intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu tham khảo: Tích phân và ứng dụng

Chia sẻ: Nguyễn Anh Phú | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST
Báo xấu
96
lượt xem 23
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo các chuyên đề ôn thi môn toán : Tích phân và ứng dụng , giúp các bạn học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo: Tích phân và ứng dụng

  1. www.laisac.page.tl  T  TÍ CTÍCH ÍC H P  PHÂN PH  H ÂN VÀ   V  ỨNG VÀ  Ứ DỤNG ỨN  N G D  DỤ  ỤN  NG  Trần Xuân Bang Trong các ñề thi tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh vào ðại học và Cao ñẳng thường có các bài toán tích phân. Bài viết này xin ñược chuyển ñến các bạn ñọc chuẩn bị thi vào các trường ðại học và Cao ñẳng một hệ thống các phương pháp tính tích phân mà tôi tích luỹ ñược và sắp xếp theo một cách riêng mình, một số bất ñẳng thức tích phân và một số áp dụng tích phân tính diện tích và thể tích. 1. Tính trực tiếp nguyên hàm rồi áp dụng công thức Niutơn- Lépnit. Tính trực tiếp nguyên hàm có một thuận lợi khi ta không phải ñể ý ñến tập xác ñịnh của hàm dưới dấu tích phân. 1 dx VD1. Tính I = ∫ ,n∈N , n ≥ 2 . (ðH Thái Nguyên - A 2000) 0 (1 + x ) n n 1 + xn 1 dx Biến ñổi sau I = ∫ là không chấp nhận ñược.  1  0 n 1 x 1 + n  x n 1 + n  x  x dx Nhưng nếu ñặt I ( x) = ∫ thì các biến ñổi sau là hợp lý và cho ( ) 1 + x n n 1 + x n phép ñược: 1 −1− dx dx x − n −1  1  n I ( x) = ∫ =∫ =∫ 1 dx = ∫ 1 + n  x − n −1dx (1 + xn ) n 1 + xn x n 1 + 1n  x n 1 + 1n 1 + 1 1+ n  x   x  x  n   x  1 1 −1− − 1 1 1   1  x = − ∫ 1 + n   n n d 1 + n  = 1 + n  +C = +C . n  x   x   x  n 1 + xn 1 dx x 1 Suy ra I ( x) = ∫ = = (1 + x ) n n 1 + xn n 1 + xn 0 n 2 Nhưng do chương trình không dùng hàm số ngược, nên một số nguyên hàm không thể tính ñược. dx VD2. Tính I ( x) = ∫ (a > 0) a − x2 2 ðặt x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt a cos tdt dt costdt d (sin t ) ⇒ I ( x) = ∫ =∫ =∫ 2 =∫ 2 2 a − a sin t2 cost 1 − sin t (1 − sin t)(1+sint) Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 1
  2. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1  1 1  1 = ∫  + 2  d (sin t ) = ln(1 − sin t ) + C 2  1 − sin t 1 + sin t  2 Một quá trình thật ñẹp, tiếc rằng không rút ñược t theo x ñể có nguyên hàm biến x. 2. Áp dụng một tính chất của nguyên hàm. Nguyên hàm có tính chất: Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(u)du = F(u) + C (1) 1 ðặc biệt: Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(ax + b)dx = F(ax + b) + C, (a ≠ 0) a 2 2006 (1 + x) Ví dụ 1: Tính I = ∫ dx . 1 x 2008 2007 2 1  2007  3   2 2006 2007 1 1 1  1 Ta có: I = -∫ 1 +   d 1 +  = - 1 +  = 2 -   1 x  x 2007  x 2007  2  1 e lnx Ví dụ 2: Tính I = ∫ x ( ln x + 1) dx . 2 (ðH Cần Thơ - B1999) 1 e e 1 d(ln 2 x + 1) 1 1 Ta có: I = ∫1 ln 2 x + 1 = 2 ln(ln x + 1) 1 = 2 (ln2 - 0) = ln 2 . 2 2 π 1 - 2sin 2 x4 Ví dụ 3: Tính I = ∫ .dx , (ðH,Cð - B2003) 0 1 + sin2x π π 4 4 cos2x 1 d(1 + sin2x) 1 π Ta có: I = ∫ .dx = ∫ = ln(1 + sin2x) 04 = ln 2 0 1 + sin2x 2 0 1 + sin2x 2 3. Phương pháp ñổi biến. 3.1. Phép ñổi biến "trông thấy" ϕ (x), ϕ '(x) : b Tính I = ∫ f(ϕ (x))ϕ '(x)dx , ϕ (x) liên tục và ñơn ñiệu trên [a; b]. a Ở ñây ta "nhìn thấy" cả ϕ (x) và ϕ ' (x) ϕ (b ) ðặt ϕ (x) = t, khi ñó: I = ∫ f(t)dt . ϕ (a) 1 x3 Ví dụ 1: Tính I = ∫0 x 2 + 1 dx . 1 1 1 1 x x2 x 1 x Ta có: I = ∫ (x - 2 dx = = −∫ 2 dx = − ∫ 2 dx 0 x +1 2 0 0x +1 2 0 x +1 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 2
