Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân

Chia sẻ: Hà Oánh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

2.646
lượt xem 617
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo và phân loại bài tập toán đại số lớp 11 về Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân

PHÂN LOẠI BÀI TẬP CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN. Tên bài Bài tập dành cho HS TB – Yếu Bài tập dành cho HS Khá – Giỏi PP quy Bài 1 (SGK_82). CMR với n N*, ta có Bài 5 (SGK_83). CMR số đường chéo của nạp n(3n + 1) n(n − 3) đẳng thức: a ) 2 + 5 + 8 + ... + 3n − 1 = 2 một đa giác lồi n cạnh là 2 . 1 1 1 1 2n − 1 Bài 1.2 (BT_94). Chứng minh các đẳng b) + + + ... + n = n 2 4 8 2 2 n(n + 1)(2n + 1) thức sau (với n N*) c ) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = 6 n(4n 2 − 1) a )12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1) 2 = 3 Bài 2 (SGK_82). CMR với n N*, ta có: n 2 (n + 1) 2 3 2 b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = a) n + 3n + 5n chia hết cho 3. 4 n b) 4 + 15n – 1 chia hết cho 9. Bài 1.3 (BT_95). Chứng minh với mọi n 3 c) n + 11n chia hết cho 6. N*, ta có n +1 2n – 1 Bài 3 (SGK_82). CMR với mọi số tự nhiên a) 11 + 12 chia hết cho 133. 3 2 n 2, ta có đẳng thức: b) 2n – 3n + n chia hết cho 6. n a) 3 > 3n +1. Bài 1.4 (BT_95). Chứng ming các bất n+1 b) 2 > 2n + 3. đẳng thức sau (với n N*). n+2 Bài 4 (SGK_83). Cho a) 2 > 2n + 5. 2n 2n 1 1 1 Sn = + + ... + b) sin α + cos α 1. 1.2 2.3 n( n + 1) với n N*. Bài 1.7 (BT_95). Cho n số thực a1, a2, a3, 1 2 3 a) Tính S , S , S . …, an thỏa mãn điều kiện – 1< ai 0 với b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng i = 1, n . CMR với với n N*, ta có minh bằng quy nạp. (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 1 + a1 + a2 + … Bài 1.1 (BT_94). Chứng minh các đẳng thức + an sau (với n N*). Bài 1.8 (BT_95). CMR với số thực thực n(3n + 1) a) 2 + 5 + 8 + .. + ( 3n – 1) = 2 . a1, a2, a3, …, an (với n N*), ta có 1 n+1 b) 3 + 9 + 27 + .. + 3 = 2 (3 − 3) . |a1 + a2 + .. + an| |a1| +|a2| + … +|an|. n Bài 2(BT_122). Chứng minh các đẳng Bài 1.5 (BT_95). Với giá trị nào của số tự thức sau với n N*. nhiên n ta có: 1 1 1 a) A n = 1.2.3 + 2.3.4 +...+ n(n + 1)(n + 2) n n 2 a) 2 > 2n + 1. b) 2 > n + 4n + 5. Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 1
n n n( n + 3) c) 3 > 2 + 7n ? = 4(n + 1)(n + 2) Bài 5 (SGK_107). Chứng minh rằng với n(n + 1) b) Bn = 1 + 3 + 6 + 10 +...+ mọi n ∈ N , ta có: * 2 n n(n + 1)(n + 2) a) 13 – 1 chia hết cho 6. = 3 6 b) 3n + 15 chia hết cho 9. Bài 1(BT_121). CMR: 5 a) n – n chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. Bài 3 (BT_122). Chứng minh các bất đẳng thức n–1 a) 3 > n(n + 2) với n 4. n–3 b) 2 > 3n – 1 với n 8. Dãy số Bài 1(SGK_92). Viết năm số hạng tổng quát Bài 3(SGK_92). Dãy số (un) cho bởi: u1 = 3; un + 1 = 1 + n , n ≥ 1 . 2 un cho bởi công thức. n 2n − 1 a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. a) un = 2n − 1 b) un = n 2 +1 n b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un  1 n c) un = 1 + n  d) un = và chứng minh công thức bằng quy nạp.   n2 + 1 Bài 2(SGK_92). Cho dãy số (un), biết: Bài 5(SGK_92). Trong các dãy số (un) sau, un = –1, un+1 = un + 3 với n ≥ 3 . dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. chặn trên. 2 1 b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: a) un = 2n – 1.b) un = n(n + 2) un = 3n – 4. 1 un = sin n + cos n c) un = 2n 2 − 1 d) . Bài 4(SGK_92). Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) biết: Bài 2.2(BT_106). Cho dãy số (un) 2 1 n −1 với un = n – 4n + 3. a) un = n − 2 b) un = n + 1 a) Viết công thức truy hồi của dãy số. Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 2
un = (−1) n (2n + 1) 2n + 1 un = b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới. c) d) 5n + 2 c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã Bài 2.1(BT_106). Viết năm số hạng đầu và cho. khảo sát tính tăng, giảm của dãy số (un), biết n 1 – 2n n n–7 Bài 2.3(BT_106). Cho dãy số (un) a) u = 10 . b) u = 3 . n 2n + 1 n với un = 1 + (n – 1)2 . 3 n c) un = d) un = n2 2 n a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. n b) Tìm công thức truy hồi. Bài 2.5 (SGK 106) . Cho dãy số (u ) được u1 = 5 c) Chứng minh dãy số tăng và bị chặn xác định bằng công thức u = u + 3n − 2  n +1 n dưới. a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. Bài 2.4(BT_106). Dãy số (un) được xác b) Chứng minh dãy số tăng. định bằng công thức Bài 6(SGK_107). Cho dãy số un, biết rằng u1 u1 = 1  un +1 = un + n (n ≥ 1) 3 = 2, un+1 = 2un – 1 với n ≥ 1 . a) Viết năm số hạng đầu của dãy. a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. n–1 b) Chứng minh rằng un = 2 + 1 bằng b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số. phương pháp quy nạp. Bài 2.6(BT_107). Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau: u1 = 2  a) u = 2 − 1 (n ≥ 1)  n +1 un   1 u1 = 2 u1 = b) u = u − 1 c)  2  n +1 n un +1 = 3un  Bài 2.7(BT_107). Dãy số (xn) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A: A = {A0, A1, A2, …, An, …} Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A. Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ B và n + 1 điểm A0, A1, A2, …An rồi lập Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 3
dãy số (un). a) Tính u1, u2, u3, u4. u n = Cn2+1 b) CMR và un+1 = un + n + 1. Bài 2.8(BT_107). Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện ∀ n ∈ N * thì 0 < un < 1 và 1 un +1 < 1 − 4un . Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm. Bài 7(SGK_107). Xét tính tăng, giảm, bị chặn của các dã số (un), biết: 1 n −1 1 a) u = n + n b) u = (−1) sin n u = n +1 − n c) Cấp số Bài 1(SGK_97). Trong các dãy số sau, dãy Bài 4(SGK_98). Trên mặt sàn tầng một cộng số nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. công sai của nó. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm n a) un = 5 – 2n. b) un = 2 − 1 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm. n 7 − 3n a) Viết công thức tìm độ cao của một bậc n c) u = 3 d) un = 2 tùy ý so với mặt sân. Bài 2(SGK_97). Tìm số hạng đầu và công b) Tính độ cao của mặt sàn tầng hai so với sai của cấp số cộng sau, biết: mặt đất. u1 − u3 + u5 = 0 u7 − u3 = 8 a) u + u = 17 b) u u = 75 Bài 5(SGK_98). Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa,  1 6  2 7 đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ Bài 3(SGK_97). Trong các bài toán về cấp đanh chuông báo giờ và số tiếng rung số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, bằng số giờ. n n n, u , S . Bài 3(SGK_107). Cho hai cấp số cộng có a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại cùng số hạng. Tổng các số hạng tương lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại ứng của chúng có lập thành cấp số hạng lượng để có thể tìm được các đại lượng còn không. Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa. lại. Bài 8(SGK_107). Tìm số hạng đầu u1 và Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 4
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích công sai d của các cấp số cộng (un) biết: hợp vào ô trống. 5u1 + 10u5 = 0 u7 + u15 = 60  a)  S = 14 b) u 2 + u 2 = 1170  4  4  2 Bài 10(SGK_108). Cho tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết răng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác. 2 2 Bài 13(SGK_108).CMR nếu các số a , b , 2 c lập thành một cấp số cộng (abc 0) thì 1 1 1 các số b + c , c + a , a + b cũng lập thành một cấp số cộng. Bài 4(BT_122). Cho dãy số (un) u1 = 1, u2 = 2  un +1 = 2un − un −1 + 1 (n ≥ 2) a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Lập dãy số (vn) với vn = un+1 – un , chứng minh dãy số vn là cấp số cộng. c) Tìm công thức tính un theo n. Bài 10(BT_123). Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng hay không ? Bài 11(BT_123). Tính tổng 1 3 5 2n − 1 a) 2 + 22 + 23 + ... + 2n . 2 2 2 2 n–1 2 b) 1 – 2 + 3 – 4 + … + (-1) n. Bài 12(BT_123). Tìm m để phương trình 4 2 2 x – (3m + 5)x + (m + 1) = 0 có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng. Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 5
un d un n Sn -2 55 20 530 -4 15 120 3 4 27 7 12 72 2 -5 Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 6
Cấp số Bài 1(SGK_103). Chứng minh các dãy số Bài 5(SGK_104). Tỉ lệ tăng dân số của nhân 3   5    1 n  tỉnh X là 1,4%. Biết rắng số dân của tỉnh  .2n  ;  2n  ;   −   là các cấp số nhân.  2   5      hiện nay là 1,8 triều người. Hỏi với mức n Bài 2(SGK_103). Cho cấp số nhân (u ), với tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì số công bội q. dân của tỉnh X là bao nhiêu. 1 6 a) Biết u = 2, u = 486. Tìm q. Bài 6(SGK_104). Cho hình vuông C1 có 2 8 b) Biết q = 3 , u4 = 21 . Tìm u1. cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của c) Biết u1 = 3, q = -2. hình vuông thành 4 phần băng nhau và nối Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy. liền các điểm chia một cách thích hợp để Bài 3(SGK_103). Tìm các số hạng của cấp có hình vuong C2. Từ hình vuông C2 lại số nhân (un) có năm số hạng, biết: làm tiếp để được C3,… Tiếp tục lặp lại a) u1 = 3, u5 = 7. quá trình trên, ta nhận được dãy hình b) u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50. vuông C1, C2,…Cn. Gọi an là số cạnh của Bài 4(SGK_104).Tìm cấp số nhân có 6 số hình vuông Cn. Chứng minh rằng dãy số n hạng, biết rằng tổng của năm số hạngđầu là (a ) là một cấp số nhân. 31 và tổng năm số hạng sau là 62. Bài 11(SGK_108). Biết rằng ba số x, y, z Bài 2(SGK_107) Cho cấp số nhân có u1 < 0 lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, và công bội q. Hỏi các số hạng khác nhau sẽ 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công mang dấu gì trong các trường hợp sau: bội của cấp số nhân. a) q > 0. b) q< 0. Bài 4.7(BT_121). Cho dãy số (un) Bài 4(SGK_107). Cho hai cấp số nhân có u1 = 0   2un + 3 cùng số hạng. Tích các số hạng tương ứng un +1 = u + 4 (n ≥ 1)  n của chúng có lập thành cấp số hạng không. un − 1 n xn = Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa. a) Lập dãy số (x ) với un + 3 . Bài 9(SGK_107). Tìm số hạng đầu u1 và n n b) Tìn công thức tính x và u theo n. công bội q của các cấp số nhân (un) biết: 5u6 = 192 u4 − u2 = 72 Bài 4.8(BT_121). Ba số khác nhau có tổng a) u = 384 b) u + u = 144  7  5 3 bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp u2 + u5 − u4 = 10 c) u + u − u = 20  6 3 5 của một cấp số nhân, hoặc coi là các số Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 7
Bài 4.1(BT_120).Các dãy số (un) sau đây, hạng thứ nhất, thứ tư và thứ 25 của một dãy số nào là cấp số nhân 2n + 1 n 3n + 1 cấp số cộng. Tìm các số đó. a) un = (- 5) . b) un = (-1) 3 . u1 = 1 Bài 4.9(BT_121). Cho cấp số nhân a, b, c, u1 = 2  c) u = u 2  2  n +1 n . d) un +1 = un + un  5 d. CMR 1 1 1 Bài 4.2(BT_120). Cấp số nhân (un) có a 2b 2 c 2 ( + 3 + 3 ) = a 3 + b3 + c 3 a) 3 a b c . u1 + u5 = 51 2  u2 + u6 = 102 b) (ab + bc + cd) 2 2 2 2 2 2 a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số = (a + b + c )(b + c + d ). nhân. Bài 4.10(BT_121). Một cấp số cộng và b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên một cấp số nhân có các số hạng đều sẽ bằng 3069 ? dương. Biết rằng các số hạng thứ nhất và c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ? thứ hai của chúng trùng nhau. Chứng minh Bài 4.3(BT_120). Tìm số các số hạng của mọi số hạng của cấp số cộng không lớn n cấp số nhân (u ), biết hơn số hạng tương ứng của cấp số nhân. n n n a) q = 2, u = 96, S = 189. Bài 5(BT_122). Cho dãy số (u ) 1 n n  1 b) u = 1, u = 1/8, S = 31/8. u1 = 3   u = (n + 1)un (n ≥ 1) Bài 4.4(BT_120). Tìm số hạng đầu và công  n +1  3n n bội của cấp số nhân (u ), biết a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. u − u = 15 u2 − u4 + u5 = 10 un a)  5 1 b)  n vn = u 4 − u 2 = 6 u3 − u5 + u6 = 20 b) Lập dãy số (v ) với n . Chứng minh dãy số (vn) là cấp số nhân. Bài 4.5(BT_121). Bốn số hạng lập thành c) Tìm công thức tính un theo n. một cấp số cộng lần lượt trừ mỗi số ấy cho Bài 6(BT_122). Ba số có tổng là 217 có 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc các số hạng thứ hai, Tìm các số đó. thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 8
Bài 4.6(BT_121). Viết bốn số xen giữa các phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số 5 và 160 để được một cấp số nhân. số cộng để tổng của chúng là 820. Bài 7(BT_123). Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các số ấy. Bài 8(BT_123). CMR nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau. Bài 9(BT_123). Cho cấp số nhân (un) có công bội là q và số các số hạng là chẵn. c Gọi S là tổng các số hạng có chỉ số chẵn l và S là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. SC q= CMR Sl . Dương Thị Hà – THPT Bố Hạ - Yên Thế - Bắc Giang 9