intTypePromotion=1

Đề thi KSCL HSG cấp tỉnh môn Toán 12 lần 17 năm 2016 – Sở GD&ĐT Thanh Hoá

Chia sẻ: Pavel Korchagin | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:3

0
51
lượt xem
1
download

Đề thi KSCL HSG cấp tỉnh môn Toán 12 lần 17 năm 2016 – Sở GD&ĐT Thanh Hoá

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo Đề thi KSCL HSG cấp tỉnh môn Toán 12 lần 17 năm 2016 của Sở GD&ĐT Thanh Hoá kèm đáp án giúp các bạn học sinh lớp 12 ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho kì thi được tốt hơn. Chúc các bạn thi tốt!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL HSG cấp tỉnh môn Toán 12 lần 17 năm 2016 – Sở GD&ĐT Thanh Hoá

  1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2015 – 2016  Môn thi: TOÁN ĐỀ CHINH TH ́ ƯC ́ Lớp 12 THPT Sô bao danh ́ ́  Ngay thi 04/03/2016. ̀ ............................. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang, gồm 05 câu Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số  y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + 1   (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ của đồ thị hàm số (1) khi  m = 1 . 2) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm cực đại A, đường thẳng d  cắt trục Oy tại điểm B.  Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 6, với O là gốc tọa độ. Câu II (4,0 điểm) 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + 3 = 3 ( tan 2 x + 1) 1) Giải phương trình:  � π � 2 cos 2 x.sin �x + � � 3 � y x+ + y2 = 0 2) Giải hệ phương trình:  1+ x + x 2 ( x, y R )     x + 2y 2 2 x +1 + y = 3y 2 4 2 Câu III (4,0 điểm) 1) Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn   a 2 + b 2 + c 2 12 .  1 1 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P = 2 + + − 3. (a + 2b)(a + 2c) . a + 1 b 2 + 1 c 2 + 4c + 8 ( x + y )2 + m 3 y + x 2. Tìm m để hệ   có nghiệm duy nhất. ( x − y )2 + m 3 y − x Câu IV (4,0 điểm) 1) Hai học sinh A và B tham gia thi vấn đáp môn Ngoại ngữ. Giáo viên coi thi đưa cho mỗi học sinh một   bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau,   mỗi phong bì đựng một câu câu hỏi. Mỗi học sinh được chọn 4 trong 10 phong bì đó để xác định câu hỏi  thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các học sinh là như nhau. Tính xác suất để 4 câu hỏi   học sinh A chọn và 4 câu hỏi học sinh B chọn là như nhau. 2) Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy,  cho  hình bình hành  ABCD  có góc   ?ABC   nhọn, đỉnh   A(−2; −1) . Gọi  H , K , E  lần lượt là hình chiếu vuông góc của  A trên các đường thẳng BC, BD, CD. Phương trình đường  tròn ngoại tiếp tam giác  HKE  là   (C ) : x 2 + y 2 + x + 4 y + 3 = 0 . Tìm tọa độ  các đỉnh   B, C , D ; biết H có  hoành độ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng  x − y − 3 = 0. Câu V (4,0 điểm) 1) Cho tứ diện SABC. Gọi M là điểm bất kì nằm trong tứ diện. Một mặt phẳng ( P) tùy ý qua M cắt các  cạnh SA, SB, SC lần lượt tại  A1 , B1 , C1 . Đặt  V , VA , VB , VC  lần lượt là thể tích các tứ diện  SABC , SMBC ,   SA SB SC SMCA, SMAB . Chứng minh rằng  V = VA + VB + VC . SA1 SB1 SC1 2) Trong không gian toạ  độ   Oxyz , cho điểm  M (2; 5; 3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M  cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA + OB + OC nhỏ nhất.
  2. ………………………………..HẾT…………………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP SỐ Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số  y = x − 3mx + 3(m 2 − 1) x − m3 + 1   (1). 3 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ của đồ thị hàm số (1) khi  m = 1 . 2) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm cực đại A, đường thẳng d  cắt trục Oy tại điểm B.  Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 6, với O là gốc tọa độ. ĐS:  m = −1  và  m = 3  (THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN – THÁI NGUYÊN – 2013) Câu II (4,0 điểm) 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + 3 = 3 ( tan 2 x + 1) 1) Giải phương trình:  � π � 2 cos 2 x.sin �x + � � 3� π ĐS:  x = + k 2π , k Z   6 y x+ + y2 = 0 2) Giải hệ phương trình:  1+ x + x 2 ( x, y R )     x2 + 2 y 2 x2 + 1 + y 4 = 3 y 2 HD: y x+ + y2 = 0 (1) 2 (I): 1+ x + x (x, y ᄀ )  x 2 + 2y 2 x 2 + 1 + y 4 = 3y 2 (2) + Với y = 0 ta có: x = 0.   + Với  y 0 . Khi đó: x x + y� 2 � 2 � 1 + x − x �+ y = 0 + y + x 2 + 1 − x = 0 (3) � � y ( I) � � �2 � � �2 �x + 2 x 2 + 1 + y 2 = 3 �x + 2 x 2 + 1 + y 2 = 3 (4) �y 2 �y 2 Từ (3) và (4) suy ra: x 2 + y = −1 �x � �x � y     � + y �− 2. � + y �− 3 = 0 �y � �y � x +y =3 y Thay vào (3) giải tìm được x = 0. Suy ra: y = ­1. Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) là: (0;0), (0;­1). Câu III (4,0 điểm) 1) Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn   a 2 + b 2 + c 2 12 .  1 1 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P = 2 + 2 + 2 − 3. (a + 2b)(a + 2c) . a + 1 b + 1 c + 4c + 8 HD: Ta có  (a + b + c)2 �3(a 2 + b 2 + c2 ) ��36 a + b + c �6 . Mặt khác a, b, c   1 nên 5   a + b + c + 2   8. 1 1 2 1 1 1 1 Ta CM:  2 +   (1).        (1) � 2 − + − �0 2 2 a + 1 b + 1 ab + 1 a + 1 ab + 1 b + 1 ab + 1 ab − a 2 ab − b 2 (b − a) 2 (ab − 1) �+ �۳ 0 0    (2) (a 2 + 1)(ab + 1) (b2 + 1)(ab + 1) (a 2 + 1)(b 2 + 1)(ab + 1) Vì a   1, b   1 nên (2) đúng . Do đó (1) đúng. Đẳng thức xảy ra   a = b.
  3. 1 1 2 2 + Áp dụng (1), ta có:    a 2 + 1 b 2 + 1 ab + 1 �a + b � 2 � �+1 �2 � 1 1 8 2 2 4 � + + � + � 2 2 2 2 2 2 a + 1 b + 1 c + 4c + 8 �a + b � �c + 2 � �a + b + c + 2 � � �+1 � �+ 1 � �+ 1 �2 � �2 � � 4 � 1 1 8 64   2 + + a + 1 b 2 + 1 c 2 + 4c + 8 ( a + b + c + 2 ) 2 + 16 Lại có:  (a + 2b)(a + 2c) a + b + c   64  P − 3(a + b + c + 2) + 6 ( a + b + c + 2 ) 2 + 16 64 Đặt t = a + b + c + 2,   5   t   8, ta có:  P − 3t + 6 t 2 + 16 64 Xét hàm số  f (t) = 2 − 3t + 6 , với t   [5 ; 8] t + 16 −128t f '(t) = − 3 < 0, ∀t [5;8]    f(t) nghịch biến trên đoạn [5 ; 8]. (t + 16)2 2 86 86   f (t) f (8) = − , ∀t [5;8]     P − 5 5 86 86 P = − � a = b = c = 2 . Vậy GTNN của P là  − , khi  a = b = c = 2 . 5 5 ( x + y)2 + m 3y + x 2. Tìm m để hệ       có nghiệm duy nhất. ( x − y)2 + m 3y − x 9 ĐS:  m =   (PP giải Đại số LHĐ – trg 104) 4 Câu IV (4,0 điểm) 1) Hai học sinh A và B tham gia thi vấn đáp môn Ngoại ngữ. Giáo viên coi thi đưa cho mỗi học sinh một   bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau,   mỗi phong bì đựng một câu câu hỏi. Mỗi học sinh được chọn 4 trong 10 phong bì đó để xác định câu hỏi  thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các học sinh là như nhau. Tính xác suất để 4 câu hỏi   học sinh A chọn và 4 câu hỏi học sinh B chọn là như nhau. C4 1 ĐS:  P = 4 10 4 =  (HSG HUẾ 2015 – 2016)   C10 .C10 210 2) Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy,  cho  hình bình hành ABCD có góc   ?ABC   nhọn, đỉnh   A(−2; −1) . Gọi  H , K , E  lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD, CD. Phương trình đường  tròn ngoại tiếp tam giác HKE là   (C ) : x 2 + y 2 + x + 4 y + 3 = 0 . Tìm tọa độ  các đỉnh   B, C , D ; biết H có  hoành độ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng  x − y − 3 = 0. ĐS:  B (−4; −3), C (2; −1), D(4; 1)  (THPT ĐẶNG THÚC HỨA – NGHỆ AN 2015 – LẦN 1) Câu V (4,0 điểm) 1) Cho tứ diện SABC. Gọi M là điểm bất kì nằm trong tứ diện. Một mặt phẳng ( P) tùy ý qua M cắt các  cạnh SA, SB, SC lần lượt tại  A1 , B1 , C1 . Đặt  V , VA , VB , VC  lần lượt là thể tích các tứ diện  SABC , SMBC ,   SA SB SC SMCA, SMAB . Chứng minh rằng  V = VA + VB + VC . SA1 SB1 SC1 2) Trong không gian toạ  độ   Oxyz , cho điểm  M (2; 5; 3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điêm M  cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA + OB + OC nhỏ nhất.
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2