  3. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1 2 1 1 dt 1 1 1 ðặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ I = − 2 ∫ = − ln t = (1 − ln 2) 20 t 2 2 1 2 ln3 e x dx Ví dụ 2: Tính I = ∫ , (ðH,Cð - TK2 - 2002) 0 (e x + 1)3 4 4 3 4 dt 1− ðặt t = e + 1 ⇒ dt = e dx ⇒ I = ∫ x x = ∫ t dt = −2 2 = 2 −1 . 2 t3 2 t 2 e 1 + ln 2 x.lnx Ví dụ 3: Tính I = ∫ dx . 1 x 2 2 2 ln x 1 1 2 1 ðặt t = 1 + ln x ⇒ dt =2 ⇒ I = ∫ t dt = . t t = (2 2 − 1) x 21 2 3 1 3 Thực ra các tích phân như thế không cần ñổi biến mà chỉ cần áp dụng (1) vì b b I = ∫ f (ϕ ( x))ϕ '( x)dx = I = ∫ f (ϕ ( x))d (ϕ ( x)) . a a Ví dụ: 1 1 1 x3 x 1 1 d(x 2 + 1) I= ∫ 2 dx = ∫0 (x - x 2 + 1 dx = 2 - 2 ∫0 x 2 + 1 0 x +1 1 1 1 1 = - ln(x 2 + 1) 0 = (1- ln2) 2 2 2 ln3 x ln3 x ln3 e dx d(e + 1) 3 1 ln3 I= ∫ x 3 = ∫ x 3 = ∫ (e x + 1)- 2 d(e x + 1) = - 2(ex + 1)- 2 = 2 -1 0 (e + 1) 0 (e + 1) 0 0 e e 1 + ln 2 x.lnx 1 I= ∫ dx = ∫ 1 + ln 2 x.d(1 + ln 2 x) 1 x 21 e 1 1 = (1 + ln 2 x) 1 + ln 2 x = (2 2 - 1) 3 1 3 3.2. Phép ñổi biến "không trông thấy" ϕ (x, ϕ '(x). b Tính I = ∫ f(x)dx . a ϕ (b ) ðặt ϕ (x) = t, ϕ (x) liên tục và ñơn ñiệu trên [a; b], khi ñó: I = ∫ g(t)dt . ϕ (a) Ví dụ 1: (Tích phân cơ bản) a 1 Tính I = ∫ .dx ,(a > 0). (I) 0 a + x2 2 x x + a2 + x2 ðặt: x + a 2 + x 2 = t ⇒ (1 + )dx = dt ⇒ dx = dt a2 + x2 a2 + x2 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 3
  4. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình t dx dt ⇒ dx = dt ⇒ = . a2 + x2 a2 + x2 t a(1 + 2) dt a(1 + 2) Khi ñó: I = ∫ = lnt a = ln(1 + 2) a t * Chú ý: Tích phân này có thể ñổi biến x = tant Ví dụ 2: (Tích phân cơ bản) 2a 1 Tính I = ∫ .dx , (a > 0). (II) 2a x - a2 2 Tương tự VD6, ñặt: x + x 2 - a 2 = t a * Chú ý: Tích phân này có thể ñổi biến x = cos t 2 3 dx Ví dụ 3: Tính I = ∫ , (ðH,Cð - A2003) 5 x x2 + 4 4 4 4 dt 1 1 1  1 t-2 1 5 ðặt t = x + 4 . Suy ra I = ∫ 2 2 = ∫  - dt = ln = ln 3 t -4 4 3 t -2 t + 2 4 t+23 4 3 1 Ví dụ 4: Tính I = ∫ x 3 1 - x 2 dx , (ðH,Cð- TK2- A2003) 0 1 1 1 1  2 ðặt t = 1 - x 2 ⇒ I = ∫ t (1 - t )dt =  t 3 - t 5  = 2 2 . 0 3 5 0 15 • Tích phân này có nhiều cách tính: Cách 2: ðặt t = 1 - x2 Cách 3: ðặt t = x2 π 2 Cách 4: ðặt x = cost ⇒ I = ∫ sin 2 tcos3 tdt . 0 1 Cách 4.1. ðặt sint = u ⇒ costdt = du ⇒ I = ∫ u 2 (1 - u 2 )du 0 π 2 Cách 4.2. I = ∫ sin 2 t(1 - sin 2 t)d(sint) . 0 π π π π 2 2 2 2 1 1 1 - cos4t 1 1 Cách 4.3. I = ∫ sin 2 2t.costdt = ∫ costdt = ∫ costdt - ∫ cos4t.costdt 40 40 2 80 80 1 1 1 1 1 3 1 Cách 5: I = ∫ (1 - x 2 - 1) 1 - x 2 d(1 - x 2 ) = ∫ (1 - x 2 ) 2 d(1 - x 2 ) - ∫ 1 - x 2 d(1 - x 2 ) 20 20 20 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 4
  5. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 2 x Ví dụ 5: Tính I = ∫ 1+ .dx , (ðH,Cð - A2004) 1 x −1 2 t 2 - 2t + 2 11 ðặt: t = 1 + x − 1 ⇒ I = ∫1 t .2(t - 1)dt = 3 − 4ln 2 e 1 + 3lnx.lnx Ví dụ 6: Tính I = ∫ dx . (ðH,Cð - B2004) 1 x 2 2 2 t2 - 1 2 2 116 ðặt t = 1 + 3lnx . Ta có: I = ∫ t dt = ∫ (t 4 - t 2 )dt = 31 3 91 135 π 2 sin2x + sinx Ví dụ 7: Tính I = ∫ .dx , (ðH,Cð - A2005) 0 1 + 3cosx π 2 (2cosx + 1)sinx 2 2 34 ðặt t = 1 + 3cosx ⇒ I = ∫0 1 + 3cosx .dx = 9 ∫1 (2t + 1)dt = 27 2 3.3. Phép ñổi biến x = ϕ (t): b Tính I = ∫ f ( x)dx . a β ñặt x = ϕ (t). Suy ra I = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt . ϕ (t) liên tục và ñơn diệu trên [ α; β ] α Ví dụ 1: (Tích phân cơ bản) a 2 1 Tính I = ∫ .dx , (a > 0). (III) 0 a2 - x2 ðặt x = asint Ví dụ 2: (Tích phân cơ bản) a 1 Tính I = ∫x 2 .dx , (a > 0). (IV) 0 + a2 ðặt x = atant Ví dụ 3: (Tích phân cơ bản) a Tính I = ∫ 0 a 2 - x 2 .dx , (a > 0). (V) ðặt x = asint Ví dụ 4: (Tích phân cơ bản) a Tính I = ∫ 0 a 2 + x2 .dx , ( a > 0) (VI) ðặt x = atant Ví dụ 5: (Tích phân cơ bản) Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 5
  6. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 2a Tính I = ∫ a x 2 - a 2 .dx , (a > 0). (VII) a Cách 1. ðặt x = cost x * Chú ý: Có thể ñặt x2 - a2 =t ⇒ dx = dt x2 - a2 ⇒ xdx = x 2 - a 2 dt = tdt a 3 a 3 tdt t 2dt (t 2 + a 2 - a 2 )dt ⇒ dx = ⇒ I= ∫ = ∫ = t2 + a2 0 t2 + a2 0 t2 + a2 a 3 a 3 a 2dt = ∫ t 2 + a 2 dx - ∫ ( Xem (I) và (VI)) 0 0 t2 + a2 Có thể biến ñổi: 2a 2a 2a 2a x2 - a 2 x2 a2 ∫ x - a .dx = ∫ .dx = ∫ .dx − ∫ 2 2 I= .dx a a x2 - a 2 a x2 - a 2 a x2 - a 2 2a 2a x2 Trong ñó ∫ a 2 x -a 2 .dx = ∫ xd a ( x2 - a 2 ) 2a a2 còn ∫ a 2 x -a 2 .dx xem dạng III. 1 Ví dụ 6: Tính I = ∫ x 2 1 - x 2 dx , 0 π 2 ðặãn = sint ⇒ costdt = dx ⇒ I = ∫ sin 2 tcos 2 tdt 0 π π 2 1 1 1 2 π = 8 ∫0 (1 − cos 4t ) dt =  t − sin t  = 8 4  0 16 4. ðổi biến về tích phân ban ñầu hoặc về một tích phân có tổng với tích phân ban ñầu là một tích phân tính ñược. π sin4x Ví dụ 1: Tính I = ∫ 1 + cos x .dx 2 0 π π sin4(π - t) sint ðặt x = π - t ⇒ I = ∫ 2 .dx = − ∫ .dx = − I 0 1 + cos t 0 1 + cos 2 t ⇒ I = 0. π xsinx Ví dụ 2: Tính I = ∫ 1 + cos x .dx 2 0 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 6
  7. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình π π (π - t)sint sinx ðặt x = π - t ⇒ I = ∫0 1 + cos2 t .dx =π ∫ 1 + cos x .dx2 - I 0 π π sinx ⇒ I= ∫ 1 + cos x .dx 2 . 2 0 1 dt π π π2 ðặt cosx = t ⇒ I = π ∫ = . = 2 -1 1 + t 2 2 2 4 π 2 sin 6 x.dx Ví dụ 3: Tính I = ∫0 sin 6 x + cos6 x (ðH Huế - A2000) π π 2 6 2 π cos t.dt π ðặt t = - x . Suy ra: I = ∫0 sin 6 t + cos6 t ⇒ 2I = I + I = ∫ dt = 2 0 2 5. Phương pháp tích phân từng phần. 5.1. Tích phân từng phần một lần. π 4 x Ví dụ 1: Tính I = ∫ 1 + cos2x .dx ,( ðH,Cð - TK1- A2003) 0 π π π 4 4 4 x 1 1 π Ta có: I = ∫ 2cos x .dx = 2 ∫ xd(tgx) = 2 ( xtgx 0 - ∫ tgxdx) 4 0 0 2 0 1 π π 1 π = ( + ln cosx 0 ) = − ln 2 4 2 4 8 4 ln5 2x e dx Ví dụ 2: Tính I = ∫ , (ðH,Cð - TK1- B2003) ln2 ex - 1 ln5 ln5 ln5 Ta có: I = 2 ∫ e d( e - 1) = 2 e e - 1 x x x x - 2 ∫ e x e x - 1.dx ln2 ln2 ln2 ln5 ln5 4 20 = 16 - 2 ∫ e - 1.d(e - 1) = 16 - (e x - 1) e x - 1 = x x ln2 3 ln2 3 π 2 Ví dụ 3: Tính I = ∫ cosxln(sinx)dx π 4 π π 2 1 1 π π Ta có I = sinxln(sinx) π − ∫ cosxdx = ln − (sin − sin ) 2 4 π 2 2 2 4 4 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 7
  8. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1 = 2 ( 1 − ln 2 −1 ) e Ví dụ 4: Tính I = ∫ x ln xdx 1 e e e 2 2 2 2 Ta có I = x x ln x − ∫ x dx = e e − x x = 3 1 1 3 3 1 3 5.2. Tích phân từng phần nhiều lần. 1 Ví dụ 1: Tính I = ∫ x 2sin 2 πx.dx 0 1 1 1 1 - cos2πx 1 1 Ta có I = ∫ x . 2 .dx = ∫ x 2 dx - ∫ x 2 cos2πx.dx 0 2 20 2 0 1 π 1 x3 1 2 1 1 1 = - ∫0 x d(sin2πx) = 6 - 4π ( x sin2πx 0 - 2 ∫0 xsin2πx.dx ) 2 2 6 0 4π π 1 1 1 2 1 1 1 = - 2 ∫0 xd(cos2πx) = 6 - 4π2 ( xcos2πx 0 - ∫ cos2πxdx ) 6 4π 0 1 1 1 1 1 1 = - 2 + 3 sin(2πx) = - 2 6 4π 8π 0 6 4π 1 Ví dụ 2: Tính I = ∫ xe x dx . 0 1 ðặt x = t ⇒ dx = dt ⇒ dx = 2tdt 2 x 1 1 1 2 t 1 t 1 Suy ra I = 2 ∫ t e dt = 2( t e 0 - 2 ∫ te dt ) = 2e - 4( te 0 - ∫ e t dt ) = 2(e - 2). 2 t t 0 0 0 5.3. Tích phân từng phần làm xuất hiện tích phân ban ñầu. π π 1 VD1: I = ∫ cos3 x.cos3x.dx = 3 ∫0 cos3 xd(sin3x) 0 π π 1 π = ( cos3 x.sin3x 0 + 3 ∫ cos 2 x.sinx.sin3x.dx ) = ∫ cos x.sinx.sin3x.dx 2 3 0 0 π π π 1 1 1 = ∫ cos 2 x(cos2x - cos4x)dx = ∫ cos 2 x.cos2xdx - ∫ cos 2 x.cos4x)dx 2 0 2 0 20 π π 1 1 = ∫ (1 + cos2x)cos2xdx - ∫ cos 2 x(cos3x.cosx - sin3x.sinx)dx = 4 0 20 π π π 1 1 1 = ∫ (1 + cos2x)cos2x.dx - ∫ cos3 x.cos3x.dx + ∫ cos 2 x.sinx.sin3x.dx 4 0 2 0 2 0 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 8
  9. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình π π π 1 1 1 1 1 = ∫ (1 + cos2x)cos2x.dx - I + I = ∫ cos2x.dx + ∫ (1 + cos4x)dx 4 0 2 2 4 0 8 0 π π 1 π 1 π = sin2x + + sin8x = 8 0 8 32 0 8 1 Ví dụ 2: I = ∫ e x sin 2 πx.dx , 0 1 1 1 1 Ta có: I = ∫ sin πx.de = e sin πx 0 - ∫ 2πsinπx.cosπx.e dx = - π ∫ sin2πx.de x 2 x x 2 x 0 0 0 1 1 1 1 1 J= ∫ sin2πx.de = e sin2πx x x 0 - 2π ∫ cos2πx.de x = - 2π e x cos2πx 0 - 4π 2 ∫ e x sin2x.dx 0 0 0 = - 2 π (e - 1) - 4 π J 2 2π(1 - e) 2π 2 (e - 1) ⇒ J = ⇒ I = 1 + 4π 2 1 + 4π 2 π e2 Ví dụ 3: I = ∫ cos 2 (lnx)dx . 1 π π e2 e2 1 1 1 Ta có: I = ∫ (1 + cos(2lnx))dx = (e - 1) + ∫ cos(2lnx)dx π 2 21 2 21 π π π e2 e2 e2 1 1 ðặt J = ∫ cos(2lnx)dx = xcos(2lnx) + ∫ sin(2lnx)dx 21 2 1 1 π e2 1 π π e2 = - (e 2 + 1) + xsin(2lnx) 1 - 2 ∫ cos(2lnx)dx 2 1 1 π2 = - (e + 1) - 4J. 2 1 π 1 π 1 π 1 Suy ra: J = - (e 2 + 1) ⇒ I = (e 2 - 1) - (e 2 + 1) = (2e 2 - 3) π 10 2 10 5 5.4. Tích phân từng phần làm xuất hiện một tích phân triệt tiêu một tích phân. π 2 (1 + sinx)e x Ví dụ 1: Tính I = ∫0 1 + cosx .dx , (ðH Dược HN - A2000) π π π π 2 ex e x sinx 2 2 x 2 x Ta có: I = ∫ .dx + ∫ .dx = ∫0 e d(tg 2 ) + x ∫ e tg 2 .dx x 0 2cos 2 x 0 1 + cosx 0 2 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 9
  10. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình π π π π x2 2 x 2 x x2 π = e tg x - ∫0 e tg 2 .dx + x ∫0 2 e tgx .dx = e x tg = e 2 20 20 2 1 x+ 1 Ví dụ 2: Tính I = ∫ 1 + x -  e x .dx , 1  x 2 Ta có: 2 1 2 2 2 2 x+  1  x+ 1 x+ 1  1  x+ 1  1  x+ 1 I = ∫e x .dx + ∫  x -  e x .dx = xe x − ∫ x 1 - 2  e x .dx + ∫  x -  e x .dx 1 1 x 1 1  x  1 x 2 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 1 1 1 3 = 2e − e − ∫  x -  e  x+ x+ 2 2 x .dx + ∫  x -  e x .dx = 2e − e = e e 2 2 2 1 x 1 x 2 2 2 2 1 x xe Ví dụ 3: Tính I = ∫ (1+x) 2 dx , 0 Ta có: 1 1 x 1 2 1 1  1 1  x e dx e x dx ex e x dx e x dx e I = ∫0  1 + x (1 + x)2  − e dx = ∫0 1 + x ∫0 (1 + x)2 1 + x ∫1 (1 + x)2 ∫0 (1 + x)2 = 2 − 1 . − = + − 0 2 e 1+xlnx x Ví dụ 4: Tính I = ∫ e dx . 1 x 2 e e e e 1 x e 1 x 1 x Ta có I = ∫1 x e dx + ∫1 e lnxdx = e lnx 1 − ∫1 x e dx + ∫1 x e dx = e x x e 2 2 6. Biến ñổi thành tổng: π 2 sinx.dx Ví dụ 1: Tính I = ∫ sinx + cosx 0 π 2 1 (sinx + cosx) + (sinx - cosx).dx Ta có I = 2 ∫0 sinx + cosx π π 2 π 1 d(sinx + cosx) π 1 2 π = - ∫ = - ln(sinx + cosx) = 4 2 0 sinx + cosx 4 2 0 4 π 3 dx Ví dụ 2: Tính I = ∫ π π sinx.sin(x + ) 6 6 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 10
  11. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình π π 3 3  1 π  sinx Ta có I = ∫  cotx - cotg(x + ) dx = 2 ln = 2(2ln 3 − ln 2 ) π sin π  6  sin( x + π6 ) π 6 6 6 π 3 dx Ví dụ 3: Tính I = ∫ 2 2 π sin x.cos x 6 π 3 1 1 Ta có I = ∫  2 + 2  dx sin x cos x π   6 π 2 Ví dụ 4: Tính I = ∫ sinxcos3xdx 0 π 2 1 Ta có I = 2 ∫0 (sin4x - sin2x)dx 1 1 Ví dụ 5: Tính I = ∫ (x+1)(x+2) dx 0 1 1 1  Ta có I = ∫  −  dx x +1 x + 2 0   7. Tính ñồng thời hai tích phân. b b ðể tính I = ∫ f(x)dx , ta "huy ñộng thêm" J = ∫ g(x)dx sao cho I + J và I - J ñều a a b tính ñược hoặc ñổi biến thích hợp ñể có I = ∫ g(x)dx . a π 2 sinx.dx Ví dụ 1: Tính I = ∫ sinx + cosx 0 π π π 2 2 2 cosx.dx (sinx + cosx)dx π Gọi J = ∫ sinx + cosx . Ta có I + J = ∫ = ∫ dx = 0 0 sinx + cosx 0 2 π π 2 2 (sinx - cosx)dx d(sinx - cosx) π I-J= ∫ = -∫ = - ln(sinx + cosx) 0 = 0 2 0 sinx + cosx 0 sinx + cosx π 2 Ví dụ 2: Tính I = ∫ xcos 2 xdx 0 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 11
  12. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình π 2 Gọi J = ∫ xsin 2 xdx 0 π π 2 2 2 x π2 I + J = ∫ xdx = = 0 2 0 8 π π π π π 2 2 1 1 2 12 1 2 1 I - J = ∫ xcos2xdx = ∫ xd (sin 2 x) = x sin 2 x − ∫ sin 2 xdx = cos 2 x = − 0 20 2 0 20 4 0 2 1π2 1 π2 −4 Suy ra I =  −  = 2 8 2 32 8. Áp dụng trực tiếp cách chứng minh một số kết quả tích phân. a 8.1. Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫ f(x)dx = 0. -a a a Nếu f(x) là hàm số chẵn thì ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx -a 0 a 0 a Chứng minh ở ñây là: ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . -a -a 0 0 a ðặt t = - x. Khi ñó: ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx , nếu f(x) là hàm số lẻ. -a 0 0 a ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx , nếu f(x) là hàm số chẵn. -a 0 1 3 Ví dụ: Tính I = ∫ ln(x + 1 + x 2 )  dx . -1   0 3 1 3 Ta có: I = ∫ ln(x + 1 + x 2 )  dx + ∫0 ln(x + 1 + x )  dx (1) 2 -1   0 3 1 3 ðặt t = - x. Khi ñó ∫ ln(x + 1 + x 2 )  dx = ∫0 ln(- t + 1 + t )  dt 2 -1   3 1 3 1 3 1  1  = ∫ ln )  dt = ∫0 - ln(t + 1 + t )  dt = - ∫0 ln(- x + 1 + x )  dt 2 2 0  t + 1 + t2  1 3 Thay vào (1) ta có: I = ∫ ln(x + 1 + x 2 )  dx = 0. -1   • ðể ý rằng ở ñây ñã áp dụng trực tiếp cách chứng minh mà không phải trải qua hai bước: Chứng minh tính chất, chứng minh hàm dưới dấu tích phân là chẵn hay lẻ rồi áp dụng kết quả(như thế lời giải sẽ dài dòng). Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 12
