zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hướng dẫn các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng lượng giác của số phức p2

Chia sẻ: Fewte Dsafw | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

53
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta có ∆ = -3

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng lượng giác của số phức p2

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 1. Sè Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 2 (cos π + isin π ) cã c¸c c¨n bËc 3 sau ®©y 1. Sè phøc z = 1 + i = 4 4 w0 = 6 2 (cos π + isin π ), w1 = 6 2 (cos 9π + isin 9π ), w2 = 6 2 (cos 17π + isin 17π ) 12 12 12 12 12 12 2 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x - x +1 = 0 1± i 3 Ta cã ∆ = -3 < 0 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm phøc x1,2 = 2 2π ik HÖ qu¶ KÝ hiÖu ωk = e , k = 0...(n - 1) l c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. n n −1 ∑ω ωk = ωn-k ωk = (ω1)k 1. 2. 3. =0 k k =0 2π i = ω1 . Suy ra ω2 = j2 = j v 1 + j + j2 = 0 VÝ dô Víi n = 3, kÝ hiÖu j = e 3 §4. C¸c øng dông h×nh häc ph¼ng • KÝ hiÖu V l mÆt ph¼ng vect¬ víi c¬ së trùc chuÈn d−¬ng (i, j). Anh x¹ Φ : ∀ → V, z = x + iy α v = xi + yj (1.4.1) l mét song ¸nh gäi l biÓu diÔn vect¬ cña sè phøc. Vect¬ v gäi l ¶nh cña sè phøc z, cßn sè phøc z gäi l to¹ vÞ phøc cña vect¬ v v kÝ hiÖu l v(z). KÝ hiÖu P l mÆt ph¼ng ®iÓm víi hÖ to¹ ®é trùc giao (Oxy). Anh x¹ Φ : ∀ → P, z = x + iy α M(x, y) (1.4.2) l mét song ¸nh gäi l biÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc. §iÓm M gäi l ¶nh cña sè phøc z cßn sè phøc z gäi l to¹ vÞ phøc cña ®iÓm M v kÝ hiÖu l M(z). Nh− h×nh bªn, M(z) víi z = x + iy, M1(- z ), M2(-z) v M3( z ). M M1 NÕu z = x ∈ 3 th× ®iÓm M(z) ∈ (Ox), cßn nÕu z = iy th× ®iÓm M(z) ∈ (Oy). Do vËy mÆt ph¼ng (Oxy) cßn gäi l mÆt ph¼ng 0 phøc, trôc (Ox) l trôc thùc v trôc (Oy) l trôc ¶o. Sau n y M2 M3 chóng ta sÏ ®ång nhÊt mçi sè phøc víi mét vect¬ hay mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng v ng−îc l¹i. §Þnh lý Cho c¸c vect¬ u(a), v(b) ∈ V, sè thùc λ ∈ 3 v ®iÓm M(z) ∈ P |u|=|a| ∠(i, u) = arg(a) Φ(λa + b) = λu + v 1. | OM | = | z | ∠(i, OM ) = arg(z) 2. Chøng minh Trang 10 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 1. Sè Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Suy ra tõ c¸c c«ng thøc (1.4.1) v (1.4.2) HÖ qu¶ 1 Trong mÆt ph¼ng cho c¸c ®iÓm A(a), B(b), C(c) v D(d) AB (b - a), AB = | b - a |, ∠(i, AB ) = arg(b - a) 1. d−c ∠( AB , CD ) = ∠(i, CD ) - ∠(i, AB ) = arg 2. b−a Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh lý 1 1 1 VÝ dô Cho z ∈ ∀ - {-1, 0, 1} v A(1), B(-1), M(z), N( ) v P( (z + )). Chøng minh z z 2 r»ng ®−êng th¼ng (MN) l ph©n gi¸c cña gãc ∠( PA , PB ). (z − 1) 2 1 1 M Ta cã ∠(i, AP ) = arg( (z + ) - 1) = arg 2z 2 z P (z + 1) 2 1 1 ∠(i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg O A B 2z 2 z N Suy ra (z − 1) 2 (z + 1) 2 1 ∠(i, AP ) + ∠(i, BP ) = arg = 2arg(z - ) = 2∠(i, MN ) 2z 2z z HÖ qu¶ 2 Víi c¸c kÝ hiÖu nh− trªn d−c d−c ⇔ arg = 0 [π] ⇔ ∈3 1. Hai ®−êng th¼ng (AB) // (CD) b−a b−a d−c π d−c 2. Hai ®−êng th¼ng (AB) ⊥ (CD) ⇔ arg = [π] ⇔ ∈ i3 b−a b−a 2 c−a c−a ⇔ arg = 0 [π] ⇔ ∈3 3. Ba ®iÓm A, B, C th¼ng h ng b−a b−a Chøng minh Suy ra tõ c¸c hÖ thøc hÖ qu¶ 1 VÝ dô Trong mÆt ph¼ng t×m ®iÓm A(z) sao cho ba ®iÓm A(z), B(iz) v C(i) th¼ng h ng KÝ hiÖu z = x + iy, ta cã iz − i A, B, C th¼ng h ng ⇔ = k ∈ 3 ⇔ -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1) z−i 1− k k ( k − 1) ⇔ − y = kx x − 1 = k (y − 1) ⇔ x = 2 víi k ∈ 3 ,y= 2 k +1 k +1  • ¸nh x¹ Φ : P → P, M α N gäi l mét phÐp biÕn h×nh Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 11
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 1. Sè Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k PhÐp biÕn h×nh M α N = M + v gäi l phÐp tÜnh tiÕn theo vect¬ v PhÐp biÕn h×nh M α N = A + k AM (k > 0) gäi l phÐp vi tù t©m A, hÖ sè k PhÐp biÕn h×nh M α N sao cho ∠( AM , AN ) = α gäi l phÐp quay t©m A, gãc α TÝch cña phÐp tÜnh tiÕn, phÐp vi tù v phÐp quay gäi l phÐp ®ång d¹ng. §Þnh lý Cho phÐp biÕn h×nh Φ : M α N 1. PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp tÜnh tiÕn ⇔ z’ = z + b víi b ∈ ∀ 2. PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp vi tù ⇔ z’ = a + k(z - a) víi k ∈ 3+, a ∈ ∀ ⇔ z’ = a + eiα(z - a) víi α ∈ 3, a ∈ ∀ 3. PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp quay 4. PhÐp biÕn h×nh Φ l phÐp ®ång d¹ng ⇔ z’ = az + b víi a, b ∈ ∀ Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp biÕn h×nh v to¹ vi phøc. VÝ dô Cho A(a), B(b) v C(c). T×m ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ ®Ó ∆ABC l tam gi¸c ®Òu π i A ∆ABC l tam gi¸c ®Òu thuËn ⇔ (a - b) = e 3 (c - b) ⇔ (a - b) = - j2(c - b) ⇔ a + jb + j2c = 0 T−¬ng tù, ∆ACB l tam gi¸c ®Òu nghÞch +π 3 ⇔ (a - b) = - j(c - b) ⇔ a + jc + j2b = 0 B C Suy ra ∆ABC l tam gi¸c ®Òu ⇔ (a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca §5. D y trÞ phøc • ¸nh x¹ ϕ : ∠ → ∀, n α zn = xn + iyn (1.5.1) gäi l d y sè phøc v kÝ hiÖu l (zn)n∈∠. D y sè thùc (xn)n∈∠ gäi l phÇn thùc, d y sè thùc (yn)n∈∠ l phÇn ¶o, d y sè thùc d−¬ng (| zn |)n∈∠ l module, d y sè phøc ( z n )n∈∠ l liªn hîp phøc cña d y sè phøc. D y sè phøc (zn)n∈∠ gäi l dÇn ®Õn giíi h¹n a v kÝ hiÖu l lim zn = a nÕu n → +∞ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε lim zn = ∞ nÕu D y sè phøc (zn)n∈∠ gäi l dÇn ra v« h¹n v kÝ hiÖu l n → +∞ ∀ M > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn | > M D y cã giíi h¹n module h÷u h¹n gäi l d y héi tô. D y kh«ng héi tô gäi l d y ph©n kú. Trang 12 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 1. Sè Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §Þnh lý Cho d y sè phøc (zn = xn + iyn)n∈∠ v a = α + iβ ∈ ∀ lim zn = a ⇔ lim xn = α v lim yn = β (1.5.2) n → +∞ n → +∞ n → +∞ Chøng minh Gi¶ sö lim zn = a ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε n → +∞ ⇒ ∀ n > N ⇒ | x n - α | < ε v | yn - β | < ε