Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm học 2009-2010

Chia sẻ: TrầnQuang Hùng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1.236
lượt xem 269
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm học 2009-2010. Đề thi gồm có 1 trang. Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề. Đề thi chỉ mang tính chất tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm học 2009-2010

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2009 - 2010 HUYỆN TRỰC NINH MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm)  1 1   2x + x − 1 2x x + x − x  Cho biểu thức A =  − ÷: + ÷ 1− x x   1− x 1+ x x  1 Với x > 0; x ≠ ; x ≠ 1 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 c) So sánh A với A . Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: ( a) 2 a − b < ) 1 b ( ) < 2 b − c Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 ; c >0. 20082 2008 b) Biểu thức B = 1 + 20082 + + có giá trị là một số tự nhiên. 20092 2009 Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 x+3 b) 4x + 1 − 3x − 2 = . 5 Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đ ường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. ( ) ( ) 2008 2008 Bài 5: (1,5 điểm) Cho M = 3+ 2 + 3− 2 a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính. ----- Hết ----- Họ tên thí sinh:…………………………. Chữ ký giám thị 1:………………………. Số báo danh : ………………………… Chữ ký giám thị 2:……………………….
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN LỚP 9 Bài 1 (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)  1 1   2x + x − 1 2x x + x − x   1  A = − ÷:  1 − x + ÷ x > 0;x ≠ ;x ≠ 1÷  1− x x   1+ x x ÷  4  = :  x − 1 + x  2x + 2 x − x − 1 + x 2x + x − 1   ( ) 0.5 x 1− x (  1− x 1+ x  ) ( 1+ x 1− x + x  )(  ) ( )( ) =  2 x −1  x + 1 2 x −1 : ( + x x + 1 2 x −1  )(  ) ( )( ) 0.5 ( x x − 1  1− x 1+ x  ) ( 1+ x 1− x + x  )(  ) ( )( ) 0.25 2 x −1   1  = :  2 x −1  + ( x  1 − x 1 − x + x ÷ ) x x −1  (   ) ÷   0.25 1− x + x + x 1− x ( ) = 2 x −1 ( : 2 x −1 : ) x ( x −1 ) ( 1− x ) ( 1− x +x ) 0.5 1 1 1− x + x = : = x ( ) ( 1− x ) ( 1− x −1 x +x ) x b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 (1 điểm). ( ) ( 3− 2 2 ) = 3− 2 2 2 Tính x = 17 − 12 2 = 3 − 2 2 ⇒ x= 2 = 3− 2 2 0.5 A= ( 1 − 3 − 2 2 + 17 − 12 2 ) = 15 − 10 2 5( 3 − 2 2 ) = =5 0.5 3− 2 2 3− 2 2 3− 2 2 c) So sánh A với A (1 điểm). 1− x + x 1 0.25 Biến đổi A = = x+ −1 x x 1 1 0.25 Chứng minh được x + > 2 với mọi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1 x 4 ⇒A = x+ 1 x −1 > 1⇒ A > 1⇒ A −1 > 0 ⇒ A A −1 > 0 ( ) 0.5 ⇒ A − A > 0⇒ A > A Bài 2 (3 điểm) a) Chứng minh rằng 2 ( a− b < ) 1 b
kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm). Ta có: a = b + 1 ⇒ a − b = 1 ⇒ a > b ( 1) . 0.5 b + 1 = c + 2 ⇒ b − c = 1 ⇒ b > c > 0 ( 2 ) . (c > 0 theo (gt)) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0. 0.25 Mặt khác a − b = 1 ⇒ ( a− b )( ) a + b = 1⇒ a − b = 1 < 1 a+ b 2 b (Vì a >b>0) 0.5 ⇒2 ( a− b < ) 1 b . Chứng minh tương tự cho trường hợp: 1 b