  13. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình α α f(x) 1 8.2. Nếu f(x) là hàm số chẵn thì ∫- α a x + 1 dx = 2 -∫α f(x)dx . Chứng minh ở ñây là: ðặt t = - x. Khi ñó: a t f(t) α α α α f(x) f(t) 1 ∫- α a x + 1 dx = ∫- α a - t + 1 dt = ∫- α a t + 1 dt = -∫α (1 - a t + 1 )f(t)dt = α α α α f(x) f(x) 1 = ∫ f(x)dx - ∫- α a x + 1 dx ⇒ ∫- α a x + 1 dx = 2 ∫ f(x)dx -α -α 1 x4 Ví dụ : Tính I = ∫ 2x + 1 dx , (HVCNBCVT - A1999) -1 1 1 1 1 x4 t4 2t t 4 1 ðặt x = - t. Ta có: ∫ x dx = ∫ 2- t + 1 dt = ∫- 1 2t + 1 dt = -∫1 (1 - 2t + 1 )t dt = 4 -1 2 +1 -1 1 1 1 1 1 t4 x4 1 1 5 1 = ∫ f(t)dt - ∫ 2t + 1 dt ⇒ ∫- 1 2x + 1 dx = 2 ∫ x dx = 4 x = . -1 -1 -1 10 - 1 5 • Ở ñây ta cũng có một chú ý tương tự chú ý ở 6.1. 9. Áp dụng trực tiếp một tích phân lượng giác. β dx 2 I= ∫ a sin x + b cos x , (a 2 2 2 2 + b2 > 0) α i) a = 0 : Tích phân cơ bản. ii) b = 0: Tích phân cơ bản. β dx 3i) ab ≠ 0: I = ∫ . 2 a  2 2 2 α b cos x  2 tg x + 1 b  β1 a 1 dt ðặt t = tgx , suy ra I = ∫t +1 2 b ab α 1 π 4 dx Ví dụ: Tính I = ∫ 2 - cos x , 2 (ðHY Thái Bình - 2000) 0 π π 4 dx 4 dx Ta có: I = ∫ = ∫ cos x(2tg x + 1) 0 2sin x + cos 2 x 2 0 2 2 2 1 dt ðặt t = 2tgx ⇒ I = ∫t 2 2 0 +1 10. Nắm vững cách tính tích phân các hàm số phân thức hữu tỉ. β dx 10.1. I = ∫ (ax + b) n ; n ∈N . α Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 13
  14. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình β dx 10.2. I = ∫ (cx + d) m ; m, n ∈ N . α (ax + b)n β dx 10.3. I = ∫ ax 2 α + bx + c với ba trường hợp ∆ = b 2 − 4ac < 0, ∆ = b 2 − 4ac = 0, ∆ = b 2 − 4ac > 0. β dx 10.4. I = ∫ (ax 2 ; k, l ∈ N . α + bx + c) (mx 2 + nx + p)l k β dx 10.5. I = ∫ (ax + b) k ; k, l ∈ N . α (mx 2 + nx + p)l β P(x)dx 10.6. I = ∫ ; P(x) và Q(x) là các ña thức. α Q(x) 11. Nắm vững cách tính nguyên hàm của một số hàm lượng giác thường gặp. 11.1. I = ∫ sin 2 xdx; 11.2. I = ∫ sin 3 xdx = ∫ sin 2 xsinxdx = -∫ (1- cos 2 x)d(cosx) ; 2 11.3. I = ∫ sin xdx = ∫ (1- cos2x ) 1 1 + cos4x ∫ 4 dx = (1 - 2cos2x + )dx ; 4 4 2 11.4. I = ∫ sin 5 xdx = − ∫ sin 4 xd(cosx) = − ∫ (1 - cos 2 x)2 d(cosx) dx 11.5. I = ∫ ; sinx dx sinxdx sinxdx 11.6. I = ∫ 3 =∫ 4 =∫ ; sin x sin x (1 - cos 2 x) 2 dx 11.7. I = ∫ 4 = -∫ (1 + cot 2 x)d (c otx); sin x dx sinxdx sinxdx 11.8. I = ∫ 5 =∫ 6 =∫ 3 ; sin x sin x 1- cos 2 x ( ) 11.9. I = ∫ tanxdx; 11.10. I = ∫ tan 2 xdx = ∫ (1 + tan 2 x - 1)dx = ∫ d(tanx) = ∫ dx ; Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 14
  15. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 11.11. I = ∫ (1+tan 2 x - 1)tanxdx = ∫ tanxd(tanx) - ∫ tanxdx 11.12. I = ∫ tan 4 xdx = ∫ (1 + tan 2 x - 1)tan 2 xdx = ∫ tan 2 xd(tanx) - ∫ tan 2 xdx 11.13. I = ∫ tan 5 xdx = ∫ (1 + tan x - 1)tan xdx = ∫ tan xd(tanx) - ∫ tan xdx 2 3 3 3 * Chú ý : Các kết quả tương tự sinx cho cosx và tanx cho cotx. ðối với các tích phân hàm số lượng giác cần chú ý biến ñổi lượng giác. 1 1 x Ví dụ 1: Tính I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ d (tan ) 1+cosx x 2 2cos 2 2 1 1 dx Ví dụ 2: Tính I = ∫ dx = ∫ 2 dx = ∫ 1 + sinx  x x π x   sin + cos  2sin 2  +   2 2  4 2 11. Nắm vững cách tính diện tích hình phẳng và cách tính thể tích vật thể tròn xoay. 11.1. Tính diện tích hình phẳng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  y = f ( x)  y = g ( x) b   là S = ∫a f ( x) − g ( x) dx  x = a f(x) f(x)=x^(1/2)  x = b > a 8 f(x)=-x^(1/2) 6 4 2 x -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8  y2 = x VD. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  y = x − 2 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 15
  16. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình y = x − 2 y = x − 2  y2 = x ⇔  2 ⇔ 2 HD. Toạ ñộ giao ñiểm  x − 4x + 4 = x  x − 5x + 4 = 0 y = x − 2 ⇔ Toạ ñộ hai giao ñểm (1;- 1) và (4; 2). Suy ra diện tích hình phẳng: 1 4 1 4 4 2 x2 Cách 1: S = 2∫ xdx + ∫ ( x − x + 2)dx = x x + ( x x − + 2 x) 0 1 3 0 3 2 1 4 16 2 1 9 = + −8+8− + − 2 = 3 3 3 2 2 2 2 y2 y3 9 Cách 2: S = ∫ ( y + 2 − y )dy = ( + 2 y − 2 = −1 2 3 −1 2 11.2. T ính thể tích vật thể tròn xoay. i) Vật thể tròn xoay ñược tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi:  y = f ( x) y = 0 b   xung quanh trục hoành là V = π ∫ f 2 ( x)dx x = a a  x = b > a ii) Vật thể tròn xoay ñược tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi:  x = g ( y) x = 0 b   xung quanh trục hoành là V = π ∫ g 2 ( y )dy y = a a  y = b > a 3i) Vật thể bất kỳ có diện tích thiết diện thẳng vuông góc Ox là S(x) và bị giới hạn bởi các mặt phẳng x = a, x = b(a < b): b V = ∫ S ( x)dx a VD. Cho một hình trụ có bán kính ñáy R và chiều cao h. Cắt hình trụ bằng một mặt phẳng nghiêng với ñáy một góc 450 và ñi qua ñường kính AB. Tính thể tích của các phần hình trụ bị cắt ra từ hình trụ. z HD. Gọi V là thể tích phần hình trụ ABNFEMCH. ðặt OI = x(x > 0) ⇒ MN = 2MI = 2 R 2 − x 2 . IK = IO = x. H E K Thiết diện là hình chử nhật MNFE; y A F Ta có diện tích thiết diện là: M C x S ( x) = 2 x R 2 − x 2 O I N B Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 16
  17. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình R R R 2 2 Suy ra: V = ∫ 2 x R 2 − x 2 dx = − ∫ R 2 − x 2 d ( R 2 − x 2 ) = − ( R 2 − x 2 ) R 2 − x 2 = R3 0 0 3 0 3 12. Bất ñẳng thức tích phân. Phương pháp Chung: • Sử dụng tính chất của tích phân: b b Nếu f ( x) ≤ g ( x), ∀x ∈ [a;b] thì ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx (1) a a b • ðể chứng minh m ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M ta ñánh giá f(x) bằng cách: a + Khảo sát sự ñồng biến, nghịch biến của hàm f(x) trên ñoạn [a;b]. + Sử dụng bất ñẳng thức. 20 1 x 2 dx 1 VD1. Chứng minh: ≤∫ 4 ≤ 41 10 x + x + 1 100 x2 HD. ðặt f ( x) = , x ∈ [10;20] x4 + x + 1 2 x( x 4 + x + 1) − x 2 (4 x 3 + 1) −2 x 5 + x 2 + 2 x (2 − x 4 ) + ( x − x 4 ) f '( x) = = = x. < 0, x ∈ [10;20] ( x 4 + x + 1)2 ( x 4 + x + 1) 2 ( x 4 + x + 1)2 400 x2 100 Suy ra = f (20) ≤ 4 ≤ f (10) = , x ∈ [10;20] 160000 + 20 + 1 x + x +1 10000 + 10 + 1 1 400 400 100 100 1 Nhưng < < , < = 410 164000 160000 + 20 + 1 10000 + 10 + 1 10000 100 20 20 20 1 1 1 1 Như thế 410 10∫ ∫10 100 10∫ < f ( x) < ⇒ dx ≥ f ( x ) dx ≤ dx ⇒ dpcm 410 100 1 x19 dx 1 VD2. Chứng minh 0 ≤ ∫ 3 ≤ 0 1+ x 6 20 19 x HD. Ta có 0 ≤ 3 6 ≤ x19 , ∀x ∈ [0;1] 1+ x 2000 e −5 x dx 1 VD3. Chứng minh 0 ≤ ∫ ≤ 0 20 + x 100 −5 x −5 x e dx e HD. Ta có 0 ≤ ≤ , ∀x ∈ [0;2000] 20 + x 20 1 1 VD4. Chứng minh 1 − ≤ ∫ e− x dx ≤ 1 n n 0 HD. Ta có x ∈ [0;1] ⇒ 0 ≤ x n ≤ x n −1 ≤ 1 ⇒ − x n-1 ≤ − x n ≤ 0 ⇒ e− x ≤ e− x ≤ e0 = 1 n−1 n n−1 n Nhưng 1 + x ≤ e , ∀x > 0 nên: x 1- x n-1 ≤ e− x ≤ e− x ≤ e0 = 1, ∀x ∈[0;1] Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 17
  18. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1 VD5. Tính lim ∫ x nsinπ xdx 0 HD. Ta có 0 ≤ x nsinπ x ≤ x n 1 π dx π 2 VD6. Chứng minh ≤∫ ≤ 6 0 4 − x 2 − x3 8 HD. Ta có x ∈ [0;1] ⇒ 0 ≤ x3 ≤ x 2 ≤ 1 ⇒ − x 2 ≤ − x 3 ≤ 0 ⇒ 0 < 4 − 2 x 2 ≤ 4 − x 2 − x3 ≤ 4 − x 2 1 1 1 ⇒ 4 − 2 x 2 ≤ 4 − x2 − x3 ≤ 4 − x2 ⇒ ≤ ≤ 2 2 3 4− x 4− x − x 4 − 2 x2 π 3 3 s inxdx 1 VD7. Chứng minh 4 π∫ x ≤ ≤ 2 6 s inx π π  x cos x − s inx π π  HD. ðặt f ( x) = , x ∈  ;  ⇒ f '( x) = 2 ,x∈ ;  x 6 3 x 6 3 ðặt g ( x) = x cos x − s inx, x ∈  ;  ⇒ g '( x) = − x s inx < 0, ∀x ∈  ;  π π π π 6 3 6 3 π 3 1 Suy ra g ( x) ≤ g   = . − < 0 ⇒ f '(x) < 0, ∀x ∈ [ ; ] ⇒ f ( x) nghịch biến π π π 6 6 2 2 6 3  π  s inx π  ⇒ f  ≤ ≤ f  3 x 6 3 x 2 dx 9 2 VD8. Chứng minh 2,5 < ∫ < 2 2 x −1 4 2 x HD. ðặt f ( x) = , x ∈ [ 0;1] ⇒ f '( x) > 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ f ( x) ñồng biến x 2 −1 x2 9 2 Suy ra = f ( x) < f (3) = x2 −1 4 x2 x Mặt khác = x. >x x2 −1 x2 −1 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 18
  19. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình BÀI TẬP LUYÊN TẬP. π 6 tan 4 xdx Bài 1. Tính I = ∫ (ðH - A2008) 0 cos2x π  π sin  x -  dx 4  4 Bài 2. Tính I = ∫ (ðH - B2008) 0 sin2x + 2(1 + sinx + cosx) 2 ln xdx Bài 3. Tính I = ∫ (ðH - D2008) 0 x3 Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x. (ðH - A2007) Bài 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các ñường: y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay (H) xung quanh trục Ox. (ðH - B2007) e ∫ x lnxdx 3 Bài 6. Tính tích phân : I = 1 (ðH - D2007) 4 2x + 1 Bài 7. Tính tích phân : I = ∫0 1 + 2x + 1 dx (ðH - TK1- A2007) Bài 8. Trong mfOxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các ñường 4y = x2; y = x. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay (H) xung quanh trục Ox một vòng. (ðH - TK2- A2007) Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường: y = x2; y = 1 − x 2 (ðH - TK1- B2007) x(1 − x) Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường: y = 0; y = x2 + 1 (ðH - TK2- B2007) 1 x(x - 1) Bài 11. Tính: ∫0 x 2 - 4 dx (ðH - TK1- D2007) π 2 sin2x Bài 12. Tính tích phân: I = ∫ dx (ðH - A2006) 0 cos x + 4sin 2 x 2 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 19
  20. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình ln5 dx Bài 13. Tính tích phân: I = ∫e x dx (ðH - B2006) ln3 + 2e- x - 3 1 Bài 14. Tính tích phân: I = ∫ (x - 2)e dx 2x (ðH - D2006) 0 6 dx Bài 15. Tính tích phân: I = 2 4x + 1 ∫ 2x + 1 + dx (ðH - TK1- A2006) Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 - x + 3 và ñường thẳng d : y = 2x + 1. (ðH - TK2- A2006) 10 dx Bài 17. . Tính tích phân: I = ∫ (ðH - TK1- B2006) 5 x - 2 x -1 e 3 - 2lnx Bài 18. Tính tích phân: I = ∫ 1 x 1 + 2lnx dx (ðH - TK2- B2006) π 2 Bài 19. . Tính tích phân: I = ∫ (x + 1)sin2xdx 0 (ðH - TK1- D2006) 2 Bài 20. Tính tích phân: I = ∫ (x - 2)lnxdx 1 (ðH - TK2- D2006) π 3 Bài 21. Tính tích phân: I = ∫ sin 2 x.tgxdx . (ðH - TK1- A2005) 0 π 2 sin 2 x + s inx Bài 22. Tính tích phân I = ∫ dx . (ðH - A2005) 0 1 + 3cosx π 2 sin 2 xcosx Bài 23. Tính tích phân I = ∫ dx . (ðH - B2005) 0 1+cosx π 2 Bài 24. Tính tích phân I = ∫ ( esin x + cosx )dx . (ðH - D2005) 0 7 x+2 Bài 25. Tính tích phaân I = ∫ 3 dx . (ðH - TK2- A2005) 0 x +1 e Bài 26. Tính tích phân ∫x 2 ln xdx . (ðH - TK1- B2005) 0 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình TÍCH PHAN VÀ ỨNG DỤNG 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2