ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

190
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đạo hàm và vi phân', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Ch¬ng 4 §¹o hµm vµ vi ph©n 4.1 §¹o hµm 1. §Þnh nghÜa XÐt hµm f(x) x¸c ®Þnh t¹i x 0 vµ l©n cËn x0. Cho x0 sè gia ∆x cã trÞ tuyÖt ®èi kh¸ bÐ. NÕu tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n: f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f ( x ) lim = lim ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’(x0). Theo tÝnh liªn hÖ gi÷a hµm cã giíi h¹n vµ VCB, nÕu tån t¹i f’(x) th× ta cã: ∆f ( x) = f ( x + ∆x ) − f ( x) = f ' ( x).∆x + α . ∆x (1) trong ®ã α→0 khi ∆x→0. Nh vËy nÕu f(x) cã ®¹o hµm f’(x) th× ∆f(x) vµ ∆x lµ hai VCB cïng cÊp khi ∆x→0, hay nÕu f(x) cã ®¹o hµm t¹i x th× nã liªn tôc t¹i x. NÕu f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0 vµ l©n cËn ph¶i cña nã vµ tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n: f ( x0 + ∆x) − f ( x 0 ) lim ∆x → + 0 ∆x th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm ph¶i cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’ (x0+0). NÕu f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0 vµ l©n cËn tr¸i cña nã vµ tån t¹i giíi h¹n h÷u h¹n: f ( x0 + ∆x) − f ( x 0 ) lim ∆x → − 0 ∆x th× giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm tr¸i cña f(x) t¹i ®iÓm x0, ký hiÖu: f’ (x0-0). NÕu: f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) lim =∞ ∆x → 0 ∆x th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm v« cïng t¹i x0, ký hiÖu f’(x0)= ∞ . NÕu ∀x∈(a,b) ®Òu tån t¹i f’(x) th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a,b), nÕu f(x) cã ®¹o hµm ∀x∈(a,b) vµ cã ®¹o hµm ph¶i t¹i a, vµ ®¹o hµm tr¸i t¹i b, th× ta nãi f(x) cã ®¹o hµm trªn [a,b]. VÝ dô 4.1: a. T×m ®¹o hµm tr¸i vµ ph¶i t¹i x=1 cña f(x)= x − 1 sin πx 1 + ∆x − 1 sin π (1 + ∆x ) − 0 sin π f’(1-0)= lim ∆x → − 0 ∆x − ∆x sin π∆x = lim =0 ∆x → − 0 ∆x 1 + ∆x − 1 sin π (1 + ∆x ) − 0 sin π f’(1+0)= lim ∆x → + 0 ∆x − ∆x sin π∆x = lim =0 ∆x → + 0 ∆x Nh vËy f’(1-0)=f’(1+0)=0 nªn tån t¹i f’(1)=0. b. T×m ®¹o hµm tr¸i vµ ph¶i t¹i x=0 cña  x x
∆2 x − 0 f’(+0)= lim =0 ∆x → + 0 ∆x ∆x − ∆x f’(- 0)= lim = lim = −1 ∆x → −0 ∆x ∆x → −0 ∆x Nh vËy f’(-0)≠ f’(+0) nªn kh«ng tån t¹i ®¹o hµm f’(0). VÝ dô 4.2: a. Cho f(x)= sin x. Ta cã: ∆f ( x ) sin( x + ∆x) − sin x lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x  ∆x   ∆x  2 sin   cos x +  =  2   2  lim = cos x ∆x → 0 ∆x Nh vËy hµm f(x)=sin x cã f’(x)=cos x (x∈R) b. f(x)= ex, cã: e x + ∆x − e x e ∆x − 1 lim = lim e x = ex ∆x → 0 ∆x ∆x →0 ∆x 2. ý nghÜa cña ®¹o hµm a. ý nghÜa h×nh hoc Gi¶ sö t¹i c, f(x) cã ®¹o hµm f’(c). VÏ ®å thÞ hµm f(x) trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c th× tû sè: f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x ChÝnh lµ hÖ sè gãc cña d©y cung M 0M víi M0(x0,f(x0)) vµ M(x0+∆x,f(x0+∆x)). Khi cho ∆x→0 th× ®iÓm M trªn ®å thÞ dÇn ®Õn ®iÓm M0, do ®ã c¸t tuyÕn M0M dÇn ®Õn tiÕp tuyÕn M0T vµ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) khi ®ã: dÇn H×nh 4 ∆x ®Õn tgα=f’(x0) lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i M0. VËy tgα=f’(x). §ã lµ ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm. Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®êng cong t¹i x0. y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) Chó ý: NÕu f’(x0)= ∞ th× tiÕp tuyÕn víi ®êng cong y=f(x) t¹i x0 song song víi trôc Oy. b. ý nghÜa c¬ häc XÐt mét chuyÓn ®éng th¼ng cã ph¬ng tr×nh s=s(t) t¹i thêi ®iÓm t 0. Trong kho¶ng thêi gian gi÷a t0 vµ t0+∆t, (∆t>0 hoÆc ∆t
∆y = y u ∆u + α .∆u , trong ®ã α→0 khi ∆u→0. Do ®ã: ∆y , ∆u ∆u lim = lim y u + lim α = y u .u x , , ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x VÝ dô 4.3: a. f(x)= ax=exlna do ®ã: (ax)’=(exlna)’=exlnalna=axlna. π b. f(x)= cos x=sin(x+ ) do ®ã: 2 π π (cos x)’=(sin(x+ ) )’=cos(x+ ) =-sinx 2 2 4. §¹o hµm cña hµm ngîc §Þnh lý 2: Gi¶ sö t¹i x0 hµm sè y=f(x) cã ®¹o hµm h÷u h¹n f’(x)≠ 0 vµ f(x) cã hµm ngîc f -1 (y) th× t¹i y=f(x), hµm ngîc x=f -1(y) còng cã ®¹o hµm vµ ®¹o hµm ®ã tho¶ m·n hÖ thøc: ′ ( ) f −1 ( y ) = ' 1 f ( x) Chøng minh: Ta cã: ∆x = f −1 ( y + ∆y ) − f −1 ( y ) do ®ã: ∆x 1 1 1 lim = lim = = ∆y →0 ∆y ∆y →0 ∆y ∆y f ' ( x) lim ∆x ∆x →0 ∆x Coi y lµ hµm, x lµ ®èi ta cã: ( ) , f −1 ( x) = ' 1 f ( y) VÝ du 4.4: a. Hµm x=ay cã hµm ngîc y= logax do ®ã: 1 1 1 (logax)’= y = y = (a )' a ln a x ln a 1 Do ®ã: (ln x)’= x b. Hµm x=siny cã hµm ngîc y=arcsin x trªn –1
C¸c c«ng thøc trªn ®Òu chøng minh ®îc b»ng ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh cho (ii). Ta cã: (u + ∆u )(v + ∆v) − u.v u∆v + v∆u + ∆u∆v lim = lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆v ∆u ∆v lim u + lim v + lim ∆u =uv’+vu’ ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x VÝ dô 4.5: '  sin x  cos x.(sin x)'− sin x (cos x)' a. (tg x)’=   =  cos x  cos 2 x cos 2 x + sin 2 x 1 = 2 = 2 = 1 + tg 2 x cos x cos x 1 T¬ng tù (cotg x)’= − 2 = −(1 + cot g 2 x) sin x '  e x − e−x  e x + e−x b. (sh x)’=    =  = chx  2  2 '  e x + e −x  e x − e −x T¬ng tù (ch x)’=    =  = shx  2  2 Chó ý: Hµm f(x)= u ( x) v ( x ) cã thÓ viÕt thµnh: f(x)= e v ( x ) ln u ( x ) Do ®ã: f’(x)= e v ( x ) ln u ( x ) .(v(x)lnu(x))’  v ( x ).u ' ( x)  = e v ( x ) ln u ( x )  v ' ( x ) ln u ( x) +    u ( x)   VÝ dô 4.6: a. y = x sin x = e sin x ln x nªn:  sin x  y’= x sin x  cos x ln x +   x  µ µ ln x µ b. y= x µ = e µ ln x nªn ( x )' = e = µx µ −1 x 6. B¶ng ®¹o hµm c¸c hµm sè c¬ b¶n 1. (C)’=0 (∀x∈R) µ µ −1 µ 2. ( x )' = µx (∀x∈miÒn x¸c ®Þnh cña x ) 3. (ax)’=axln a do ®ã (ex)’=ex (∀x∈R) 1 1 4. (log a x )' = do ®ã (ln x)’= (∀x≠ 0) x ln a x 5. (sin x)’= cos x (∀x∈R) 6. (cos x)’= - sin x (∀x∈R) 1 π 7. (tg x)’ = 2 = 1 + tg 2 x (∀x≠ (2k + 1) , k ∈ Z ) ) cos x 2 1 8. (cotg x)’= − = −(1 + cot g 2 x) (∀x≠ kπ , k ∈ Z ) ) sin 2 x 1 9. (arcsin x)’= (∀x∈(-1,1)) 1− x2 1 10. (arccos x)’= − (∀x∈(-1,1)) 1− x2 Trang 4
1 11. (arctg x)’= (∀x∈R) 1+ x2 1 12. (arccotg x)’= − (∀x∈R) 1+ x2 13. (sh x)’= chx (∀x∈R) 14. (ch x)’= shx (∀x∈R) 1 15. (thx)’= ch 2 x 1 16. (cthx)’= − sh 2 x 17. (u+v-w)’=u’+v’-w’ 18. (u.v)’=u’v+uv’ '  u  vu '−uv' 19.   = v v2 20. y=y(u) vµ u=u(x) : y’x=y’u.u’x 1 21. NÕu y=y(x) cã hµm ngîc : x' y = y' x 4.2 Vi ph©n 1. §Þnh nghÜa NÕu hµm sè y=f(x) cã ®¹o hµm h÷u h¹n f’(x) th× ta cã: f ( x + ∆x) − f ( x) = f ' ( x).∆x + o(∆x) khi ®ã biÓu thøc dy=df(x)=f’(x).