zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông - Phần 2

Chia sẻ: Bạch Thị Thu Trang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Báo xấu

171
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 sáng kiến kinh nghiệm "Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông" dưới đây để nắm bắt được những nội dung lí luận bổ túc kiến thức về tích phân, thực trạng thực tế khi chưa thực hiện sáng kiến kinh nghiệm và giải pháp mới. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông - Phần 2

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông « Đây là sáng kiến kinh nghiêm đã được sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2015 xin gửi tặng tailieu.vn” Phần 2: Nội dung SKKN. 1. Nội dung lí luận (bổ túc kiến thức về tích phân): 1) Công thức tính đạo hàm 1) c '  0 (C là hằng số). 2) x  '   . x  1 1) u '  .u 1.u / 3)   '   2 ( x  0) 1 1 2)   '   2 ( x  0) 1 u'  x x u u 1 4) ( x )'  x  0 3) ( u )'  u' x  0 2 x 2 u 5) sin x  '  cos x 4) sin u  '  u '. cos u 6) cos x  '   sin x 5) cos u  '   sin u . u ' 7) tan x  '  1 2 6) tan u '  u' cos x cos 2 u 8) cot x  '   1 2 7) cot u '   2 u' sin x sin u 9)   e 'e x x   8) e '  e .u ' u u 10) a x  '  a x . ln a 9) a '  a . ln a . u ' u u 1 11) ln x  '  10) log a u '  u' x u ln a 1 12) log a x  '  11) ln u '  u' x ln a u 2)Quy tắc tính đạo hàm 1. (u  v  w)'  u 'v' w' 2. (k.u)’ =k.u’ 3. (u.v)’ =u’.v + u.v’ u '.v  u.v'  v' 4.   '  5.   '  2 u 1 2 (v  0 ) (v  0 ) v v v v /  ax  b  a.d  b.c 6. y '  y ' u .u ' x 7.   '   cx  d  (cx  d ) 2 x 3) Công thức tính vi phân Cho hàm số y =f(x) xác định trên (a,b) và có đạo hàm trên (a,b) Kí hiệu d(f(x)) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x Và d ( f ( x))  f ' ( x)d ( x) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 1
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông 4) Công thức tính nguyên hàm : x  1  dx  x  C 2.  x dx   1. +C (   -1)  1 1 1 1 3. x dx=ln x +C 4.   dx= x (  1) x  1 +C (   1) ax  e dx  e  C  a dx  C x x x 5. 6. ln a 7.  sin xdx   cos x  C 8.  cos xdx  sin x  C 1 1 9.  cos 2 x dx = tanx+C 10.  sin 2 x dx= - cotx+C 5)Định nghĩa tích phân Cho hàm số y =f(x) liên tục trên a, b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên a, b . Hiệu số F(b)- F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định trên a, b của hàm số f (x), kí hiệu là b  a f ( x)dx . Ta cò n dùng kí hiệu F ( x) ba  F (b)  F (a) . b Ta cò n gọi  a là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm dưới dấu tích phân. 6). Phương pháp đổi biến số Định lí : Cho hàm số f(x) liên tục trên  a; b  Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  ,   sao cho  (a)  a, (  )  b và a   (t )  b với mọi t thuộc  ,   b  thì a f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt  7) Phương pháp vi phân:  Khi gặp tích phân có dạng I =  f (u )u dx ' Vì du = u’dx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 2
