoaø i ra : I J dx x I J 2 3x 1 2 3 1 3 2 4 dx dx C 0 0 x1 3 3 2 2 x1 x1 x1 x1 x ln x 1 x2 1 3 dx 29. Tính tích phân : I 24. Tính tích phân : I dx 4 sin x cos5 x3 1x 2 0 4 1 x2 x x dx 1 tan x .x t 1; x 3. Ñaë t t dt t ln x 1 x2 u dx 1 x dx 1 x 2 dx 2 4 3 cos2 x du Ñaë t 1 x2 1 x2 x 1 x2 x xdx dx dx dx p p p dv xdx 3 3 3 cos2 x cos2 x cos2 x 1 x2 Vaä y I v 1 x2 sin3 x cos5 x sin3 x cos5 x p 4 tg3 x 4 p p 4 4 4 4 cos2 x cos8 x Tính v : Ñaë t t 1 x2 1 x2 2tdt 2 xdx xdx. t2 tdt 3 3 3 dt 3 tdt 4 4. 4 t 4 31 4 31 t 4 dt 8 1 x2 v dt t t 4 3 t 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2 ln x 1 x2 2 ln 1 2 2 ln 1 2 1 I dx x sin 30. Tính tích phân : I x dx 0 0 0 0 ln x ln ln x e2 1 0 0 x t 25. Tính : I dx (CĐ KT A, D – 2005) Ñaë t t 2tdt. Vaä y I sin t 2tdt t2 x x dx x x1 t1 e 0 du 2dt dx u 2t ln x t 1, x 2 e2 Ñaë t t dt x e t Ñaë t 1 x dv sin t dt sin cos v t dt t 2 2 2 2 1 3 2 t t ln t dt ln tdt 2 I tdt I1 I1 I 1 1 2 2 2 2 2 2 2 21 1 t cos cos sin I t t dt t 1 1 1 1 2 0 dt 0 0 2 u ln t du 2 2 Tính I1 : Ñaë t t ln t 2 ln 2 t I1 dt t dv dt 1 1 sin 2 x 2 vt 1 31. Tính tích phân : I dx 3 1 sin 4 x 6sin 2 x 5 2 ln 2 21 2 ln 2 1. I 2 ln 2 1 2 ln 2 0 2 2 sin 2 xdx 2 Ñaë t t sin 2 x 2sin x cos xdx sin 2 xdx I dt cos3 x 2 sin 2 x 1 sin 2 x 5 26. Tính tích phân : J dx (Sở GĐ TP 2004−2005) 0 sin 2 x 0 t1 x 1t4 t 2 2 2 11 1 dt 6 .I dt dt 41 t t 4 41 t t 4 4 1t t 2 x t 1 2 Ñaët t sin x dt cos xdx. x t ;x t 1 6 2 2 2 1 1 1 1 1 15 t 2 ln t ln t 4 ln ln ln ln π 4 4 t4 4 3 5 43 2 1 1 1-t dt 1 1 1 cos2 xcosxdx 2 1 11 1 J= = = 2 -1 dt= - -t = -1-1 - -2- = sin2 x t2 1t t 22 1 π 1 2 sin xe x dx 32. Tính tích phân : I 6 2 2 1 2 x dx 0 27. Tính tích phân : I x6 9 u sin x cos dx du e x sin x e x cos xdx Ñaë t I J 0 e x dx ex dv v 0 0 1 x0 t0 2 x dx Ñaë t t 3 x dx 3 2 I x dt u ' cos x du ' sin xdx x1 t1 2 e x cos x e x sin xdx 1I Ñaë t J e 9 x3 0 dv ' e x dx v ' ex 0 0 1 t3 t3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dt dt 1 e I dt dt 1I 2I 1 I e e I 3 0 t2 9 30 t 3 t 3 18 0 t 3 t 3 18 0 t 3 t3 2 1 33. Giải phương trình : 1 1 t3 1 1 11 1 ln t 3 ln t 3 ln ln ln1 ln x 18 18 t3 18 2 18 2 0 1 2 sin 2t 1 cos2 tdt 0 0 x 0 ln t ln t 4 4 1 0
  11. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng 2 Ñaë t u 1 cos2 t 1 cos2 t 2udu 2sin t cos tdt u2 2 11x 3 x5 x 4 11x 2 6 x 16 dx 3 x 2 16 x VOx 5 3 2udu sin 2tdt. t 0 2; t u 1 cos x 2 u x 1 1 1 cos2 x 32 88 1 11 153 1 cos2 x x 3 u 44 13 ñvtt sin 2t 1 cos2 tdt 2 2 u 2 du 5 3 53 5 3 0 2 2 3 3 3 3 1 cos x 1 cos x 2 2 2 2 2 dx 39. Tính tích phân : I 2 . pt 0 3 3 3 3 4 5sin x 0 0 0 x t 1 cos x 2 cos x 1 sin x 0 2 2 x k k x dx Ñaë t t . tg dt x 2 t1 x sin3 x 2 cos2 2 2 34. Tính tích phân : I dx 1 sin x dx 0 x cos2 1 1 1 1 2dt dt dt 2 2 2 I 1 1 cos 2 x 1 sin 2 x sin x 1 sin x 1 I dx dx x x 4t 10t 4 1 2 41 t 10t 2 4 10sin cos 4t 2 t 1 sin x 2 0 0 0 0 1 cos( x) 2 2 2 0 0 2 x cos2 2 1 cos 2 x 1 1 sin x 1 dx t2 t 2 1 x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 cos 2 0 ln t ln t 2 dt dt 4 2 1 30 30 t2 3 2 1 t t2t 0 2 2 3 1 3 3 x sin 2 x cos x tg 11 2 4 x 1 2 4 4 2 2 2 1 0 t 1 1 1 1 1 2 ln ln ln ln 2 3 t2 3 2 4 3 cos3 x 2 35. Tính tích phân : I dx 0 1 sin x 0 2 1 sin 2 x cos xdx 1 sin x 1 sin x cos xdx cos5 x cos 7 xdx 40. Tính tích phân : I cos2 x cos xdx 2 2 2 I 1 sin x 1 sin x 1 sin x 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 cos x 1 sin x cos x cos x sin x dx cos x sin 2 x dx dx cos5 x cos 6 x cos 6 x cos5 x cos xdx sin 6 x cos5 x sin xdx I x dx JK 2 0 0 0 0 0 0 6sin x cos5 xdx du 1 1 1 1 cos6 x u 2 sin x cos 2 x 1 0 Tính J : Ñaë t 1 4 4 4 2 cos 6 xdx dv cos 6 xdx sin 6 x v 0 6 1 7 x 36. Tính tích phân : I dx bằng cách đổi biến t = –x 1 2 2 sin 6 x cos6 x sin 6 x cos5 x sin xdx K . Vaä y I 0 J JK 1 10 x 6 1 0 0 1 t1 x Ñaë t t x dt dx x1 t 1 1 x4 41. Tính tích phân : I dx t7 dt 1 1 1 1 x7 t7 x7 2x 1 2I 0 0 I dx dt dx I I 1 x10 1 t10 1 t10 1 x10 1 1 1 1 1 0 1 0 x4 x4 x4 dx. Xeù t J dx. I dx e 3 2 ln x 2x 1 2x 1 2x 1 37. Tính tích phân : I dx (Dự bịB–2006) 1 0 1 x 1 2 ln x t4 dt 0 1 1 1 t1 x t 4 2t dt x 4 2 x dx 1 Ñaë t x .J t dx dt 0 0 2 1 02 1 2x 1 t t x t 2dx dx 1 0 1 2 ln x 1 2 ln x 2tdt t2 Ñaë t t tdt x x 1 x 4 2x 1 1 1 1 1 x 4 2 x dx 1 x4 x5 4 Vaä y I dx dx x dx 23 t1 2 2 5 5 2x 1 2x 1 2x 1 x1 t 1, x 2 Vaä y I 4 t dt 2 e t tdt 0 0 0 0 0 t 1 1 2 cosn xdx 2 22 1 10 2 11 t3 4t 42 4 42. Tính tích phân : I 3 3 3 3 cosn x sin n x 1 0 38. Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x2 + y – 5 = 0 0 x t ; x+ y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi 2 dx; Ñaë t t x dt 2 quay miền D quanh trục hoành. 0 x t 2 5 x2 y Hình phaú ng D ñöôï c giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng y3x cosn t dt 0 2 sin n tdt sin n xdx 2 2 . I Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : 0 sin t cosn t 0 sin x cosn x n n cosn sin n t t 5 x2 3x x2 0 1x 2 x2 x 2 2 2 2 2 2 2 5 x2 3 x dx 25 10 x 2 9 6x x4 x 2 dx VOx sin n x cosn x 2 2 2I dx dx x I 2 1 1 2 4 0 sin x cosn x n 0 2 0 11x 6 x 16 dx. 1;2 , x 11x 6 x 16 0, 4 2 4 2 x x 1
  12. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng 2 2x 1 47. Tính tích phân : I dx sin 4 x cos4 x 4 43. Tính tích phân : I dx x2 x 1 1 3x 1 Ax 1 Bx x 1 Cx 2 4 2x 1 A B C Ta coù : x1 x xx1 x1 2 x2 2 x 0 0 sin 4 x cos4 x sin 4 x cos4 x sin 4 x cos4 x 4 dx . Xeù t J dx . I dx BC0 1 A 3x 1 3x 1 3x 1 B C x2 A Bx A 0 AB2 B3 4 4 x2 x 1 1 3 A C x t Ñaë t x t dx dt 4 4 2 2 2 1 3 3 1 1 x 0 0 x t 3ln x 3ln x 1 3ln I dx x1 x1 x x x x2 1 1 1 3t sin 4 t cos4 t 3x sin 4 x cos4 x 0 sin 4 t cos4 t 4 4 1 2 1 1 4 J dt dt dx 3ln 1 3ln 3ln 3t 1 3t 1 3x 1 2 3 2 2 3 0 0 4 2 3x sin 4 x cos4 x max 1; x; x 2 dx 48. Tính tích phân : F sin 4 x cos4 x 4 4 Vaä y I dx dx 3x 1 3x 1 0 0 0 Gọi H = x – 1. H = 0 x = 1. 3x 1 sin 4 x cos4 x 4 4 4 sin 4 x cos4 x dx 1 2s in2 xcos2 x dx x 0 1 2 dx 3 1 x H –0 + 0 0 0 Gọi G = x2 – x. G = 0 x=0Vx=1 1 1 1 cos 4 x 3 1 4 4 4 x 0 1 2 1 s in 2 2x dx 1 cos 4 x dx. dx 2 2 2 4 4 G 0– 0 + 0 0 0 x1 x1 0 x 1: x1;1x 2: x1 x2 x2 3 1 3 4 x2 x2 sin 4 x .I x x x 4 16 16 0 2 2 1 2 81 10 x3 1 max 1; x; x 2 dx 1 x 2 dx F dx x 44. Tính tích phân : 3 33 3 0 0 0 1 1 2 1 x 3 dx sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x dx I 49. Tính tích phân : T x2 1 x 0 0 Ta coù : sin x cos x cos x sin x cos x sin x 10 10 4 4 2 2 x2 1 x3 x 1 1 x 2 1 x dx x3 T dx sin10 x cos10 x cos6 x sin 4 x cos4 x sin 6 x 1x 1 2 2 x x x 0 0 sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 6 4 4 6 4 4 4 4 6 6 1 1 1 1 x5 cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos4 x cos2 x sin2 x sin 4 x 2 2 2 2 2 2 x 3 x 2 1dx x 4 dx I I 5 5 12 cos 2 x.sin 2 x 2 2 0 0 0 cos2 2 x 1 cos2 x sin 2 x cos2 2 x 1 sin 2 x cos2 2 x 0 t1 x 4 4 x2 1 x2 1 2tdt 2 xdx xdx. t2 Ñaë t t tdt x1 2 t 1 cos 4 x sin 2 4 x 1 1 1 cos8 x 15 1 1 cos 4 x cos 4 x cos8 x 2 16 2 2 32 32 2 32 2 1 2 2 5 3 t t x 2 x 2 1xdx t 2 1 t.tdt t4 t 2 dt I 5 3 15 1 1 15 1 1 15 2 2 0 1 1 1 Vaä y : I cos 4 x cos8 x dx sin 4 x sin 8x x 32 2 32 32 8 256 64 42 22 11 22 2 22 1 0 0 .Vaä y T 5 3 53 15 15 15 1 x 45. Tính tích phân : I dx 4 x3 1 ln 1 tgx dx 50. Tính tích phân : B 0 0 1 1 0 0 x t t.2tdt t 2 dt Ñaë t t 2tdt Vaä y I 26 t2 x x dx x1 t1 1 t1 6 0t 0 x t 0 4 dx; Ñaë t t x dt du 4 1 1 t0 u0 2 1 0 x t 3 du 3t 2 dt 2 Ñaë t u t 3 I du 4 3 0 1 u2 t1 u1 u2 1 0 0 0 0 0 u tgm m 1 tgt 2 4 4 ln 1 tg ln 1 ln B t dt dt dt ; 1 tg 2 m dm Ñaë t u tgm m du 4 1 tgt 1 tgt 22 u1 tgm 1 m 0 0 4 4 ln 2 4 4 4 2 4 1 tg m dm 2 24 2 4 ln 2dt ln 1 tgt dt ln 2 t ln 1 tgx dx I 4 I dm m 4 0 3 0 1 tg2 m 30 3 6 0 0 0 0 ln 2 ln 2 2I I 3 x2 4 8 max 1; 46. Tính tích phân : I dx 4 51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên và tuần 0 aT T 2 2 x x f x dx f x dx Ta laä p hieä u soá : H 1 . Cho H 0 1 0 4 2 x2 x hoàn với chu kỳ T thì : 4 4 0 a x -2 0 2 3 2004 H 0 +0– 1 cos 2 xdx Áp dụng, tính tích phân : I 3 2 3 2 3 x2 x2 x2 x3 9 2 43 2 0 I= max 1; dx+ max 1; dx= dx+ dx= x + =2+ -= 4 4 4 12 4 3 12 0 0 2 0 2 2
  13. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng T a aT T 0 1 0 dx dx dx Ta coù : 1 f x dx f x dx f x dx f x dx Xeù t J I ex 1 x2 1 ex 1 x2 1 ex 1 x2 1 0 0 a aT 1 0 1 T x aT ta 0 0 x t Xeù t I3 f x dx Ñaë t t xT dt dx Ñaë t x t dx dt 0 x Tt 1 t1 x aT 0 a a a 0 1 1 1 et dt e x dx dt dx 2 I3 f t T dt f t T dt f t dt f x dx . Vaä y I J x2 1 1t 1 1t 1 1x 1 2 2 2 t t x e e e 0 0 0 a 1 0 0 0 T aT Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c f x dx f x dx ñpcm 0 0 0 x tgu u ; 1 tg2 u du Ñaë t x tgu u dx 0 a 22 x1 tgu 1 u 2004 2004 2004 4 AÙ p duï ng : I 1 cos 2 xdx 2sin 2 xdx 2 sin x dx 0 0 0 1 tg2 u du 4 4 2 4 2004 I du u 4 2 sin x dx sin x dx ... sin x dx 4 1 tg2 u 0 0 0 0 2 2002 x 1 ln t 2 4 2004 dt 18 Theo tính chaá t treâ n, ta coù : sin x dx sin x dx ... sin x dx 56. Giải phương trình theo ẩn x : t 0 2 2002 1 2 2 e 1002 2 sin x dx 1002 2 sin xdx sin xdx Neâ n I 1 x 0 0 0 t u 1 ln t dt dt Ñaë t u 1 ln t Goï i I du e 2 1002 2 cos x cos x 4008 2 t t u 1 ln x t x 1 0 e 1 2 1 ln x 1 ln x 1 ln x 2 u x 2004 sin xdx 52. Tính tích phân : I I udu 2 2 0 0 1 e5 x 2 0 1 1 ln x 1 ln x 6 ln x 5 x 2004 sin xdx x 2004 sin xdx (1) I 2 18 1 ln x 36 pt 1 2 1 ln x 6 ln x 7 x 1 0 e7 0 1 t1 x Xeù t tích phaâ n I1 sin xdx. Ñaë t x 2004 x t dx dt 0 t0 x 1 57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : 0 1 1 sin sin tdt sin xdx (2) 2004 2004 2004 I1 t t dt t x x2 4x 4 y 1 0 0 , tiệm cận xiên của (C) và hai đường x1 Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c : I 0 thẳng x = 2, x = 5 x sin x cos2 xdx 53. Tính tích phân : D 4x 4 1 x2 Haø m soá vieá t thaø nh : y x3 0 x1 x1 1 0 x t Vì lim 0 neâ n TCX cuû a (C) laø y x3 Ñaë t t x dt dx x1 0 x t x 5 5 1 1 1 0 x3 x 3 dx dx Vôù i x 2;5 0 Vaä y S t sin t cos2 t sin t cos2 tdt D t dt x1 x1 x1 2 2 0 5 1 5 ln x 1 ln 4 ln1 2 ln 2 ñvdt neâ n S dx sin t cos tdt t sin t cos tdt sin t cos2 tdt x sin x cos2 xdx 2 2 x1 2 2 0 0 0 0 x2 sin t cos2 tdt D 2D sin t cos2 tdt y 2 1 quay quanh trục 58. Cho hình giới hạn elip : 4 0 0 0 u1 t hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên. cos t sin tdt Ñaë t u du 1 t u 4 x2 1 x2 x2 1 1 4 x2 y2 y2 Elip y 1 1 1 4 4 4 2 2 u3 sin t cos tdt 2 2 2 u du u du D Vì elip coù a2 4 a 2, b 2 1 b 1 neâ n hình giôù i haï n elip coù : 2 2 x 3 3 3 0 1 1 1 2 2 2 8 8 8 x3 3 4 x dx 4x 8 8 2 2 VOx y dx ñvtt sin x.sin 2 x.sin 3 x.cos 5 xdx 54. Tính tích phân : I 4 4 3 4 3 3 3 2 2 2 0 3 59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do 3 2 sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx (1) I quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường 3 0 tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2. 2 3 3 2 pt ñöôø ng troø n taâ m I 3; 0 ,R 2 laø x 3 y2 4 3 x t sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx Ñaë t x 3 dt. Xeù t J t dx 2 2 2 x3 4 y2 x3 4 y2 x3 4 y2 3 0 x t 3 Vì ñöôø ng troø n coù taâ m I 3; 0 ,R 2 neâ n 2y 2 2 2 2 2 0 VOy 3 4 y2 3 4 y2 dy 6.2 4 y 2 dy 12 4 y 2 dy 2 2 sin 3 t sin 6 2t sin 9 3t cos 15 5t J dt 2 2 2 3 y 2 sin u 1 u 2 2 2 3 3 Goï i I 4 y 2 dy Ñaë t y 2sin u u ; dy 2 cos udu 22 2 2 y 2 sin u 1 u 2 sin t sin 2t sin 3t cos 5tdt sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx (2). 2 0 0 1 2 2 2 2 2 Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c I 0 I 4 4sin 2 t 2 cos udu 4 cos u cos udu 4 cos2 udu 2 1 cos 2u du 2 u sin 2u 2 2 2 2 2 2 2 2 VOy 24 ñvtt 2 1 dx 2 2 55. Tính tích phân : I 1x 1 2 x e 1
  14. Hồ Văn Hoàng Chuyên đề tích phân & ứng dụng pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x 4x 3 x3 2 60. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : 2 2 x x 3 3 x x 4 vaø y y 3 0 x x (Đại học khối B – 2002) 4x 3 x3 5x 0 x2 x2 4 42 0 5 5 x x x 4x 3 x3 x 2 3x 6 0(VN ) x2 pt hoaø nh ñoä giao ñieå m 2 ñöôø ng laø : x 0 5 x2 x2 x2 x4 x4 x2 8 22 x2 x 4 4 4 0 0 – 0 4x 3 x3 2 x 4 4 32 32 4 42 16 (voâ lyù ) x2 22 2 2 2 2 x x x x 5 5 5 4 dx Vôù i x 2 2;2 2 , 4 0 S x3 4 x 3 dx x 3 dx 4 x 3 dx x2 x2 S 4 4 42 42 22 0 0 0 5 22 22 22 x2 x2 x2 x2 55 x2 neâ n S 4 4 dx dx dx AB 3x I I 4 4 2 2 42 42 22 22 22 0 5 22 1 4 x 3 dx Giaû i pt x 2 4 x 3 0 ta ñöôï c : x 1 x 3 x2 I 16 x 2 dx Ñaë t x 4sin t t ; 4 cos tdt A dx 2 22 0 22 x 0 1 3 5 2 22 sin t x t 4x 3 2 x +0– 0+ 2 4 2 1 3 5 22 sin t x t Ta coù : I 4 x 3 dx 4 x 3 dx 4 x 3 dx 2 x2 x2 x 2 4 0 1 3 1 3 5 1 4 4 4 4 4 4 20 28 x3 x3 x3 16 16sin 2 t .4 cos tdt 8 cos t cos tdt 8 cos2 tdt 4 1 cos 2t dt A 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 3 3 3 3 3 3 3 0 1 3 4 4 4 4 55 28 109 ñvdt S 1 1 1 2 3 6 4 4t s in2t 4 2 4 2 4 2 4 2 63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường : 4 x ; y 2 x; y 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay y 22 22 1 8 2 3 x x 16 2 16 2 B dx 3 42 12 2 12 2 tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy. 22 22 8 4 y 0 x y2 y x 2 4 2 Vaä y S AB ñvdt Mieà n D giôù i haï n bôû i 3 3 2x x2y y y 1 nhaä n cot gx. 3 sin 3 x sin xdx 2 Pt tung ñoä giao ñieå m : y 2 2y y2 0 y2 Tính tích phân : A 2 loaï i y sin3 x 1 1 2 3 2 2 2y 2y y2 y4 VOy dy dy sin3 x sin x 0 0 cot gx. 3 cot gx. 1 1 cot g x 2 3 1 2 2 sin3 x 2 A dx dx x 0;1 , y 4 2y 0 neâ n VOy 4 4y y2 y 4 dy sin 2 x sin 2 x 0 3 3 1 1 1 32 y3 y5 1 4y 2y2 42 ñvtt x t 3 5 3 5 15 cot gx. 3 cot g 2 x dx 2 3 3 0 dx. Ñaë t t cot gx dt sin 2 x sin 2 x 64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = 0 x t 3 2 xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay 1 1 tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox 0 5 3 3 3 t8 3 33 1 9 3 t 3 t2 A dt t 3 dt Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : 8 8 81 24 1 0 0 x 0 (loaï i) 3 x ln x 0 ln x 0 x1 e ln x 61. Tính tích phân : I dx e e 2 2 x ln x dx x 2 ln 2 xdx Vaä y VOx I1 x1 1 1 1 e 2 ln x du dx dx e e ln 2 x u ln x 22 2 x3 2 e3 u du x ln x x ln xdx Ñaë t I1 I x 3 31 3 32 x3 dx 2 dv x dx Ñaë t 1 dx x 2 dx v dv 1 v 3 2 x1 x1 2 x1 dx du ' e e 1 u ' ln x dx x .ln x 1A I Ñaë t x1 xx 1 dv ' x 2 dx x3 1 1 v' x 2 dx e e 3 x1 x e e e 1 1 dx e e e ln x ln x 1 A dx dx e 12 1 2e3 1 x3 e3 x3 e3 e3 1 ln x I2 x dx x1 x xx 1 xx 1 3 31 3 9 3 9 9 9 e 1 1 1 e e e 1 1 1 5e3 2 2 2e 3 1 e3 e . VOx ñvtt x e ln e ln ln ln e 1. Vaä y I 0 3 3 9 27 1 x1 e1 1 1 e e 62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 4 x 3 vaø y x 3 (Đại học khối A – 2002) x2 y
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2