( 1) ⇔ ( 4x + 1 − 3x − 2 . )( 4x + 1 + 3x − 2 ) = x+3 ⇔ 4x + 1 − 3x + 2 = x+3 0.25 4x + 1 + 3x − 2 5 4x + 1 + 3x − 2 5 0.25 4x + 1 − 3x + 2 x+3 x+3 x+3 ⇔ = ⇔ = ⇔ 4x + 1 + 3x − 2 = 5 (2) 4x + 1 + 3x − 2 5 4x + 1 + 3x − 2 5 2 0.5 (Vì x ≥ nên x + 3 > 0). 3 Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2. Bài 4 (8 điểm) M C I K A B O H 1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. (2 điểm) Chứng minh OI ⊥ AC. 0.75 Suy ra ∆ OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC. 0.25 CH ⊥ AB (gt) ∆ CHO vuông tại H ⇒ H thuộc đường tròn đường kính OC. 0.75 Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. 0.25 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). (2 điểm) · · - Chứng minh AOM = COM . 0.75 - Chứng minh ∆ AOM = ∆ COM 0.75 - Chứng minh MC ⊥ CO 0.25 ⇒ MC là tiếp tuyến của (O; R). 0.25 3) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 2 điểm) KH HB AM.HB AM.HB 1 ∆ MAB có KH//MA (cùng ⊥ AB) ⇒ = ⇒ KH = = (1) AM AB AB 2R Chứng minh cho CB // MO ⇒ AOM = CBH (đồng vị). · · MA AO AM.HB AM.HB 0.75 C/m ∆ MAO đồng dạng với ∆ CHB ⇒ = ⇒ CH = = (2) CH HB AO R Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH ⇒ CK = KH ⇒ K là trung điểm của CH. 0.25 4) Xác định vị trí của C để chu vi ∆ ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. Chu vi tam giác ACB là P = AB + AC + CB = 2R + AC + CB ACB 0.5 Ta lại có
( AC − CB) 2 ≥ 0 ⇒ AC2 + CB2 ≥ 2AC.CB ⇒ 2AC2 + 2CB2 ≥ AC2 + CB2 + 2AC.CB ( ) ( 2 AC2 + CB2 ≥ ( AC + CB) ⇒ AC + CB ≤ 2 AC2 + CB2 ⇒ AC + CB ≤ 2AB2 (Pitago) 2 ) 0.75 AC + CB ≤ 2.4R2 ⇒ AC + CB ≤ 2R 2 . Đẳng thức xảy ra khi AC = CB ⇔ M là điểm chính giữa cung AB. 0.25 ( ) Suy ra P ≤ 2R + 2R 2 = 2R 1 + 2 , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB ACB 0.25 ( ) Vậy max P = 2R 1 + 2 đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB. ACB 0.25 Bài 5 (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên. (1 điểm) ( ) ( ) 1004 1004 Biến đổi M = 5 + 2 6 + 5−2 6 . 0.25 Đặt a = 5 + 2 6 ; b = 5 − 2 6 ⇒ a + b = 10 và a.b = 1 . Đặt U n = a + b với n ∈ N . Khi đó M = U1004 n n Ta có U n + 2 = a + b = a.a + b.b = ( 10 − b ) a + ( 10 − a ) b n+2 n+2 n +1 n +1 n +1 n +1 = 10 ( a n +1 + b n +1 ) − ab ( a n + b n ) = 10U n +1 − U n (vì ab = 1). 0.25 ⇒ U n + 2 = 10U n +1 − U n (*). Ta thấy U0 = 2 ∈ Z ; U1 = a + b = 10 ∈ Z. U 2 = a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = 102 − 2.1 = 98 ∈ Z . 2 Theo công thức (*) thì U 3 = 10U 2 − U1 mà U1, U2 ∈ Z suy ra U 3 ∈ Z . 0.25 Lại theo (*) U 4 = 10U 3 − U 2 cũng có giá trị nguyên. Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n ∈ N* . 0.25 Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên. a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm) Từ (*) suy ra U n + 2 + U n = 10U n +1 M 10 ⇒ U n + 4 − U n = ( U n + 4 + U n + 2 ) − ( U n + 2 + U n ) M ⇒ ( U n + 4 − U n ) M ⇒ U 4k + r và Ur 10 10 0.25 có chữ số tận cùng giống nhau. 1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau. 0.25 Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2. Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương. 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.