Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2011-2012 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Chia sẻ: Quang Huy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

232
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Đề thi HSG cấp Tỉnh môn Toán lớp 9 sẽ giúp các em làm quen với hình thức ra đề, các dạng câu hỏi và bài tập thường ra trong kì thi. Đồng thời, các em rèn luyện kỹ năng giải đề và tích lũy thêm kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2011-2012 - Sở GD&ĐT Gia Lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI Năm học 2011 – 2012 MÔN: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (3,0 điểm) 2 x= a) Cho 1 1 . Tính giá trị của biểu thức − 2 + 1 −1 2 +1 +1 A = ( x 4 − x3 − x 2 + 2 x − 1) 2012 b) Chứng minh biểu thức P = n3 (n2 − 7)2 − 36n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n. Câu 2. (3,0 điểm) a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình y = x + 1. Tìm trên đường thẳng ∆ các điểm M (x; y) thỏa mãn đẳng thức y 2 − 3 y x + 2 x = 0 b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b. Tìm a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình: y = 2x2 Câu 3. (4,0 điểm) x+2 y =5 a) Giải hệ phương trình x + y =1 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình 2012 x 2 − (20a −11) x − 2012 = 0 (a là số thực) 2 3 �x1 − x2 1 1 � Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x1 − x2 ) + 2 � 2 + − � 2 � 2 x1 x2 � Câu 4. (4,0 điểm) � 1 � 1 1 a) Cho các số thực a, b, c sao cho 1 a, b, c 2 . Chứng minh rằng: ( a + b + c ) � + + � 10 a b c � � b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào rổ. 7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả. Câu 5. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB
Họ và tên thí sinh:.........................................................SBD........................Phòng thi.................... Đáp án. Câu 1. a) Rút gọn x = 2 ..........................................................................................................0,5đ Thay x = 2 vào biểu thức A ta được A = 1.....................................................................0,5đ ( n3 − 7n ) − 36�= n ( n3 − 7n − 6 ) ( n 3 − 7n + 6 ) ……………………………………………….0,5đ 2 b) P = n � � � = n� n3 + n 2 − (n 2 + n) − 6(n + 1) � � n3 − n − 6( n − 1) � �� …………………………………………………… 0,5đ = (n − 3)(n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ………………………………………...…........................0,5đ Ta có: P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. ………………………...……… 0,5đ Câu 2. a) Điều kiện x > 0. Tọa độ M(x; y) là nghiệm của hệ phương trình: y = x +1 . …………………………………………………………………....0,25đ y2 − 3 y x + 2x = 0 Giải hệ ta được x =1; y =2……………………………………………………………………………..1,0đ Vậy M(1;2) …………………………………………………………………………………0,25đ b) Vì đường thẳng d đi qua B(1;2) nên b = 2 a ……………………………………… 0,25đ Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + 2 – a Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2 x 2 − ax + a − 2 = 0 (1) ……………………………………………………………….…..0,25đ (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép � ∆ = 0 � a = 4 ………………………………………………………………………………...0,5đ Với a = 4 suy ra b = 2………………………………………………………………………..………0,25đ
Vậy a = 4; b= 2 thỏa yêu cầu bài toán……………………………………………………… 0,25đ Câu 3. a) Ta xét hai trường hợp. �x + 2 y = 5 �x = −3 TH1: y 0 ta có hệ phương trình: � � (thỏa mãn điều kiện) �x + y = 1 �y = 4 ………………...0,5đ 7 x= x − 2y = 5 3 TH2: y < 0 ta có hệ phương trình: � � (thỏa mãn điều kiện)……………..… x + y =1 −4 y= 3 0,5đ 7 −4 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;4); ( ; ) 3 3 …………………………………………..0,5đ b) Ta có ac
a a b c c b Từ đó suy ra + 1 + ; +1 + .......................................................................................0,5đ c b c a b a a b c b c a a c� Suy ra + + + + + 2 + 2� � + �.................................................................................0,5đ b c a a b c �c a� �a c� Ta cần chứng minh 2 � + � 5 . c a � � �2a � � 2c � Tức là chứng minh � − 1�� 1 − � 0 (*)................................................................................0,25đ �c �� a � a c 1 Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì 2 �a �� c 1 1; c a 2 Từ đó suy ra đpcm...................................................................................................................0,25đ b) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là a1 ; a2 ; a3 ;....; a7 được xếp từ nhỏ đến lớn a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7 (1) .............................................................................................0,5 đ Xét hai trường hợp: TH1: a5 16 . Suy ra a6 17; a7 18 . Do đó ta có a5 + a6 + a7 51 (2)…………………………..0,5đ TH2: a5 15 suy ra a14 14; a3 13; a2 12; a1 11 Ta có a1 + a2 + a3 + a4 50 ..............................................................................................................0,5đ Suy ra a5 + a6 + a7 50 (3) Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh...................................................................................0,5đ Câu 5.
A E B H M C D O ˆ = 900 nên DE là đường kính của đường tròn tâm H, bán kính HA suy ra D, H, E a) Do DAE thẳng hàng………………………………………………………………………………………….. …1,0đ ˆ = MCA Ta có MAE ˆ = HAD ˆ = ADE ˆ …………………………..…………………………...….….0,5đ ˆ + AED Vì ADE ˆ + AED ˆ = 900 nên MAE ˆ = 900 Suy ra MA vuông góc với DE....................................................................................................0,5đ ˆ suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn ˆ = MCA b) Từ ADE (O)...............................................0,5đ Do OM vuông góc với BC và AH vuông góc với BC nên AH // OM…………………..0,5đ Do OH vuông góc với DE và AM vuông góc với DE nên OH //AM………...…………0,5đ Vậy tứ giác AMOH là hình bình hành………………………………………………………… 0,5đ c) Do AB