zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hướng dẫn các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng lượng giác của số phức p5

Chia sẻ: Fewte Dsafw | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

64
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BiếnPhức cung γ(t) nối z1 với z2 v nằm gọn trong D. Khi đó tham số cung foγ(t) nối w1 với w2 v nằm gọn trong f(D). Suy ra tập f(D) l tập liên thông đ−ờng. 3. Giả sử ng−ợc lại, h m f không liên tục đều trên tập D. Khi đó ∃ ε 0, ∀ δ = 1/ n, ∃ zn , zn’ ∈ D : | zn - zn’ | 0 : ∀ n N1, | a - b |

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng lượng giác của số phức p5

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k cung γ(t) nèi z1 víi z2 v n»m gän trong D. Khi ®ã tham sè cung foγ(t) nèi w1 víi w2 v n»m gän trong f(D). Suy ra tËp f(D) l tËp liªn th«ng ®−êng. 3. Gi¶ sö ng−îc l¹i, h m f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn tËp D. Khi ®ã ∃ ε > 0, ∀ δ = 1/ n, ∃ zn , zn’ ∈ D : | zn - zn’ | < 1/ n v | f(zn) - f(zn’) | ≥ ε Do miÒn D compact nªn cã c¸c d y con zϕ(n) → a v zψ(n)’ → b. +∞ +∞ Theo gi¶ thiÕt trªn ∃ N1 > 0 : ∀ n > N1, | a - b | < | a - zϕ(n) | + | zϕ(n) - zψ(n)’ | + | zψ(n)’ - b | < 1/ n Suy ra a = b. Do h m f liªn tôc nªn ∃ N2 ∈ ∠ : ∀ n > N2, | f(zϕ(n)) - f(zψ(n)’) | < ε Tr¸i víi gi¶ thiÕt ph¶n chøng. §3. §¹o h m phøc • Cho h m f : D → ∀, z α f(z) = u(x, y) + iv(x, y). H m f gäi l R - kh¶ vi nÕu phÇn thùc u = Ref v phÇn ¶o v = Imf l c¸c h m kh¶ vi. Khi ®ã ®¹i l−îng df = du + idv (2.3.1) gäi l vi ph©n cña h m phøc f. KÝ hiÖu dz = dx + idy v d z = dx - idy. BiÕn ®æi ∂u ∂v ∂u ∂v ∂f ∂f df = ( +i )dx + ( + i )dy = dx + i dy ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y 1 ∂f ∂f 1 ∂f ∂f ∂f ∂f = ( - i )dz + ( + i )d z = dz + dz (2.3.2) 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂z ∂z H m f gäi l C - kh¶ vi nÕu nã l R - kh¶ vi v cã c¸c ®¹o h m riªng tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann sau ®©y ∂f ∂u ∂v ∂u ∂v =0 ⇔ = v =- (C - R) ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x VÝ dô Cho w = z = x - iy Ta cã u = x v v = -y l c¸c h m kh¶ vi nªn h m w l R - kh¶ vi Tuy nhiªn u ′ = 1 ≠ v ′y = -1 nªn h m w kh«ng ph¶i l C - kh¶ vi x • Cho h m f : D → ∀, a ∈ D v kÝ hiÖu ∆z = z - a, ∆f = f(z) - f(a). Giíi h¹n ∆f lim = f’(a) (2.3.3) ∆z →0 ∆z gäi l ®¹o h m cña h m f t¹i ®iÓm a. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 25
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Gi¶ sö h m f l R - kh¶ vi v ∆z = | ∆z |eiϕ , ∆ z = | ∆ z |e-iϕ. Theo c«ng thøc (2.3.2) ∂f ∂f ∆f = ∆z + ∆ z + o(∆z) ∂z ∂z Chia hai vÕ cho ∆z ∆f ∂f ∂f -2iϕ e + γ(∆z) víi γ(∆z) → 0 = + (2.3.4) ∆z ∂z ∂z Suy ra ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ ®Ó giíi h¹n (2.3.3) tån t¹i kh«ng phô thuéc v o ∆z l ∂f =0 ∂z Tøc l h m f l C - kh¶ vi. Tõ ®ã suy ra ®Þnh lý sau ®©y. §Þnh lý H m phøc f cã ®¹o h m khi v chØ khi nã l C - kh¶ vi. HÖ qu¶ NÕu h m f l C - kh¶ vi th× ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v f’(z) = +i = -i = -i = +i (2.3.5) ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x Chøng minh Gi¶ sö h m f l C - kh¶ vi. ChuyÓn qua giíi h¹n c«ng thøc (2.3.4) ∂f f’(z) = ∂z KÕt hîp víi c«ng thøc (2.3.2) v ®iÒu kiÖn (C - R) nhËn ®−îc c«ng thøc trªn. NhËn xÐt 1. NÕu c¸c h m u v v thuéc líp C1 th× h m f l R - kh¶ vi v nÕu c¸c ®¹o h m riªng tho¶ m n thªm ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann th× nã l C - kh¶ vi. Tuy nhiªn ®iÒu ng−îc l¹i nãi chung l kh«ng ®óng. 2. Tõ c«ng thøc (2.3.5) suy ra c¸c qui t¾c tÝnh ®¹o h m phøc t−¬ng tù nh− c¸c qui t¾c tÝnh ®¹o h m thùc. VÝ dô Cho w = z2 = (x2 - y2) + i(2xy) Ta cã u = x2 - y2 v v = 2xy l c¸c h m kh¶ vi v tho¶ m n ®iÒu kiÖn (C - R) u ′x = 2x = v ′y v u ′y = - 2y = - v ′x Suy ra h m w l C - kh¶ vi v theo c«ng thøc (2.3.5) w’ = u ′x + i v ′x = 2x + i2y = 2z Trang 26 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §4. H m gi¶i tÝch • Cho h m f : D → ∀ v a ∈ D0. H m f gäi l gi¶i tÝch (chØnh h×nh) t¹i ®iÓm a nÕu cã sè d−¬ng R sao cho h m f cã ®¹o h m trong h×nh trßn B(a, R). H m f gäi l gi¶i tÝch trong miÒn më D nÕu nã gi¶i tÝch t¹i mäi ®iÓm trong miÒn D. Tr−êng hîp D kh«ng ph¶i miÒn më, h m f gäi l gi¶i tÝch trong miÒn D nÕu nã gi¶i tÝch trong miÒn më G v D ⊂ G. KÝ hiÖu H(D, ∀) l tËp c¸c h m gi¶i tÝch trªn miÒn D. §Þnh lý H m phøc gi¶i tÝch cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. 1. Cho c¸c h m f, g ∈ H(D, ∀) v λ ∈ ∀. Khi ®ã λf + g, fg, f / g (g ≠ 0) ∈ H(D, ∀) [λf(z) + g(z)]’ = λf’(z) + g’(z) [f(z)g(z)]’ = f’(z)g(z) + f(z)g’(z) ′ f ′(z)g(z) − f (z)g ′(z)  f (z )   g( z )  = (2.4.1) g 2 (z)   2. Cho f ∈ H(D, ∀), g ∈ H(G, ∀) v f(D) ⊂ G. Khi ®ã h m hîp gof ∈ H(D, ∀) (gof)’(z) = g’(ω)f’(z) víi ω = f(z) (2.4.2) 3. Cho f ∈ H(D, ∀) v f’(z) ≠ 0. Khi ®ã h m ng−îc g ∈ H(G, ∀) víi G = f(D) 1 g’(w) = víi w = f(z) (2.4.3) f ′(z) Chøng minh 1. - 2. LËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh tÝnh chÊt cña ®¹o h m thùc 3. Gi¶ sö f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Tõ gi¶ thiÕt suy ra c¸c h m u, v l kh¶ vi v tho¶ m n ®iÒu kiÖn (C - R). KÕt hîp víi c«ng thøc (2.3.5) ta cã u ′x u ′y = (u′ )2 + (v′ )2 = | f’(z) |2 ≠ 0 J(x, y) = v ′x v ′y x x Suy ra ¸nh x¹ f : (x, y) → (u, v) l mét vi ph«i (song ¸nh v kh¶ vi ®Þa ph−¬ng). Do ®ã nã cã ¸nh x¹ ng−îc g : (u, v) → (x, y) còng l mét vi ph«i. Tõ ®ã suy ra ∆g ∆f ∆w = ∆f → 0 ⇔ ∆z = ∆g → 0 v lim = lim ( )-1 = (f’(z))-1 ∆w →0 ∆w ∆z →0 ∆z • Gi¶ sö h m w = f(z) gi¶i tÝch t¹i ®iÓm a v cã ®¹o h m f’(a) ≠ 0. Gäi L : z = z(t) l ®−êng cong tr¬n ®i qua ®iÓm a v Γ : w = f[z(t)] = w(t) l ¶nh cña nã qua ¸nh x¹ f. Khi ®ã dz(t) l vi ph©n cung trªn ®−êng cong L v dw(t) l vi ph©n cung trªn ®−êng cong Γ. Theo c«ng thøc ®¹o h m h m hîp trong l©n cËn ®iÓm a, ta cã dw = f’(a)z’(t)dt = f’(a)dz Suy ra | dw | = | f’(a) || dz | v arg(dw) = arg(dz) + argf’(a) [2π] (2.4.4) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 27
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Nh− vËy | f’(a) | l hÖ sè co v argf’(a) l gãc quay cña ®−êng cong L bÊt kú trong l©n cËn ®iÓm a. Suy ra trong l©n cËn cña ®iÓm a phÐp biÕn h×nh w = f(z) l phÐp ®ång d¹ng. z(t) w(t) dz dw argdz argdw (z) (w) a b • PhÐp biÕn h×nh b¶o to n gãc gi÷a hai ®−êng cong gäi l phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c. Theo kÕt qu¶ trªn th× h m gi¶i tÝch v cã ®¹o h m kh¸c kh«ng l mét phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c. Ng−îc l¹i gi¶ sö ¸nh x¹ f l R - kh¶ vi v b¶o gi¸c t¹i ®iÓm a. Qua ¸nh x¹ f c¬ së chÝnh ∂∂ ∂f ∂f t¾c ( , ) biÕn th nh cÆp vect¬ tiÕp xóc ( , ). ∂x ∂y ∂x ∂y Do tÝnh b¶o gi¸c ∂f ∂f ∂∂ π ∠( ) = ∠( , , )= ∂x ∂y ∂x ∂y 2 Suy ra π ∂f ∂u ∂v ∂f ∂u ∂v ∂f i )⇔ = +i =e2 = i( +i =0 ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂z §iÒu n y cã nghÜa l h m R - kh¶ vi v biÕn h×nh b¶o gi¸c l h m C - kh¶ vi. Chóng ta sÏ quay l¹i vÊn ®Ò biÕn h×nh b¶o gi¸c ë cuèi ch−¬ng n y. §5. H m luü thõa H m luü thõa phøc • H m luü thõa phøc w = zn, z ∈ ∀ (2.5.1) l h m gi¶i tÝch trªn to n tËp sè phøc, cã ®¹o h m w’(z) = nzn-1 (2.5.2) v cã c¸c tÝnh chÊt t−¬ng tù h m luü thõa thùc. • H m luü thõa phøc l h m ®a diÖp zn = z 1 ⇔ | z | = | z1 | v argz = argz1 [ 2π ] n (2.5.3) n Suy ra miÒn ®¬n diÖp l h×nh qu¹t α < argz < α + 2π . n Trang 28 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k KÝ hiÖu z = reiϕ suy ra w = rneinϕ. argz= 2nπ argw=2π argz=0 argz=0 Qua ¸nh x¹ luü thõa phøc argz = α argw = nα Tia biÕn th nh tia 0 < argz < 2π 0 < argw < 2π Gãc biÕn th nh gãc n Mét mÆt ph¼ng (z) biÕn th nh n - mÆt ph¼ng (w) H m c¨n phøc • H m c¨n phøc w = n z ⇔ z = wn (2.5.4) l h m ng−îc cña h m luü thõa phøc. Do h m luü thõa phøc l n - diÖp nªn h m c¨n phøc l h m n - trÞ. KÝ hiÖu z = reiϕ v w = ρeiθ , ta cã ϕ ρ = n r , θ = + k 2 π víi k = 0...(n-1) (2.5.5) n n Γ1 Γ0 w1 w0 z0 L Γ2 w2 Khi z ch¹y trªn ®−êng cong L kÝn, kh«ng bao gèc to¹ ®é th× w ch¹y ®ång thêi trªn c¸c ®−êng cong Γk kÝn, kh«ng bao gèc to¹ ®é. Khi z ch¹y trªn ®−êng cong L kÝn, bao gèc to¹ ®é th× w ch¹y ®ång thêi trªn c¸c cung wkwk+1 tõ ®iÓm wk ®Õn ®iÓm wk+1. Khi z ch¹y hÕt mét vßng bao gèc to¹ ®é th× w nh¶y tõ nh¸nh ®¬n trÞ n y sang nh¸nh kh¸c. Do vËy ®iÓm gèc gäi l ®iÓm rÏ nh¸nh cña h m c¨n phøc v ®Ó t¸ch c¸c nh¸nh ®¬n trÞ ng−êi ta th−êng c¾t mÆt ph¼ng phøc b»ng mét tia tõ 0 ra ∞. • MiÒn ®¬n trÞ cña h m c¨n phøc l D = ∀ - (-∞, 0]. Víi k = 0, h m ϕ i n w = re (2.5.6) n l h m ®¬n diÖp, gi¶i tÝch trªn miÒn D, cã ®¹o h m w’(z) = 1 z n −1 1 (2.5.7) n v cã c¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù h m c¨n thùc. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 29

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.