HÌNH HỌC KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG

Chia sẻ: Đỗ Thúy Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tập hợp các bài toán về hình học không gian từ các đề thi đại học và cao cẳng của các năm. Giúp các bạn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian sát với cấu trúc đề thi tuyển sinh. Tài liệu hay cho các bạn ôn tập chuẩn bị cho các kỳ thi qua trọng sắp đến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG

QUAN HỆ SONG SONG 1. (ĐH-A11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 2. (DB1-D08) Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4 BM , AQ AC = 3 AP, BD = 2 BN . Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số và tỉ số thế tích hai phần của khối tứ diện AD ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP). 3. (DB2-D06) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC ' sao cho 2 CK = a Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể 3 tích của hai khối đa diện đó.  4. (ĐH-B03) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 60. Gọi M là trung điểm cạnh AA′ và N là trung điểm cạnh CC ′ . Chứng minh rằng bốn điểm B′ , M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.  5. (DB1-B06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C ′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC ′ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích khối chóp S . AB′C ′D′. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 6. (ĐH-D10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc AC của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. 4 Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. 7. (ĐH-A02) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 8. (ĐH-A07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. 9. (ĐH-A08) Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3, và hình chiếu vuông góc của A′ đỉnh trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′. ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C ′. 10. (ĐH-A09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
11. (ĐH-B06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. 12. (ĐH-B07) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 13. (DB1-B07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chop. Cho AB = a, SA = a 2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. 14. (DB1-A06) Cho hình hộp đứng ABCD. A′B′C ′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA′ = a 3  và góc BAD = 60. 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cách cạnh A′D′ và A′B′ . Chứng minh AC ′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. 15. (DB1-A08) Chi hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của  EC, SC. M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM = α (α < 90 ) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a, α và tìm α để thể tích đó nhỏ nhất. 16. (DB2-A08) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. 17. (DB2-A09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 18. (ĐH-B08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.  19. (DB2-D10) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, biết  = 900 và khoảng cách từ điểm A đến mặt ASC phẳng (SBD) bằng a. 20. (DB1-D07) Cho lăng trụ đứng ABC. A 1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB AC a, AA1 = a 2. Gọi M , N = = lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện MA1 BC1. 21. (DB2-B10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SB AB 2 BC 2a,  = 1200. = = = = ABC Gọi H là trung điểm của cạnh AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (SCD), K nằm trong tam giác 3 SCD và HK = a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 5 22. (DB1-B10) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a,  = 60 , đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ABC (ABC) tại A và S là một điểm thay đổi trên ∆. Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác SBC luôn nằm trên một đường tròn cố định. 23. (DB2-B08) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
BÀI TOÁN GÓC. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH. 24. (ĐH-D11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC)  vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = a 3 và SBC = 30. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 25. (ĐH-D09) Cho hình chóp ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA′ = 2a, A′C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′C ′ , I là giao điểm của AM và A′C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). 26. (DB2-D07) Cho lăng trụ đứng ABC. A1 B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của AA1. Chứng minh BM vuông góc với B1C và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó. 27. (DB1-D10) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC cân tại A, cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trục của BC các góc bằng 300 và 450, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 28. (ĐH-A10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 29. (ĐH-B11) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. 30. (DB1-D06) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 31. (DB1-B08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện S.ABCD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC. 32. (DB2-B06) Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có A′. ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A′A = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và ( A′BC ). Tính tan α và thể tích của hình chóp A′.BB′C ′C. 33. (DB2-A06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc a 3 với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng 3 (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNMI. 34. (DB2-A07) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC).  35. (DB1-A07) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh rằng MB vuông góc MA1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). 36. (DB1-A09) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy A1B1C1 là tam giác vuông tại B1. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A1 lên AC1. Biết góc giữa đường thẳng A1K với mặt phẳng (C1AB1) bằng 300 và A1B1 = a, A1C1 = a 5. Tính thể tích lăng trụ ABC.A1B1C1 theo a. 37. (DB2-B07) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
bằng 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ∆AHK vuông và tính thể tích tứ diện SABC. 38. (ĐH-A06) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′ , bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện O O′ AB. 39. (ĐH-B04) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ (00 < ϕ < 900). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ. 40. (ĐH-B09) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có BB′ = a, góc giữa đường thẳng BB′ và mặt phẳng  (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và BAC = 60. Hình chiếu vuông góc của điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A′ABC theo a. 41. (ĐH-B10) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng ( A′BC ) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A′BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 42. (ĐH-D02) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). 43. (ĐH-D03) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. 44. (ĐH-D06) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. 45. (ĐH-D07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,  BAD 90 , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên ABC  = = SA vuông góc với đáy và SA = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). 46. (ĐH-D08) Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a 2. ). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B′C .