GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 CƠ BẢN - KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài

- GV yêu cầu HS phát biểu sơ đồ khảo sát hàm số SGK.

- GV giải thích cụ thể từng bước để HS nắm cách làm.

- GV nêu một số chú ý:

+ Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kỳ, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox

+ Nên tính thêm toạ độ một số điểm, đặc biệt là toạ độ các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

+ Nên lưu ý đến tính chẵn lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

- HS phát biểu sơ đồ khảo sát hàm số trong SGK.

- HS lắng nghe và ghi nhận các bước giải

I) Sơ đồ khảo sát hàm số:

1. Tập xác định

2. Sự biến thiên.

* Xét chiều biến thiên của hàm số.

 + Tính đạo hàm y’.

 + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

 + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

   . Tìm cực trị

   . Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

    . Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

3. Đồ thị.

* Chính xác hóa:

+ Tâm đối xứng của đồ thị.

+ Giao của đồ thị với các trục tọa độ.

+ Một số điểm thuộc đồ thị.

* Vẽ đồ thị.

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài

- GV yêu cầu HS trả lời các câu hỏi sau:

+ Tìm TXĐ của hàm số?

+ Tính y’

+ Giải và biện luận phương trình y’ = 0

+ Đồ thị có tiệm cận không?

+ Lập bảng biến thiên.

+ Tìm giao với các trục tọa độ.

- GV hướng dẫn HS giải bài toán.

- GV sử dụng hình thức phát vấn, vấn đáp HS, GV ghi lời giải lên bảng.

+ Tìm TXĐ của hàm số?

+ Tính y’?

+ Giải phương trình:  y’= 0

+ Hãy lập BBT. Cho biết tọa độ các điểm cực trị.

+ Các khoảng đơn điệu?

+ Hãy xác định tọa độ điểm uốn (tính y’’, giải y’’= 0)

- Yêu cầu HS nhận xét về tính đối xứng của đồ thị hàm số

- GV chia nhóm và yêu cầu HS khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x³ + 3x² – 4. Nêu nhận xét về đồ thị này và đồ thị trong ví dụ 1. GV yêu cầu HS giải ví dụ 2 (SGK, trang 33, 34) cho Hs hiểu rõ các bước khảo sát hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ¹ 0) và các trường hợp có thể xảy ra khi tìm cực trị của hàm số.

- GV chia nhóm và yêu cầu HS khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x³ - x² + x +1. Nêu nhận xét về đồ thị này và đồ thị trong ví dụ 1.

- GV dùng bảng phụ giới thiệu bảng dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx +d (a ¹ 0). (SGK, P. 35)

- HS trả lời các câu hỏi của GV để hình thành nên sơ đồ khảo sát hàm bậc bậc 3.

- HS suy nghĩ, áp dụng các bước tìm khảo sát và trả lời các câu hỏi của GV để xây dựng lời giải bài toán.

- HS thảo luận nhóm để

+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = - x³ + 3x² – 4

+ Nêu nhận xét về đồ thị của hai hàm số: y = -x³ + 3x² – 4 và y = x³ + 3x² – 4 (vd 1)

- HS thảo luận nhóm để

+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

y = x³ - x² + x +1. Nêu nhận xét về đồ thị của hai hàm số.

- HS lắng nghe và ghi nhận.

II) Hàm số y= ax³ + bx² + cx + d ((a e 0)):

* TXĐ: D = R

* y’= 3ax² + 2bx

* Giải phương trình:

     y’= 0

* Lập BBT

* Điểm đặc biệt

* Vẽ đồ thị.

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

 y= x³-3x² +4

Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

 y= -x³+3x² -4x +2

* Hình dạng đồ thị: (xem bản tóm tắc trong sgk).

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài

- GV yêu cầu HS trả lời các câu hỏi sau:

+ Tìm TXĐ của hàm số?

+ Tính y’

+ Giải và biện luận phương trình y’ = 0

+ Đồ thị có tiệm cận không?

+ Lập bảng biến thiên.

+ Tìm giao với các trục tọa độ.

+ Cho biết tính chẵn lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị

- GV hướng dẫn HS giải bài toán.

- GV sử dụng hình thức phát vấn, vấn đáp HS, GV ghi lời giải lên bảng.

+ Tìm TXĐ của hàm số?

+ Tính y’?       

+ Giải phương trình:  y’= 0

+ Hãy lập BBT. Cho biết tọa độ các điểm cực trị.

+ Các khoảng đơn điệu?

- GV chia nhóm và yêu cầu Hs khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x⁴ + 2x² + 3. Nêu nhận xét về đồ thị. Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

- x⁴ + 2x² + 3 = m.

 - GV yêu cầu  HS thực hiện ví dụ 4 (SGK, trang 36, 37) để Hs hiểu rõ các bước khảo sát hàm trùng phương và các trường hợp có thể xảy ra khi tìm cực trị của hàm số.

- GV nhận xét và bổ sung.

- GV dùng bảng phụ giới thiệu bảng dạng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax⁴+bx² +c ((a e 0)).

- Yêu cầu HS lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax⁴ + bx² + c ((a e 0)) sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm.

- HS trả lời các câu hỏi của GV để hình thành nên sơ đồ khảo sát hàm trùng phương.

- HS suy nghĩ, áp dụng các bước tìm khảo sát và trả lời các câu hỏi của GV để xây dựng lời giải bài toán.

- HS thảo luận nhóm để

+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = - x⁴ + 2x² + 3

+ Nêu nhận xét về đồ thị.

+ Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình - x⁴ + 2x² + 3 = m.

(Căn cứ vào các mốc cực trị của hàm số khi biện luận)

- HS lên trình bày bảng.

- Các HS còn lại nhận xét và bổ sung

- HS lắng nghe và ghi nhận.

- Thảo luận nhóm để lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax⁴ + bx² + c ((a e 0)) sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm.

III) Hàm Số y=ax⁴+bx²+c ((a e 0)):

* TXĐ: D = R

* y’= 3ax² + 2bx

* Giải phương trình:

     y’= 0

* Lập BBT

* Điểm đặc biệt

* Vẽ đồ thị.

Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:y = x⁴ -2x² -3

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

 y= - frac{{{x^4}}}{2} - {x^2} + frac{3}{2})

* Hình dạng đồ thị: (xem bản tóm tắc trong sgk)

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài

- GV yêu cầu HS trả lời các câu hỏi sau:

+ Tìm TXĐ của hàm số?

+ Tính y’

+ Nhận xét về dấu của y’

+ Đồ thị có tiệm cận không?

+ Lập bảng biến thiên.

+ Tìm giao với các trục tọa độ.

- GV hướng dẫn HS giải bài toán.

- GV sử dụng hình thức phát vấn, vấn đáp HS, GV ghi lời giải lên bảng.

+ Tìm TXĐ của hàm số?

+ Tính y’?       

+ Giải phương trình:  y’= 0

+ Hãy lập BBT. Cho biết tọa độ các điểm cực trị.

+ Các khoảng đơn điệu?

- GV yêu cầu  HS thực hiện ví dụ 6 (SGK, trang 40, 41) để HS hiểu rõ thêm các bước khảo sát hàm bậc 1/ bậc 1.

- GV nhận xét và bổ sung.

- GV dùng bảng phụ giới thiệu bảng dạng của đồ thị hàm số  y= [frac{{ax + b}}{{cx + d}}]

- HS trả lời các câu hỏi của GV để hình thành nên sơ đồ khảo sát hàm bậc1/ bậc1.

- HS suy nghĩ, áp dụng các bước tìm khảo sát và trả lời các câu hỏi của GV để xây dựng lời giải bài toán.

- HS lên trình bày bảng.

- Các HS còn lại nhận xét và bổ sung

- HS lắng nghe và ghi nhận.

IV)Hàm số y= [frac{{{ m{ax}} + b}}{{cx + d}},,,(c e 0,,ad - bc e 0)]

* TXĐ: D=R{[ - frac{d}{c}]}

* TCĐ: x= [ - frac{d}{c}]

  TCN: y= [frac{a}{c}]

* y’ = [frac{{ad - cb}}{{{{(cx + d)}^2}}}]

* Lập BBT

* ĐĐB

* Vẽ đồ thị.

Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

        y=[frac{{ - x + 2}}{{x + 1}}]

Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

        y=[frac{{x - 2}}{{2x + 1}}]

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Nội dung bài

- Cho hai hàm số y= f(x) và y= g(x) có đồ thị là (C) và (C’).

- GV đặt câu hỏi: điểm M₀(x_0;y₀) thuộc đồ thị (C) khi nào?

