SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC<br />
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN<br />
<br />
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019<br />
MÔN: TOÁN – KHỐI 10.<br />
(Thời gian làm bài 180 phút)<br />
<br />
Câu 1. (2 điểm). Cho phương trình (m 1) x2 2(m 1) x m 3 0 (x là ẩn, m là tham số).<br />
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.<br />
Câu 2. (2 điểm). Cho phương trình x2 2 x 3m 4 0 . Tìm các giá trị của m để phương<br />
trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 x12 x22 4 .<br />
Câu 3. (2 điểm). Cho phương trình (2m 1) x2 2mx 1 0 . Xác định m để phương trình đã<br />
cho có nghiệm thuộc khoảng (1;0) .<br />
Câu 4. (2điểm).Cho phương trình x2 2(m 3) x m2 3m 1 0 (m là tham số) có 2 nghiệm<br />
x1, x2 thỏa mãn điều kiện ( x1 x2 )( x1 x2 1) 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của<br />
<br />
A x1 ( x2 1) x2 .<br />
Câu 5. (2 điểm). Giải phương trình: x3 3x 2 3x 2<br />
<br />
x 1<br />
<br />
3<br />
<br />
0.<br />
<br />
4 x 8 y y2 7x 1<br />
<br />
Câu 6. (2 điểm). Giải hệ phương trình <br />
2<br />
2<br />
x<br />
<br />
y<br />
6 y 2x 4 x <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y 1<br />
<br />
Câu 7. (2 điểm). Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm<br />
thuộc đoạn AM sao cho AI = 3IM. Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K<br />
thẳng hàng.<br />
Câu 8. (2 điểm). Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng. Bạn An gọi chúng là A1 , A2 ,..., An .<br />
Bạn Bình gọi là B1 , B2 ,..., Bn ( Ai , Bi có thể là một điểm hoặc không). Tính tổng vecto<br />
A1B1 A2 B2 ... An Bn .<br />
<br />
Câu 9. (2 điểm). Cho tam giác ABC với A(1; 3), B(2;5), C(4;0) . Xác định trực tâm H của<br />
tam giác ABC.<br />
Câu 10. (2 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn<br />
a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 3 2<br />
<br />
Chứng minh rằng:<br />
<br />
a2<br />
b2<br />
c2<br />
3<br />
<br />
<br />
.<br />
bc ca ab 2<br />
------------------Hết--------------------<br />
<br />
Họ tên thí sinh:………………………………………..Số báo danh:…………………..<br />
<br />
SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC<br />
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN<br />
<br />
HƯỜNG DẪN CHẤM<br />
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019<br />
MÔN: TOÁN – KHỐI 10.<br />
<br />
Câu<br />
Nội dung<br />
Điểm<br />
2<br />
1<br />
Cho phương trình (m 1) x 2(m 2) x m 3 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm m<br />
để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.<br />
Bài làm<br />
1<br />
+) Với m = 1 phương trình là: 6x 2 0 x (loai )<br />
3<br />
+) Với m 1 để phương trình có 2 nghiệm :<br />
1<br />
' 0 8m 1 0 m <br />
8<br />
1<br />
<br />
m <br />
Vậy <br />
8<br />
<br />
m 1<br />
<br />
2<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
1,0<br />
<br />
Cho phương trình x2 2 x 3m 4 0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có 2<br />
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 x12 x22 4<br />
Bài làm<br />
Để phương trình có 2 nghiệm thì ' 0 m <br />
<br />
5<br />
3<br />
<br />
x x 2<br />
Theo viet ta có : 1 2<br />
x1 x2 3m 4<br />
Ta có: x12 x22 x12 x22 4 (3m 4)2 (2)2 2(3m 4) 4<br />
<br />
3<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
9m2 18m 0 m [0;2]<br />
5<br />
5<br />
Kết hợp điều kiện m ta được m [0; ] .<br />
0,5<br />
3<br />
3<br />
Cho phương trình (2m 1) x2 2mx 1 0 . Xác định m để phương trình đã cho có<br />
nghiệm thuộc khoảng (1;0) .<br />
Bài làm<br />
1<br />
0,5<br />
+) Xét 2m 1 0 m phương trình là: x 1 0 x 1 (1;0) .<br />
2<br />
1<br />
+) Xét m . Khi đó ta có :<br />
2<br />
2<br />
0,5<br />
' (m 1) 0, m<br />
1<br />
Phương trình có nghiệm x 1 và x <br />
.<br />
2m 1<br />
Ta thấy nghiệm x 1 không thuộc (-1; 0). Vậy để phương trình có<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
nghiệm trong khoảng (-1; 0) suy ra : 1 <br />
2m 1<br />
1<br />
1 0<br />
<br />
m0<br />
2m 1<br />
0,5<br />
<br />
2m 1 0<br />
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (-1 ;0) khi và chỉ khi<br />
<br />
4<br />
<br />
m 0.<br />
Cho phương trình x2 2(m 3) x m2 3m 1 0 (m là tham số) có 2 nghiệm x1, x2<br />
thỏa mãn điều kiện x1 x2 10 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của<br />
<br />
A x1 ( x2 1) x2 .<br />
Bài làm<br />
Để phương trình có nghiệm: (m 3)2 m2 3m 1 0 m <br />
<br />
8<br />
9<br />
<br />
x1 x2 2(m 3)<br />
Theo viet: <br />
2<br />
x1 x2 m 3m 1<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Ta có x1 x2 10 0 m 2<br />
0,5<br />
<br />
+) A x1 ( x2 1) x2 x1 x2 ( x1 x2 ) m2 m 7<br />
8<br />
+) Lập bảng biến thiên của hàm số f (m) m2 m 7 trên [ ; 2] ta được<br />
9<br />
13<br />
1<br />
giá trị lớn nhất của A = 9 khi m = 2, giá trị nhỏ nhất A =<br />
khi m <br />
2<br />
2<br />
<br />
5<br />
<br />
Giải phương trình: x3 3x 2 3x 2<br />
<br />
x 1<br />
<br />
3<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0<br />
<br />
Bài làm<br />
Điều kiện: x 1 .<br />
x3 3x 2 3x 2<br />
<br />
x 1<br />
<br />
3<br />
<br />
x3 x x 1 2<br />
<br />
0 x3 3x( x 1) 2<br />
<br />
x 1<br />
<br />
3<br />
<br />
0<br />
<br />
x 1 2 x x 1 0<br />
x x 2 x 1 2 x 1 x 1 x 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 x x<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 x<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 x 2 x 1 0<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 x 0<br />
<br />
x 1 x<br />
<br />
x 2 x 1 0<br />
<br />
0,5<br />
<br />
x 0<br />
<br />
<br />
1 5<br />
2<br />
x 1 x<br />
x <br />
<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
x 2 2 2<br />
4 x 1 x 2<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 2 2 2; x <br />
<br />
1 5<br />
.<br />
2<br />
<br />
0,5<br />
<br />
6<br />
<br />
4 x 8 y y 2 7 x 1(*)<br />
<br />
Giải hệ phương trình <br />
2<br />
<br />
2 x y 6 y 2x 4 x <br />
Bài làm:<br />
y 1<br />
Điều kiện: <br />
0 x 4<br />
<br />
y 1<br />
0,5<br />
<br />
2 x y 6 y 2x 4 x y 1<br />
2<br />
<br />
2 x 2 4 xy 2 y 2 6 y 2 x 4 x y 1 2 x( y 1)<br />
<br />
0,5<br />
<br />
2[x 2 2 x( y 1) ( y 1) 2 ] x y 1 2 x( y 1)<br />
2( y 1 x) ( x y 1) 2 0<br />
y x 1<br />
Thay vào phương trình (*) ta được:<br />
(*) ( x 2 3x 3) x 1 4 x x 2 x 7 0<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
x 2 3x 3 1 <br />
<br />
0<br />
x 1 4 x x 2 x 7 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
0, x [0;4]<br />
x2 3x 3 0 , 1 <br />
x 1 4 x x 2 x 7<br />
<br />
<br />
3 21<br />
x <br />
2<br />
<br />
<br />
3 21<br />
(l )<br />
x <br />
<br />
2<br />
<br />
7<br />
<br />
0,5<br />
<br />
3 21<br />
x <br />
<br />
2<br />
Vậy hệ phương trình có nghiệm: <br />
y 5 21<br />
<br />
2<br />
Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm thuộc<br />
đoạn AM sao cho AI = 3IM. Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K<br />
thẳng hàng.<br />
Bài làm<br />
Đặt AB a; AC b và AK t AC<br />
Khi đó: BK a tb<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
Ta có: AI AM = AB BM ; BM BC AC AB<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
9<br />
3<br />
AI a b<br />
16<br />
16<br />
7<br />
9<br />
3<br />
3<br />
Mà BI AI AB a b a = a b<br />
16<br />
16<br />
16<br />
16<br />
Để 3 điểm B,I,K thẳng hàng thì<br />
7<br />
3<br />
m : BK mBI a tb a b<br />
16<br />
16<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
<br />
7m<br />
16<br />
<br />
<br />
1 16<br />
m 7<br />
<br />
<br />
3<br />
m<br />
t <br />
t 3<br />
0,5<br />
16<br />
7<br />
3<br />
3<br />
Suy ra: AK AC . Vậy điểm K thuộc đoạn AC sao cho AK AC .<br />
7<br />
7<br />
Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng. Bạn An gọi chúng là A1 , A2 ,..., An . Bạn Bình<br />
<br />
8<br />
<br />
gọi là B1 , B2 ,..., Bn ( Ai , Bi có thể cùng là một điểm hoặc không). Tính tổng vectơ<br />
A1B1 A2 B2 ... An Bn<br />
<br />
Bài làm<br />
Lấy điểm O bất kỳ. Khi đó :<br />
A1B1 A2 B2 ... An Bn A1O A2O ... AnO OB1 OB2 ... OBn<br />
<br />
1,0<br />
<br />
Vì A1 , A2 ,..., An B1 , B2 ,..., Bn nên<br />
OB1 OB2 ... OBn OA1 OA2 ... OAn<br />
<br />
Do đó :<br />
<br />
1,0<br />
<br />
A1B1 A2 B2 ... An Bn 0 .<br />
<br />
Cho tam giác ABC với A(1; 3), B(2;5), C(4;0) . Xác định trực tâm H của tam<br />
giác ABC.<br />
Bài làm :<br />
<br />
AH .BC 0<br />
Giả sử H ( x; y) . Do H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có <br />
BH . AC 0<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Ta có : AH x 1; y 3 ; BH x 2; y 5<br />
BC 2; 5 ; AC 5;3<br />
<br />
9<br />
<br />
2 x 1 5 y 3 0<br />
Ta có hệ phương trình : <br />
5 x 2 3 y 5 0<br />
<br />
164<br />
<br />
x<br />
<br />
2 x 5 y 13<br />
<br />
31<br />
<br />
<br />
5 x 3 y 25<br />
y 15<br />
<br />
31<br />
164 15 <br />
Vậy điểm H <br />
;<br />
<br />
31 31 <br />
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn<br />
10<br />
<br />
a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 3 2<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />