zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hướng dẫn các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng lượng giác của số phức p4

Chia sẻ: Fewte Dsafw | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

84
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho các số phức a, b ∈ ∀. Chứng minh rằng z + abz − (a + b) a. | a | = | b | = 1 ⇒ ∀ z ∈ ∀, ∈ i3 a−b a+b b. | a | = | b | = 1 v 1 + ab ≠ 0 ⇒ ∈3 1 + ab 3. Viết dạng l−ợng giác của các số phức a. -1 + i 3 b. ( 3 + i)10 c.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng lượng giác của số phức p4

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 1. Sè Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 1. ViÕt d¹ng ®¹i sè cña c¸c sè phøc 4 + 5i 2 d. (1 + 2i)3 a. (2 - i)(1 + 2i) b. c. 4 − 3i 3 − 4i 2. Cho c¸c sè phøc a, b ∈ ∀. Chøng minh r»ng z + abz − (a + b) a. | a | = | b | = 1 ⇒ ∀ z ∈ ∀, ∈ i3 a−b a+b b. | a | = | b | = 1 v 1 + ab ≠ 0 ⇒ ∈3 1 + ab 3. ViÕt d¹ng l−îng gi¸c cña c¸c sè phøc 1+ i b. ( 3 + i)10 3 5 a. -1 + i 3 i c. d. 4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh z2 - (2 + 3i)z - 1 + 3i = 0 z4 - (5 - 14i)z2 - 2(12 + 5i) = 0 a. b. (3z2 + z + 1)2 + (z2 + 2z + 2)2 = 0 c. d. z + z + j(z + 1) + 2 = 0 3 2 z+i z+i z+i 1 |z|= =|1-z|   + + e. +1=0 f. z−i z−i z−i z (z + i)n = (z - i)n 1 + 2z + 2z2 + ... + 2zn-1 + zn = 0 g. h. 5. TÝnh c¸c tæng sau ®©y A = C 0 + C 3 + C 6 + ... , B = C 1 + C 4 + C 7 + ..., C = C 2 + C 5 + C 8 + ... a. n n n n n n n n n n n ∑ cos(a + kb) v S = ∑ sin(a + kb) b. C= k =0 k =0 2π i 6. KÝ hiÖu ω = e l c¨n bËc n thø k cña ®¬n vÞ n n −1 n −1 ∑ ( k + 1)ω k ∑C ωk k a. TÝnh c¸c tæng n k =0 k =0 kπ n −1 n −1 n −1 n ∏ (z − ω ∏ sin ∑z ∀ z ∈ ∀, k l b. Chøng minh r»ng )= Suy ra = n −1 n 2 l =0 k =1 k =1 7. Trong mÆt ph¼ng phøc cho t×m ®iÓm M(z) sao cho a. C¸c ®iÓm cã to¹ vÞ l z, z2 v z3 lËp nªn tam gi¸c cã trùc t©m l gèc O b. C¸c ®iÓm cã to¹ vÞ z, z2 v z3 th¼ng h ng c. C¸c ®iÓm cã to¹ vÞ z, z2 v z3 lËp th nh tam gi¸c vu«ng 1 + un u0 ∈ ∀, ∀ n ∈ ∠, un+1 = 8. Kh¶o s¸t sù héi tô cña d y sè phøc 1 − un Trang 20 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 1. Sè Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∑| z 9. ∀ (n , zn) ∈ ∠ × ∀* v | argzn | ≤ α. Chøng minh r»ng chuçi | héi tô n n ≥0 10. Cho tam gi¸c ∆ABC. KÝ hiÖu M0 = A, M1 = B, M2 = C v ∀ n ∈ ∠, Mn+3 l träng t©m cña tam gi¸c ∆MnMn+1Mn+2. Chøng tá r»ng d y ®iÓm (Mn)n∈∠ l d y héi tô v t×m giíi h¹n cña nã? 11. Cho h m f : I → ∀ sao cho f(t) ≠ 0. Chøng minh r»ng h m | f | l ®¬n ®iÖu t¨ng khi v chØ khi Re(f’/ f) ≥ 0. 12. Cho f : 3+ → ∀ liªn tôc v bÞ chÆn. TÝnh giíi h¹n +∞ 1 f (t ) f (t / x) α −1 ∫ t α dt (α ≥ 1) ∫ 1+ t a. lim x b. lim dt 2 x → +0 x → +∞ x 0 13. Kh¶o s¸t c¸c ®−êng cong ph¼ng a. z(t) = acost + ibsint b. z(t) = acht + ibsht ln t c. z(t) = (t - sint) + i(1 - cost) d. z(t) = tlnt + i t 14. BiÓu diÔn trªn mÆt ph¼ng c¸c tËp con cña tËp sè phøc a. | z - 3 + 4i | = 2 b. | z - 1 | + | z + 1 | = 3 π π π v |z|>2 c. arg(z - i) = d. - < argz < 4 3 4 e. 0 < Imz < 1 v | z | < 2 f. | z - 1 | + | z + 1 | > 3 g. | z | < 2 v Rez > -1 h. | z - i | > 1 v | z | < 2 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 21