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông    f (u)u dx   f (u )du  F (u )   F ( )  F ( ) '  8)Phương pháp tích phân từng phần. Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì : b b b   u ( x)v ( x)dx   u ( x)v( x)   v( x)u ' ( x)dx ' a a a b b b hay  udv  uv a   vdu . a a Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:  Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv  uv dx bằng cách chọn một phần thích ' hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv  v ( x )dx. '  Bước 2: Tính du  u dx và v    dv  v ' ( x)dx . ' b b b  Bước 3: Tính  a a  vdu  vu ' dx và uv . a  Bước 5: Áp dụng công thức trên. 2. Thực trạng thực tế khi chưa thực hiện SKKN và giải pháp mới Khảo sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm một đề gồm 3 câu hỏi trong thời gian 45 phút Đề 1 Bài toán 1: Tính tích phân sau  d (sin x)  0 4 sin x Bài toán 2: Tính tích phân sau  sin 2 xdx 0 4 4  cos 2 x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 3
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bài toán 3 : Tính tích phân sau   0 2 x cos xdx Kết quả học sinh khi chưa được triển khai SKKN Điểm 2 3 4 5 6 7 8 9 Số 5 3 5 10 5 7 5 0 lượng Phần 12,5 7,5 12,5 25 12,5 17,5 12,5 0 trăm - Các em hầu hết làm được câu 1. Tuy nhiên câu 2,3 chỉ có một số học sinh giải được nhưng chưa thực sự trọn vẹn. Một số học sinh thực hiện việc đổi biến ở câu 2 nhưng quên không đổi cận. Một số học sinh còn chưa nắm vững công thức tích phân từng phần. Các em rất muốn có những lời khuyên để tiếp cận được các các bài tập trên. * Giải pháp mới: Tôi đưa ra 6 bài toán trong đó 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó. - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí. - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng. - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp... - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ... - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp: phương pháp giải toán. 3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 4
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông 4. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản. - Phân dạng bài tập và phương pháp giải. - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập tổng quát, hoặc cụ thể hóa bài toán đó - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Bài toán 1: Tính tích phân sau: 1d (1  2e x ) 1.1 a) 0 1  2e x 1 ex b) 0 dx 1  2e x Giải 1d (1  2e x ) 1  2e a) 0 1  2e x  ln 1  2e 0  ln 3 x 1 b) Cách 1: Nhận xét: Ta có 1  2e x   2e x  2e x dx  d (1  2e x )  e x dx  d (1  2e x ) ' 1 2 Từ đó: 1 ex 1 1 d (1  2e x ) 1 1 1  2e 0 1  2e x 2 0 1  2e x  2 ln 1  2e 0  2 ln 3 = x 1 dx du Cách 2: Đặt (1+2e x ) = u, du =2e x dx  e x dx  2 x  0  u  3   x  1  u  1  2e 1 ex 1 1 2e du 1 1 1  2e 0 1  2e x dx = 2 3 u  2 ln u 1 2 e 3  ln 2 3 Bì nh luận: - Cách 1 thực chất là phép đổi biến giống cách 2 . Đây là phương pháp dựa vào vi phân để tính tích phân - Tuy nhiên sử dụng cách 1 ở một số bài tập có nhiều ưu điểm + Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết. + Cách làm khá ngắn gọn, đơn giản, không mất nhiều thời gian. Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 5
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông - Ở cách 2 biến đổi dài hơn nhưng một số bài tập tích phân phức tạp và cồng kềnh thì phương pháp đổi biến là sự lựa chọn thích hợp để tránh nhầm lẫn. - Trong khi giảng dạy giáo viên nên định hướng cho học sinh làm bài tập bằng nhiều cách, vừa có mục đích khắc sâu, củng cố kiến thức, qua đó các em có thể chọn cho mình cách giải thích hợp, tối ưu nhất cho mỗi dạng bài tập đồng thời phát triển tư duy sáng tạo cho các em. - Trong quá trì nh học, một phương án được gọi là phát triển tư duy nếu các bài tập giải xong để tạo nên các bài tập khác. Giáo viên làm mẫu trước sau đó hướng dẫn các em làm theo. Cách tạo ra các bài tập mới từ 1.1 1 ex 1 1 ex *)Từ 0 ( x 2  = 0 + 0 1  2e x dx 2 )dx x dx 1  2e x x3 1 1  2e 1 1 1  2e = 10  ln = + ln 3 2 3 3 2 3 Vậy ta có bài toán mới: x 2  e x  2 x 2e x 1 1)Tính tích phân: 0 dx (A-2010) 1  2e x Khi giải bài tập này ta làm như sau: 1x 2  e x  2 x 2e x 1x 2 (1  2e x )  e x 1 ex 0 1  2e x dx = 0 1  2e x = 0  2 dx ( x )dx 1  2e x Sau đó tiếp tục làm như trên. 1x 2  e x  2 x 2e x 1 1 1  2e 0 1  2e x dx = 3 + 2 ln 3     ex ex *) 0 (sin x  cos x  2 )dx =  sin xdx +  cos xdx +  2 2 2 dx 1  2e x 0 0 0 1  2e x    1 =  cos x 02  sin x 02  ln 1  2e x 2 0 2    1 =  (cos  cos 0)  sin  sin 0  (ln 1  2e 2  ln 3 2 2 2  1 = 2  (ln 1  2e 2  ln 3 2   ex (sin x  cos x)(1  2e x )  e x Hay 0 2 (sin x  cos x  1  2e x )dx = 02 1  2e x dx  sin x  cos x  2e x sin x  2e x cos x  e x = 02 dx 1  2e x  sin x  cos x  e x (2 sin x  2 cos x  1) = 02 dx 1  2e x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 6
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Vậy ta có bài tập mới 2)Tính tích phân   sin x  cos x  e x (2 sin x  2 cos x  1) 1 0 2 1  2e x dx ( Đáp số: 2  (ln 1  2e 2  ln 3) 2 1 ex 1 1 ex 1 1  2e 1 1  2e *) 0 (1  1  2e x )dx  0 dx -  01  2e x dx  x 10  ln 2 3 =1- 2 ln 3 Hay 1 1  ex 1 1  2e 3)Tính tích phân: 0 dx ( Đáp số 1- ln ) 1  2e x 2 3 Tương tự ta có thể sáng tạo một loạt các bài tập sau: 1.2) Tính tích phân  d (1  sin 2 x) a)  4 1  sin 2 x 0  2 cos 2 xdx b) 04 1  sin 2 x  1  2 sin 2 x c ) 04 dx ( B-2003) 1  sin 2 x  sin x  cos 2 x  sin x. sin 2 x d) 04 dx 1  sin 2 x Giải:   d (1  sin 2 x) a) 04  ln 1  sin 2 x 4 0  ln 2 1  sin 2 x    2 cos 2 xdx d (1  sin 2 x) b)  0 4 1  sin 2 x = 04 1  sin 2 x  ln 1  sin 2 x 4 0  ln 2  1  2 sin 2 x c)  0 4 1  sin 2 x dx   cos 2 x 1  d (1  sin 2 x) 1 1 = 04 dx =  4  ln 1  sin 2 x 4 0  ln 2 1  sin 2 x 2 0 1  sin 2 x 2 2   sin x  cos 2 x  sin x.sin 2 x sin x  sin x.sin 2 x  cos 2 x d)  4 dx  4 dx 0 1  sin 2 x 0 1  sin 2 x     cos 2 x cos 2 x 1 = 0 4 (sin x  1  sin 2 x )dx  0 4 sin xdx  0 4 1  sin 2 x dx   cos x 04  ln 2 2  1  1 2 1   cos x 4 0  ln 2 =  (cos  cos 0)  ln 2  (  1)  ln 2 2 4 2 2 2 2 1 1  ln 2 2 2 1.3) Tính tích phân Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 7
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông  d ( x sin x  cos x) a)  0 4 x sin x  cos x  x cos xdx b) 04 x sin x  cos x  x sin x  cos x  x cos x c) 04 dx( A  2011) x sin x  cos x  x sin 2 x  sin x cos x  x cos x d) 04 dx x sin x  cos x Giải   d ( x sin x  cos x) 2   a)  0 4 x sin x  cos x  ln x sin x  cos x 4 0  ln 1   2  4    x cos xdx d ( x sin x  cos x) 2   b)  0 4 x sin x  cos x = 04 x sin x  cos x  ln x sin x  cos x 4 0  ln 1   2  4 Theo khảo sát ở phần trước, theo phương pháp truyền thống thông thường  x cos xdx nếu học sinh làm xong bài toán  0 4 x sin x  cos x giáo viên dừng lại ngay. Sẽ không có định hướng để các em tiếp tục phát triển tư duy, chính vì vậy không có nhiều em giải chính xác bài toán thi đại học A- 2011, nhưng nếu người thầy sử dụng theo phương pháp mới đưa ra các bài toán tương tự và liên hệ chúng với nhau nhờ đó học sinh có thể dễ dàng giải được các bài toán tưởng chừng khá phức tạp.Từ đó giúp tư duy của các em linh hoạt hơn.Các em giải khá nhanh bài tập này.   x sin x  cos x  x cos x x cos x c)  0 4 x sin x  cos x dx  0 4 (1  x sin x  cos x )dx    x cos xdx 2    2  = 04 dx  04  x 04  ln 1   =  ln 1   x sin x  cos x 2  4 4 2  4   x sin 2 x  sin x cos x  x cos x sin x( x sin x  cos x)  x cos x d)  4 dx =  4 dx 0 x sin x  cos x 0 x sin x  cos x    x cos x x cos x = 04 (sin x  )dx =  4 sin xdx +  4 dx x sin x  cos x 0 0 x sin x  cos x  2   2   =  cos x + ln 4 0 1    (cos  cos 0) + ln 1   2  4 4 2  4 2    + ln 1   2 2 2 = (  1) + ln 1   = 1  2 2  4 2 2  4 1.4)Tính tích phân  a)  0 4 esin x d sin x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 8
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông  b)  0 4 esin x cos xdx  c)  0 4 (esin x  cos x) cos xdx ( ĐH- D-2005)  d)  0 4 (esin x  2) cos xdx  e)  0 4 (esin x  sin x) cos xdx Giải   2 a)  d sin x  e e 1 sin x sin x 4 4 e 0 2 0    2 b)  0 4 esin x cos xdx =  4 esin x d sin x  esin x 04  e 0 2 1    c)  0 4 (esin x  cos x) cos xdx =  4 esin x cos xdx +  4 cos 2 x dx 0 0   1 4 2 2 cos 2 x  1 1 =e 2 1   0 4 2 dx = e 2 1  2 cos 2 0 x 4dx + 2 0 dx   1  2 2 1 1 =e 2 1  sin 2 x 04  x 04 = e 2 1   4 2 4 8 2 3  =e -  2 4 8    d) 04 (esin x  2) cos xdx = 0 4 esin x cos xdx + 2 4 cos xdx 0  2 2  2 e 2  1  2 sin x 4 0 e 2  1  2 sin =e 2 1 2 4    e)  0 4 (esin x  sin x) cos xdx =  4 esin x cos xdx +  4 sin x cos xdx 0 0 2  1 =e 2 1  2  0 4 sin 2 xdx 2  2 2 = e 2  1  cos 2 x 04 = e 2  1  1 = e 2 1.5) Tính tích phân   1  3sin x  d 1  3sin x  1 a) 0 2 2 2 2  sin 2 x b)  0 2 1  3 sin 2 x dx  sin 2 x c)  0 2 cos 2 x  4 sin 2 x dx (ĐH-A-2006) Giải Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 9
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông  1   1  3sin x  d 1  3sin x  = 2(1  3sin 1 1 a) 2 2 2 2 2 x) 2 2 0  0 3   1 2     d 1  3sin x  1 1 sin 2 x b)  dx =  2 1  3 sin 2 x sin 2 xdx = 3 0 1  3 sin 2 x 2 2 2 2 0 1  3 sin x 2 0 1  2 2 = (1  3 sin 2 x) 2 2 0  3 3 c) Cách 1:    sin 2 x sin 2 x sin 2 x 0 2 cos x  4 sin x 2 2 dx =  2 0 1  sin x  4 sin x 2 2 dx =  2 0 1  3 sin 2 x dx 1  2 2 = (1  3 sin 2 x) 2 2 0  3 3 Cách 2:   sin 2 x sin 2 x  0 2 cos 2 x  4 sin 2 x dx =  2 0 1  3 sin 2 x dx dt Đặt t = 1+3sin2x   sin 2 xdx 3 Đổi cận  x  t  4, x  0  t  1 2  sin 2 x 1 4 dt 2 2 Khi đó 02 dx =   t 4 1  cos x  4 sin x 2 2 3 1 t 3 3 Tổng quát:  sin x. cos xdx Để tính I =  2 dx(a, b  0) 0 a cos 2 x  b 2 sin 2 x 2 Ta đặt t = a2cos2x+ b2sin2x Bài toán 2: Xét bài toán đơn giản  2 Tính tích phân:  3sin x  4 cos x dx 0 Bài làm:  2   3sin x  4 cos x dx =  3 cos x  4 sin x  02 0  437 Nhận xét: 1) Muốn đưa tích phân trên trở thành bài toán phức tạp hơn ta làm như sau: Bước 1: Phân tích 3 sinx+4cosx = A( sinx- cosx) + B( sinx+cosx) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 10
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông = sinx(A+B) +cosx( B –A) Bước 2: Đồng nhất hệ số ta được  1 A  A  B  3  2   B  A  4 B  7  2 Bước 3: Đưa: 1 7 3 sinx+4cosx = - ( sinx- cosx) + ( sinx+cosx) 2 2 1 7  sin x  cos x   sin x  cos x sin x  cos x  2 = 2 2 sin x  cos x 1   7 7  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x = 2 2 2 sin x  cos x 1 3 sin 2 x  4 cos 2 x  sin 2 x = 2 sin x  cos x Vậy ta có bài toán tích phân phức tạp hơn sau: Tính tích phân  1 2 3 sin 2 x  4 cos 2 x  sin 2 x 2 0 sin x  cos x dx 2) Bằng cách làm tương tự ta có các bài tập sau: Tính tích phân:  2 10 cos 2 x  3 sin 2 x  2 a) 0 sin x  cos x dx  14 cos 2 x  5 sin 2 x  2 2 b)  dx 0 sin x  cos x Bài toán 3: Tính tích phân:  2 3 sin x  (sin x  1) cos x 3.1) I = 0 sin x dx Ta có nhận xét: cosx =(sinx)’ sin x + 1 là hàm số đối với sinx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 11
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Vậy ta có cách làm như sau:   2 2 (sin x  1) cos x I =  3dx +  dx = I1 +I2   sin x 2 2  I1 = 3x 2 =3   2 Tính I2    x   2  t  1 Đặt sinx = t , dt =cosx dx  x    t  1  2  1 1 1 2 (sin x  1) cos x (t  1) dt I2 =  dx =  dt =  dt   = t 11  ln t 2 1 1 sin x 1 t 1 1 t  2 Vậy I =3  +2 2) Bài toán trên được biến đổi thành . Tính tích phân  2 cos x  sin x(3  cos x) a)  0 sin x dx 2   x x 3 sin x   sin  cos  cos x 2 b)   2 2 dx 0 sin x 3.2) Tương tự Tính tích phân sau:  2 10  sin x(5  cos x)  0 sin x dx . Giải Bài toán được biến đổi thành   2 10  sin x(5  cos x) 5(sin x  2)  sin x. cos x 2 ’  0 sin x  2 dx =  0 sin x  2 dx . Với cosx = (sinx+2) Đặt sinx + 2 = t thì dt = cos x dx  Đổi cận: x  0  t  2, x  t 3 2     2 5(sin x  2)  sin x. cos x 2 sin x cos x  t  2dt2 0 sin x  2 dx   5dt  0 sin x  2 dx = 5 +  2 0 t Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 12
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông     2 2  2 2 2   =5 +  (1  )dt =5 +  dt -  dt = 6 - 2ln t 3 2 =6 - 2ln3+2ln2 2 0 t 2 0 0 t 2 2 3.3) Xét tích phân:  4 (sin 2 x  1) cos 2 x  0 sin 2 x  1 dx Nhận xét: Ta có (sin2x+1)’ = 2cos2x Đặt sin2x+1 = t thì dt = 2cos2x dx  Đổi cận x  0  t  1, x  t 2 4  2 2 4 (sin 2 x  1) cos 2 x 1 (t  2) 1 2 0 sin 2 x  1 dx = 2 1 t dt = 2 1 (1  t )dt 2 2 1 dt = 21 dt -  dt 1 t 1 1 = t 12 - ln t 12 =  ln 2 2 2 Bằng phương pháp như trên ta có thể làm bài tập sau:  4 cos 2 x  sin 2 x  1 dx 0 Áp dụng công thức nhân đôi ta có thể biến đổi thành   4 cos 2 x 4 1  2 sin 2 x 0 sin 2 x  1 0 sin 2 x  1 dx dx  Đây chính là đề B-2003  2 2 sin x. cos 2 x 3.4 Tính tích phân 0 cos x  1 dx *) Xét hàm số 2 sin x. cos 2 x 1  cos x *) Với ( 1+cosx)’ =sinx Đặt 1+ cosx = t  dt   sin xdx  Đổi cận x  0  t  2, x   t 1 2  2 2 sin x. cos 2 x 1 t  1 2 1 1  t2  0 cos x  1 dx =2 2 t (  dt )  2 2 (t  2  t ) dt  2  2t  ln t  12  1  2 ln 2 2  *) Biến đổi Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 13
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông 2 sin x. cos 2 x sin 2 x. cos x  1  cos x 1  cos x Ta có bài toán  2 sin 2 x. cos x  0 cos x  1 dx ( B-2005) 1 ex 3.5) Tính tích phân: 0 1  2e x dx Ta có nhận xét: 1) 1  2e x   2e x ' Đặt 1  2e x   t  dt  2e x dx  e x dx  dt 2 Đổi cận: x  0  t  3, x  1  t  1  2e 1 1 2 e ex 1 dt 1 1 2e  1 0 1  2e x dx =  1 2 e  ln t 3  ln 2 3 t 2 2 3 1 1 1 e x ex 1 3 1 2e  1 1 1 2e  1 2)  ( x 2 ) dx   x 2 dx   dx  x 10  ln = + ln 0 1  2e x 0 0 1  2e x 3 2 3 3 2 3 1 1 x 2 (1  2e x )  e x x 2  e x  2 x 2e x 1 1 2e  1 Hay  dx  0 1  2e x dx = 3 + 2 ln 3 0 1  2e x Vậy ta có bài toán 1 x 2 (1  2e x )  e x Tính tích phân: 0 1  2e x dx ( ĐH – A_2010)  4 x. cos x 3.6) Tính tích phân:  x.sin x  cos x dx 0 Nhận xét: (xsinx+cosx)’ = x.cosx Đặt xsinx+cosx = t  dt  x. cos xdx  2  Đổi cận: x  0  t  1, x  t  (  1) 4 2 4  2   1  4 2 4  2  x. cos x dt ( 1) 0 x.sin x  cos x dx =  1 t  ln t 1 2 4 2   =ln   1 2 4  *) Xét bài toán Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 14
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông    4 4 4 x. cos x x. cos x Tính tích phân:  (1  )dx =  dx +  dx 0 x. sin x  cos x 0 0 x. sin x  cos x  2  = + ln   1 4 2 4   4 x.sin x  cos x  x. cos x  2   Hay  0 x.sin x  cos x dx  + ln 4   1 2 4   4 x.sin x  (1  x). cos x Ta có bài toán: Tính tích phân  0 x.sin x  cos x dx ( Đại học A-2011 ) 3 ln x  1 3.7) Tính tích phân:  dx x. ln x Nhận xét: Ta có (xlnx)’ =1+ lnx Đặt x.lnx = t  dt = ( 1+ lnx)dx Đổi cận: x  e  t  e, x e 2  t  2e 2 2e 2 2e 2 ln x  1 dt   2e 2  dx =  ln t e  ln 2e 2  1  ln 2  2  1  ln 2  1 e x. ln x e t Mở rộng ta có: 2e 2 2e 2 2e 2 ln x  1 ln x  1 x4 e4   x dx +  2e 2  (x  3 )dx = 3 dx = e  ln 2  1  4e8   ln 2  1 e x. ln x e e x. ln x 4 4 2e 2 x ln x  ln x  1 4 e4 Hay  dx  4e   ln 2  1 8 e x. ln x 4 Vậy trong trường hợp tổng quát ta có Dạng toán Tính tích phân của biểu thức f(x) trong đó: k .g ( x)  f ( g ( x)).g ' ( x) f(x) = d ( x) g ( x) Ta làm như sau: f ( g ( x)).g ' ( x) + Tách f(x) = k  d ( x) g ( x) + Đặt t= g(x) + Đổi cận và tính tích phân theo t Biểu thức f(x) có thể có hoặc không có thành phần k.f(x) ở trường hợp này k =0 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 15
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông Bài toán 4:Tính tích phân:  2 4.1)  sin 6 x cos3 xdx 0 Giải: Đặt t = sinx  dt  cos dx  Đổi cận: x  0  t  0, x   t 1 2 1 1 1 1 t4 t6 1 1 1 1   sin 6 x cos3 xdx =  t 3 (1  t 2 )dt   t 3dt   t 5dt  (  )0    0 0 0 0 4 6 4 6 6  2 4.2)  sin 4 x cos5 xdx 0 Giải: Đặt t = sinx  dt  cos dx  Đổi cận: x  0  t  0, x   t 1 2 1 1 1   sin x cos xdx =  sin x cos x. cos xdx =  t 4 (1  t 2 ) 2 dt 4 5 4 4 0 0 0 1 1 1 1 =  t 4 (1  2t 2  t 4 )dt   t 4 dt  2 t 6 dt   t 8 dt 0 0 0 0 = t5 t7 t9 1 2 1 8 (  2  ) 10     5 7 9 5 7 9 315 Nhận xét: Vậy trong trường hợp tổng quát. Tính tích phân có dạng b  sin x cos 2 k 1 xdx ( trong đó k, n là các số nguyên dương) 2n a Ta làm như sau: - Đặt t = sinx ( ưu tiên mũ chẵn) - Đổi cận và tính tích phân theo t  2 4.3)  sin 3 x cos8 xdx 0 Giải: Đặt t = cosx  dt   sin xdx  Đổi cận: x  0  t  0, x   t 1 2 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 16
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông 1 1 1   sin 3 x cos8 xdx =  sin 2 x cos8 x.sin xdx =-  t 8 (1  t 2 )dt 0 0 0 1 1 =   t 8 dt   t10 dt 0 0 t t9 1 1  2 11 =(  ) 10    9 11 9 11 99 Nhận xét: Vậy trong trường hợp tổng quát. Tính tích phân có dạng b  sin x cos 2 k xdx ( trong đó k, n là các số nguyên dương) 2 n 1 a Ta làm như sau: - Đặt t = cosx ( ưu tiên mũ chẵn) - Đổi cận và tính tích phân theo t  2 4.4)  sin 3 x cos5 xdx 0 Giải: Đặt t = cosx  dt   sin xdx  Đổi cận: x  0  t  0, x   t 1 2 1 1 1   sin 3 x cos5 xdx =  sin 2 x cos5 x.sin xdx =-  t 5 (1  t 2 )dt 0 0 0 1 1 =   t 5dt   t 7 dt 0 0 t t6 1 1 1 8 =(  ) 10    6 8 6 8 24 Nhận xét: Vậy trong trường hợp tổng quát. Tính tích phân có dạng b  sin x cos 2 k 1 xdx ( trong đó k, n là các số nguyên dương) 2 n 1 a Ta làm như sau: - Đặt t = cosx(nếu k>n), t = sinx (k < n) ( ưu tiên mũ lớn hơn) - Đổi cận và tính tích phân theo t 4.5.  2 Tính tích phân:  sin 2 x cos 4 xdx 0 Giải: Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 17
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông    2 2 2 1 1 1  sin x cos 4 xdx =  sin 2 x cos 2 x(cos 2 x  1)dx   sin 2 2 x(cos 2 x  1)dx  2 0 20 204    2 1 12 12 =  (sin 2 2 x . cos 2 x  sin 2 2 x)dx   sin 2 2 x . cos 2 xdx +  sin 2 2 xdx  80 80 80   2 2 1 1 =  (1  cos 4 x). cos 2 xdx +  (1  cos 4 x)dx  16 0 16 0     2 2 2 2 1 1 1 1 =  16 0 cos 2 xdx -  cos 4 x. cos 2 xdx +  dx -  cos 4 xdx  16 0 16 0 16 0   2   1 1 1 1 = 32 sin 2 x 2 0   32 0 (cos 6 x  cos 2 x)dx + x 02 - sin 4 x 02 16 64   2 2   1 1 1 1 =  32 0 cos 6 xdx   cos 2 xdx + x 02 - sin 4 x 02 32 0 16 64     1 1 1 1 = sin 6 x 02  sin 2 x 02 + x 02 - sin 4 x 02 192 64 16 64 1   =  16 2 32 Nhận xét: Vậy trong trường hợp tổng quát. Tính tích phân có dạng b  sin x cos 2 k xdx ( trong đó k ,n là các số nguyên dương) 2n a Ta làm như sau: - Nhóm lũy thừa chung của sin2x,cos2x để sử dụng công thức sinx.cosx = 1 sin 2 x 2 - Phần còn lại dùng công thức hạ bậc giảm dần số mũ của sinx, cosx  3 sin 2 x 4.6)  6 dx  cos x 6 Giải:    3 2 3 3 sin x 1 1 1   cos 6 x dx =  tan 2 x  2 2 cos x cos x dx =  tan 2 x(1  tan 2 x)  cos 2 x dx 6 6 6 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 18
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông 1 Đặt t =tanx  dt  dx cos 2 x Đổi cận   1 Đổi cận: x   t  3, x   t  3 6 3  3 sin 2 x 3 3 3  t3 t5  42 3  8  dx   t (1 t )dx  2 2  t dt  2 1 t 4 dt =    1 3   cos6 x 1 1 3 5 3 15 6 3 3 3 Nhận xét: Vậy trong trường hợp tổng quát. Tính tích phân có dạng b 1  sin a 2n x. cos 2 k x dx ( trong đó k, n là các số nguyên dương) Ta làm như sau: - Đặt t = tanx - Đổi cận và tính tích phân theo t *) ÁP DỤNG Một số bài toán trong đề thi đại học sử dụng các quy tắc trên: 1) A-2009 Tính tích phân sau:  2  (cos x  1) cos 2 xdx 3 0 Giải:      2 2 2 2 2  (cos 3 x  1) cos 2 xdx =  cos5 dx -  cos 2 xdx ( Đặt  cos5 dx =I1,  cos 2 xdx = I2) 0 0 0 0 0 Nhận xét: -tích phân I1 có dạng b  sin x cos 2 k 1 xdx ( trong đó k =2, n=0). Đặt t =sinx  dt  cos dx 2n a  Đổi cận: x  0  t  0, x   t 1 2   2 2 1   cos5 dx =  sin 4 x cos 4 x. cos xdx =  (1  t 2 ) 2 dt 0 0 0 1 1 1 1 =  (1  2t 2  t 4 )dt   t 4 dt  2 t 2 dt   dt 0 0 0 0 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 19
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông t5 t3 1 2 8 = (  2  t ) 10    1  5 3 5 3 15 -Tích phân I2 có dạng b  sin x cos 2 k xdx ( trong đó k =1, n=0) 2n a     2 2 2 1 1 12 0 2 0 2 0 2 0 cos 2 xdx = (cos 2 x  1) dx = cos 2 xdx + dx   1 1  = sin 2 x 02  x 02  4 2 4  2 8    (cos3 x  1) cos 2 xdx = - 0 15 4 2) Tính tích phân( ĐHQGHCM-2000)  4  sin 4 xdx 0 Giải: Nhận xét:  4 Tích phân  sin 4 xdx 0 b  sin x cos 2 k xdx ( trong đó k =0, n=2) 2n a Hạ bậc    2  1  cos 2 x    4 4 4 1  sin xdx =    dx =  1  2 cos 2 x  cos 2 x dx 4 2 0 0 2  40      4 4 4 1 1 1 = 40 dx -  cos 2 xdx +  cos 2 2 x dx 20 40    14 14 14 =  dx -  cos 2 xdx +  cos 4 x  1dx 40 20 80     1 1 1 1 = x 04 - sin 2 x 04 + sin 4 x 04  x 04 4 4 32 8   1  8 =    16 32 4 32 3) Tính tích phân( ĐHSPHCM-2000) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.