Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán - Trường THPT Cao Lãnh 2

Chia sẻ: Trần Bá Phúc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

174
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán của trường THPT Cao Lãnh 2.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán - Trường THPT Cao Lãnh 2

SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (buổi chiều) (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (4.0 điểm) 1.1. Cho hàm số: y x 3 (m 3) x 2 (2 3m) x 2m . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó. ecos x cos3 x 1 khi x 0 1.2. Cho hàm số f ( x) x . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 0 khi x 0 Câu 2: (3.0 điểm) 1 2.1. Giải phương trình lượng giác: cos x. cos 2 x. cos 3 x sin x. sin 2 x. sin 3 x . 2 x3 1 2 x2 x y 2.2. y3 1 2 y2 y x Câu 3: (2.0 điểm) 2 2 2 2 3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x y x 8 y 2 xy (1) 3.2. Hàm xác định và có đạo hàm trên toàn trục số, thỏa mãn điều kiện: (*) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ Câu 4: (3.0 điểm) 1 3 4.1. Tìm giới hạn: lim x 1 x 1 x3 n 195Cn 3 4.2. Cho dãy số ( Un) có số hạng tổng quát un Cnn 5 1 n N . Tìm các số hạng 16(n 1) dương của dãy. Câu 5: (2.0 điểm) 4 Cho f ( x) 1 x x3 x4 . Sau khi khai triển và rút gọn ta được: f ( x) a 0 a1 x a 2 x 2 ...a16 x 16 . Hãy tính giá trị của hệ số a10 . Câu 6: (2.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện sau: x y z 0, x 1 0, y 1 0, z 4 0 x y z . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q . x 1 y 1 z 4 Câu 7: (4.0 điểm) 7.1. Cho đường thẳng ( d): x 2 y 2 0 và hai điểm A ( 0; 1), B( 3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm M trên ( d) sao cho 2 MA 2 MB 2 có giá trị nhỏ nhất. 7.2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a. SA vuông góc với mp’ ( ABCD ) và SA = a 6 . 1. Tính khoảng cách từ A và B đến mp’ ( SCD ). 2. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp’( ) song song với mp’( SAD) và a 3 cách mp’(SAD) một khoảng bằng ./.Hết. 4 Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Buổi chiều: Ngày 20-9-2009) (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 04 trang) Điểm Đáp án 4.0 Câu 1 2.0 1.1. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho … Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của PT: 0.5 x3 (m 3) x 2 (2 3m) x 2m 0 0.5 x1 1, x2 2 , x3 m Ba hoành độ này lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó thì ta có hệ phương trình: 3 m x1 x 2 2 x3 2 0.5 x1 x3 2 x 2 m 3 x 2 x3 2 x1 m 0 3 0.5 Vậy với m ; m 3; m 0 thỏa yêu cầu bài toán. 2 2.0 1.2. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 f ( x) f (0) e cos x cos 3 x 1 e cos x cos 3 x 1 cos x 3 cos 3x 0.5 Ta có: f ' (0) lim lim lim . . x 0 x 0 x 0 x2 x 0 cos x cos 3x x2 ecos x cos3 x 1 et 1 0.5 Ta lại có: lim lim 1 x 0 cos x cos 3x t 0 t cos x cos 3 x 2sin 2 x sin x sin 2 x sin x 0.5 lim 2 lim 2 lim 4 . 4 x 0 x x 0 x x 0 2x x 0.5 Vậy f’ ( 0) = 4. 3.0 Câu 2 1.5 2.1. Giải phương trình lượng giác. k * 4x 2x k 2 x k Z 2 12 3 Đs * 4x 2x k2 x k k Z 2 4 Vậy PT đã cho có 3 họ nghiệm. 1.5 2.2. Giải hệ phương trình. 1 5 1 5 1 5 1 5 Đs 1;1 ; ; ; ; 2 2 2 2 2.0 Câu 3 1.0 3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên. Dễ thấy pt có nghiệm: x = y = 0. Đs *Thay x = 4 vào (2) ta được y = -1, y = 2. *Thay x = -4 vào (2) ta được y = 1, y = -2. Vậy PT có các nghiệm nguyên (x; y) là: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2). 1.0 3.2. Tìm phương trình tiếp tuyến. Vì nên . Suy ra . Do đó phương trình tiếp tuyến có dạng; ĐS 3.0 Câu 4 Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2
1.5 4.1. Tìm giới hạn. 75 45 Vậy n 1;2 . Từ đó tìm được u1 , u2 8 8 2.0 Câu 5: Tìm giá trị của hệ số a10 . 1 3 4 2 Vậy a10 C 4 .C 4 C 4 C 4 4.4 1.6 22 2.0 Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 1 3 1 Vậy max Q a b; a b c a b ;c 3 x y ;z 1 3 2 2 4.0 Câu 7: 2.0 7.1. Tìm tọa độ điểm M. M ( 2; 2.0 7.2. Tính khoảng cách và diện tích thiết diện. 1.0 1. Tính khoảng cách. 0.25 1 a 2 d(B,(SCD)) = d(I,(SCD)) = d ( A, ( SCD )) 2 2 1.0 2. Tính diện tích thiết diện. + Thiết diện là hình thang vuông ( MN // PQ, MQ MN ) 1 3a a 6 a a2 6 S = (MN + PQ).MQ. MN = , MQ , PQ . Vậy: S = 2 2 2 2 2 Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới. Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) SÁNG Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: (3.0 điểm) x2 1. Cho hàm số y f x có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) một điểm có hoành độ lớn x 1 hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của (C) tạo với hai đường tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 2. Cho hàm số y x 3 (m 1) x 2 (m 1) x 1 . Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau. Câu 2: (5.0 điểm) 3 3 2.1. Giải phương trình: sin x. sin 3 x cos x. cos 3 x 1. 8 tg x .tg x 6 3 2 2 2.2. Giải hệ phương trình: x y x y 4 x( x y 1) y ( y 1) 2 2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x2 + y – x – 1 = 0 Câu 3: (3.0 điểm) A B 2 3 3.1. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn: tg tg . CMR ABC đều. 2 2 3 cos A cos B 1 2 sin A 4 sin A 1 4 sin B 3.2. Tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn: 2 sin B . CM ABC đều 2 sin B 4 sin B 1 4 sin C 2 sin C Câu 4: (2.0 điểm) n u1 2010 1 Cho dãy số (un ) : . Tính giới hạn: L lim . un 1 u 2 n un 1 n i 1 ui Câu 5: (2.0 điểm) 5.1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có đúng hai chữ số 1 và 3 chữ số còn lại khác nhau? 5.2. Cho n là số nguyên dương với n 2 . Chứng minh rằng: 12.C n 2 2.C n 3 2 C n .... n 2 .C n n(n 1).2 n 2 1 2 3 n Câu 6: (2.0 điểm) Chứng minh rằng: 1 2 7 x 2 xy 2 y 2 1 2 7 . Trong đó x, y là các số thực thoả mãn: x 2 xy y 2 3 . Câu 7: (3.0 điểm) 7.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với đường thẳng y = 5. 7.2. Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c. Gọi , , là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng ( ABC). Chứng minh rằng: sin 2 sin 2 sin 2 1 ./.Hết. Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Trường THPT Cao lãnh 2 NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang) Điểm Đáp án 3.0 Câu 1 1.5 1.1. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho chu vi nhỏ nhất. x2 Giả sử M x0 ; 0 với x0 > 1 là một điểm thoả mãn đề bài. A và B là giao điểm của tiếp 0.25 x0 1 tuyến với đồ thị với các tiệm cận đứng, tiệm cận xiên tương ứng, I( 1; 2) là giao điểm của hai tiệm cận. 2 x0 0.25 Khi đó A 1; , B 2 x0 1;2 x0 . x0 1 1 0.25 Dựng BH AI . Ta có S ABI AI .BH 2 (đvdt). 2 1 0.25 Mặt khác S ABI IA.IB sin AIB IA.IB 4 2 . 2 Từ đó IA IB 44 2 . Từ định lí cosin cho tam giác AIB có 0.25 AB 2 IA 2 IB 2 2 IA.IB. cos 45 0 2 IA.IB 8 8 2 1 . 1 4 1 0.25 Kết luận: Chu vi tam giác AIB đạt giá trị nhỏ nhất ứng với M 1 4 ;2 2 4 . 2 2 1.5 1.2. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau. ĐS Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán. 5.0 Câu 2 2.0 2.1. Giải phương trình lượng giác. ĐS Nghiệm x k k Z thoả mãn các điều kiện bài toán. 6 2.0 2.2. Giải hệ phương trình. x 2 x 2 x 1 x 2 ĐS Tóm lại hệ Pt (I) có 4 nghiệm V V V y 2 y 2 y 2 y 1 CÁCH KHÁC (I) 2 2 x y x y 4 x2 y2 x y 4 (x y)2 x y 0 x 2 y 2 x y xy 2 xy 2 xy 2 2.0 x y 0 hay x y 1 x y 0 hay x y 1 xy 2 xy 2 x y x y 1 x 2 x 2 x 1 x 2 hay V V V x2 2 x2 x 2 0 y 2 y 2 y 2 y 1 2 1.0 2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x + y – x – 1 = 0 (3). ĐS Thử lại ta được các nghiệm của (3) là: (x; y) = (- 2; - 3), (0; 1). 3.0 Câu 3 1.5 3.1. Chứng minh tam giác ABC đều. ĐS A B ABC đều 3 1.5 3.2. Chứng minh tam giác ABC đều. Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2
0.25 sin A sin B 0.25 Lập phương trình tương tự đối với điều kiện thứ hai của hệ, ta có sinB = sinC. 0.25 Suy ra điều cần chứng minh. 2.0 Câu 4 n 1 1 ĐS lim i 1 ui 2009 n 2.0 Câu 5 1.0 5.1. Số tạo thành có 5 vị trí. Xét hai trường hợp ĐS Theo quy tắc cộng, số các số phải tìm là: 1344 3360 4704 . 1.0 5.2. Chứng minh rằng: 12.C n 2 2.C n 3 2 C n .... n 2 .C n n(n 1).2 n 2 1 2 3 n n n n 0.5 Suy ra k 2Cn k k k k 1 Cn k kC n n n 1 2n 2 n.2 n 1 n n 1 2n 2 ( đpcm) k 1 k 1 k 1 2.0 Câu 6: Chứng minh rằng: 1 2 7 x2 xy 2 y 2 1 2 7. 2 2 x xy y ĐS Theo giả thiết 0 1 nên 1 2 7 x2 xy 2 y 2 1 2 7. 3 3.0 Câu 7 2.0 7.1. Phương trình đường tròn và giao điểm. ĐS Vậy có hai giao điểm là M 1 (10;5) và M 2 (6;5) . 1.0 7.2. Chứng minh rằng: sin 2 sin 2 sin 2 1 1 1 1 a 2b 2 c 2 0.25 Vậy sin 2 sin 2 sin 2 1 a2 b2 c2 a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới. Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3