Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bình Định

Chia sẻ: Thu Maile | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hãy tham khảo đề kiểm tra 1 tiết HK2 môn Toán lớp 9 - (Kèm đáp án) đề số 17 kèm đáp án môn Toán để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì kiểm tra sắp tới đạt điểm tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Bình Định

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương. 2) Cho ba số phân biệt a, b, c . Đặt: x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac . 2 2 2 Chứng minh rằng trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương. Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:  x  y  2 x  y  1  9  y  1  13 2) Giải phương trình: x2  x  2018  2018 Câu 3: 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca  và p, q, r là ba số thỏa mãn: p  q  r  0 . Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  0 . 2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   M   a  b  1 a 2  b2  4 ab Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H. a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp. 2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. STT 07. LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n6  2n4  n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương. 2) Cho ba số phân biệt a, b, c . Đặt: x   a  b  c   9ab, y   a  b  c   9bc, z   a  b  c   9ac . 2 2 2 Chứng minh rằng trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương. Lời giải 1) Ta có: n6  2n4  n2  n6  n4  n4  n2  n4  n2  1  n2  n2  1  n  n  1 n  1 2 2 A 2 và  2,3  1  A 6  n  n  1 n  1 36 A 3 Đặt A  n  n  1 n  1 , ta có  (đpcm) 2) Ta có: x  y  z   a  b  c   9ab   a  b  c   9bc   a  b  c   9ac  3  a  b  c   9  ab  bc  ca  2  3 a 2  b2  c 2   ab  bc  ca   2 2 2 3 2 2 2 a  b   b  c    c  a     2 Vì a, b, c là ba số phân biệt nên 3 2 2 2 a  b   b  c    c  a    0  x  y  z  0 .   2 Do đó trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số dương. Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:  x  y  2 x  y  1  9  y  1  13 2) Giải phương trình: x2  x  2018  2018 Lời giải 1) Ta có:  x  y  2x  y  1  9  y 1  13  2x 2  xy  x  2xy  y 2  y  9 y  9  13  0  2x 2  2 xy  6 x    xy  y 2  3 y    5x  5 y  15  7  2 x  x  y  3  y  x  y  3  5  x  y  3  7   x  y  3 2 x  y  5  7 10  x  x  y  3  1 x  y   2    3 + TH1:    2 x  y  5  7 2 x  y  12  y  16  3 10  x  x  y  3  7 x  y  4    3 + TH2:    2 x  y  5  1 2 x  y  6  y  2  3 (loại) (loại)  x  y  3  1  x  y  4  x  2   2 x  y  5  7 2 x  y  2 y  2 + TH3:  (thỏa mãn)  x  y  3  7  x  y  10  x  2 (thỏa mãn)   2 x  y  5  1 2 x  y  4 y  8 + TH4:  Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên  x; y  là:  2; 2  ,  2;8 . 2) ĐKXĐ: x  2018 , đặt x  2018  t , , t  0  t 2  x  2018 x  t  0 x 1  t Ta có x 2  x  2018  2018  x 2  t  t 2  x   x  t  x  t  1  0    x 2  x  2018  0 x  t  0 1  3 897  x 2 2018  x  0 2018  x  0 + TH1:   x 2  x  2017  0 x 1  t 1  8069  x 2  x  1  x  1 + TH2:  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x  1  3 897 1  8069 ; x . 2 2 Câu 3: 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca  và p, q, r là ba số thỏa mãn: p  q  r  0. Chứng minh rằng: apq  bqr  crp  0 . 2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   M   a  b  1 a 2  b2  4 ab Lời giải 1) Từ gt: a2  b2  c2  2  ab  bc  ca    a  b  c   4bc | a  b  c | 2 bc 2 Lại có: p  q  r  0  r   p  q  apq  bqr  crp  apq  bq   p  q   cp   p  q   apq  bpq  bq2  cpq  cp2  pq  a  b  c    bq2  c Ta có: bq2  cp2 | pq | 2 bc | pq || a  b  c | pq  a  b  c   pq  a  b  c    bq 2  cp 2   0  apq  bqr  crp  0 (đpcm). 2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: a2  b2  2ab  2    M   a  b  1 a 2  b2  2  a  b. 4 4 4     a  b  1 .2   a b ab 2 ab ab  ab  4  2 ab  2  2.2  2  2  8 . Dấu “=” xảy ra khi a  b  1 . ab Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 khi a  b  1 . Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H. a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp. 2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Lời giải A E I F Q K H B P D J C M 1. a) Ta có: BDH ∽ BEC (g-g)  BD BH   BH.BE = BC.BD (1) BE BC BEC ∽ ADC (g.g)  BC CE =  BC.CD = CE.AC (2) AC CD Từ (1) và (2) suy ra: BH.BE.BC.CD = BC.BD.CE.AC  AC.BD.CE = BE.CD.BH (đpcm). b) Ta có: AEH = AFH  900  Tứ giác AEHF nội tiếp 1 2 1 2 KIE KIF  JIE  JIF  KIE  KIF    KAE  KAF  MAC  MAB  MC  MB 2 2 Ta có: IE  IF  AH ; JE  JF  BC  IEJ  IFJ (c-c-c)  BDQ  MBC  BMQ  MAB  BAQ  QAP  Tứ giác AQDP nội tiếp. 2. a) Kẻ AH  BC  H  BC  , qua D kẻ B DK  AB  K  BC   DKB  900  ABC  450  BDK vuông cân tại D. K D H  BD  DK  AE  Tứ giác ADKE là hình chữ nhật.  DE  AK . Ta có: AK  AH  DE  AH . Vậy DE nhỏ nhất khi K  H khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm AC. b) A E C