Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2016-2017 – Trường THPT Nguyễn Huệ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2016-2017 – Trường THPT Nguyễn Huệ" giúp các em học sinh có thêm tư liệu để học tập, củng cố và nâng cao kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung các bài tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2016-2017 – Trường THPT Nguyễn Huệ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Tổ : Toán MÔN: TOÁN  KHỐI 12 Thời gian 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề : Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau : a) 2x 2  2x  5  2x 2  x  1 =x+2 b) 2x2 4x4 = x  1 + 3  x x2 Câu 2: (3 điểm) Cho hàm số y= , đồ thị (C) và đường thẳng (dm): y=mx3 x 1 ( với m ≠0 và m là tham số ) a) Chứng minh đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng (dm) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Tìm các giá trị của m để độ dài đoạn AB = 17 Câu 3: ( 4 điểm)  =600, AB=3, AC=4. Phân giác trong góc A cắt a) Cho tam giác ABC có góc BAC đường thẳng BC tại D . Tính độ dài AD ? b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm BC, 1 3 M(3;1) ; H là hình chiếu của A lên BD, H( ; ); N là trung điểm của DH, đường 5 5 thẳng AN có phương trình : x7y+24=0 . Tìm tọa độ các điểm A và D . Câu 4: (4 điểm) a) Giải phương trình : 2.cos4x ( 3 2)cos2x= sin2x + 3 b) Trong một hộp chứa 20 tấm thẻ, được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất để các số trên ba tấm thẻ lấy được có tổng là một số chia hết cho 3. Câu 5: ( 3 điểm) a) Giải phương trình : x= 2  x . 3  x + 3  x . 6  x + 6  x . 2  x  2x  y  6z  1  b) Giải hệ phương trình :  2y  z  6x  1   2z  x  6y  1 1 1 1 3 Câu 6: ( 2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn : + + = . ab bc ca 2 a  1 b  1 c2  1 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = + + 4b 2 4c 2 4a 2 
Hướng dẫn đáp án : Câu 1: a) 2x 2  2x  5  2x 2  x  1 =x+2 4 điểm 1 0,5 Đk : 2x2 +x1 ≥ 0 x ≤ 1  x ≥ 2 2 2 Đặt a= 2x  2x  5 ; b= 2x  x  1 với a, b ≥ 0 Đề bài : ab =x+2 0,5 2 2 Ta có : a b = 3(x+2) (ab)(a+b)=3(x+2) (x+2)(a+b) =3(x+2) x  2  0  a  b  3 TH1: x+2=0 x=2 0,5 TH2: a+b=3 , và ab =x+2 => 2a= x+5 hay 2 2x 2  2x  5 =x+5 0,5 x  5 x  5  0 x  5   2 2  2  5  4(2x  2x  5)  x  10x  25 7x  2x  5  0  x  1  x  7 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S={2;1; } 7 2 b) 2x 4x4 = x  1 + 3  x Phương trình : 2(x2 +2x) 4 = x  1 + 3  x 0,5 Đk : 1 ≤ x ≤ 3 ; Đặt t= x  1 + 3  x , t ≥ 0 2 2 2 t2  4 0,5 => t =4+2  x  2x  3 =>  x  2x  3 = 2 Suy ra : t2 4 ≥ 0 => t ≥2 ; và x2 +2x+3=  t  4  x2 +2x = t 4  8t 2  4 2 4 4 4 2  t  8t  4  4 2 0,5 Khi đó phương trình trở thành : 2   4 =t t 8t +2t+12=0  4  (t2)(t3 +2t2 4t6) =0 t2=0 t=2 Vì t3 +2t2 4t6 = t3 8 +2t(t2) +2 ≥ 2 với t ≥2 Khi t= 2 =>  x 2  2x  3 =0 x=1  x=3 0,5 Câu 2: x2 Cho hàm số y= , đồ thị (C) và đường thẳng (dm): y=mx3 x 1 ( với m ≠0 và m là tham số ) a)Chứng minh đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng (dm) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Tìm các giá trị của m để độ dài đoạn AB = 17 (3 điểm) x2 0,5 a) Phương trình hoành độ : =mx3 x+2 =mx2 3x mx +3 ( x≠ 1) x 1 mx2 (m+4)x +1=0 (*) Ta có :  = (m+4)2 4m =(m+2)2 +12 >0 ,  m 0,5 => phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt Hay đồ thị (C) luôn cắt (dm) tại hại hai điểm phân biệt A và B
