chuyên đề Tích phân và ứng dụng trong ôn thi đại học

Chia sẻ: Huu Quoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

786
lượt xem 362
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tích phân là một khái niệm toán học có thể hiểu như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Tích phân và vi phân là những khái niệm cơ bản của giải tích. Mọi định nghĩa tích phân đều phụ thuộc vào định nghĩa độ đo. Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: chuyên đề Tích phân và ứng dụng trong ôn thi đại học

TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG Chuyeân ñeà 13: TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: Baûng 1 Baûng 2 Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C Haøm soá f(x) Hoï nguyeân haøm F(x)+C a ( haèng soá) ax + C (ax + b)α xα +1 1 (ax + b)α +1 +C +C xα α +1 α +1 a 1 1 1 ln x + C ln ax + b + C x ax + b a ax ax +C ln a 1 ax + b ex ex + C eax + b e +C a 1 sinx -cosx + C sin(ax+b) − cos(ax + b) + C a 1 cosx Sinx + C cos(ax+b) sin(ax + b) + C a 1 1 1 tgx + C tg(ax + b) + C 2 cos2 x a cos (ax + b) 1 1 1 -cotgx + C − cot g(ax + b) + C 2 sin2 x a sin (ax + b) 1 1 x−a u' ( x ) ln u( x ) + C ln +C x − a2 2 2a x + a u( x ) 1 tgx − ln cos x + C ln x + x 2 + a2 + C 2 2 x +a cotgx ln sin x + C Phöông phaùp 1: • Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân haøm cô baûn • Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 2x − 5 1. f ( x ) = cos3 x + 2. f(x) = 2 x − 4x + 3 x +1 − x 83
Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân 1 + ln x tgx Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. ∫ cos5 x sin xdx 2. ∫ 3. ∫ dx dx cos x x I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [ a; b] . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) thì: b b ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) ( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz) a 2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: b ∫ f ( x )dx = 0 Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : • a b a ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx Tính chaát 2: • a b b Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân [ a; b] thì: ∫ cdx = c(b − a) • a b Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø f ( x ) ≥ 0 thì ∫ f ( x )dx ≥ 0 • a Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø f ( x ) ≥ g( x ) ∀x ∈ [ a;b] thì • b b ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a a Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai haèng soá) thì • b m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ a; b] thì • b b b ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a a Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø k laø moät haèng soá thì • b b ∫ k. f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx a a Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø c laø moät haèng soá thì • b c b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx a a c Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân [ a; b] cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa • b b b ∫ f ( x )dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ... laø : a a a 84
Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 1 1 1 1 x x 4x + 11 1) ∫ ∫ 3) ∫ x 1 − xdx 4) ∫ 2) dx dx dx (2x + 1)3 x + 5x + 6 2 2x + 1 0 0 0 0 π π 1 3 4sin3 x 2x − 5 x 3 6 2 7) ∫ (sin 6 x + cos6 x)dx ∫ 1 + cos xdx ∫ x2 − 4x + 4dx ∫ x2 + 2x + 1dx 5) 6) 8) 0 0 0 0 π π π 1 1 + sin 2x + cos 2x 1 + sin 2x 2 1 4 2 11) ∫ 9) ∫ 10) ∫ cos4 2xdx 12) ∫ dx dx . dx sin x + cos x cos2 x e +1 x π 0 0 0 6 π π π π cos 2 x sin 3x cos x 4 4 2 2 13) ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 14) ∫ 15) ∫ 16) ∫ dx dx dx 0 1 + 2 sin 2 x 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x 0 4 dx 0 1 17) ∫ 18) ∫ 2 dx x + 2x − 3 −1 x + 2 x + 5 2 −2 Baøi 2: 4 2 3 5 1 ∫x ∫ ∫x ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx 1) 2) − 3x + 2dx 3) 4) 2 x2 + − 2dx − 1dx 2 x2 1 −1 −3 −3 2 3 2π π 2 ∫ ∫ ∫ 5) 6) 7) 8) ∫ x 2 − x dx 2x − 4dx 1 + cos 2xdx 1 + sin xdx 0 0 0 0 Baøi 3: 1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá f (x) = A sin πx + B thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän 2 ∫ f(x)dx = 4 f (1) = 2 vaø ' 0 2 ∫ [a 2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : + (4 − 4a)x + 4x3 ]dx = 12 2 0 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : b 1) DAÏNG 1:Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx baèng caùch ñaët t = u(x) a ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt u (b ) b Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: a u(a) Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx x=b t = u (b) Böôùc 2: Ñoåi caän : ⇒ x=a t = u (a) Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) u (b ) b a u (a) 85
Tính caùc tích phaân sau: π π π 1 sin 4x 2 2 4 1) ∫ cos3 x sin 2 xdx 2) ∫ cos5 xdx 3) ∫ 4) ∫ x 3 1 − x 2 dx dx 1 + cos2 x 0 0 0 0 π π π e 1 1 + ln x 1 2 4 4 5) ∫ sin 2x(1 + sin 2 x)3dx ∫ cos ∫ cos xdx ∫ 6) 7) 8) dx dx x x 4 0 0 1 0 π e 3 1 1 + ln 2 x tg4 x cos x 6 ∫ x dx ∫ ∫ 6 − 5sin x + sin2 xdx 10) ∫ x 5 (1 − x3 )6 dx 9) 11) 12) dx cos2x 1 0 0 0 π π π cos x + sin x 4 sin 2 x dx ln 5 sin 2 x 2 2 ∫ 3 + sin 2 x dx 13) 14) ∫ dx 15) ∫ 16) ∫ dx −x ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x ) x 2 cos x + 4 sin x 2 2 0 0 π π π π sin x − cos x sin 2 x + sin x ln(tgx)3 4 2 2 17) ∫ 18) ∫ (1 − tg 8 x)dx 19) ∫ 20) ∫ dx dx dx 1 + sin 2 x 1 + 3 cos x π sin 2 x π 0 0 4 4 π π 1 + 3 ln x ln x sin 2 x cos x x 2 e 2 2 21) ∫ 22) ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 23) ∫ 24) ∫ dx dx dx 0 1 + cos x 1+ x −1 x 1 0 1 π 1 − 2 sin 2 x 4 25) ∫ dx 0 1 + sin 2 x b 2) DAÏNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx baèng caùch ñaët x = ϕ(t) a β I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt b Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: α a Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt t=β x=b Böôùc 2: Ñoåi caän : ⇒ t =α x=a Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc β I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) b α a Tính caùc tích phaân sau: 1 1 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1 + x2 dx ∫ 4) ∫ 1) 2) 3) 1 − x 2 dx dx dx x − x +1 2 4 − x2 0 0 0 0 2 π 2 1 x2 1 x 2 2 ∫ 8) ∫ x 2 4 − x 2 dx ∫ 1 + cos x + sin x dx 5) ∫ 6) 7) dx dx x + x2 + 1 4 1 − x2 0 0 1 0 86
2 3 1 2 9 + 3x 2 3 1− x 1 1 ∫ ∫ ∫ ∫x dx 9) 10) 11) 12) dx dx dx x2 (1 + x ) 5 x x2 −1 x −12 2 1 0 2 3 π 1 π cos x 1+ x4 cos x 2 dx 0 ∫ 14) ∫ ∫ 13) 15) 16) ∫ dx dx dx 1+ x6 7 + cos 2 x −1 x + 2 x + 2 1 + cos x 2 2 0 0 0 x x −1 dx 1 2 17) ∫ 18) ∫ dx 1 x−5 1 + 1 + 3x 0 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau: 7 3 8 ln 2 x3 1 1 ∫ ∫ ∫x ∫ 1) 2) 3) x 5 1 + x 2 dx 4) dx dx dx 1+ x2 3 x2 + 1 ex + 2 0 0 0 3 7 2 x +1 3 dx 23 ∫ ∫ x x + 1dx 5) 6) 7) 2 3 dx ∫ 3x + 1 3 x x2 + 4 0 0 5 III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b b b a a ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b b Hay: b a a Caùch thöïc hieän: u = u ( x) du = u ' ( x)dx Böôùc 1: Ñaët ⇒ dv = v' ( x)dx v = v( x) Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b b b a a Böôùc 3: Tính [u.v ]a b vaø ∫ vdu b a Tính caùc tích phaân sau: π 2 1 ln x 2 1) ∫ 5 dx 2) ∫ x cos2 xdx 3) ∫ e x sin xdx x 1 0 0 π π2 e x + sin x 3 ∫ sin 5) ∫ x ln 2 xdx ∫ 4) xdx 6) dx cos2 x 0 1 0 87
π 2 π ln(1 + x) 4 ∫ 8) ∫ x(2 cos x − 1)dx 7) ∫ x sin x cos xdx 9) dx 2 2 x2 0 1 0 π e 1 2 11) ∫ (x ln x)2 dx 12) ∫ cos x.ln(1 + cos x)dx 10) ∫ (x + 1)2 e2x dx 1 0 0 e 1 ln x 1 ∫ ( x + 1) ∫ xtg xdx 13) 14) 15) ∫ ( x − 2)e 2 x dx dx 2 2 1 0 0 e π ln x 1 e 2 16) ∫ x ln(1 + x 2 )dx 17) ∫ 18) ∫ ( x + cos 3 x) sin xdx dx x 1 0 0 2 3 19) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 20) ∫ ln( x 2 − x)dx 0 2 MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG a ∫ f(x)dx = 0 Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : −a a a ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx 2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : −a 0 Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì: π π 2 2 a) ∫ f(sin x)dx = ∫ f(cos x)dx 0 0 π π π b) ∫ xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx 20 0 AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau: π π π cos x cos x sin 6 x n 4 2 2 2 ∫ cosn x + sin n xdx ∫ cos4 x + sin 4 xdx ∫ sin6 x + cos6 xdx 1) 2) 3) vôùi n ∈ Z+ 0 0 0 π 1 π x 4 + sin x x + cosx 2 ∫π ∫ x 2 + 1 dx 4) ∫ x sin xdx 5) 6) dx 5 4 − sin 2 x −1 0 − 2 π π x sin x ∫ 4 − cos ∫ x cos 7) 8) dx x sin3 xdx 4 x 2 0 0 α α f (x) ∫α a x + 1 dx = ∫ f ( x )dx Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì vôùi α ∈ R + vaø a > 0 ; a ≠ 1 0 − AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau: 1 1 π 1 − x2 x4 sin 2 x ∫ 1) ∫ x ∫ 3x + 1 dx dx 2) 3) dx 1 + 2x 2 +1 −1 −1 −π 88
IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: Coâng thöùc: y (C2 ) : x = g ( y) ⎧( C 1 ) : x = f ( y ) x=b y x=a ⎪( C ) : x = g ( y ) y =b (C1 ) : y = f ( x) ⎪ b ⎧(C1 ) : y = f ( x ) (H ) : ⎨ 2 ⎪(C ) : y = g ( x ) ⎪Δ 1 : y = a (H ) ⎪2 (C2 ) : y = g ( x) (H ) ⎪Δ 2 : y = b (H ) : ⎨ ⎩ ⎪Δ 1 : x = a y=a a ⎪Δ 2 : x = b ⎩ x x a b O O (C1 ) : x = f ( y) S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )]dy b b a a yC1 y C2 xC1 xC2 Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau: −3x − 1 ⎧ ⎧ ⎪y = x − 1 x2 y = 4− ⎪ ⎧ ⎪y = x − 4x + 3 2 ⎪ ⎪ 4 2) (H2) : ⎨ 3) (H3): ⎨y = 0 1) (H1): ⎨ ⎪y = x 2 ⎪y = x + 3 ⎪x = 0 ⎩ ⎪ ⎪ 42 ⎩ ⎩ ⎧y = x ⎧y = x2 ⎧y 2 + x − 5 = 0 ⎪ ⎪ 4) (H4): ⎨ 5) (H5): ⎨ 6) (H6): ⎨ ⎩x + y − 3 = 0 ⎪x = −y 2 ⎪y = 2 − x 2 ⎩ ⎩ ln x ⎧ ⎪y = 2 x 3 3 ⎧ ⎪ ⎪y = x + x − 2 ⎧y = x 2 − 2x ⎪ ⎪ (H7): ⎨y = 0 2 2 7) 8) (H8) : ⎨ 9) (H9): ⎨ ⎪y = − x + 4x 2 ⎪y = x ⎩ ⎪x = e ⎩ ⎪ ⎪x = 1 ⎩ ⎧(C ) : y = x ⎧(C ) : y = e x ⎧y − 2y + x = 0 2 ⎪ ⎪ 10) (H10): ⎨ 11) ⎨(d ) : y = 2 − x 12) ⎨(d ) : y = 2 ⎩x + y = 0 ⎪(Ox) ⎪(Δ ) : x = 1 ⎩ ⎩ V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY. Coâng thöùc: 89
y x=b y y =b x=a b (C ) : y = f ( x) x=0 (C ) : x = f ( y) y=a a x x y=0 a O b O 2 2 V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x)] dx b b a a Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y = x; y = 2 − x; y = 0 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y = (x − 2)2 vaø y = 4 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh: a) Truïc Ox b) Truïc Oy Baøi 4: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y = 4 − x 2 ; y = x 2 + 2 . Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox 1 x2 Baøi 5: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y = 2 ; y = x +1 2 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox ------------------------------Heát------------------------------- 90