- GV đặt câu hỏi: điểm M₀(x_0;y₀) là giao điểm của (C) và (C’) khi nó thỏa điều kiện nào?

- GV đặt câu hỏi: có nghĩa là x₀ là nghiệm của phương trình nào?

- GV khẳng định phương trình (1) là phương trình hoanh độ giao điểm của (C) và (C’).

- GV đặt câu hỏi: số giao điểm của (C) và (C’) được tính như thế nào?

- GV yêu cầu HS nhắc lại cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai.

- GV hướng dẫn cách giải và biện luận phương trình bậc ba trong trương hợp đặc biệt.

- GV hướng dẫn HS giải bài toán.

- GV sử dụng hình thức phát vấn, vấn đáp HS, GV ghi lời giải lên bảng.

+ Phương trình hoành độ giao điểm là phương trình nào?

+ Nêu các giải và biện luận phương trình (1)

- GV hướng dẫn HS giải bài toán.

- GV sử dụng hình thức phát vấn, vấn đáp HS, GV ghi lời giải lên bảng.

- GV yêu cầu HS khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

- Hãy biến đổi phương trình (1) về dạng một vế là hàm số đã cho?

- Số nghiệm của pt là số giao điểm của hai đồ thị nào?

- HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi của GV.

M₀(x_0;y₀) thuộc đồ thị (C) khi y₀= f(x₀)

- M₀(x_0;y₀) là nghiệm của hệ pt: [left{ {egin{array}{*{20}{c}}{y = f(x)}{y = g(x)}end{array}} ight.]

x₀ là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1)

- Số giao điểm của (C) và (C’) bằng số nghiệm của phương trình (1).

- HS nhắc lại cách giải và biện luận.

- HS lắng nghe và ghi nhận.

- HS suy nghĩ và trả lời các câu hỏi của GV để xây dựng lời giải bài toán

- HS suy nghĩ và trả lời các câu hỏi của GV để xây dựng lời giải bài toán

- HS lên trình bày bảng.

- HS suy nghĩ và trả lời.

- HS suy nghĩ và trả lời.

V) Sự tương giao của các đồ thị:

    Cho hai hàm số y= f(x) và y= g(x) có đồ thị là (C) và (C’).

   Để tìm hoành độ giao điểm ta giải phương trình:

         f(x) = g(x) (1)

Chú ý:

+ Nếu pt (1) có các nghiệm x₁, x₂, … thì các giao điểm của (C) và (C’) là (x₁; f(x₁)), (x₂;f(x₂)), …

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C), (C’) và ngược lại.

Ví dụ 7: Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C): y= [frac{{{x^2} - 6x + 3}}{{x + 2}}] và đường thẳng (d): y= x - m

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:  [frac{{{x^2} - 6x + 3}}{{x + 2}}]= x - m

[ Leftrightarrow left{ {egin{array}{*{20}{c}}{x e  - 2}{(8 - m)x = 3 + 2m(2)}end{array}} ight.]

* nếu m = 8: (2) Û 0.x = 19 : vô nghiệm nên (C) và d không có điểm chung.

* nếu m ≠ 8: (2) có nghiệm là:

x = [frac{{2m + 3}}{{8 - m}} =  - 2 + frac{{19}}{{8 - m}} e  - 2]

Vậy (C) và d có một giao điểm.

Ví dụ 8:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y= x³ + 3x² - 2 (C).

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của pt:

   x³ + 3x² + m = 0 (1)

b) (1) x³ + 3x² - 2= -m-2

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng d:y= -m-2

* [left[ {egin{array}{*{20}{c}}{ - m - 2 > 2}{ - m - 2 <  - 2}end{array}} ight. Leftrightarrow left[ {egin{array}{*{20}{c}}{m <  - 4}{m > 0}end{array}} ight.] : (C) cắt d tại một điểm nên (1) có đúng một nghiệm.

* [left[ {egin{array}{*{20}{c}}{ - m - 2 = 2}{ - m - 2 =  - 2}end{array}} ight. Leftrightarrow left[ {egin{array}{*{20}{c}}{m =  - 4}{m = 0}end{array}} ight.]: (C) cắt d tại 2 điểm nên (1) có đúng 2 nghiệm

* -2<-m-2<2 Û -4 < m < 0: (C) cắt d tại 3 điểm nên (1) có đúng 3 nghiệm.