Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> QUẢNG NINH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> MÔN: TOÁN<br /> (Bảng A)<br /> Ngày thi: 20/3/2013<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Họ và tên, chữ ký<br /> của giám thị số 1:<br /> ...............................<br /> ...............................<br /> <br /> (Đề thi này có 01 trang)<br /> Bài 1. (4,5 điểm)<br /> a) Chứng minh đẳng thức:<br /> <br /> 3 3<br /> <br /> 2 −1 =<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1 32 34<br /> .<br /> −<br /> +<br /> 9<br /> 9<br /> 9<br /> <br />  x 2 (2013 y − 2012) = 1<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình :  2<br /> .<br />  x( y + 2012) = 2013<br /> <br /> <br /> Bài 2. (3,5 điểm)<br /> Cho hàm số bậc nhất y = mx + m - 1 (*) (với m là tham số).<br /> a) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một<br /> tam giác có diện tích bằng 2.<br /> b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (*) luôn đi qua một điểm cố định với mọi<br /> giá trị của m.<br /> Bài 3. (4,0 điểm)<br /> Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn xyz = 1.<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> + 3<br /> + 3<br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3<br /> .<br /> 3<br /> 3<br /> x + y + 1 y + z + 1 z + x3 + 1<br /> Bài 4. (6,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là một điểm<br /> trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của<br /> điểm I trên các đường thẳng BC, AC, AB.<br /> a) Chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng.<br /> b) Xác định vị trí của điểm I để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.<br /> Bài 5. (2,0 điểm)<br /> Giải phương trình sau: (x+3) (4 − x)(12 + x) + x = 28 .<br /> <br /> .......................Hết.....................<br /> Họ và tên thí sinh:.............................................................Số báo danh:...............<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> QUẢNG NINH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> Họ và tên, chữ ký<br /> của giám thị số 1:<br /> <br /> MÔN: TOÁN<br /> (Bảng B)<br /> Ngày thi: 20/3/2013<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> ..............................<br /> ...............................<br /> <br /> (Đề thi này có 01 trang)<br /> <br /> Câu 1. (4,0 điểm)<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> <br />  x x −1 x x +1   2 x − 2 x +1<br /> <br /> Cho biểu thức P = <br />  x − x − x + x :<br /> <br /> x −1<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> với x >0 ; x ≠ 1.<br /> <br /> a) Rút gọn biểu thức P.<br /> b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.<br /> Câu 2. (4,0 điểm)<br /> <br /> a + b + c = 6<br /> Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời:  2<br /> .<br /> a + b 2 + c 2 = 12<br /> <br /> Tính giá trị của biểu thức P = (a - 3) 2013 + (b - 3) 2013 + (c - 3) 2013 .<br /> Câu 3. (4,0 điểm)<br /> Giải phương trình: 2( x 2 − 4 x) + x 2 − 4 x − 5 − 13 = 0 .<br /> Câu 4. (6,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (O) và BC là một dây cung không đi qua tâm O. Điểm A bất kì<br /> nằm trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho điểm O luôn nằm trong tam giác<br /> ABC (A ≠ B; C). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.<br /> a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.<br /> b) Đường cao AD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I đối xứng với H qua BC.<br /> c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OM.<br /> Câu 5. (2,0 điểm)<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> +<br /> +<br /> ≥ 2.<br /> Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn<br /> 1+ x 1+ y 1+ z<br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz.<br /> -----------------Hết----------------<br /> <br /> Họ và tên thí sinh :……………………………………………..Số báo danh :………...<br /> <br /> `SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Môn: TOÁN (BẢNG A)<br /> (Hướng dẫn chấm này có 04 trang)<br /> <br /> Bài<br /> <br /> Sơ lược bài giải<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Đặt 2 = a ⇔ 2 = a .<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 a − 1 =<br /> Câu a<br /> 2,5<br /> điểm<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1− a + a2<br /> 3<br /> <br /> 9<br /> <br /> 3<br /> <br /> ⇔ 9(a − 1) = a − a + 1 ⇔ (a − a + 1) = 9(a − 1).<br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Biến đổi vế trái:<br /> (a 2 − a + 1)3 = (a 2 − a + 1) 2 (a 2 − a + 1)<br /> = 3(a 2 − 1)(a 2 − a + 1) = 3(a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)<br /> = 3(a − 1)(a 3 + 1) = 3(a − 1)(2 + 1) = 9(a − 1)<br /> <br /> 1,5<br /> <br /> Vậy đẳng thức được chứng minh.<br /> 2. ta thấy x = 0 không là nghiệm. hệ phương trình tương đương<br /> với:<br /> Bài 1<br /> 4,5đ<br /> <br /> Câu b<br /> 2,0<br /> điểm<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2013 y − 2012 = x 2<br /> <br /> (*)<br /> <br />  y 2 + 2012 = 2013<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> t − 2013 y + 2012 = 0<br /> Đặt: = t , hệ (*) ⇒  2<br /> ⇔ t 2 − 2013 y = y 2 − 2013t<br /> x<br />  y − 2013t + 2012 = 0<br /> <br /> y = t<br /> ⇔ (t − y )(t + y + 2013) = 0 ⇒ <br />  y = −t − 2013<br /> <br /> * Trường hợp y = t ⇒ t 2 − 2013t + 2012 = 0,<br /> Giải PT được : t1 = 1; t2 = 2012<br /> * Trường hợp y = −t − 2013 ⇒ t 2 + 2013t + 20132 + 2012 = 0 , PT vô<br /> nghiệm<br /> <br /> Câu a<br /> 2,0<br /> điểm<br /> Bài 2<br /> 3,5đ<br /> <br /> 1<br /> Vậy hệ có nghiêm ( ( x1 = 1; y1 = 1); ( x2 =<br /> ; y2 = 2012)<br /> 2012<br /> Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m ≠ 0 .<br /> (1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> Điều kiện để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam<br /> giác là m ≠ 1.<br /> (2)<br /> Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ⇒ A(0; m-1) nên độ dài OA = | m - 1|.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Gọi B là giao điểm của đường thẳng (*) với trục hoành<br /> ⇒ B(<br /> <br /> 1− m<br /> 1− m<br /> ; 0) nên độ dài OB = |<br /> |.<br /> m<br /> m<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> SABC = 2 ⇔<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> OA.OB = 2 ⇔ OA.OB = 4.<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ⇔ (m - 1) = 4|m|<br /> <br /> *Với m > 0 thì m2 - 2m + 1 = 4m<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> ⇔ m - 6m + 1 = 0<br /> <br /> ⇔ m1 = 3 – 2 2 ; m2 = 3 + 2 2 .<br /> <br /> *Với m < 0 thì m2 - 2m + 1 = - 4m<br /> 2<br /> <br /> ⇔ m + 2m +1 = 0<br /> <br /> ⇔ m = -1<br /> Vậy m ∈ { -1; 3 - 2 2 ; 3 + 2 2 } thỏa mãn điều kiện (1) và (2).<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Câu b<br /> 1,5<br /> Điểm<br /> <br /> Bài 3<br /> 4đ<br /> <br /> 4<br /> điểm<br /> <br /> Gọi M(x0; y0) là điểm cố định thuộc đồ thị (*) khi và chỉ khi:<br /> y0 = mx0 + m – 1<br /> ∀m ∈R<br /> ⇔ (x0 + 1)m – (y0 + 1) = 0 ∀m ∈ R<br />  x0 + 1 = 0<br />  x0 = −1<br /> Vậy đồ thị của (*) luôn đi qua một điểm<br /> ⇔<br /> ⇔<br />  y0 + 1 = 0<br />  y0 = −1<br /> cố định M(-1; -1) ∀m ∈ R<br /> <br /> Ta có (x - y)2 ≥ 0 với ∀ x, y ∈ R ⇔ x2 - xy + y2 ≥ xy.<br /> Mà x; y > 0 nên x + y > 0.<br /> Mà x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2 ) ≥ (x + y)xy.<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> ⇒ x + y +1 = x + y + xyz ≥ (x + y)xy + xyz.<br /> 3<br /> 3<br /> ⇒ x + y +1 ≥ xy(x + y + z) > 0.<br /> Tương tự chứng minh được:y3 + z3 +1 ≥ yz(x + y + z) > 0.<br /> z3 + x3 +1 ≥ zx(x + y + z) > 0.<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> +<br /> +<br /> xy(x + y + z) yz(x + y + z) xz(x + y + z)<br /> 1<br /> x+y+z<br /> =<br /> ⇔ A≤<br /> ⇔ A≤1.<br /> xyz(x + y + z) xyz<br /> <br /> ⇒ A≤<br /> <br /> Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x = y = z = 1.<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 0,75<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0<br /> <br /> Bài 4<br /> 6đ<br /> <br /> Câu a<br /> 3 điểm<br /> <br /> Câu b<br /> 3 điểm<br /> <br /> Từ giả thiết ta có: ∠IPA + ∠INA = 180 ⇒ tứ giác IPAN nội tiếp<br /> (1)<br /> ⇒ ∠IPN = ∠IAN ( cùng chắn cung IN)<br /> 0<br /> Lại có ∠IPB = ∠IMB = 90 ⇒ tứ giác IPMB là tứ giác nội tiếp<br /> 0<br /> (2)<br /> ⇒ ∠MPI + ∠IBM = 180<br /> 0<br /> Vì I ∈ (O) ⇒ ∠ CAI + ∠IBM = 180<br /> (3)<br /> Từ (2) và (3) ⇒ ∠MPI = ∠CAI<br /> (4)<br /> Từ (4) và (1) ⇒ ∠MPI +∠IPN = ∠CAI + ∠IAN = 1800<br /> Suy ra M, P, N thẳng hàng.<br /> Tứ giác IPMB là tứ giác nội tiếp nên ∠IBA = ∠IMN<br /> ( cùng chắn cung IP)<br /> (5)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,75<br /> 0,75<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Tứ giác INAP là tứ giác nội tiếp nên ∠INM = ∠IAB<br /> ( cùng chắn cung IP)<br /> (6)<br /> Từ (5) và (6) ⇒ tam giác IMN đồng dạng với tam giác IBA<br /> MN IM IN<br /> =<br /> =<br /> ≤ 1 ⇒ MN ≤ AB<br /> BA IB IA<br /> M ≡ B<br /> 0<br /> Dấu “ =’’xảy ra ⇔ <br /> ⇔ ∠IAC = ∠IBC = 90<br /> N ≡ A<br /> ⇒<br /> <br /> ⇔ CI là đường kính của (O).<br /> Vậy MN lớn nhất bằng AB ⇔ I đối xứng với C qua O.<br /> <br /> Bài 5<br /> 2đ<br /> <br /> 2 điểm<br /> <br /> (x+3). (4 − x)(12 + x) + x = 28<br /> (*)<br /> Điều kiện xác định: - 12 ≤ x ≤ 4<br /> Đặt x + 3 = u; (4 − x)(12 + x) = v<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> ⇒ u + v = x + 6x + 9 + 48 - 8x – x = 57 - 2x<br /> 2<br /> 2<br /> ⇒ u + v - 1 = 2(28 - x)<br /> (1)<br /> Theo đề bài ta có uv = 28 - x<br /> (2)<br /> 2<br /> 2<br /> Từ (1) và (2) ta có u + v - 1 = 2uv ⇔ (u - v)2 = 1<br /> u − v = 1<br /> ⇔<br /> ⇔<br />  u − v = −1<br /> <br /> u = v + 1<br /> u = v − 1<br /> <br /> i) Với u = v +1 ⇒ (4 − x)(12 + x) = x + 2 (điều kiện: x ≥ −2 )<br /> <br /> Giải phương trình được x = - 3 + 31 ( thỏa mãn).<br /> ii) Với u = v - 1 ⇒ (4 − x)(12 + x) = x + 4 (điều kiện: x ≥ −4 )<br /> Giải phương trình được x = - 4 + 4 2 ( thỏa mãn)<br /> => S = {-4 +4 2 ; -3 + 31 }.<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />