Đề thi KSCL HSG cấp tỉnh môn Toán 12 lần 12 năm 2016 – Sở GD&ĐT Thanh Hoá

Chia sẻ: Pavel Korchagin | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi KSCL HSG cấp tỉnh môn Toán 12 lần 12 năm 2016 – Sở GD&ĐT Thanh Hoá sẽ cung cấp những kiến thức bổ ích cho các em trong quá trình học tập nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi học sinh giỏi của mình. Để nắm vững nội dung chi tiết cũng như cấu trúc đề thi mời các em cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL HSG cấp tỉnh môn Toán 12 lần 12 năm 2016 – Sở GD&ĐT Thanh Hoá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHINH TH ́ ƯC ́ Lớp 12 THPT Sô bao danh ́ ́ Ngay thi 20/02/2016. ̀ ............................. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang, gồm 05 câu Câu I: Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 9x − 1 ( C ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với (C). 2) Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm thực phân biệt 3 3 x + m − 7 − x + 2 = 0 với m là tham số thực Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3 cos2x(2sin x - 1) + 2cos x(2sin2 x + 1) = 3sin2 x. ( )( x2 + 1 + x y − y2 − 1 = 1 ) 2) Giải hệ phương trình: ( ) 2 x + 1 + y − 1 + 8 y − x + 3 = 17 2 2 Câu III (4,0 điểm) 1) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x > y và xy + ( x + y)z + z2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 biểu thức P = + + 4( x − y ) ( x + z ) ( y + z ) 2 2 2 5x − 13 − 57 + 10x − 3x2 2) Giải bất phương trình sau: +2 x+3 x2 + 2 x + 9 x + 3 − 19 − 3x Câu IV (4,0 điểm) 1) Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I. �31 1 � Điểm M (2; −1) là trung điểm cạnh BC và điểm E � ; − � là hình chiếu vuông góc của B trên đường �13 13 � thẳng AI. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC có phương trình 3x + 2y − 13 = 0 . Câu V (4,0 điểm) 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a 7, BC = 2a 7, �ACB = 1200 và đường thẳng A C tạo với mặt phẳng ( ABB A ) góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B, CC theo a. x −1 y + 2 z 2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 2 1 −1 ( P) : x + 2 y − 2 z = 0 . Gọi A là điểm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) bằng 1; B là
điểm trên mặt phẳng (P) sao cho AB vuông góc với d và độ dài AB nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm các điểm A và B. ………………………………..HẾT…………………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP SỐ Câu I: Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 9x − 1 ( C ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với (C). 2) Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm thực phân biệt 3 3 x + m − 7 − x + 2 = 0 với m là tham số thực ĐS: −1 < m < 3 (THPT LÝ TỰ TRỌNG – CẦN THƠ – KB 2014) Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3 cos2x(2sin x - 1) + 2cos x(2sin2 x + 1) = 3sin2 x. π 5π π 2 kπ ĐS: x = + 2kπ ; x = + 2 kπ ; x = + (k Z). 6 6 18 3 ( )( x2 + 1 + x y − y2 − 1 = 1 ) 2) Giải hệ phương trình: ( ) 2 x + 1 + y − 1 + 8 y − x + 3 = 17 2 2 ĐS: ( x; y ) = (0;1) (THTT ĐỀ SỐ 3 – 2014) Câu III (4,0 điểm) 1) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x > y và xy + ( x + y)z + z2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 biểu thức P = + + 4( x − y ) ( x + z ) ( y + z ) 2 2 2 x+z = 2 ĐS: Pmin = 3 khi 1 (VINH – LẦN 3 – KA – 2014) y+z = 2 5x − 13 − 57 + 10x − 3x2 2) Giải bất phương trình sau: +2 x+3 x2 + 2 x + 9 x + 3 − 19 − 3x ĐS: S = [ −2;1] Câu IV (4,0 điểm) 1) Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào. 905 181 ĐS: P = = 3125 625 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I. �31 1 � Điểm M (2; −1) là trung điểm cạnh BC và điểm E � ; − � là hình chiếu vuông góc của B trên đường � 13 13 � thẳng AI. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC có phương trình 3x + 2y − 13 = 0 . ĐS: A(1; 5), B(−1; −1), C(5; −1) (THPT ĐẶNG THÚC HỨA – NGHỆ ÁN – LẦN 2 – 2015) Câu V (4,0 điểm)
1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a 7, BC = 2a 7, �ACB = 1200 và đường thẳng A C tạo với mặt phẳng ( ABB A ) góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B, CC theo a. 7 a 3 15 ĐS: V = , d =a 3 2 x −1 y + 2 z 2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 2 1 −1 ( P) : x + 2 y − 2 z = 0 . Gọi A là điểm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) bằng 1; B là điểm trên mặt phẳng (P) sao cho AB vuông góc với d và độ dài AB nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm các điểm A và B. ĐS: A(1; −2; 0), B(0; −1; −1) hoặc A(3; −1; −1), B(4; −2; 0) (THPT TỐNG DUY TÂN THANH HÓA – LẦN 2 – 2014) Câu 2. Giải phương trình sau 2,5 3 cos 2 x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin 2 x + 1) = 3sin 2 x . Ta có: (1) � 3 cos 2 x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin 2 x + 1) = 3sin 2 x � 2 3 sin x cos 2 x − 3 cos 2 x + 4cos x sin 2 x + 2cos x − 3sin 2 x = 0 � 2 3 sin x cos 2 x + 2sin x sin 2 x − 4sin x cos x − 3 cos 2 x − sin 2 x + 2cos x = 0 0,5 � 2sin x( 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x) − ( 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x) = 0 � (2sin x − 1)( 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x) = 0 2sin x − 1 = 0 (2) 0,5 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x = 0(3) π x= + 2kπ 1 6 (2) � sin x = � 0,5 2 5π x= + 2 kπ . 6 3 1 π (3) � cos 2 x + sin 2 x = cos x � cos(2 x − ) = cos x 2 2 6 � π � π 2 � 6x − = x + 2 k π �x = + 2kπ 0,5 6 �� π � π 2 kπ 2 x − = − x + 2kπ x= + . � 6 � 18 3 Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm: π 5π π 2 kπ 0,5 x = + 2kπ ; x = + 2 kπ ; x = + (k ﾢ ). 6 6 18 3 5x − 13 − 57 + 10x − 3x 2 +2 x +3 x 2 + 2x + 9 x + 3 − 19 − 3x 19 −3 x Điều kiện 3 x 4 Bất phương trình tương đương ( x + 3 − 19 − 3x ) (2 x + 3 + 19 − 3x ) +2 x +3 x 2 + 2x + 9 x + 3 − 19 − 3x
� 4 x + 3 + 19 − 3x �x 2 + 2x + 9 � x + 5� � 13 − x � 2 � 4�x + 3 − �+ � 19 − 3x − ��x + x − 2 � 3 � � 3 � � ( 4 −x 2 − x + 2 + ) −x 2 − x + 2 �x 2 + x − 2 � x + 5� � 13 − x � 9�x + 3 + � 9 � 19 − 3x + � � 3 � � 3 � � � � � ( � x +x −2 2 � �� ) 4 x + 5� � + 1 + 1��0 13 − x � � ( *) �9�x + 3 + � 9 � 19 − 3x + � � �� 3 � � 3 � � 4 1 + +1 > 0 � 19 � Vì � 9�x + 3 + x + 5� � � 9 � 19 − 3x + 13 − x � � −3; �\ 4 với mọi x �� 3� {} 3 � � 3 � � � ( ) Do đó * � x + x − 2 �0 � −2 �x �1 (thoả mãn) 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = � −2;1� � �. Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. 0,5 Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người vào 5 cửa hàng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: Ω = 3125 . Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH) sau: TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại không có 0,25 khách nào. TH này có C51.C53 .C41 .C22 = 200 khả năng xảy ra. TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại không có 0,25 khách nào. TH này có C51.C53 .C42 .P2 = 600 khả năng xảy ra. TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại không có 0,25 khách nào. TH này có C51.C54 .C41 = 100 khả năng xảy ra. TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào. TH này có C51 = 5 0,25 khả năng xảy ra. Suy ra có tất cả 200 + 600 + 100 + 5 = 905 khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít nhất một 0,5 cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”. 905 181 Vậy xác suất cần tính là: P = = 0,5 3125 625