Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ

Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN – LỚP 10 – THPT Thời gian làm bài: 120 Câu 1. (2,5 điểm) Cho hàm số y  x 2  2 x  2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phương trình y  x  m . Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2  OB 2  82 . Câu 2. (3,0 điểm) 1. Giải bất phương trình 3  2 x 2  3x  2 1  2 x2  x  1  1. 2. Giải phương trình 2 3 x  7  5 3 x  6  4 . 2 x  2( x 2  y 2 )  7  3. Giải hệ phương trình  2 . 2 2( x  y )  5  Câu 3. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD  A  D  90  có 0 đỉnh D (2;2) và CD  2 AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên đường chéo AC 22 14 ; ) là trung điểm của HC . Xác định toạ độ đỉnh B , biết rằng đỉnh B nằm trên 5 5 đường thẳng  : x  2 y  4  0 . . Điểm M ( 2. Cho tam giác ABC là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số x ta đều có: 1 1  x 2  cosA  x  cos B  cos C  . 2 Câu 4. (1,5 điểm) Chứng minh rằng: 1 3   4. 0 sin10 cos100 Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1    1 . Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 abc .    a  bc b  ca c  ab 4 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | 1 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Câu 1 LỜI GIẢI SƠ LƯỢC Điểm 2,5 Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình: x 2  2 x  2  x  m  x 2  3x  2  m  0 (1) Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt    9  4(2  m)  0  4m  1  0  m  1 / 4 (*) Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là A( x1 ; x1  m), B ( x2 ; x2  m) , trong đó 0,5 1,0 x1 , x2 là các nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có: x1  x2  3, x1 x2  2  m . 2 2 2 Ta có: OA2  OB 2  82  x12   x1  m   x2   x2  m   82 2 2  2  x12  x2   2m  x1  x2   2m2  82   x1  x2   2 x1 x2  m  x1  x2   m2  41 m  4  9  2(2  m)  3m  m 2  41  m 2  5m  36  0   m  9 0,5 0,5 Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm. 2.1 1,0 ĐKXĐ: x  2  x  1 Ta có: 1  2 x 2  x  1  1  (2 x  1) 2  3  1  3  0 với mọi x  , nên 0,5 BPT  3  2 x 2  3x  2  1  2 x 2  x  1  1  x 2  x  1  x 2  3x  2  x 2  x  1  2 x 2  x  1  1  x 2  3x  2  x 2  x  1  1  2 x x  0 x  0  2  2 2  x  x 1  4x 3 x  x  1  0 x  0 1  13   1  13 1  13  x  2 x x   2 2 0,5  1  13  ;    2   Vậy BPT có tập nghiệm S    2.2 1,0 ĐKXĐ: x  7 / 3 Đặt: 3 x  6  t  x  t 3  6 t  4 / 5 PT trở thành:  2 3(t 3  6)  7  5t  4   3 2 4(3t  25)  (5 t  4) 0,25 t  4 / 5 t  4 / 5  3  2 2 12t  25t  40t  84  0 (t  2)(12t  t  42)  0 Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | 2 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai t  4 / 5 t  2    1  2017   1  2017 t t  2  t    24  24 Với t  2  x  14 0,5 3  1  2017  1  2017 Với t   x  6    24 24   0,25 3   1  2017     Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  14; 6       24       2.3 1,0 x  y  a . Khi đó: x  y  b Đặt  2 x  a  b  2 2 2 2 2 2 2( x  y )  ( x  y )  ( x  y )  a  b a  b  2ab  7 HPT trở thành:  2 2 a  b  5 2ab  7  (a  b)  2 (a  b)  2ab  5 0,5 2ab  7  (a  b)  2 (a  b)  (a  b)  12  0 2ab  7  (a  b) a  b  3 ab  11/ 2   (thoả mãn)   (loại) a  b  3  a  b  4 ab  2  a  b  4 a  b  3 a  2 a  1   * ab  2 b  1 b  2 a  2  x  y  2  x  3 / 2   b  1 x  y  1  y  1/ 2 Với  0,5 a  1  x  y  1 x  3 / 2   Với  b  2  x  y  2  y  1/ 2  3 1   3 1  Vậy hệ có tập nghiệm là: S   ;  ,  ;    2 2   2 2  3.1 1,0 B A H Gọi E là trung điểm của đoạn DH. Khi đó ABME là hình bình hành suy ra ME  AD nên E là trực tâm tam giác ADM suy ra AE  DM . Mà AE//BM nên DM  BM E D Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online M 0,5 C Trang | 3 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai 22 14   12 4     Phương trình đường thẳng BM đi qua M  ;  nhận DM   ;  làm  5 5  5 5 VTPT là: 12  22  4  14   x     y    0  3 x  y  16  0 5 5  5 5 0,5 3 x  y  16  0  x  4   B(4;4) x  2 y  4  0 y  4 Toạ độ B là nghiệm của hệ:  Vậy B (4; 4) . 3.2 1,0 BPT được viết lại như sau: x 2  2 x  cos B  cos C   2  2 cos A  0 (*)  BC  2  BC  2 A Xét  '   cos B  cos C    2  2cos A  4 cos   cos    4 sin 2  2   2  BC  A   Do A, B, C là ba góc của một tam giác nên A  B  C    2 2 2 A  BC   cos    sin . Vì vậy 2  2  2  '  4sin 2 0,5 2 A A  BC   B C   2 A cos2   4sin 2  cos 2    4sin   1 2 2 2  2   2    4 sin 2 0.5 A 2  B C  sin    0, A, B, C . 2  2  Do đó Bpt (*) nghiệm đúng với mọi giá trị thực x. 4 1,5 Đặt P  1 3  0 sin10 cos100 1  3 2  cos100  sin100  2 2 cos100  3 sin100  Ta có: P    0 0 1 sin10 cos10 sin 200 2  2sin(300  100 ) 4sin 200  4 1 sin 200 0 sin 20 2 5 1,0 0,5 1,0 Với các số thực dương a, b, c từ giả thiết ta có: abc  ab  bc  ca Khi đó: a2 a3 a3 a3    a  bc a 2  abc a 2  ab  bc  ca ( a  c)( a  b) 0,5 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (côsi) ta có: Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | 4 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai a3 a  c a  b 3a a3 4a  b  c      ( a  c)( a  b) 8 8 4 ( a  c)(a  b) 8 2 a 4a  b  c (1)   a  bc 8 Tương tự: b2 4b  a  c c2 4c  a  b (2); (3)   b  ac 8 c  ab 8 Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: a2 b2 c2 a bc    a  bc b  ac c  ab 4 0,5 (đpcm) 1 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  . 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa. 2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc nghiệm online Trang | 5