Hàm số liên tục trong R( chương 7)

Chia sẻ: Lê Gia Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

260
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

1 Chương 7. Hàm số liên tục trong Lê Văn Trực n Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao...

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hàm số liên tục trong R( chương 7)

1 n Chương 7. Hàm số liên tục trong Lê Văn Trực Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục n Chương 7 Hàm số liên tục trong ..................................................................... 4 n 7.1 Tập hợp trong ........................................................................................ 4 n 7.1.1 Khoảng cách trong ............................................................................. 4 7.1.2 Lân cận của một điểm ................................................................................ 5 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp .............................................. 6 7.1.4 Tập mở, tập đóng........................................................................................ 8 7.1.5 Tập liên thông............................................................................................. 8 n 7.2 Sự hội tụ trong , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số .......... 9 1
2 n 7.2.1 Sự hội tụ trong ..................................................................................... 9 7.2.2 Dãy cơ bản................................................................................................ 10 7.2.3 Nguyên lí Canto ....................................................................................... 11 7.2.4 Chú ý ........................................................................................................ 11 7.2.5 Tập hợp compact ...................................................................................... 12 7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số .................................................................. 12 7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số ........................................................ 12 7.2.8 Đường mức và mặt mức........................................................................... 13 n 7.3 Giới hạn của hàm số trong ..................................................................... 14 7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm............................................................ 14 7.3.2 Giới hạn lặp .............................................................................................. 15 7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp ............ 16 7.3.1 Chú ý ........................................................................................................ 17 7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục ...................................................................... 19 7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm ................................................................... 19 7.4.2 Hàm số liên tục đều.................................................................................. 20 7.4.3 Liên tục theo từng biến............................................................................. 21 7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số ................................................ 22 7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một........................................................... 22 7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao..................................................................... 28 7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn................................................................................ 31 7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số ....................................................... 31 7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số ....................................................... 33 7.7 Đạo hàm theo hướng .................................................................................... 35 7.7.1 Đạo hàm theo hướng ................................................................................ 35 7.7.2 Gradien ..................................................................................................... 36 7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số ................................... 37 7.8.1 Công thức Taylor ..................................................................................... 37 7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số .................................................................. 39 7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac ............ 42 7.9 Cực trị có điều kiện ...................................................................................... 43 7.9.1 Định nghĩa:............................................................................................... 43
3 7.9.2 Phương pháp tìm cực trị ........................................................................... 43 7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học .......................................... 48 7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong...................................................................... 48 7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong ............................................................ 49 7.10.3 Độ cong.................................................................................................... 51 7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong ............................................................. 53 7.11 Bài tập chương 7 .......................................................................................... 56 7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số ................................................................. 60 3
4 Chương 7 n Hàm số liên tục trong n 7.1 Tập hợp trong n 7.1.1 Khoảng cách trong n a) Khoảng cách giữa hai điểm trong Cho không gian n và điểm M ∈ n . Nếu x1 , x2 ,..., xn là các toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes vuông góc, ta thường viết M (x1 , x2 ,..., xn ) Cho n và một hàm số ρ : × → . Ta nói rằng ρ là khoảng cách trong n n n nếu thoả mãn các tính chất sau: i) ρ ( M,N ) ≥ 0 ∀M,N ∈ n ii) ρ ( M,N )=ρ ( N,M ) ∀M,N ∈ n iii) ρ ( M,P) ≤ ρ ( M,N )+ρ ( N,P) ∀M,N,P ∈ n n Giả sử M (x1 , x2 ,..., xn ) và N (y1 , y2 ,..., yn ) là hai điểm trong . Khoảng cách giữa hai điểm M,N được cho bởi công thức: 1 ⎡n ⎤2 ρ ( M,N )= ⎢ ∑ ( xi − yi ) 2 ⎥ (7.1.1) ⎣ i=1 ⎦ Có thể chứng minh được rằng khoảng cách cho bởi công thức (7.1.1) thoả mãn 3 tính chất nói trên. Thật vậy tính chất i) và ii) hiển nhiên được thoả mãn. Ta chứng minh tính chất iii). Giả sử P (z1 , z2 ,..., zn ) ∈ n , ta có theo công thức (7.1.1): n n ρ 2 ( M,P)= ∑ xi − zi =∑ ( xi − yi ) + ( yi − zi ) 2 2 i=1 i=1 n ≤ ∑ ( xi − yi + yi − zi ) 2 i=1 n n n = ∑ xi − yi + 2∑ xi − yi yi − zi + ∑ yi − zi 2 2 i=1 i=1 i=1
5 1 1 ⎛n 2 ⎞2 ⎛ 2 ⎞2 n n n ≤ ∑ xi − yi + 2 ⎜ ∑ xi − yi ⎟ ⎜ ∑ zi − yi ⎟ + ∑ yi − zi 2 2 ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ i=1 i=1 theo công thức (7.1.1) = ρ 2 ( M,N )+2ρ ( M,N ).ρ ( N,P)+ρ 2 ( N,P ) = [ ρ ( M,N )+ρ ( N,P) ] 2 suy ra: ρ ( M,P) ≤ ρ ( M,N )+ρ ( N,P) . Ví dụ như khoảng cách ρ giữa những điểm M(1,0,1) và N(2,1,0) trong không gian 3 là: ρ = (1 − 2) 2 + (0 − 1) 2 + (1 − 0) 2 = 3 . b) Khoảng cách giữa hai tập hợp Cho A,B ⊂ , A ≠ ∅,B ≠ ∅ . Ta gọi số: n ρ ( A,B)=inf { ρ ( x, y ); x ∈ A,y ∈ B} (7.1.2) là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Từ định nghĩa ta thấy ρ ( A,B) ≥ 0 , ρ ( A,B)=ρ (B,A). Hiển nhiên nếu A ∩ B ≠ ∅ thì ρ (A,B)=0. Tuy nhiên có những trường hợp A ∩ B ≠ ∅ , nhưng ρ (A,B)=0. Ví dụ như A=( − ∞, 0), B =(0,+∞) , ta thấy A ∩ B =∅ và ρ (A,B)=0. Thật vậy: 0 ≤ ρ ( A,B )=inf { ρ ( x, y ); x ∈ A, y ∈ B} ⎧ ⎫ 11 1 1 ≤ inf ⎨ ρ (− , ); − ∈ A, ∈ B,n ∈ * ⎬ ⎩ nn n n ⎭ ⎧2 ⎫ = inf ⎨ , n ∈ * ⎬ = 0 ⎩n ⎭ c) Đường kính của tập hợp Cho A ⊂ , A ≠ ∅ . Đường kính của tập hợp A là số: n δ ( A)=sup { ρ ( x, y ); x ∈ A,y ∈ A} . (7.1.3) Nếu A là tập hợp một điểm thì δ ( A)=0 . Ví dụ như đường kính của khoảng (−1,1) là 2. Giả sử A ⊂ n , A ≠ ∅ . Ta nói rằng A là tập hợp bị chặn nếu δ ( A) ∈ , nói cách khác tập A được gọi là bị chặn nếu như A được chứa trong một hình cầu nào đó. 7.1.2 Lân cận của một điểm a) ε - lân cận . Người ta gọi ε -lân cận của điểm M 0 , kí hiệu là Oε ( M 0 ) , là tập hợp tất Cho M 0 ∈ n sao cho khoảng cách từ M tới M 0 bé hơn ε , tức là: cả những điểm M ∈ n 5
6 Oε ( M 0 ) = { M ∈ ; ρ ( M ,M 0 ) < ε } . n Ví dụ 1 a) Với n=1. Cho x0 ∈ 1 . Các điểm x sao cho ρ ( x, x0 ) = x − x0 < ε ↔ x0 − ε < x < x0 + ε . Vậy Oε ( x0 ) là khoảng ( x0 − ε , x0 + ε ) b) Với n=2. Cho M 0 ( x0 , y0 ) ∈ 2 , xét các điểm M(x,y) sao cho ( x − x0 ) 2 ρ ( M ,M 0 )= + ( y − y0 ) 2 < ε ↔ ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 2 < ε 2 . 2 Vậy Oε ( M 0 ) là hình tròn tâm M0(x0,y0) bán kính ε . c) Với n=3. Cho M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ 3 , xét các điểm M(x.y.z) sao cho ( x − x0 ) 2 ρ ( M ,M 0 )= + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 < ε ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 < ε 2 . Vậy Oε ( M 0 ) là hình cầu tâm M 0 bán kính ε . b) Lân cận của một điểm Ta gọi lân cận của một điểm M 0 là mọi tập hợp chứa một ε - lân cận nào đó của M 0 , tức là tập con U ⊂ n là lân cận của điểm M 0 nếu: ∃ε > 0 sao cho Oε (M 0 ) ⊂ U. Ta thấy theo định nghĩa: α ) nếu U là lân cận của điểm M 0 , thì mọi tập hợp U1 ⊂ ,U1 ⊃ U cũng là lân cận của n đi ể m M 0 . β ) Nếu U1 ,U 2 là lân cận của M 0 thì U1 ∩ U 2 ,U1 ∪ U 2 cũng là lân cận của điểm M 0 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp a) Điểm trong Cho A là một tập hợp trong n . Điểm M ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một ε -lân cận nào đó Oε ( M ) nằm hoàn toàn trong A (Hình 7.1.1).
7 Hình.7.1.1 b) Điểm biên Điểm N ∈ n được gọi là điểm biên của tập hợp A mọi ε -lân cận của N đều chứa những điểm thuộc A vừa chứa những điểm không thuộc A. Điểm biên của tập hợp A có thể thuộc A cũng có thể không thuộc A. Tập hợp những điểm biên của A được gọi là biên của tập hợp A. Tập hợp các điểm biên của tập hợp A kí hiệu là ∂A . Ví dụ 2: Cho A = {( x, y ) ∈ ; a1 < x < a2 , b1 ≤ y ≤ b2 } (xem hình 7.1.2) 2 Các điểm N1 ( x,b1 ) với a1 < x < a2 nằm trên đường thẳng y = b1 và các điểm N 2 ( x,b2 ) với a1 < x < a2 nằm trên đường y = b2 là các điểm biên của tập A. Các điểm biên này thuộc tập hợp A. Các điểm N 3 (a1 ,y ) với b1 ≤ y ≤ b2 và các điểm N 4 (a2 ,y ) với b1 ≤ y ≤ b2 y cũng là các điểm biên của tập hợp A. Các điểm biên này không thuộc tập hợp A. c) Điểm tụ Cho A ⊂ n và M ∈ n . Điểm M gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của A đều chứa ít nhất một điểm của A. Tập hợp các điểm tụ của A kí hiệu là A’ và gọi là tập dẫn xuất của A. 7
8 y b2 b1 o a1 a2 Hình.7.1.2 Ví dụ 3 ⎧ ⎫ 11 11 11 Cho A = ⎨(1,1),( , ), ( , ),..., ( , ),...; n ∈ n ⎬ 22 33 nn ⎩ ⎭ Dễ thấy O(0,0) là điểm tụ của A. Ví dụ 4 Giả sử tập hợp A= {( x, y ) ∈ ; x < 1, y ≤ 1} . Ta thấy tất cả các điểm của tập hợp 2 A1 = {( x, y ) ∈ ; x < 1, y < 1} ⊂ A đều là điểm trong của tập A. 2 7.1.4 Tập mở, tập đóng Cho A ⊂ n , tập A được gọi là mở nếu mọi điểm M của A đều là điểm trong của A. Tập A ⊂ n được gọi là đóng nếu A chứa mọi điểm biên của A. Hiển nhiên A ⊂ n là đóng trong n , thì n \A là tập mở trong n . Ví dụ 5: Cho M 0 ( x0 , y0 ) ∈ 2 . Tập hợp: { } B (M 0 , r )= M ( x,y ) ∈ ; ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 2 < r 2 2 2 là tập mở. Tập hợp: { } K (M 0 , r )= M ( x,y ) ∈ ; ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 2 ≤ r 2 2 2 là tập đóng. 7.1.5 Tập liên thông Tập A gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì M1 , M 2 của A bởi một đường cong liên tục hoàn toàn nằm trong A( xem hình 7.1.3).
9 Tập hợp đơn liên Tập hợp không liên thông Tập hợp đa liên (2 liên) Hình 7.1.3 Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên nếu nó được giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau. Ví dụ 6: Tập hợp nào trong các tập sau là tập liên thông a) E1 = {( x, y ) ∈ ; x + y ≤ 1} 2 b) E2 = {( x, y ) ∈ ;| x |2 + | y |2 ≠ 1} 2 Giải: a) Do E1 là phần bên trong (kể cả biên) của hình vuông giới hạn bởi các đường ± y= ± x+1, nên E1 là liên thông. , trừ ra các điểm nằm trên đường tròn x 2 + y 2 = 1 . E2 không 2 b) E2 là tâp hợp các điểm của phải là tập hợp liên thông. n 7.2 Sự hội tụ trong , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 7.2.1 Sự hội tụ trong n { } cho dãy M k ( x1k , x2 k ,..., xn k ) , k=1,2,...,n n Trong không gian Dãy {M k } được gọi là hội tụ tới M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ) nếu: ∀ε > 0, ∃k(ε ) > 0 sao cho M k ∈ Oε ( M 0 ) , ∀k ≥ k (ε ) (7.2.1). hay tương đương với ρ (M k , M 0 ) < ε , ∀k ≥ k (ε ) (7.2.1)’, 1 ⎡n 2 ⎤2 tức là: ⎢ ∑ ( xik − xi0 ) ⎥ < ε , ∀k ≥ k (ε ) (7.2.1)”. ⎣ i =1 ⎦ Khi đó ta viết: lim M k = M 0 hay M k → M 0 khi k → +∞ k →+∞ 9
10 { } Định lí 7.2.1 Dãy M k ( x1k , x2 k ,..., xn k ) hội tụ tới M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ) khi và chỉ khi dãy các thành phần { x1k } , { x } ,...,{ x } hội tụ tới x k k , x20 ,..., xn0 tương ứng. 2 n 10 Chứng minh; Do {M k } → M 0 nên: ∀ε > 0, ∃k (ε ) sao cho ( x1k − x10 ) 2 + ( x2 k − x20 ) 2 + ... + ( xn k − xn0 ) 2 < ε , ∀k ≥ k (ε ) (7.2.2) Cho nên: ⎧ x1k − x10 < ε ⎪ ⎪k ⎪ x2 − x20 < ε ∀k ≥ k (ε ) . ⎨ ⎪..................... ⎪k ⎪ xn − xn0 < ε ⎩ Từ đấy suy ra { x1k } → x10 , { x2 k } → x20 ,..., { xn k } → xn0 khi k → +∞ . Bạn đọc tự chứng minh phần ngược lại. 7.2.2 Dãy cơ bản Dãy {M k } ⊂ n được gọi là dãy cơ bản (hay Cauchy) nếu: lim ρ ( M k , M p ) = 0 (7.2.3) k,p →+∞ tức là ∀ε > 0, ∃k (ε ) sao cho ρ ( M k , M p ) < ε , ∀k, p ≥ k (ε ) (7.2.4) Định lí 7.2.2 Để dãy {M k } hội tụ, điều kiện cần và đủ là nó là dãy cơ bản. Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử dãy {M k } hội tụ tới M 0 , ta hãy chứng minh nó là dãy cơ bản. Thật vậy, theo giả thiết: ε , ∀k ≥ k (ε ) , ∀ε > 0, ∃k (ε ) >0 sao cho ρ ( M k , M 0 ) < 2 Từ đây suy ra: ε ε ρ (M k , M p ) ≤ ρ (M k , M 0 ) + ρ (M p , M 0 ) < = ε, + 2 2 ∀k, p ≥ k (ε ) . Vậy dãy {M k } là dãy cơ bản. b) Điều kiện đủ:
11 Giả sử dãy {M k } là dãy cơ bản, ta phải chứng minh nó hội tụ. Thật vậy, do {M k } là dãy cơ bản, nên: ∀ε > 0, ∃k (ε ) >0 sao cho ρ ( M k , M p ) < ε , ∀k, p ≥ k (ε ) hay: ( x1k − x1p ) 2 + ( x2 k − x2 p ) 2 + ... + ( xn k − xn p ) 2 < ε , ∀k, p ≥ k (ε ) . Từ đây suy ra: ⎧ x1k − x1p < ε ⎪ ⎪k ⎪ x2 − x2 < ε p ∀k, p ≥ k (ε ) , , ⎨ ⎪..................... ⎪k ⎪ xn − xn < ε p ⎩ tức là các dãy { x1k } , { x2 k } ,..., { xn k } là các dãy cơ bản. Theo định lí Cauchy các dãy trên hội tụ, nên tồn tại: x10 = lim x1k , x20 = lim x2 k ,..., xn0 = lim xn k và do đó: k →∞ k →∞ k →∞ M k ( x1k , x2 k ,..., xn k ) → M 0 (x10 , x20 ,..., xn0 ) . ⎧ ⎛1 k 2 ⎞⎫ ⎪ ⎪ Ví dụ 7 Xét dãy các điểm: ⎨M k ⎜ , , k=1,2,...,n 2 ⎟⎬ ⎪ ⎝ 1+k 1+k ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ Ta thấy dãy M k → M 0 (0,1) , bởi vì: 1 1 ρ (M k , M 0 ) = + → 0 khi k → +∞ . (1+k ) (1+k 2 ) 2 2 7.2.3 Nguyên lí Canto {} Dãy hình cầu đóng O k ⊂ n gọi là thắt dần nếu: O k +1 ⊂ O k , ∀k ≥ 1 (7.2.5) và các bán kính rk → 0 khi k → +∞ . Tương tự như trong 1 , ta có các định lí sau: Định lí 7.2.3 (Nguyên lí Canto): Mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Định lí 7.2.4 (Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ. Chú ý 7.2.4 11
12 n Trong lí thuyết tô pô trên ta có các khẳng định sau (Xem [2]): Mệnh đề 1 Điểm M là điểm tụ của tập hợp A ⊂ n khi và chỉ khi trong A có một dãy điểm phân biệt M k hội tụ tới M khi k → +∞ . là tập đóng khi và chỉ khi mọi dãy {M k } ⊂ A, M k → M khi Mệnh đề 2 Tập A ⊂ n k → +∞ thì M ∈ A . 7.2.5 Tập hợp compact được gọi là tập compact nếu mọi dãy {M k } trong A đều chứa một dãy con Tập A ⊂ n {M } hội tụ tới một điểm thuộc A. k Tương tự như trong , ta cũng có định lí sau: 1 Định lí 7.2.5 Tập A ⊂ n là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn. Định nghĩa hàm nhiều biến số 7.2.6 và tập hợp D ⊂ n n Cho không gian Euclide n chiều . Gọi ánh xạ: f:D→ xác định bởi: x= ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ D → u=f(x)=f(x1 , x2 ,..., xn ) ∈ là hàm số của n biến số xác định trên D. Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay là miền xác định) của hàm số f và x1 , x2 ,..., xn được gọi là các biến số độc lập. Nếu xem x1 , x2 ,..., xn là các toạ độ của một điểm nào đó M ∈ n trong hệ toạ độ Descarter vuông góc thì ta có thể viết u=f(M). Trong trường hợp n=2 hay n=3 ta có hàm hai hay ba biến số và thường được kí hiệu là z = f(x,y) hay u = f(x,y,z). 7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số Nếu hàm u được cho bởi biểu thức u=f(M) (mà không có chú ý gì thêm về tập xác định của nó) thì tập xác định của hàm u được hiểu là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa. y2 Ví dụ 8: Hàm số u= 1 - x - 4 y xác định khi x +4 y ≤ 1 hay x + ≤ 1 . Miền xác định của 2 2 2 2 2 1 4 1 hàm số là miền được giới hạn bởi elip với các bán trục a=1, b= (kể cả biên, xem hình 2 7.2.1).
13 Hình 7.2.1 Hình 7.2.2 x2 y2 x2 y2 x2 y 2 + xác định khi 1- + ≥0 ⇒ − ≤ 1 . Miền Ví dụ 9: Hàm số u= 1- 9 4 9 4 9 4 xác định của hàm số là miền giữa hai nhánh của hypebon với các bán trục a=3, b=2 (Xem hình 7.2.2). 1 xác định khi x 2 + y 2 ≠ 0 . Miền xác định là toàn bộ mặt phẳng Ví dụ 10: Hàm số u= x +y 2 2 trừ gốc toạ độ. Ví dụ 11: Hàm số u=ln(x+y) xác định khi x+y > 0. Vậy miền xác định của hàm số là miền nằm phía trên đường thẳng y=−x (xem hình 7.2.3) Hình 7.2.3 Hình 7.2.4 y y ≤ 1, x ≠ 0 . Vậy miền xác định của hàm số là Ví dụ 12: Hàm số u=arcsin xác định khi x x một phần mặt phẳng nằm giữa các đường thẳng y= ± x trừ ra gốc toạ độ (xem hình 7.2.4). 7.2.8 Đường mức và mặt mức Cho hàm u = f(x,y). Ta gọi tập hợp những điểm của miền xác định của hàm số sao cho tại đó hàm số có giá trị không đổi c là đường mức của hàm số. Phương trình của đường mức ứng với giá trị u = c là: f(x,y) = c (7.2.5). Tương tự như vậy, đối với hàm ba biến số độc lập ta có khái niệm mặt mức. 13
14 Mặt mức của hàm số u = f(x,y,z) là một mặt trong không gian Oxyz, mà trên đó hàm số có giá trị không đổi c. Phương trình của mặt mức ứng với giá trị u = c là: f(x,y,z) = c. (7.2.6). Ví dụ 13: Tìm đường mức của các hàm số sau: x2 y2 a) u =1 − −. a 2 b2 x2 y 2 Phương trình đường mức u = c ⇔ + = 1 − c . Đường mức là đường elip khi c 0, ∃δ > 0 sao cho ∀M ( x,y ) ∈ D thoả mãn ρ ( M,M 0 ) < δ thì f (M ) - l < ε (7.3.1) Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau. Định nghĩa 2: Hàm z = f(M) có giới hạn l khi M → M 0 nếu với mọi dãy điểm M n ( xn ,yn ) (khác M 0 ) thuộc lân cận V của điểm M 0 dần đến M 0 ta đều có: lim f ( xn ,yn )=l . (7.3.2) n →∞ Khi đó ta viết f ( x,y)=l hay lim f ( x,y)=l . lim ( x , y ) →(x0 , y0 ) x → x0 y → y0
15 Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến. Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một biến số. Chẳng hạn: 1 → +∞ khi ( x,y ) → (0, 0) . f ( x,y)= x + y2 2 xy f ( x,y) với f ( x,y)= . Ví dụ 1: Tìm lim x + y2 (x,y)→(0,0) 2 \ {(0,0)} . 2 Giải: Hàm số được xác định trên Vì: xy f ( x,y) = ≤ y ∀( x,y ) ≠ (0, 0) , x2 + y 2 0 ≤ lim f ( x,y) ≤ lim y = 0 , nên: x →0 x →0 y →0 y →0 do đó: lim f ( x,y)=0 . x →0 y →0 xy Ví dụ 2: Tìm lim f ( x,y ) = 0 với f ( x,y )= . x + y2 2 x →0 y →0 Nếu cho (x,y) → (0,0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có: k khi x ≠ 0. f ( x,kx)= 1+k 2 k Do đó lim f ( x,kx)= . 1+k 2 x →0 Khi k khác nhau, (x,y)→(0,0) theo phương khác nhau, f(x,y) dần tới những giới hạn khác nhau. Do đó giới hạn trên không tồn tại. Giới hạn lặp 7.3.2 Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập D ⊂ 2 . Với y cố định, gọi: D1 = { x ∈ ;(x, y ) ∈ D} . Giả sử x0 là điểm tụ của tập D1 và xét giới hạn lim f ( x,y ) . Rõ ràng giới hạn này phụ x → x0 thuộc vào y, kí hiệu: g ( y )= lim f ( x,y ) . x → x0 15
16 Gọi D 2 ={y ∈ R |giới hạn lim f ( x,y ) tồn tại}. Giả sử y0 là điểm tụ của D 2 . Ta xét tiếp x → x0 giới hạn: lim g ( y )= lim ⎡ lim f ( x,y ) ⎤ (7.3.3) y → y0 ⎢ x → x0 ⎥ ⎣ ⎦ y → y0 Hoàn toàn tương tự, ta có thể xét giới hạn: lim ⎡ lim f ( x,y ) ⎤ . (7.3.4) ⎢ y → y0 ⎥ ⎣ ⎦ x → x0 Ta gọi các giới hạn (7.3.3) và (7.3.4) nếu chúng tồn tại là giới hạn lặp của hàm f tại ( x0 , y0 ) . sinx(cosy+1) Ví dụ 3: Xét hàm số z=f ( x,y )= . 1 + x2 + y 2 Tìm lim lim f ( x,y ) và lim lim f ( x,y ) . y → 0 x →0 x →0 y →0 ∀ y ≠ 0 ta có lim f ( x,y ) = 0 , suy ra lim lim f ( x,y ) =0. x →0 y →0 x → 0 sinx(cosy+1) 2sinx Mặt khác ∀ x ≠ 0, lim f(x,y)= lim = suy ra: y →0 1 + x 2 + y 2 1+x 2 y →0 2sinx =0. lim lim f ( x,y ) = lim +x 2 x →0 1 x →0 y →0 Ta thấy trong trường hợp này hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau. Ví dụ 4: Tìm giới hạn lặp của hàm số: x+ycosy tại (x,y)=(0,0). f ( x,y )= 2 x+y x+ycosy 1 ∀ x ≠ 0, ta có lim f ( x,y )= lim =, 2 x+y 2 y →0 y →0 1 suy ra lim lim f ( x,y ) = . 2 x →0 y →0 Mặt khác, ∀ y ≠ 0 ta có lim f ( x,y )=cosy , suy ra: x →0 lim lim f ( x,y )= lim cos y = 1 . y → 0 x →0 y →0 Trong trường hợp này, các giới hạn lặp tồn tại nhưng không bằng nhau. 7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp
17 Định lí 7.3.1 Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập hợp D và ( x0 ,y0 ) là điểm tụ của D. Giả sử tồn tại giới hạn l = lim f ( x,y ) . Khi đó nếu tồn tại giói hạn lặp nào của hàm số tại ( x,y ) →( x0 ,y0 ) ( x0 ,y0 ) thì giới hạn đó cũng bằng l . Chứng minh: Giả sử tồn tại giới hạn l ' = lim lim f ( x,y ) (7.3.5) x → x0 y → y0 Ta hãy chứng minh l ' = l . Đặt F (x)= lim f (x, y ) (7.3.6). y → y0 Khi đó theo giả thiết (7.3.5) ta có: (7.3.7) lim F(x)=l ' x → x0 Bởi vì lim f(x,y)=l (7.3.8) (x,y) →( x 0 ,y0 ) nên ∀ε ≥ 0, ∃δ > 0 sao cho ∀( x,y ) thoả mãn ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) < δ thì 2 f ( x, y ) − l < ε (7.3.9). Trong (7.3.9) cho y → y0 ta được: lim f ( x, y ) − l ≤ ε ∀x ∈ y → y0 thoả mãn 0< x-x0 < δ , tức là: ∀x ∈ sao cho 0< x - x0 < δ thoả mãn F ( x) − l ≤ ε (7.3.10) Trong (7.3.10) cho x → x0 , ta được l '− l ≤ ε ∀ε > 0 . Do ε là tuỳ ý nên l ' = l . 7.3.1 Chú ý a) Sự tồn tại các giới hạn lặp kể cả khi chúng bằng nhau không suy ra được sự tồn tại giới hạn của hàm theo tập hợp các biến. x− y Ví dụ 5: Xét hàm số f ( x,y ) = . x+y Ta thấy lim f ( x,y ) = −1 ⇒ lim lim f ( x,y ) = −1 và lim f ( x,y ) = 1 ⇒ lim lim f ( x,y ) = 1 . y →0 x →0 y →0 x → 0 y →0 x →0 Bây giờ ta xét giới hạn lim f ( x,y ) . (x,y)→( 0,0 ) 1 1 Trước hết ta thấy ( xn ,yn ) = ( , 0) → (0, 0) khi n → +∞ thì f ( ,0) → 1 k hi n → +∞ . n n 17
18 1 1 Mặt khác dãy ( x'n ,y'n ) = (0, ) → (0, 0) khi n → +∞ , nhưng f (0, ) → −1 . Vậy giới hạn n n theo tập hợp các biến lim f ( x,y ) không tồn tại. (x,y)→( 0,0 ) b) Sự tồn tại giói hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới hạn lặp. 1 Ví dụ 6: Cho hàm f ( x,y )=( x+y )sin . xy 1 Do ∀x,y ≠ 0, 0 ≤ ( x+y )sin ≤ x+y ≤ x + y → 0 khi ( x, y ) → (0, 0) . xy Suy ra lim f ( x,y )=0 . Tuy nhiên dễ dàng thấy rằng cả hai giới hạn lặp đều không tồn ( x , y ) → (0,0) tại. Ví dụ 7: Tìm giới hạn khi ( x, y ) → (0, 0) của hàm số: x2 − y 2 f ( x,y )= 2 2 . x +y 11 zk =( , ) → (0, 0) khi k → +∞ a) Ta thấy với dãy , dãy tương ứng: kk 11 zk = f ( , ) = 0 → 0 k hi k → +∞ . kk 21 , ) → (0, 0) khi k → +∞ , nhưng dãy tương ứng: Mặt khác với dãy ( x'k ,y'k )=( kk 3 21 3 3 2 z'k = f ( , ) = k = → khi k → +∞ . 55 kk 5 k2 Vậy hàm số không có giới hạn khi ( x, y ) → (0, 0) . b) Dễ dàng thấy lim lim f ( x,y ) = lim(−1) = −1 , y →0 x →0 y →0 lim lim f (x, y ) = lim1 = 1 . x →0 y → 0 x →0 Ví dụ 8: Tìm giới hạn khi (x,y)→ (0,0) của hàm số y z = xarctg . x yπ a) Ta có 0 ≤ z = xarctg < x → 0 khi (x, y ) → (0, 0) . Vậy lim z =0 x2 (x,y) → (0,0) b) Dễ thấy lim lim z = lim 0 = 0 và lim lim z = lim 0 = 0 . y →0 x →0 y →0 x →0 y →0 y →0
19 x 3 +y 3 Ví dụ 9: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số z= . x 2 +y 2 x3 + y 3 x 3 +y 3 x3 y3 ≤ x + y → 0 khi ( x,y ) → (0, 0) . a) z = ≤ = + x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 Vậy lim z = 0 . (x,y) →(0,0) b) Dễ thấy lim lim z = lim y = 0 và lim lim z = lim x = 0 . y →0 x →0 y →0 x →0 y →0 x →0 Ví dụ 10: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số 1+x 2 +y 2 z= (1 − cosy) . y2 y 2(1+x 2 +y 2 )sin 2 2 , nên lim z = 2. 1 = 1 . a) Ta thấy z = y2 42 (x,y) → (0,0) b) Dễ thấy y 2(1+y 2 )sin 2 2 1+y 2 = 2. 1 = 1 lim lim z = lim (1 − cosy ) = lim y2 y2 42 y →0 x→0 y →0 y →0 1 + x2 1 và lim lim = lim =. 2 2 x →0 y → 0 x →0 7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm và f : D → Giả sử D ⊂ 2 . Định nghĩa 1: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục (theo tập hợp các biến) tại M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D nếu ∀ε >0, ∃δ >0 sao cho ∀M ∈ D mà ρ (M ,M 0 )
20 liên tục tại M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D 3: Hàm số f(M) nếu với mọi dãy Định nghĩa {M k ( xk , yk )} ⊂ D , M k → M 0 khi k → ∞ ta đều có: f (M k ) → f (M 0 ) hay f ( xk , yk ) → f ( x0 , y0 ) . (7.4.3) Hàm f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. 2 Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định trong được cho bởi biểu thức; ⎧ 3 xy 2 ⎪ ⎪ f ( x,y ) = ⎨ x 2 +y 2 nÕ ( x,y ) ≠ (0,0) u ⎪ ⎪0 nÕ ( x,y )=(0,0) ⎩ u 3 1 ( x +y ) 2 2 2 1 ta thấy xy ≤ ( x 2 +y 2 ) ⇒ 0 ≤ f ( x,y ) ≤ 2 ( x 2 +y 2 ) 2 1 ( x +y ) → 0 khi ( x,y) → (0, 0) . 2 2 = 2 Vậy hàm số liên tục tại (0,0). 2 Ví dụ 2: Trong xét hàm số f(x,y) được xác định bởi: ⎧ xy ⎪ nÕ (x,y ) ≠ (0,0) u f ( x,y ) = ⎨ x 2 +y 2 ⎪ ⎩0 nÕ ( x,y ) = (0,0). u 11 n Ta thấy dãy ( xn , yn ) = ( , ) → (0,0) khi n→+∞ nhưng f ( xn , yn ) = → +∞ khi nn 2 n → +∞ . Vậy hàm số không liên tục tại điểm (0,0). 7.4.2 Hàm số liên tục đều Định nghĩa 4: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: ∀ε >0, ∃δ >0 sao cho với mọi cặp điểm M 1 , M 2 ∈ D mà ρ (M 1 , M 2 ) < δ ta đều có: f (M 1 ) − f (M 2 ) < ε . (7.4.4) Ví dụ 3: Xét hàm số z = x 2 +y 2 trên 2 . Với mọi cặp điểm M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y2 ) ta có: (x + x2 ) + y1 − y2 (y ) x1 − x2 + y2 1 1 x12 +y12 − x2 2 +y2 2 ≤ x12 +y12 + x2 2 +y2 2 x12 +y12 + x2 2 +y2 2 ≥ x1 + x2 Do