∆x gäi lµ vi ph©n cña f(x) t¹i x, ta còng nãi hµm f(x) kh¶ vi t¹i x. NÕu y=x th× dy=dx=∆x, hay vi ph©n cña biÕn ®éc lËp b»ng sè gia t¬ng øng. Khi ®ã ta cã: dy=y’dx. Khi ®ã cã thÓ viÕt: dy f ' ( x) = dx VÝ dô 4.7: a. Cho y=(1-cos2x)sin x tÝnh dy. Do [ ] [ ] y’= e sin x ln(1−cos x ) ′ = e 2 sin x ln sin x ′ 2 =e [ 2 cos x ln sin x + 2 cos x] 2 sin x ln(sin x ) Nªn dy= 2 cos x .(sin2x)sin x[1+ln sin x] dx 2. TÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n ph©n cÊp mét XÐt hµm hîp y=y(x), víi x=x(t) Do y t = y x xt , dx= xt dt nªn ta cã: ' ' ' ' dy= y t' dt = y x xt' dt = y x dx ' ' Nh vËy vi ph©n cña hµm sè y=f(x) kh«ng phô thuéc vµo f(x) lµ hµm cña biÕn ®éc lËp hay lµ hµm cña biÕn phô thuéc x. TÝnh chÊt ®ã gäi lµ tÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n. π VÝ dô 4.8: Cho y=arcsin(tgx), víi 0
1 cos 2 x 1 = = dx cos x cos x − sin x 2 2 2 2 cos x cos 2 x 3. §¹o hµm cña hµm cho theo tham sè NÕu hµm cho bëi ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) Do tÝnh bÊt biÕn cña vi ph©n ta cã: dy y t' dt y t' yx = ' = = dx xt' dt xt' VÝ dô 4.9: XÐt hµm sè cho bëi:   x = 2t − t 2   y = 3t − t 3  y t' 3 − 3t 2 3(1 − t 2 ) 3 Khi ®ã: yx = ' = = = (1 + t ) xt' 2 − 2t 2(1 − t ) 2 4. TÝnh gÇn ®óng b»ng vi ph©n NÕu f(x) kh¶ vi t¹i x0 ta cã: f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ) = f ' ( x0 ).∆x + o(∆x) tõ ®ã ta cã biÓu thøc tÝnh gÇn ®óng f(x0+∆x): f ( x 0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x 0 ).∆x NÕu ∆x cµng nhá th× c«ng thøc cµng chÝnh x¸c. VÝ dô 4.10: TÝnh gÇn ®óng: 1,02 . 1 1 Chän f(x)= 1 + x , x0=0, ∆x=0,2 do f’(x)= nªn f’(0)= ta cã: 1,02 = 2 1+ x 2 1 1 + 0,2 ≈ 1 + 0,02 = 1,01 2 4.3 §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao 1. §Þnh nghÜa Gi¶ sö hµm y=f(x) tån t¹i y’(x) t¹i x vµ l©n cËn cña nã, khi ®ã f’(x) vµ df(x)=f’(x)dx còng lµ c¸c hµm cña x, do ®ã ta cã thÓ lÊy ®¹o hµm vµ vi ph©n cña chóng. Ta gäi df ' ( x) f”(x)= ( f ' ( x ))' = dx lµ ®¹o hµm cÊp hai cña f(x) vµ d2f(x)=d(df(x)) lµ vi ph©n cÊp hai cña f(x). Ta cã: d2f(x)=d(df(x))=d(f’(x)dx)=f”(x)dx2 d2y Ta còng ký hiÖu c¸c ®¹o hµm cÊp hai cña y=f(x) lµ y”(x), do ®ã c¸c vi ph©n cÊp hai dx 2 lµ: d2y=y”.dx2. T¬ng tù ta cã ®¹o hµm vµ vi ph©n cÊp n cña hµm y=f(x) lµ: d ( y ( n −1) ( x)) y(n)(x)=(yn-1)(x))’= dx n n-1 (n) n d y=d(d y)=y dx NÕu f(x) cã ®¹o hµm cÊp n t¹i mäi x trªn kho¶ng X th× ta nãi nã kh¶ vi cÊp n trªn X. 2. Quy t¾c lÊy ®¹o hµm cÊp cao NÕu u(x) vµ v(x) cã ®¹o hµm bËc n t¹i x th× ta cã: Trang 6
(u± v)(n)=u(n) ± v(n) dn(u± v)=dnu ± dnv n (u.v)(n)= ∑ C n u v k ( k ) ( n−k ) k =0 n dn(u.v)(n)= ∑ C n d ud v k k n−k k =0 VÝ dô 4.11: TÝnh ®¹o hµm cÊp n 1 1. y= =(a+bx)-1 nªn: a + bx y’=(-1)b(a+bx)-2 y”=(-1)(-2)b2(a+bx)-3=(-1)2b22!(a+bx)-3 Quy n¹p theo n ta cã: (n) (−1) n n!b n y = (a + bx) n +1 1 1 1 1 2. y= 2 = = − x − 3 x + 2 ( x − 1)( x − 2) x − 2 x − 1  1 1  VËy y(n)=(-1)n n!  n +1 − n +1   ( x − 2) ( x − 1)  x 2 + 2 x + 1 ( x 2 − 2 x + 1) + 4( x − 1) + 4 3. y= = 1− x 1− x 4 = (1 − x) + −4 1− x 4.n! VËy y(n)= (n>1) (1 − x) n +1 1+ x 4. y= ln = ln(1 + x) − ln(1 − x) nªn: 1− x 2 1 1 y’= = + (1 + x)(1 − x ) 1 − x 1 + x  1 (−1) n −1  Do ®ã: y(n)= (n − 1)!  n +   (1 − x) (1 + x) n  µ 5. y=(a+bx) , ta cã: µ y’= µb(a+bx) -1 µ y”= µ( µ-1)b2(a+bx) - 2 Quy n¹p theo n ta cã: µ y(n)= µ( µ-1)…( µ-n+1)bn(a+bx) -n (100) 6. ¸p dông tÝnh y : 1 1 1+ x 2 + x −1 − y= = = 2(1 − x ) − (1 − x) 2 2 1− x 1− x 1 2k − 1 1 2k + 1 Do −k = − vµ − − k = − 2 2 2 2 1 1 1 (2n − 3)!! Nªn: ( − 1)...( − n + 1) = (−1) n −1 2 2 2 2n 1 1 1 (2n − 1)!! − (− − 1)...(− − n + 1) = (−1) n 2 2 2 2n Trang 7
2 n +1 2 n −1 (2n − 1)!! − (2n − 3)!! − VËy y(n)= (1 − x ) 2 + (1 − x) 2 2 n −1 2n 2 n +1 (2n − 3)!! (1 − x ) 2 [ 2(2n − 1) + 1 − x ] − = 2n Víi n=100 ta cã: 201 (197)!! y (100 ) = 100 (1 − x) 2 [ 399 − x ] − 2 7. TÝnh ®¹o hµm cÊp n (n≥ 3) cña y=x3ex V× (x3)(k)=0 víi k≥ 4 vµ (ex)(n)=ex n ªn: 3 3 (x3.ex)(n)= ∑ C n u v = ex ∑ C n ( x ) k ( k ) ( n−k ) k 3 (k ) k =0 k =0 =[x +3nx +3n(n-1)x+n(n-1)(n-2)]ex 3 2 8. TÝnh ®¹o hµm y(n)(0): a. y=sin x  π  π  π y’=cosx=sin  x +  , y" = cos x +  = sin  x + 2   2  2  2 Quy n¹p theo n ta cã:   π  (−1) sin x k n = 2k y(n)= sin  x + n  =   2  (−1) cos x  k n = 2k + 1 0 n = 2k Do ®ã: sin(n)(0)=  (−1) n = 2k + 1 k  π b. y=cosx=sin  x +   2 Quy n¹p theo n ta cã: π  (−1) sin x n = 2k + 1 k   y = sin  x + (n + 1)  =  (n)  2  (−1) k cos x  n = 2k 0 n = 2k + 1 Do ®ã: cos(n)(0)=  (−1) n = 2k k b. y=ln(1+x) 1 y’= 1+ x 1 y(n)=(-1)n-1(n-1)! do ®ã y(n)(0)=(-1)n-1(n-1)! (1 + x) n 3. §¹o hµm cÊp cao cña hµm cho theo tham sè Gi¶ sö hµm cho bëi ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) Do dy y ' (t )dt y ' (t ) yx = ' = = dx x' (t ) dt x ' (t ) lµ mét hµm cña t nªn: yx = '' ' dy x (t ) = ( ) ' ' y x t dt = ' ' yx t ( ) dx x' (t )dt x' (t ) … Trang 8
y (n) = (y ( n −1) ' x t ) x x' (t )  x = 2t − t 2  VÝ dô 4.12:   y = 3t − t 3  y ' 3 − 3t 2 3(1 − t 2 ) 3 Ta cã: y x = t' = ' = = (1 + t ) xt 2 − 2t 2(1 − t ) 2 3 .(1 + t ) t ' 3 y x' 2 ' = 2 = 2(1 − t ) 4(1 − t ) ' 3 1    4  1 − t t 3 y x3 = ''' =− 2(1 − t ) 8(1 − t ) 3 4.4 C¸c ®Þnh lý vÒ hµm kh¶ vi §Þnh nghÜa 1: Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trong (a,b), vµ c∈(a,b). Ta nãi: (i) f(x) ®¹t cùc tiÓu t¹i c nÕu ∃ u (c)⊆(a,b), f(x) ≥ f(c), x∈ u (c). ε ε (ii) f(x) ®¹t cùc ®¹i t¹i c nÕu ∃ u (c)⊆(a,b), f(x) ≤ f(c), x∈ u (c). ε ε C¸c ®iÓm cùc tiÓu vµ cùc ®¹i gäi chung lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ, theo ®Þnh nghÜa, chóng lµ c¸c cùc trÞ ®Þa ph¬ng, v× ta chØ so s¸nh chóng víi c¸c ®iÓm ë l©n cËn. §Þnh lý 4:(§Þnh lý Fecma) NÕu hµm f(x) cã cùc trÞ t¹i c vµ f(x) kh¶ vi t¹i c th× f’(c)=0. Chøng minh: V× f(x) kh¶ vi t¹i c nªn ta cã: f (c + ∆x) − f (c) f (c + ∆x ) − f (c) lim = lim = f ' (c ) ∆x → + 0 ∆x ∆x → −0 ∆x Gi¶ sö f(x) cùc ®¹i t¹i c, khi ®ã víi ∆x ®ñ nhá ta cã: f (c + ∆x) − f (c) (i) ∆x>0: ≤0 ∆x f (c + ∆x) − f (c ) nªn lim ≤0 ∆x → + 0 ∆x f (c + ∆x) − f (c ) (ii) ∆x
Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn [a,b] vµ kh¶ vi trªn (a,b). Khi ®ã tån t¹i c ∈(a,b) mµ: f (b) − f (a ) = f ' (c ) b−a Chøng minh: XÐt hµm phô: f (b ) − f ( a ) g ( x) = f ( x) − f ( a) − ( x − a) b−a Ta cã: g(a)=g(b)=0, hay g(x) tho¶ m·n ®Þnh lý Rolle, khi ®ã tån t¹i c∈(a,b) mµ g’(c)=0. f (b) − f (a ) g ' (c ) = f ' (c ) − =0 b−a ChuyÓn vÕ ta ®îc ®iÒu cÇn chøng minh. ý nghÜa h×nh häc: Gäi A(a, f(a)), B(b,f(b)). V× f (b) − f (a ) lµ hÖ sè gãc cña d©y cung AB, cßn f’(c) lµ b−a hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn víi ®êng cong y=f(x) t¹i c. Do ®ã ®Þnh lý Lagrange kh¼ng ®Þnh, trªn cung AB cña ®å thÞ hµm sè y=f(x) cã mét ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi d©y cung AB. §Æt a=x0, b=x0+ ∆x , khi ®ã H×nh 5 c=x0+ θ ∆x, (0 < θ < 1 ). C«ng thøc Lagrange cã thÓ viÕt: f ( x 0 + ∆x) = f ( x0 ) + f ' ( x 0 + θ .