Định lý cơ bản của số
học
Phát biểu định lý: "Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích
được thành tích những thừa số nguyên tố, và sự phân tích này là
duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số."
Từ đó có dạng phân tích tiêu chuẩn của một số tự nhiên bất kỳ
là:
Trong đó p1,p2,...,pm, là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Ta
có n chia hết cho (k1+1)(k2+1)...(km+1) số tự nhiên. Ví dụ:
300 = 22.52.3
300 chia hết cho (2+1)(2+1)(1+1)=18 số tự nhiên.
Số nguyên tố Mersenne
Số nguyên tố lớn nhất
1. Giả thiết 1: Không có số nguyên dương X nào là số nguyên
tố lớn nhất, nghĩa là không tồn tại số mà các số lớn hơn nó
Y > X sẽ buộc phải chia hết cho các số nguyên nhỏ hơn
hoặc bằng X
2. Giả thiết 2: số vô cùng lớn ∞ không thể xác định là số
nguyên tố hay hợp số
3. Giả thiết 3: Lực lượng của tập hợp số nguyên tố là vô hạn
đếm được
Với 3 giả thiết trên thì việc xác định số nguyên tố lớn nhất là
không thể được; tuy nhiên, với khả năng tính toán của máy tính,
người ta có thể tính ra được số nguyên tố (số nguyên chắc chắn
là số nguyên tố) lớn nhất tính được đến tháng 9 năm 2008 là số
nguyên tố Mersenne thứ 45 (hay 46 nếu tính cả số 1) với
12,978,189 chữ số[3]:
243,112,609 − 1..
Giả thiết Goldbach - Euler
Năm 1742, nhà toán học Đức Goldbach viết thư cho Euler biết
rằng ông mạo hiểm đưa ra bài toán: Mọi số tự nhiên lớn hơn 5
đều biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Euler trả
lời rằng theo ông, mọi số chẵn lớn hơn 2 đều biểu diễn được
dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố. Nếu chứng minh được một
trong hai mệnh đề thì sẽ chứng minh được mệnh đề còn lại. 200
năm sau, đến năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vinogradov đã
giải quyết gần trọn vẹn bài toán đó bằng cách chứng minh rằng
mọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3
số nguyên tố.
Cho đến nay, bài toán Goldbach-Euler vẫn chưa giải được hoàn
toàn. Nếu mệnh đề của Euler là đúng, hãy chứng minh mệnh đề
Goldbach. Giải: Cho số tự nhiên n>5, ta sẽ chứng minh rằng n
viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Xét:
1. Trường hợp 1: Nếu n chẵn thì n=2+m với m chẵn, m>3. vì
số chẵn >2 kế tiếp là 4 nên dù là m>3 thì m vẫn viết được
dưới dạnng tổng 2 số nguyên tố.
2. Trường hợp 2: nếu n lẻ thì n=3+m với m chẵn, m>2. Theo
mệnh đề Euler, m chẵn, m>2 nên m viết được dưới dạng
tổng hai số nguyên tố. Do đó n viết được dưới dạng tổng
của 3 số nguyên tố.