Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian" được hoàn thành với mục tiêu nhằm làm rõ một số nội dung quan trọng đối với các bài toán cực trị trong hình học không gian để cho học sinh hiểu đúng, vận dụng đúng vào giải toán. Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT 2023-2024.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lĩnh vực: Toán học Nghệ An , tháng 4 năm 2024
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƢỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lĩnh vực: Toán học Đồng tác giả: Hoàng Thị Xoan – SĐT: 0352312555 Nguyễn Thị Nhung – SĐT: 0343007625 Trƣờng THPT Diễn Châu 4 Nghệ An, tháng 4 năm 2024 1
PHỤ LỤC PHỤ LỤC ................................................................................................................... i PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1 2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài ...................................................................... 1 3. Đối tƣợng nghiên cứu ........................................................................................ 1 4. Giới hạn của đề tài............................................................................................. 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................... 2 6. Tính mới và những đóng góp của đề tài. .......................................................... 2 7. Bố cục của đề tài ............................................................................................... 2 Phần II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI ................................................................................... 3 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................... 3 1.1. Cơ sở lý luận .................................................................................................. 3 1.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................... 3 1.2.1. Thực trạng của học sinh khi học phần cực trị hình học. ........................ 3 1.2.2. Phương pháp điều tra nghiên cứu để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài. ...................................................................................................................... 3 1.2.3 Hình thành giả thuyết khoa học và đề xuất giải pháp. ............................ 6 1.2.3.1. Phân tích và vận dụng các bài toán cực trị trong hình học không gian. ................................................................................................................... 6 1.2.3.2. Các bài tập vận dụng trong các kỳ thi TNTHPT. ................................ 6 1.2.3.3. Phát triển bài toán mới ........................................................................ 6 1.2.4. Tính khả thi và tính cấp thiết....................................................................... 6 1.2.4.1. Nội dung khảo sát................................................................................. 6 1.2.4.2. Kết quả khảo sát ................................................................................... 6 1.3. Mục tiêu của đề tài. ........................................................................................ 8 Chƣơng 2. KHAI THÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ......................................................................................................................... 9 2.1. Một số kiến thức cơ bản ................................................................................. 9 2.1.1. Véc tơ ....................................................................................................... 9 i
2.1.2. Mặt cầu .................................................................................................... 9 2.1.3. Phương trình mặt phẳng ......................................................................... 9 2.1.4. Phương trình đường thẳng ...................................................................... 9 2.2. Phân tích và phân dạng các bài toán. ........................................................... 11 2.2.1. Phân tích bài toán cực hình học có sử dụng vec tơ .............................. 11 2.2.2. Phân tích các bài toán cực trị hình học sử dụng phương trình mặt phẳng kết hợp phương trình đường thẳng ...................................................... 15 2.2.3. Phân tích các bài toán cực trị hình học để viết phương trình đường thẳng ................................................................................................................ 27 2.2.4. Phân tích các bài toán cực trị hình học sử dụng phương trình mặt cầu ......................................................................................................................... 35 2.2.5. Các bài tập vận dụng trong kỳ thi THPTQG ........................................ 39 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................................ 42 3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ....................................................................... 42 3.2. Đối tƣợng thực nghiệm .................................................................................... 42 3.3. Tiến hành thực nghiệm..................................................................................... 42 3.3.1. Dạy thực nghiệm ....................................................................................... 42 3.3.2.Xử lí kết quả thực nghiệm. ......................................................................... 48 3.3.2.1. Làm bài kiểm tra 15 phút ................................................................... 48 3.3.2.2. Kết quả kiểm tra ở lớp 12A8 và 12A9 ............................................... 49 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ............................................................... 50 1. Kết luận ........................................................................................................... 50 2. Kiến nghị ......................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 51 PHỤ LỤC ẢNH MINH HỌA THỰC NGHIỆM.................................................... 52 ii
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài - Xu hƣớng chung của đổi mới phƣơng pháp dạy học hiện nay là dạy học lấy học sinh làm trung tâm, ngƣời thầy phải làm thế nào phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của ngƣời học, phải giúp ngƣời học nhanh chóng tiếp cận với khoa học, công nghệ tiên tiến, phƣơng tiện hiện đại, giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống,..và phải coi trọng, phải đề cao vai trò chủ thể của học sinh trong quá trình nhật thức. - Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đổi mới phƣơng pháp dạy học theo chƣơng trình giáo dục phổ thông 2018. -Xuất phát từ mục tiêu chƣơng trình giáo dục phổ thông 2018 về phát triển năng lực ngƣời học. - Trong môn hình học nội dung về bài toán cực trị trong hình học không gian đóng vai trò quan trọng. Hệ thống các bài toán chứa kiến thức cực trị về mặt cầu, đƣờng thẳng và mặt phẳng rất phong phú và đa dạng. Việc phân tích, khai thác đúng nội dung các định nghĩa, các định lí, các hệ quả, các chú ý, các nhận xét sẽ giúp học sinh sử dụng hiệu quả kiến thức đƣợc lĩnh hội vào việc giải các bài tập. -Trong các kỳ thi TNTHPT nội dung về bài toán cực trị trong hình học không gian thƣờng đƣợc đƣa vào thông qua các bài toán mức độ vận dụng ,vận dụng cao. -Nhằm giúp học sinh hiểu đúng và vận dụng đúng kiến thức để làm các bài toán cực trị trong hình học không gian, phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập, từ đó phục vụ cho các kỳ thi HSG và TNTHPT nên chúng tôi chọn đề tài “ Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài toán cực trị trong hình học không gian ” 2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về tƣ duy sáng tạo. - Làm rõ một số nội dung quan trọng đối với các bài toán cực trị trong hình học không gian để cho học sinh hiểu đúng, vận dụng đúng vào giải toán. Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT 2023-2024. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các bài toán cực trị trong hình học không gian liên quan đến đƣờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu trong chƣơng trình SGK 12 hiện hành. 1
- Các bài toán trong đề thi TNTHPT 2020-2021, 2021-2022, 2022-2023, đề thi thử của một số trƣờng qua một số năm, đề thi HSG Tỉnh của một số tỉnh trên toàn quốc có liên quan nội dung đề tài. 4. Giới hạn của đề tài Trình bày một cách hệ thống, khoa học: từ lý thuyết liên quan, phân tích lý thuyết, phân dạng toán với các ví dụ minh họa, cùng lời giải chi tiết và các chú ý, nhận xét. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận. - Phƣơng pháp điều tra quan sát. - Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm. 6. Tính mới và những đóng góp của đề tài. Đề tài phân tích đƣợc những nội dung quan trọng để từ đó xây dựng đƣợc các dạng toán phù hợp với nội dung vừa phân tích, rèn luyện kĩ năng giải toán và phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh, giúp học sinh tránh những sai lầm trong giải toán. Qua đó, góp phần giúp học sinh biết tự học, tự sáng tạo để tự tin giải quyết các bài toán trong các đề thi HSG và TN THPT. 7. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài đƣợc trình bày trong 3 chƣơng. Chƣơng 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chƣơng 2. Phân tích kỹ năng giải toán cực trị trong hình học không gian. Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm. 2
Phần II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phƣơng pháp để giải quyết vấn đề là vô cùng quan trọng, giúp chúng ta có định hƣớng tìm lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là ngƣời có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tƣơng thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phƣơng pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kĩ năng, phát triển các các kĩ năng giải toán cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của ngƣời giáo viên. 1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Thực trạng của học sinh khi học phần cực trị hình học. - Học sinh có trí tƣởng tƣợng không gian chƣa tốt. - Do đặc thù môn học có tính trừu tƣợng cao nên việc tiếp thu và sử dụng các kiến thức hình học không gian là vấn đề khó đối với học sinh. - Học sinh quen với hình học phẳng nên dễ nhầm lẫn khi sử dụng các tính chất trong hình học phẳng mà không đúng trong hình học không gian. - Vẫn còn một số học sinh chƣa xác định đúng động cơ học tập nên chƣa chăm học và chƣa chú ý khi học bài và làm bài tập. - Trong hệ thống bài tập của chƣơng trình giáo khoa thì có rất ít bài toán về cực trị, đó cũng là một lí do mà làm cho học sinh ít có cơ hội tiếp cận với dạng toán này. - Do thời lƣợng hạn chế nên trong sách giáo khoa ít đề cập đến bài toán về cực trị nên các em học sinh ít đƣợc tiếp xúc và luyện tập các dạng này, Vì thế khi gặp học sinh thƣờng hay lúng túng và gây nhiều khó khăn cho các em. - Do giáo viên chƣa có phƣơng pháp phù hợp với năng lực của học sinh. -Tuy nhiên những bài toán về cực trị lại là những bài toán có phƣơng pháp giải rất lí thú và thƣờng mang lại tâm lý hƣng phấn cho học sinh, từ đó khích lệ đƣợc khả năng tìm tòi, học hỏi cho học sinh. 1.2.2. Phương pháp điều tra nghiên cứu để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài. Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, chúng tôi đã tiến hành thiết kế phiếu điều tra đối với giáo viên và học sinh về các vấn đề dạy học tích cực nội dung “Bài toán cực trị trong hình học không gian” đã và đang đƣợc áp dụng trong chƣơng 3
trình hình học 12. Trong đó chúng tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra đối với 30 giáo viên giảng dạy bộ môn toán và 85 học sinh lớp 12 thuộc hai lớp 12A8 và 12A9 kết quả thu đƣợc nhƣ sau: Về thực trạng sử dụng các phƣơng pháp dạy học tích cực nội dung “Bài toán cực trị trong hình học không gian”, sau khi thống kê kết quả phiếu hỏi số 1 để thăm dò ý kiến giáo viên kết quả nhƣ sau: Bảng 1: Kết quả thăm dò ý kiến giáo viên về phƣơng pháp dạy học nội dung bài toán cực trị trong hình học không gian. Không thƣờng Thƣờng xuyên Không sử dụng TT Phƣơng pháp dạy học xuyên SL TL % SL TL% SL TL% 1 Thuyết trình 12 40 18 60 0 0 Hỏi đáp- Tái hiện thông 2 18 60 11 36,67 1 3.33 báo 3 Hỏi đáp- tìm tòi 21 70 9 30 0 0 Dạy học có sử dụng bài 4 9 30 19 63,33 2 6,67 tập tình huống Dạy học nêu và giải 5 18 60 11 36,67 1 3.33 quyết vấn đề Dạy học có sử dụng 6 17 56.67 13 43.33 0 0 phiếu học tập 7 Dạy học hợp tác theo 22 73.33 8 26.67 0 0 nhóm Bảng 2. Kết quả điều tra thực trạng học tập của học sinh về bài toán cực trị trong hình học không gian. TT Vấn đề hỏi Câu trả lời Kết quả SL TL% 1 Cảm nhận của em khi học về bài toán Rất yêu thích 45 53 cực trị trong hình học không gian? Yêu thích 28 33 Bình thƣờng 12 14 4
Không yêu thích 0 0 2 Qua học tập về bài toán cực trị trong Dễ tiếp thu 50 58,8 hình học không gian theo em kiến thức Bình thƣờng 25 29,4 phần này nhƣ thế nào? Khó tiếp thu 10 11,8 3 Thầy cô có phân tích, làm rõ định Thƣờng xuyên 82 96,5 nghĩa, định lí,cách giải, đƣa ra hệ thống Không thƣờng 3 3,5 bài tập phù hợp với từng nội dung? xuyên Chƣa bao giờ 0 0 Bảng 3. Kết quả điều tra về thực trạng học tập của học sinh khi học nội dung về bài toán cực trị trong hình học không gian. TT Vấn đề hỏi Câu trả lời Kết quả SL TL% 1 Cảm nhận của em khi học nội dung về Rất yêu thích 45 53 bài toán cực trị trong hình học không Yêu thích 25 29 gian? Bình thƣờng 15 18 Không yêu thích 0 0 2 Qua học tập về nội dung bài toán cực trị Dễ tiếp thu 50 58,8 trong hình học không gian theo em kiến Bình thƣờng 20 23,5 thức phần này nhƣ thế nào? Khó tiếp thu 15 17,7 3 Thầy cô có phân tích, làm rỏ định Thƣờng xuyên 82 96,5 nghĩa, định lí, đƣa ra hệ thống bài tập Không thƣờng 3 3,5 phù hợp với từng nội dung? xuyên Chƣa bao giờ 0 0 Thông qua kết quả điều tra cho thấy tƣơng đối nhiều em học sinh yêu thích khi học về các bài toán cực trị trong hình học không gian. 5
1.2.3 Hình thành giả thuyết khoa học và đề xuất giải pháp. Trên cơ sở kết quả khảo sát thực trạng xung quanh vấn đề dạy học nội dung các bài toán cực trị trong hình học không gian chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu và đề xuất giải pháp giúp học sinh tìm hiểu nội dung kiến thức này nhƣ sau: 1.2.3.1. Phân tích và vận dụng các bài toán cực trị trong hình học không gian. a. Một số kiến thức cơ bản. - Phƣơng trình mặt cầu - Phƣơng trình mặt phẳng, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. - Phƣơng trình đƣờng thẳng, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm lên đƣờng thẳng, khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng. b. Phân tích và phân dạng các bài toán. - Phân tích bài toán cực hình học có sử dụng vec tơ - Phân tích các bài toán cực trị hình học sử dụng phƣơng trình mặt phẳng, kết hợp phƣơng trình đƣờng thẳng - Phân tích các bài toán cực trị hình học để viết phƣơng trình mặt phẳng - Phân tích các bài toán cực trị hình học để viết phƣơng trình đƣờng thẳng - Bài toán cực trị hình học liên quan đến mặt cầu 1.2.3.2. Các bài tập vận dụng trong các kỳ thi TNTHPT. Vận dụng cụ thể vào các bài toán đƣợc đƣa vào trong các đề thi TNTHPT. 1.2.3.3. Phát triển bài toán mới 1.2.4. Tính khả thi và tính cấp thiết 1.2.4.1. Nội dung khảo sát Với các nội dung đã đƣợc đề xuất ở trên, Thầy cô hãy cho biết tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp nhƣ thế nào (Tại thời điểm này chúng tôi chỉ khảo sát các giáo viên tham gia ở mục 1 mà không khảo sát từ học sinh) 1.2.4.2. Kết quả khảo sát Kết quả khảo sát tính cấp thiết của các giải pháp đề xuất đối với giáo viên môn toán 12 (M1 không cấp thiết, M2 ít cấp thiết, M3 Cấp thiết, M4 rất cấp thiêt). TT Các giải pháp Thang đánh giá các Các thông số giải pháp 1 M1 M2 M3 M4 X Mức 6
1 Phân tích và vận dụng tính 0 1 12 17 3.53 4 chất véc tơ trong bài toán tìm cực trị hình học không gian 2 Phân tích các bài toán cực 0 1 11 18 3.57 4 trị hình học sử dụng phƣơng trình mặt phẳng kết hợp phƣơng trình đƣờng thẳng 3 Phân tích các bài toán cực 0 1 8 21 3.67 4 trị hình học để viết phƣơng trình mặt phẳng, phƣơng trình đƣờng thẳng 4 Các bài tập vận dụng trong 0 1 9 20 3.63 4 các kì thi TNTHPT 5 Phát triển bài toán mới 0 2 13 15 3.43 3 Nhận xét: Từ số liệu thu đƣợc ở bảng trên cho thấy đa số giáo viên cho rằng các giải pháp đƣợc đề xuất ở trên có tính cấp thiết và rất cấp thiết. Kết quả khảo sát tính khả thi của các giải pháp đề xuất đối với giáo viên môn toán THPT (M1 không khả thi, M2 ít khả thi, M3 khả thi, M4 rất khả thi). TT Các giải pháp Thang đánh giá các Các thông số giải pháp 1 M1 M2 M3 M4 X Mức 1 Phân tích và vận dụng tính 0 1 12 17 3.53 4 chất véc tơ trong bài toán tìm cực trị hình học không gian 2 Phân tích các bài toán cực trị 0 1 9 20 3.63 4 hình học sử dụng phƣơng trình mặt phẳng kết hợp phƣơng trình đƣờng thẳng 3 Phân tích các bài toán cực trị 0 1 6 23 3.73 4 hình học để viết phƣơng trình mặt phẳng, phƣơng trình 7
đƣờng thẳng 4 Các bài tập vận dụng trong các 0 2 9 19 3.56 4 kì thi TNTHPT 5 Phát triển bài toán mới 0 2 13 15 3.43 3 Nhận xét: Từ số liệu thu đƣợc ở bảng trên có thể rút ra những kết luận: đa số các giáo viên đều cho rằng việc dạy học phân tích các bài toán cực trị trong hình học không gian đang có tính khả thi cao. 1.3. Mục tiêu của đề tài. - Chỉ rõ những nội dung quan trọng mà học sinh dễ nhầm lẫn hay bỏ qua. - Phân tích và vận dụng cụ thể vào các dạng toán - Hình thành các bài toán tƣơng tự 8
Chƣơng 2. KHAI THÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Véc tơ - Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AC  AB  BC , BC  AC  AB - Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có: IA  IB  0 -Với M bất kì ta có MA  MB  2MI - Với G là trọng tâm tam giác ABC ta có : GA  GB  GC  0 -Với M bất kì ta có: MA  MB  MC  3MG 2.1.2. Mặt cầu - Mặt cầu tâm I (a; b; c) bán kính R có phƣơng trình: ( S ) : ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2 - Phƣơng trình: x 2  y 2  z 2  2 Ax  2 By  2Cz  D  0 (với điều kiện A2  B 2  C 2  D  0 ) là phƣơng trình mặt cầu tâm I ( A;  B; C ) , bán kính R  A2  B 2  C 2  D . 2.1.3. Phương trình mặt phẳng a) Mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận véc tơ n  ( A; B; C) làm véc tơ pháp tuyến có phƣơng trình: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 . - Mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có một véc tơ pháp tuyến n  ( A; B; C) b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng ( ) kí hiệu d ( M 0 , ( )) , đƣợc Ax0  By0  Cz0  D tính theo công thức: d (M 0 ,( ))  . A2  B 2  C 2 2.1.4. Phương trình đường thẳng a) Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ  x  x0  a1t phƣơng a  (a1; a2 ; a3 ) là phƣơng trình có dạng  y  y0  a2t , trong đó t là tham số.  z  z  a t  0 3 9
Chú ý: Nếu a1 , a2 , a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phƣơng trình của đƣờng thẳng  x  x0 y  y0 z  z0 dƣới dạng chính tắc nhƣ sau :   . a1 a2 a3 b) Cách tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên đƣờng thẳng  x  x0  a1t Cho đƣờng thẳng  :  y  y0  a2t , và điểm M1  ( x1; y1; z1 )  z  z  a t  0 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 1 lên   H ( x0  a1t; y0  a2t; z0  a3t )   , a  (a1; a2 ; a3 ) là véc tơ chỉ phƣơng của  , ta có : M1H  a  M1H .a  0  t  tọa độ điểm H . c) Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng  x  x0  a1t Cho đƣờng thẳng  :  y  y0  a2t , và điểm M1  ( x1; y1; z1 )  z  z  a t  0 3 Đƣờng thẳng  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phƣơng a  (a1; a2 ; a3 ) ,  M 0 M1 , a   khoảng cách từ M 1 đến  là d ( M 1 , )   hoặc d ( M1 , )  M1H (với M là a hình chiếu vuông góc của M 1 lên  ). d) Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau Cho hai đƣờng thẳng chéo nhau 1 và  2 Đƣờng thẳng 1 đi qua điểm M 1 có véc tơ chỉ phƣơng u1 Đƣờng thẳng  2 đi qua điểm M 2 có véc tơ chỉ phƣơng u 2 u1 , u2  .M 1M 2 Khoảng cách giữa 1 và  2 là d (1 ,  2 )    u1 , u2    Chú ý: - Với hai đƣờng thẳng chéo nhau thì độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách ngắn nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai đƣờng thẳng. -Nếu 1 / /  2 thì d (1 ,  2 )  d ( A,  2 ) , với A  1 10
2.2. Phân tích và phân dạng các bài toán. 2.2.1. Phân tích bài toán cực hình học có sử dụng vec tơ Bài toán 1.Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng, đƣờng thẳng sao cho T  mMA  nMB  kMC nhỏ nhất. Cho mặt phẳng ,đƣờng thẳng , các điểm A, B, C phân biệt và các số thực m, n, k thỏa mãn m  n  k  0 . Để tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu ta lập luận nhƣ sau: Gọi I là điểm thỏa mãn : mIA  nIB  k IC  0 mA  nB  kC Có thể ghi nhớ nhanh I  (1) để xác định tọa độ điểm I mnk Ta có: mMA  nMB  kMC  (m  n  k )MI  mIA  nIB  k IC  (m  n  k )MI I I M M' P M Khi đó giá trị T nhỏ nhất khi độ dài đoạn MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đƣờng thẳng, mặt phẳng . Ví dụ 1.Trong không gian Oxyz , cho A(3;0;0), B(0;0;3), C (0; 3;0) và mặt phẳng ( P) : x  y  z  3  0 . Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: T  MA  MB  MC nhỏ nhất. Lời giải. Xét điểm I thỏa mãn IA  IB  IC  0  I (3;3;3) Ta có: MA  MB  MC  MI  IA  IB  IC  MI  MI Tmin khi MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Do I  ( P)  M  I  M (3;3;3) Ví dụ 2. (Đề thi thử TNTHPT lần 1, năm học 2022-2023 của Sở GD và ĐT tỉnh Bắc Ninh).Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 1;1;1 , B  1; 2;0  , C  3; 1; 2  và mặt phẳng    : 2 x  y  2 z  7  0. Điểm M chạy tùy ý trên ( ) . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3MA  5MB  7MC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m  (24; 28) . B. m  (20; 24) . C. m  (10; 20). D. m  (28; 47). Lời giải. Gọi điểm I  x; y; z  sao cho 3IA  5IB  7IC  0. 11
3 1  x   5  1  x   7  3  x   0  x  23  Khi đó 3 1  y   5  2  y   7  1  y   0   y  20  I  23; 20; 11 .    3 1  z   5  0  z   7  2  z   0  z  11 Xét P  3MA  5MB  7 MC  3  MI  IA   5  MI  IB   7  MI  IC  .    MI  3IA  5IB  7 IC  MI  MI . Pmin khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng    . 2.  23  20  2.  11  7 Khi đó: Pmin  d  I ,       27  m. 2   1  2 2 2 2 Tổng quát 1.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho k điểm phân biệt A1 , A2 ,..., Ak . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho T  m1 MA1  m2 MA2  ...  mk MAk (với m1  m2  ...  mk  0 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Phