Công thức lượng giác cơ bản

ứ ượ ơ ả Các công th c l ng giác c  b n

ệ ứ ơ ả

ệ

ả I.Các h  th c c  b n và h  qu :

1) sin2 x + cos2 x = 1         2) tan x =

3) cot x =

4) 1 + tan2 x =

5) 1+ cot2 x =

6) tan x . cot x = 1       7) 1 + sin x = ( sin x + cos x )2

x x x x sin cos cos sin 1 x2 cos

5) tan ( x + y ) =

6) tan ( x ­ y ) =

1 x2 sin ừ ứ ộ II. Công th c c ng ­ tr : 1) sin ( x + y ) = sin x.cos y + cos x.sin y                 2) sin ( x ­ y ) = sin x.cos y ­ cos x.sin y 3) cos ( x + y ) = cos x.cos y ­ sin x.sin y                 4) cos ( x ­ y ) = cos x.cos y + sin x.sin y (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

7) cot ( x + y ) =

8) cot ( x ­ y ) =

(cid:0) (cid:0)

x y tan tan x y tan tan. 1 x y cot . cot 1 x y cot cot

(cid:0) (cid:0)

ứ

1) sin x + sin y = 2sin

.cos

2) sin x ­ sin y = 2cos

.sin

x y tan tan x y tan 1 tan. x y cot . cot 1 x y cot cot ế ổ ổ III. Công th c bi n đ i t ng thành tích: x (cid:0) x (cid:0) y y x (cid:0) y x (cid:0) y

3) cos x + cos y = 2cos

4) cos x ­ cos y = ­2sin

.sin

.cos

2 x (cid:0) y y 2 x (cid:0) 2 x (cid:0) y 2 x (cid:0) y

=

5) sin x + cos x =

=

6) sin x ­ cos x =

7) cos x ­ sin x =

=

18) cot x – tan x = 2cot 2x

2

2

2

2

2 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 2 cos sin2 sin2 2 cos (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 4 4 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) x 2 cos sin2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)(cid:0)

10) tan x – tan y =

11) cot x + cos y =

9) tan x + tan y =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x B A B sin cos (cid:0) (cid:0) (cid:0)

12) cot x – cos y =

13) tan x + cot y =

14) tan x – cot y =

(A2 + B2 > 0 )  x x y sin( ) y x cos . cos y x sin( ) x y cos . cos

15) cot x – tan y =

16) tan x + cot x =

17) tan x – cot x = ­2cot 2x

) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ) y x y sin( x sin sin. y x cos( x sin . cos (cid:0)

) y y ) y ) y 2 x2 sin

ứ

ổ

8) Asin x + Bcos x =  A y x sin( x cos cos . x sin( x sin. sin x y cos( x sin . cos ế ổ IV. Công th c bi n đ i tích thành t ng

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x y x

(cid:0)y

y

(cid:0)y

1) sin x.sin y =

2) cos x.cos y =

cos cos cos cos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y

(cid:0)y

3) sin x.cos y =

4) sin x.cos x =

x x sin sin sin x2 1 2 1 2 1 2 1 2

3) tan 2x =

4) cot 2x =

=

=

5) sin 3x = 3sin x – 4sin3 x

3

3

6) cos 3x = 4cos3 x – 3cos x          7) tan 3x =

8) cot 3x =

2

2

2

(cid:0) x (cid:0) x cot 2 tan 1 x 2 (cid:0) (cid:0) x x x cot tan 2 tan2 tan 1 x cot (cid:0) (cid:0) x x tan3 (cid:0) (cid:0) x tan 3 x 3 x cot 3 x cot cot 1

= 1 – 2Sin2

= 2Cos2

;

Cosx =

(cid:0) Cos Sin 1

ứ V. Công th c góc nhân: 1) sin 2x = 2sin x.cos x = ( sin x + cos x )2 ­ 1 = 1 ­ ( sin x ­ cos x )2 2) cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2 x cot 2 2 x tan31 x 2

Cos

=( sin

+ cos

)2 ­ 1 = 1 ­ ( sin

­ cos

)2

Sinx = 2Sin

(cid:0)x 2 x 2

2

2

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Sin4x = 2sin2x.cos2x ; Sin6x = 2sin3x.cox3x ; Cos4x = cos22x ­ sin22x ; Cos6x = cos23x ­ sin23x VI. Công th c h  b c : 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x

ứ ạ ậ 2

1) sin2 x =

2) cos2 x =

3) tan2 x =

cot tan 2 1 (cid:0) (cid:0) x 2 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 cos cos 2 2 x x cos 2 1 tan cos 2 1 cot

4) cot2 x =

5) sin3 x =

6) cos3 x =

7) tan3 x =

8) cot3 x =

(cid:0) x x 3 cos cos 3 3sin sin3 (cid:0) x (cid:0) 4 (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) x x cos cos cos cos 1 1 1 1

VII,CÔNG TH C CHIA ĐÔI VÀ M T S  CT Đ C BI T:

x 2 x 2 x 3 x 3 Ứ x (cid:0) 4 1 cos 3 1 cos 3 Ộ Ố

(cid:0) (cid:0)