b) Giả sử 2 nghiệm của pt (*) là x1, x2 ( x1 ≠ x2) 0,5 m4 1 Theo Viét : x1 +x2 = ; x1.x2 = m m Hai giao điểm A(x1; mx13) ; B(x2; mx2 3) ; AB2 =(x2 x1)2 +m2(x2x1)2 =(m2 +1)(x2x1)2 =(m2 +1)[(x2+x1)2 4x1x2] 1 2 = (m +1)  m2  4m  16  m2 Vì AB= 17 => (m +1) 2  m2  4m  16  =17 (m+4)(m3 +4) =0 0,5 2 m 3 m=4  m= 4 Câu 3: a) Cho tam giác ABC có góc BAC  =600, AB=3, AC=4. Phân giác trong góc A cắt đường thẳng BC tại D . Tính độ dài AD ?   ( 4 điểm) Ta có : AB . AC =AB.AC.cos BAC  =6 0,5 BD AB 3 Tính chất phân giác : = = DC AC 4  3    3   0,5 => BD = DC AD  AB = ( AC  AD ) 4   4 7 AD =4 AB +3 AC   12 3 1 Bình phương hai vế : 49.AD2 =16AB2 +9AC2 +24 AB . AC =432 => AD= 7 b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm BC, 1 3 M(3;1) ; H là hình chiếu của A lên BD, H( ; ); N là trung điểm của DH, đường 5 5 thẳng AN có phương trình : x7y+24=0 . Tìm tọa độ các điểm A và D Gọi I là trung điểm AD => AIMB là hình chữ nhật 1 Ta có IN //AH ; AH  DB => IN  DB A I D Điểm N nhìn đoạn IB dưới một góc vuông => N nhìn đoạn AM dưới một góc vuông N => N là hình chiếu của M lên AN H + Đường thẳng MN : 7(x3) +1(y1) =0 7x+y 22=0 B M C 13 19 + MN  AN ={N} => N( ; ) 5 5 N là trung điểm của HD => D(5;7) + Đường thẳng BD qua D,H có phương trình : 4x3y+1=0 1 A  AN => A(7a24;a) ta có MA=MD (7a27)2 +(a1)2 =22 +62 a  3  A(3;3)  =>  41 23 a  23  A( ; )  5  5 5 Vì A, M ở về hai phía của đường thẳng BD => A(3;3) thỏa mãn Câu 4 a) Giải phương trình : 2.cos4x ( 3 2)cos2x= sin2x + 3 (4 điểm) 2(cos4x+cos2x)  3 (cos2x+1) 2sinx.cosx =0 1 4cos3x.cosx 2 3 cos2x 2sinx.cosx=0 2cosx (2cos3x  3 cosx sinx) = 0
cos x  0 0,5  cos x  0   cos3x  cos  x     2cos 3x  3 cos x  s inx  0   6   0,5  x  2  k    x    k , k  Z  12   x    k  24 2 b) Trong một hộp chứa 20 tấm thẻ, được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất để các số trên ba tấm thẻ lấy được có tổng là một số chia hết cho 3. Chọn ngẫu nhiên ba tấm thẻ , không gian mẫu  = C320 =1140 0,5 Gọi A: “ 3 tấm thẻ được chọn , có tổng là một số chia hết cho 3 “ + Ta có 6 tấm thẻ mang số chia hết cho 3 0,5 7 tấm thẻ mang số chia cho 3 dư 1 7 tấm thẻ mang số chia cho 3 dư 2 Số cách chọn : A = C36 + C37 + C37 + C16 . C17 . C17 =384 0,5 A 32 0,5 Xác suất : P(A) = =  95 Câu 5 a) Giải phương trình : x= 2  x . 3  x + 3  x . 6  x + 6  x . 2  x ( 3 điểm) Điều kiện : x≤ 2 0,25 Đặt a= 2  x ; b= 3  x ; c= 6  x với a,b,c ≥ 0 Suy ra : x=2a2 =3b2 =6c2  2  a 2  ab  bc  ca (a  b)(a  c)  2 0,5   Theo đề bài ta có hệ : 3  b 2  ab  bc  ca (b  c)(b  a)  3 6  c2  ab  bc  ca (c  a)(c  b)  6   => (a+b)(a+c)(b+c) =6 0,25 a  b  1 0,5  Thay vào ta lần lượt : a  c  2 => x=2 b  c  3   2x  y  6z  1  b) Giải hệ phương trình :  2y  z  6x  1   2z  x  6y  1 + Cộng ba phương trình : 3(x+y+z)= 6z  1 + 6y  1 + 6x  1 (*) 0,25 6z  1  1 1 1 Mặt khác : 6z  1 ≤ =3z . Dấu bằng xảy ra khi z= 2 3 Tương tự 6x  1 ≤ 3x 6y  1 ≤ 3y Cộng ba bất đẳng thức : 6z  1 + 6y  1 + 6x  1 ≤ 3(x+y+z) (**)
1 0,25 Từ (*) và (**) suy ra : x=y=z= 3 Câu 6: 1 1 1 3 ( 2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn : + + = . ab bc ca 2 a  1 b2  1 c2  1 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = + + 4b 2 4c 2 4a 2 a 2  1 b 2  1 c 2  1 2a 2b 2c 0,5 P= + + ≥ + + 4b 2 4c 2 4a 2 4b 2 4c2 4a 2 1 a 1 1 b 1  1 c 1 11 1 1 0,5 P ≥  2  +  2  +  2        2b a  2c b 2a c 2a b c 1 1 1 11 1 1 P ≥ + +      a b c 2a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 3 0,5 P ≥ ( + + + + + ) ≥ ( + + )= 4 a b b c c a 4 ab bc ca 2 3 0,5 Min P = khi a=b=c =1 2  ( Học sinh có thể giải cách khác vẫn cho đủ số điểm từng bài )