∆x )∆x Gäi lµ c«ng thøc sè gia h÷u h¹n. §ã lµ mét c«ng thøc ®óng ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña f(x) t¹i ®iÓm x0 + ∆x . ViÖc t×m ®îc θ ®Ó cã thÓ tÝnh ®óng lµ khã kh¨n, nªn ngêi ta thêng tÝnh gÇn 1 ®óng b»ng c¸ch chän tham sè θ mét gi¸ trÞ nµo ®ã, trong thùc tÕ ta thêng chän θ = . 2 C«ng thøc Lagrange thêng ®îc dïng ®Ó tÝnh gÇn ®óng vµ chøng minh mét sè bÊt ®¼ng thøc. VÝ dô 4.13:  π a. Chøng tá víi  0 < β ≤ α <  cã:  2 α−β α−β < tgα − tgβ < cos β2 cos 2 α Theo Lagrange cã: 1 tgα − tgβ = (α − β ) , víi α
Cho hai hµm sè f(x) vµ g(x) x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn [a,b] vµ g(a)≠ g(b). NÕu f(x) vµ g(x) kh¶ vi trªn (a,b) khi ®ã tån t¹i c∈(a,b) mµ: f (b) − f (a ) f ' (c) = g (b) − g (a) g ' (c ) Chøng minh: XÐt hµm: f (b ) − f ( a ) h( x ) = f ( x ) − f ( a ) − [ g ( x) − g ( a )] g (b ) − g ( a ) DÔ dµng kiÓm tra h(x) tho¶ m·n ®Þnh lý Rolle hay h(a)=h(b), nªn tån t¹i c∈(a,b) mµ h’(c)=0. f (b) − f ( a) h ' (c ) = f ' ( c ) − g ' (c ) = 0 b−a ChuyÓn vÕ ta ®îc ®iÒu cÇn chøng minh. Chó ý: Khi chän g(x)=x tõ ®Þnh lý C«si ta cã ®Þnh lý Lagrange. Trong ®Þnh lý Lagrange nÕu cho f(a)=f(b) ta cã ®Þnh lý Rolle. §Þnh lý C«si cã ý nghÜa quan träng trong chøng minh c¸c quy t¾c t×m giíi h¹n trong nh÷ng phÇn díi ®©y. 4.5 Quy t¾c L«pitan t×m giíi h¹n §Þnh lý 8: Gi¶ sö c¸c hµm f(x), g(x) kh¶ vi trong mét l©n cËn cña a, g’(x)≠ 0 trong l©n cËn a vµ lim f ( x ) = lim g ( x) = 0 . Khi ®ã nÕu: x →a x →a f ' ( x) lim =A x →a g ' ( x) f ( x) Th× lim =A x→a g ( x) Chøng minh: Do f(a)=g(a)=0, ¸p dông ®Þnh lý C«si ta cã: f ( x) f ( x) − f (a) f ' (c ) lim = lim = lim =A x →a g ( x) x →a g ( x) − g (a ) x → a g ' (c ) Chó ý: f ' ( x) g ' ( x) 1. §Þnh lý vÉn ®óng khi lim = ∞ v× khi ®ã lim =0 x→a g ' ( x ) x→a f ' ( x) g ( x) f ( x) nªn lim = 0 do ®ã: lim =∞. x→a f ( x ) x→a g ( x) 1 2. §Þnh lý vÉn ®óng khi x → ∞ . Khi ®ã ta chØ cÇn ®Æt x = . Khi x → ∞ th× t→0. t §Þnh lý 9: Gi¶ sö c¸c hµm f(x), g(x) kh¶ vi trong mét l©n cËn cña a, g’(x)≠ 0 trong l©n cËn a vµ lim f ( x ) = lim g ( x) = ∞ . Khi ®ã nÕu: x→a x→ a f ' ( x) lim =A x →a g ' ( x) f ( x) th× lim =A x→a g ( x) Ta kh«ng chøng minh ®Þnh lý nµy. Chó ý: 1. Cã thÓ ¸p dông quy t¾c Lopitan liªn tiÕp nhiÒu lÇn VÝ dô 4.14: x3 3x 2 6x a. x →0 x − sin x x →0 1 − cos x = lim sin x = 6 lim = lim x →0 Trang 11
 ex +1 lim =0 ex + x e x + 1  x →−∞ 2 + 2 x  lim b. x →∞ = lim = 2 x + x 2 x →∞ 2 + 2 x  ex  x →+ ∞ 2 = + ∞  lim 2. Cã thÓ dïng Lopitan ®Ó khö c¸c d¹ng v« ®Þnh VÝ dô 4.15:  x 1  x ln x − x + 1 a. lim −  = lim x →1 x − 1 ln x  x→1 ( x − 1) ln x  x ln x 1 + ln x 1 = lim = lim = x →1 x ln x + x − 1 x →1 2 + ln x 2 ln sin x lim x ln sin x = lim b. x →+0 x → +0 1 x cos x x = lim sin x = lim − x cos x = 0 x → +0 1 x → +0 sin x − 2 x c. lim( arctgx ) acr sin x lim arcsin x ln arctgx ln arctgx = e x →0 lim x ) −1 =e x → 0 (arcsin x →0 ln arctgx − x2 lim lim x → 0 (1+ x 2 ) arctgx =e =e = e0 = 1 x →0 −1 x c. lim( cos x ) = lim[1 + (cos x − 1)] arctgx arctgx x →0 x →0 1 cos x −1 = lim[1 + (cos x − 1)] cos x −1 . arctgx x →0 cos x −1 cos x −1 − sin x lim lim lim =e x →0 arctgx =e x →0 x =e x →0 1 = e0 = 1 Chó ý: 1. C¸c ®Þnh lý L«pitan chØ lµ ®iÒu kiÖn ®ñ, kh«ng ph¶i lµ ®iÒu kiÖn cÇn. VÝ dô 4.16: 1 1 x2 1 x 3 sin x 3 sin sin lim x = lim x = lim 2 x 4 x =0 x →0 1 − cos x x →0 x x →0 x 2 sin 2 2 sin 2 2 2 Tuy nhiªn kh«ng tån t¹i giíi h¹n: '  3 1 1  x sin  3x 2 − x cos lim  x = lim x = lim(3x − cos 1 ) x →0 (1 − cos x ) ' x →0 sin x x →0 x 4.6 Khai triÓn Taylo cña hµm sè 1. C«ng thøc Taylo Cho hµm f(x) liªn tôc trªn [a,b], cã ®¹o hµm ®Õn bËc n+1 trªn (a,b) vµ x 0∈(a,b); t×m mét ®a thøc Pn(x) sao cho: f(x0)=Pn(x0), f’(x0)=P’n(x0),…, f(n)(x0)=P(n)n(x0) (1) Chóng ta xÐt ®a thøc Pn(x) d¹ng: Pn(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)n (2) Do P(k)n(x)=k!ak+2…(k+1)ak+1(x-x0)+…+(n-k+1)…nan(x-x0)n-k Nªn tõ ®iÒu kiÖn (1) ta cã: Trang 12
f(x0)=Pn(x0)=a0 nªn a0=f(x0) f ' ( x0 ) f’(x0)=P’n(x0)=1!a1 nªn a1= 1! f " ( x0 ) f”(x0)=P”n(x0)=2!a2 nªn a2= 2! … ( n) f ( x0 ) f(n)(x0)=P(n)n(x0)=n!an nªn an= n! VËy Pn(x) cã d¹ng: f ' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) Pn(x)= f ( x 0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x 0 ) n (3) 1! n! BiÓu thøc (3) gäi lµ ®a thøc Taylo cña f(x) t¹i x0. §Æt Rn(x)=f(x)-Pn(x) Khi ®ã cã thÓ viÕt: f(x)=Pn(x)+Rn(x) Ta thÊy Rn(x) còng kh¶ vi ®Õn cÊp n trªn (a,b) vµ: Rn(x0)=R’n(x0)=…=R(n)n(x0)=0 XÐt G(x)=(x-x0)n+1 ta còng cã: G(x0)=G’(x0)=…=G(n)(x0)=0 vµ G(n+1)(x)=(n+1)! Gi¶ sö x∈(a,b) vµ x≠ x0, khi ®ã theo ®Þnh lý C«si cã: Rn ( x) Rn ( x) − Rn ( x 0 ) R ' n (c1 ) = = {c1∈(x0,x)} G ( x) G ( x) − G ( x 0 ) G ' (c1 ) L¹i ¸p dông ®Þnh lý C«si ta cã: R ' n (c1 ) R ' n (c1 ) − R ' n ( x0 ) R"n (c 2 ) = = {c2∈(x0,c1)} G ' (c1 ) G ' (c1 ) − G ' ( x 0 ) G" (c 2 ) Sau (n+1) lÇn ¸p dông ®Þnh lý C«si ta ®îc: Rn ( x) Rnn +1) (c) Rn n +1) (c) ( ( = ( n +1) = (c∈(a,b), c≠ x0) G ( x) G (c ) ( n + 1)! Do Rnn +1) ( x) = f ( n +1) ( x) − Pn( n +1) ( x) = f ( n +1) ( x) ( Nªn ta cã: f ( n +1) (c) Rn(x)= ( x − x0 ) n +1 (4) (n + 1)! C¸c kÕt qu¶ trªn ®îc ph¸t biÓu b»ng ®Þnh lý: §Þnh lý 10: Cho hµm f(x) liªn tôc trªn [a,b], kh¶ vi ®Õn cÊp (n+1) trªn (a,b). Khi ®ã víi mäi x0∈(a,b) ta cã: f ' ( x0 ) f(x)= f ( x 0 ) + ( x − x0 ) + ... 1! f ( n ) ( x0 ) f ( n +1) (c) + ( x − x0 ) n + ( x − x 0 ) n +1 (5) n! (n + 1)! BiÓu thøc (5) ®îc gäi lµ c«ng thøc Taylo cña hµm f(x) t¹i x 0, ta còng nãi f(x) cã khai triÓn Taylo h÷u h¹n t¹i x0. Cßn biÓu thøc (4) gäi lµ phÇn d thø n. Khi x0=0 ta cã c«ng thøc: f ' (0) f ( n ) (0) n f ( n +1) (c) n +1 f(x)= f (0) + x + ... + x + x (6) 1! n! (n + 1)! Vµ gäi lµ c«ng thøc Macloranh hay khai triÓn Macloranh cña f(x). Trang 13
NhËn xÐt: NÕu f(n+1)(x) giíi néi trªn (a,b), nghÜa lµ ∃ M>0: f ( n +1) ( x) ≤ M , x ∈ (a, b) khi ®ã phÇn d Rn(x) cã íc lîng: M n +1 Rn ( x ) ≤ x − x0 (n + 1)! Do ®ã ta cã c«ng thøc tÝnh gÇn ®óng f(x): f ' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x) ≈ f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) + ... + ( x − x0 ) n 1! n! Víi sai sè: M n +1 Rn ( x ) ≤ x − x0 (n + 1)! 2. Khai triÓn Macloranh cña mét sè hµm a. Hµm f(x)=(1+x)m, m nguyªn d¬ng. Ta cã: f(0)=1 m(m − 1)...(m − k + 1)(1 + x ) m −k (k ≤ m) f (x)=  (k) 0 ( k > m) nªn m(m − 1)...(m − k + 1) (k ≤ m) f(k)(0)=  0 ( k > m) Do ®ã: m m(m − 1) 2 (1+x)m=1+ x + x + ... 1! 2! m(m − 1)...( m − k + 1) k + x + ... + x m k! Thay x bëi -x ta cã: m m(m − 1) 2 (1-x)m=1- x + x + ... 1! 2! k m( m − 1)...( m − k + 1) k + (−1) x + ... + ( −1) m x m k! 1 b. Hµm f(x)= 1+ x Ta cã: f(0)=1 n! f(n)(x)= (−1) n nªn f(n)(0)=(-1)nn! (1 + x) n +1 Do ®ã: 1 (−1) n = 1 − x + x + ... + (−1) x + 2 n n x n +1 1+ x (1 + θ x) n +1 Thay x bëi -x ta ®îc 1 1 = 1 + x + x 2 + ... + x n + x n +1 1− x (1 + θ x) n +1 c. f(x)=ln(1+x) 1 Ta cã: f(0)=0, f’(x)= nªn 1+ x n! f(n+1)(x)= (−1) n nªn f(n+1)(0)=(-1)nn! (1 + x) n +1 Trang 14
Do ®ã: x2 ln(1+x)= x − + ... 2 n −1 x n ( −1) n 1 + (−1) + x n +1 n n + 1 (1 + θ x ) n +1 d. f(x)=ex, ta cã f(n)(x)=ex do ®ã f(n)(0)=1 x x2 xn eθ x e = 1+ + x + ... + + x n +1 1! 2! n! (n + 1)! e. f(x)=sin x Ta cã: ( −1) k sin x  ( n = 2k ) (n) f (x)=  ( −1) k cos x  (n = 2k − 1) 0 ( n = 2k ) Nªn f(n)(0)=  (−1) (n = 2k − 1) k Do ®ã: x3 sin x= x − + ... 3! x 2 n −1 x 2n + (−1) n −1 + (−1) n sin θ x (2n − 1)! (2n)! T¬ng tù cã: x2 cos x= 1 − + ... 2! x 2n x 2 n +1 + (−1) n + (−1) n +1 cosθ x ( 2n)! (2n + 1)! 4.7 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè 1. DÊu hiÖu cùc trÞ cña hµm sè §Þnh lý 11: Cho f(x) liªn tôc trªn [a,b] vµ kh¶ vi trªn (a,b). §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó f(x) t¨ng (gi¶m) trªn [a,b] lµ f’(x)≥ 0 (f’(x)≤ 0) ∀x∈(a,b). Chøng minh: Gi¶ sö f(x) t¨ng trªn [a,b], khi ®ã:  f ( x + ∆x) > f ( x) khi ∆x > 0   f ( x + ∆x) < f ( x ) khi ∆x < 0 f ( x + ∆x) − f ( x) ⇔ > 0 ⇔ f‘(x)≥ 0 ∆x §Þnh lý 12: Cho f(x) liªn tôc trªn [a,b] vµ kh¶ vi trªn (a,b) cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n ®iÓm vµ a
®îc gäi lµ låi trong [a,b] nÕu ∀t∈[0,1] lu«n cã: tf (a ) + (1 − t ) f (b) > f (ta + (1 − t )b) BÊt ®¼ng thøc trªn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc låi. Ta thÊy ®o¹n [a,b] cã biÓu diÔn: [a,b]={ta+(1-t)b, t∈[0,1]} gäi A(a,f(a)), B(b,f(b)) khi ®ã ph¬ng tr×nh cña d©y cung AB lµ: H×nh 6 tf(a)+(1-t)f(b), t∈[0,1] BÊt ®¼ng thøc låi chøng tá trªn [a,b], c¸c ®iÓm cña hµm sè n»m díi d©y cung AB. NÕu trªn [a,b], ∀t∈[0,1] lu«n cã: tf (a ) + (1 − t ) f (b) < f (ta + (1 − t )b) Ta nãi f(x) lµ hµm lâm trªn [a,b]. HiÓn nhiªn khi ®ã f(x) n»m trªn d©y cung AB. MÖnh ®Ò: Cho f(x) liªn tôc trªn [a,b] vµ cã ®¹o hµm ®Õn cÊp hai H×nh 7 trªn (a,b). Khi ®ã nÕu f”(x)>0 (x∈(a,b)) th× f(x) låi trªn [a,b]. Chøng minh: XÐt hµm g(t)=t f(a)+(1-t) f(b) – f(ta+(1-t)b) Ta cã: g’(t)=f(a) – f(b) – f’(ta+(1-t)b) (a-b) Theo ®Þnh lý Lagrange: f(a)-f(b)= f ' (c)(a − b) , (at0 th× ta+(1-t)b>t0a+(1-t0)b nªn: g’(t) > g’(t0) + t 0 khi x > 0   y ' < 0 khi x < 0 Trang 16
Do ®ã hµm cã cùc tiÓu t¹i x=0, y=-1. y" = [ − 2 3 ( x 2 + 1) 5 + 33 x 4 ( x 2 + 1) − 3 x 10 ] < 0 (∀x ≠ 0) 93 x 4 3 ( x 2 + 1) 5 Nh vËy hµm sè lâm trªn mäi [a,b]⊂ (-∝,0) vµ [a,b]⊂ (0,+∝). 3. Ta cã: ( lim 3 x 2 − 3 x 2 + 1 = 0 x →∞ ) Nªn y=0 lµ tiÖm cËn ngang. 4. B¶ng biÕn thiªn vµ ®å thÞ x −∞ 0 +∞ y‘ - + y 0 0 -1 §å thÞ H×nh 8 4. Kh¶o s¸t ®êng cong theo ph¬ng tr×nh tham sè C¸c bíc kh¶o s¸t ®êng cong cho bëi ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) còng gièng nh khi kh¶o s¸t ®êng cong cho bëi ph¬ng tr×nh y=f(x). Tuy nhiªn chó ý nh÷ng ®iÒu sau: 1. T×m miÒn x¸c ®Þnh cña c¶ x, y theo t. NhËn xÐt tÝnh ch½n lÎ, tuÇn hoµn theo t. 2. XÐt sù biÕn thiªn cña x vµ y theo t b»ng c¸c ®¹o hµm x’ t vµ y’t. lim y (t ) = ∞  t →t 0 3. NÕu  th× x=a lµ tiÖm cËn ngang. lim x(t ) = a  t →t 0 lim y (t ) = b  t →t 0  th× y=b lµ tiÖm cËn ®øng. lim x(t ) = ∞  t →t 0 NÕu lim x(t ) = ∞ vµ t →t 0 y (t ) b = lim[ y (t ) − a.x(t )] a = lim , t →t 0 t→t 0 x (t ) Th× y=ax+b lµ ®êng tiÖm cËn xiªn. Trang 17
VÝ dô 4.18: a. Kh¶o s¸t ®êng Axtroit: 2 2 2 x +y =a 3 3 3 §a vÒ ph¬ng tr×nh tham sè b»ng phÐp ®æi biÕn:   x = a cos t 3   y = a sin 3 t  Ta thÊy x, y x¸c ®Þnh víi mäi t vµ tuÇn hoµn víi chu kú 2 π do ®ã ta chØ cÇn xÐt trªn kho¶ng [0,2π]. π 3π x’t=-3acos2tsint=0 khi t=0, t= , t=π, t= , t=2π 2 2 π 3π y’t=3acostsin2t=0 khi t=0, t= , t=π, t= , t=2π 2 2 B¶ng biÕn thiªn: t 0 π π 3π 2π 2 2 x’ 0 - 0 - 0 + 0 + 0 x a 0 0 a -a y’ 0 + 0 - 0 - 0 + 0 y a 0 0 0 -a Ta cã: dy 3a sin 2 t cos t = = −tgt =0 taÞ t=0 vµ t=π, t=2π dx − 3a sin t cos 2 t Nªn tiÕp tuyÕn t¹i c¸c ®iÓm ®ã lµ trôc Ox. §êng cong cã ®å thÞ: H×nh 9 b. Kh¶o s¸t ®êng l¸ §Òc¸c x3+y3 – 3axy=0 §a vÒ ph¬ng tr×nh tham sè b»ng phÐp ®æi biÕn: y=xt ta ®îc: x3+x3t3 – 3a x2t=0 Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè: Trang 18
 3at x = 1 + t 3   2  y = 3at   1 + t3 1 − 2t 3 1 x’t= 3a = 0 khi t= 3 (1 + t ) 3 2 2 2 − t3 y’t= 3at =0 khi t=0 hoÆc t= 3 2 (1 + t 3 ) 2 Khi t → −1 , x vµ y ®Òu dÇn tíi ∞ , vµ ta cã: y k= lim = lim t = −1 t → −1 x t → −1  3at 2 3at  b= tlim[ y − kx] = tlim  → −1 1 + t +  → −1  3 1+ t3  t (t + 1) = 3a tlim = −a → −1 (t + 1)(t 2 − t + 1) VËy tiÖm cËn xiªn lµ: y= -x – a B¶ng biÕn thiªn: t −∞ -1 0 3 +∞ 3 2 −1 2 x’ + + + - - x + a 4 3 ∞ a3 2 −∞ 0 0 y’ - 0 - 0 + 0 + 0 - 0 y + ∞ a3 4 0 a3 2 0 −∞ 0 dy t (2 − t 3 ) Ta cã: = dx 1 − 2t 3 dy = 0 t¹i t=0, t= 3 2 dx dy 1 = ∞ t¹i t= ∞ , t= 3 dx 2 §å thÞ ®i qua gèc to¹ ®é hai lÇn øng víi t=0 vµ t= ∞ vµ Ox, Oy lµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i ®ã. §å thÞ cña hµm sè: Trang 19
H×nh 10 c. §êng Xycloit  x = R (t − sin t )   y = R (1 − cos t ) XÐt chuyÓn ®éng cña mét ®êng trßn b¸n kÝnh R. LÊy mét ®iÓm tuú ý nhng cè ®Þnh trªn ®êng trßn, cho ®êng trßn l¨n kh«ng trît trªn mét ®êng th¼ng, khi ®ã quü ®¹o cña ®iÓm cã ph¬ng tr×nh lµ ®êng Xycloit. ThËt vËy, gi¶ sö ®iÓm ®îc chän M b¾t ®Çu ®Æt t¹i gèc O cña hÖ trôc to¹ ®é. Sau khi quay ®îc mét gãc t th× M cã to¹ ®é (x,y). Trªn h×nh vÏ ta cã: H×nh 11 x=OF=ON - FN= NM – MG=Rt – Rsint y=FM=NG=ND – GD= R – R cos t Ta thÊy x, y x¸c ®Þnh víi mäi t vµ tuÇn hoµn víi chu kú 2π, vËy ta xÐt trªn ®o¹n [0,2π]. x’t=a(1-cost)=0 khi t=0 vµ t=2π. y’t=asin t=0 khi t=0, t=π, t=2π dy sin t dy = = 0 khi t=0, t=π, = ∞ khi t=2π dx 1 − cos t dx Ta cã b¶ng biÕn thiªn: t 0 π 2π x’ 0 +  + 0 x 2 aπ aπ 0 y’ 0 + 0 - 0 y 2a 0 0 5. §êng cong cho bëi to¹ ®é cùc a. HÖ to¹ ®é cùc §Þnh nghÜa 3: Trong mÆt ph¼ng chän ®iÓm O cè ®Þnh gäi lµ gèc cùc. Chän trôc Ox ®Þnh híng vµ gäi lµ trôc cùc. LÊy tuú ý ®iÓm M trong mÆt ph¼ng, khi ®ã vÐc t¬ OM x¸c ®Þnh t¬ng øng bëi: + Gãc ®Þnh híng gi÷a trôc Ox vµ OM : ϕ = (Ox, OM ) + §é dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ OM : r= OM Khi ®ã M hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi cÆp hai sè: (r,ϕ). NÕu ta chän 0≤ϕ ≤ 2π vµ r≥ 0 th× th× gi÷a M vµ (r,ϕ) cã t¬ng øng Trang 20