Ệ x

sin

Ặ 1 (cid:0)

; tan

=

=

= (cid:0)

sin

= (cid:0)

; cos

= (cid:0)

cot

=

=

= (cid:0)

;

­

1 + cosx = 2cos2

; 1 – sinx = 2sin2(

) ; 1 – cosx = 2sin2

; 1 + sinx = 2cos2(

­

)

x 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x cos x x 2 1 x cos sin x 2 x x cos 2 1 1 cos cos cos 2 (cid:0) x sin 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x cos x x 2 x 2 x cos 1 sin 1 1 cos cos x x p p

4 x 2 x 2 x 2

; Cotgx + Tanx =

;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tan Tan x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tanx Tanx Tanx Tanx 1 1 4 4 x 2 Sin2

cos6x + cos8x = 2cos7xcosx ;  sin22x=

;  sin23x=

sin24x =

;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 4 1 6 1 1

2 Sin 2

Sin4x+cos4x  =  1 ­ 2sin2xcos2x =1 ­

sin22x =

+

cos4x ; Sin6x – Cos6x = Cos2x

;

1 ­ sin4x = (cos2x ­ sin2x)2 sin6x +cos6x  = 1­3sin2xcos2x=1­

sin22x =

cos4x

x 4 2 4.Sinx.Sin(60o – x).Sin(60o + x) = Sin3x ; 4.Cosx.Cos(60o – x).Cos(60o + x) = Cos3x 1 + Sin2x = (Sinx + Cosx)2   ; 1 – Sin2x  = (Sinx – Cosx)2 ; Cotg(nx) – Tan(nx) = 2Cotg(2nx) ; 1 1 Sin9x=3sin3x­4sin33x ; sin5x + sinx = 2sin3xcos2x ; cos2x + cos6x = 2cos4xcos2x  ; 8cos cos 2 2 cos 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) 1 4 1 2 3 4 1 4

Cos4x ­ Sin4x =  Cos2x ­ Sin2x ; 1 + sin2x = (sinx + cosx)2 ; Sin4x – Cos4x = –  Cos2x ;

5 (cid:0) 8 3 8 3 4

2 Sin 2

Sin6x + Cos6x = 1

= 1­3sin2xcos2x=1­

sin22x =

cos4x ;

(cid:0) x 5 (cid:0) 8 3 8 3 4 3 4

ươ

ượ

III, Ph

ng trình l

ng giác.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x k (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ị

(Cosx=0)

)

1,  Cosx = Cos(cid:0)

( k Z(cid:0)

(cid:0)

x =

)

Tanx không xác đ nh khi  4, Cotgx = Cotg(cid:0)

x =

( k Z(cid:0) (cid:0) k

x (cid:0) k (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 2 k (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) 2 k(cid:0) (cid:0) (cid:0) k(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x

ặ Đ c bi

ệ Cotgx = 0  (cid:0) t:

(cid:0)

x =

2k(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

ị

Cotgx không xác đ nh khi:

(cid:0)k ( Sinx=0)

2   x = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ Cosx = 0  (cid:0) ặ Đ c bi t:   x = k2(cid:0) Cosx = 1  (cid:0) x

)

2, Sinx = Sin(cid:0)

( k Z(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) k x (cid:0) 2

ứ

ặ

Đ t Tan

= t

9, Công th c theo “t”.

x =

ệ Sinx = 0  (cid:0) t:

2

x =

; Sinx =

ta có:Sinx =

; Cosx =

; Tanx =

2

2

2

x =

)

( k Z(cid:0)

2   ;    Cosx =  1(cid:0) (cid:0) k 2 (cid:0) (cid:0)k x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) k(cid:0) x k (cid:0) 2 1 (cid:0) 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) t 2 t 1 t 2 t 1 t t 1 1 (cid:0)

(cid:0)

ặ Đ c bi Sinx = 1  (cid:0) 3, Tanx = Tan(cid:0) ặ Đ c bi

t:

ệ Tanx = 0

(cid:0) x (cid:0) (cid:0) k(cid:0) (cid:0)k

Cos(–x) = Cosx ; Sin(–x) = – Sinx ; Tan(–x) = – Tanx ; Cotg(–x) = – Cotgx Cosx  ; Tan

Sinx Cos

Cotgx

Tanx  ; Cotg x )

ố Cung đ i nhau.  (cid:0) ( Cung bù nhau. Sin ơ Sin Cung h n kém.

Tanx

Sinx ;  Cos

Cotgx ; Tan (cid:0)

ụ Cung ph  nhau.

Sin

= Cosx ; Cos

= Sinx  ; Tan

= Cotgx ; Cotgx

= Tanx

Sin

; Cos

=  Sinx

; Tan

=  Cotgx

; Cotg

=  Tanx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ( (cid:0) ( (cid:0) ( ) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x ) x x (cid:0) ( x (cid:0) ( ) ) ) x ) (cid:0) ( Cosx  ;  Cotg (cid:0) (cid:0) x (cid:0) ( (cid:0) x(cid:0) x(cid:0) x(cid:0) x(cid:0) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cosx x(cid:0) x(cid:0) x(cid:0) ( x (cid:0) ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2