lim xn = α v lim yn = β Suy ra n → +∞ n → +∞ Ng−îc l¹i lim xn = α v lim yn = β n → +∞ n → +∞ ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | xn - α | < ε/2 v | yn - β | < ε/2 ⇒ ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε Suy ra lim zn = a n → +∞ HÖ qu¶ lim zn = a ⇔ lim z n = a ⇒ lim | zn | = | a | 1. n → +∞ n → +∞ n → +∞ lim (λzn + z’n) = λ lim zn + lim z’n 2. n → +∞ n → +∞ n → +∞ lim (zn z’n) = lim zn lim z’n v lim (zn / z’n) = lim zn / lim z’n n → +∞ n → +∞ n → +∞ n → +∞ n → +∞ n → +∞ 3. C¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù giíi h¹n d y sè thùc • Cho d y sè phøc (zn = xn + iyn)n∈∠ . Tæng v« h¹n +∞ ∑z = z0 + z1 + .... + zn + ... (1.5.3) n n =0 gäi l chuçi sè phøc. +∞ +∞ ∑ x n gäi l phÇn thùc, chuçi sè thùc ∑y l phÇn ¶o, chuçi sè thùc Chuçi sè thùc n n =0 n =0 +∞ +∞ ∑ | z n | l module, chuçi sè phøc ∑z l liªn hîp phøc cña chuçi sè phøc. d−¬ng n n =0 n =0 n ∑z gäi l tæng riªng thø n cña chuçi sè phøc. NÕu d y tæng riªng Sn dÇn KÝ hiÖu Sn = k k =0 ®Õn giíi h¹n S cã module h÷u h¹n th× chuçi sè phøc gäi l héi tô ®Õn tæng S v kÝ hiÖu l +∞ ∑z = S. Chuçi kh«ng héi tô gäi l chuçi ph©n kú. n n =0 +∞ ∑z = 1 + z + ... + zn + ... ( | z | < 1) n VÝ dô XÐt chuçi sè phøc n =0 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 13
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 1. Sè Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k z n +1 − 1 1 → Sn = 1 + z + ... + zn = Ta cã +∞ z −1 1− z VËy chuçi ® cho héi tô. Tõ ®Þnh nghÜa chuçi sè phøc v c¸c tÝnh chÊt cña d y sè phøc, cña chuçi sè thùc suy ra c¸c kÕt qu¶ sau ®©y. +∞ ∑ (z = x n + iy n ) v S = α + iβ ∈ ∀ §Þnh lý Cho chuçi sè phøc n n =0 +∞ +∞ +∞ ∑ zn = S ⇔ ∑xn = α v ∑y =β (1.5.4) n n =0 n =0 n =0 Chøng minh Suy ra tõ c¸c ®Þnh nghÜa v c«ng thøc (1.5.2) HÖ qu¶ +∞ +∞ +∞ ∑| zn | = | S | ⇒ ∑ zn = S ⇔ ∑z 1. =S n n =0 n =0 n =0 2. C¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù chuçi sè thùc +∞ +∞ ∑ z n gäi l héi tô tuyÖt ®èi nÕu chuçi module ∑| z • Chuçi sè phøc | héi tô. Râ r ng n n =0 n =0 chuçi héi tô tuyÖt ®èi l chuçi héi tô. Tuy nhiªn ®iÒu ng−îc l¹i nãi chung l kh«ng ®óng. Ngo i ra, cã thÓ chøng minh r»ng chØ khi chuçi sè phøc héi tô tuyÖt ®èi th× tæng v« h¹n (1.5.3) míi cã c¸c tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hîp, ... t−¬ng tù nh− tæng h÷u h¹n. §6. H m trÞ phøc • Cho kho¶ng I ⊂ 3, ¸nh x¹ f : I → ∀, t α f(t) = u(t) + iv(t) (1.6.1) gäi l h m trÞ phøc. H m u(t) = Ref(t) gäi l phÇn thùc, h m v(t) = Imf(t) l phÇn ¶o, h m | f(t) | l module, h m f (t ) l liªn hîp phøc cña h m trÞ phøc. Trªn tËp f(I, ∀) c¸c h m trÞ phøc x¸c ®Þnh trªn kho¶ng I, chóng ta ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n ®¹i sè t−¬ng tù nh− trªn tËp f(I, 3) c¸c h m trÞ thùc x¸c ®Þnh trªn kho¶ngI. H m trÞ phøc f(t) gäi l bÞ chÆn nÕu h m module | f(t) | bÞ chÆn. Cho h m f : I → ∀ v α ∈ I . H m f gäi l dÇn ®Õn giíi h¹n L khi t dÇn ®Õn α v kÝ Trang 14 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.