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 2 H m biÕn phøc §1. H m biÕn phøc • Cho miÒn D ⊂ ∀. ¸nh x¹ f : D → ∀, z α w = f(z) gäi l h m biÕn phøc x¸c ®Þnh trªn miÒn D v kÝ hiÖu l w = f(z) víi z ∈ D. Thay z = x + iy v o biÓu thøc f(z) v thøc hiÖn c¸c phÐp to¸n f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) víi (x, y) ∈ D ⊂ 32 (2.1.1) H m u(x, y) gäi l phÇn thùc, h m v(x, y) gäi l phÇn ¶o, h m | f(z) | = u 2 + v 2 gäi l module, h m f (z) = u(x, y) - iv(x, y) gäi l liªn hîp phøc cña h m phøc f(z). Ng−îc l¹i, víi x = 1 (z + z ) v y = 1 (z - z ), ta cã 2 2 u(x, y) + iv(x, y) = f(z, z ) víi z, z ∈ D ⊂ ∀ (2.1.2) Nh− vËy h m phøc mét mÆt xem nh− l h m mét biÕn phøc, mÆt kh¸c ®−îc xem nh− h m hai biÕn thùc. §iÒu n y l m cho h m phøc võa cã c¸c tÝnh chÊt gièng v võa cã c¸c tÝnh chÊt kh¸c víi h m hai biÕn thùc. Sau n y tuú theo tõng tr−êng hîp cô thÓ, chóng ta cã thÓ cho h m phøc ë d¹ng (2.1.1) hoÆc d¹ng (2.1.2) VÝ dô XÐt w = z2 . Thay z = x + iy suy ra w = (x + iy)2 = (x2 - y2) + i(2xy) = u + iv • §Ó biÓu diÔn h×nh häc h m phøc, ta dïng cÆp mÆt ph¼ng (z) = (Oxy) v (w) = (Ouv). z0 w0 G D z(t) w(t) (z) (w) Qua ¸nh x¹ f §iÓm z0 = x0 + iy0 biÕn th nh ®iÓm w 0 = u0 + i v 0 §−êng cong z(t) = x(t) + iy(t) biÕn th nh ®−êng cong w(t) = u(t) + iv(t) MiÒn D biÕn th nh miÒn G ChÝnh v× vËy mçi h m phøc xem nh− l mét phÐp biÕn h×nh tõ mÆt ph¼ng (Oxy) v o mÆt ph¼ng (Ouv). NÕu ¸nh x¹ f l ®¬n ¸nh th× h m w = f(z) gäi l ®¬n diÖp, tr¸i l¹i gäi l ®a diÖp. H m ®a diÖp biÕn mét mÆt ph¼ng (z) th nh nhiÒu mÆt ph¼ng (w) trïng lªn nhau. NÕu ¸nh x¹ f l ®¬n trÞ th× h m w = f(z) gäi l h m ®¬n trÞ, tr¸i l¹i gäi l ®a trÞ. H m ®a Trang 22 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k trÞ biÕn mét mÆt ph¼ng (z) th nh nhiÒu tËp con rêi nhau cña mÆt ph¼ng (w). Trong gi¸o tr×nh n y chóng ta chØ xÐt c¸c h m phøc ®¬n trÞ x¸c ®Þnh trªn miÒn ®¬n diÖp cña nã. • Trªn tËp F(D, ∀) c¸c h m phøc x¸c ®Þnh trªn miÒn D, ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n ®¹i sè t−¬ng tù nh− trªn tËp F(I, ∀) c¸c h m trÞ phøc x¸c ®Þnh trªn kho¶ng I. Cho c¸c h m f : D → ∀, z α ω = f(z) v g : G → ∀, ω α w = g(ω) sao cho f(D) ⊂ G. Hm h : D → ∀, z α w = g[f(z)] (2.1.3) gäi l h m hîp cña h m f v h m g, kÝ hiÖu l h = gof. Cho h m f : D → ∀, z α w = f(z) v G = f(D). Hm g : G → ∀, w α z = g(w) sao cho f(z) = w (2.1.4) -1 gäi l h m ng−îc cña h m f, kÝ hiÖu l g = f . H m ng−îc cña h m biÕn phøc cã thÓ l h m ®a trÞ. C¸c tÝnh chÊt phÐp to¸n cña h m phøc t−¬ng tù nh− c¸c tÝnh chÊt cña h m thùc. VÝ dô H m w = z2 l h m ®a diÖp trªn ∀ v cã h m ng−îc z = w l h m ®a trÞ. §2. Giíi h¹n v liªn tôc • Cho h m f : D → ∀, a ∈ D v L ∈ ∀. H m f gäi l dÇn ®Õn giíi h¹n L khi z dÇn ®Õn a v kÝ hiÖu l lim f(z) = L nÕu z →a ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) - L | < ε H m f gäi l dÇn ®Õn giíi h¹n L khi z dÇn ra v« h¹n v kÝ hiÖu l lim f(z) = L nÕu z →∞ ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∀ z ∈ D, | z | > N ⇒ | f(z) - L | < ε H m f gäi l dÇn ra v« h¹n khi z dÇn ®Õn a v kÝ hiÖu l lim f(z) = ∞ nÕu z →a ∀ M > 0, ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) | > M §Þnh lý Cho f(z) = u(x, y) + iv(x, y), a = α + iβ v L = l + ik ∈ ∀ lim f(z) = L ⇔ lim u(x, y) = l v lim v(x, y) = k (2.2.1) z →a ( x ,y )→( α ,β ) ( x ,y )→( α ,β ) Chøng minh Gi¶ sö lim f(z) = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) - L | < ε z →a ⇒ ∀ (x, y) ∈ D, | x - α | < δ/2 v | y - β | < δ/2 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 23
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ⇒ | u(x, y) - l | < ε v | v(x, y) - k | < ε lim lim Suy ra u(x, y) = l v v(x, y) = k ( x ,y )→( α ,β ) ( x ,y )→( α ,β ) Ng−îc l¹i lim lim u(x, y) = l v v(x, y) = k ( x ,y )→( α ,β ) ( x ,y )→( α ,β ) ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ (x, y) ∈ D, | x - α | < δ v | y - β | < δ ⇒ | u(x, y) - l | < ε/2 v | v(x, y) - k | < ε/2 ⇒ ∀ z ∈ D, | z - a | < δ ⇒ | f(z) - L | < ε Suy ra lim f(z) = L z →a HÖ qu¶ lim f(z) = L ⇔ lim f (z) = L ⇒ lim | f(z) | = | L | 1. z →a z →a z →a lim [λf(z) + g(z)] = λ lim f(z) + lim g(z) 2. z →a z →a z →a lim [f(z)g(z)] = lim f(z) lim g(z), lim [f(z)/ g(z)] = lim f(z)/ lim g(z) z →a z →a z →a z →a z →a z →a 3. C¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù giíi h¹n h m biÕn thùc • H m f gäi l liªn tôc t¹i ®iÓm a ∈ D nÕu lim f(z) = f(a). H m f gäi l liªn tôc trªn miÒn z →a D nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm z ∈ D. H m f gäi l liªn tôc ®Òu trªn miÒn D nÕu ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ z, z’ ∈ D, | z - z’ | < δ ⇒ | f(z) - f(z’)| < ε Râ r ng h m f liªn tôc ®Òu trªn miÒn D th× nã liªn tôc trªn miÒn D. Tuy nhiªn ®iÒu ng−îc l¹i nãi chung l kh«ng ®óng. §Þnh lý Cho h m f liªn tôc trªn miÒn D compact. 1. H m | f(z) | bÞ chÆn trªn miÒn D v ∃ z1 , z2 ∈ D sao cho ∀ z ∈ D, | f(z1) | ≤ | f(z) | ≤ | f(z2) | 2. TËp f(D) l miÒn compact 3. H m f liªn tôc ®Òu trªn miÒn D 4. C¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù h m biÕn thùc liªn tôc Chøng minh 1. Do h m trÞ thùc | f(z) | = u 2 (x, y) + v 2 (x, y) liªn tôc trªn miÒn compact nªn bÞ chÆn v ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn miÒn ®ã. 2. Theo chøng minh trªn tËp f(D) l tËp giíi néi. XÐt d y wn = f(zn) → w0. Do miÒn D compact nªn cã d y con zϕ(n) → z0 ∈ D. +∞ +∞ Do h m f liªn tôc nªn f(zϕ(n)) → w0 = f(z0) ∈ f(D). Suy ra tËp f(D) l tËp ®ãng. +∞ XÐt cÆp hai ®iÓm w1 = f(z1), w2 = f(z2) ∈ f(D) tuú ý. Do tËp D liªn th«ng nªn cã tham sè Trang 24 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.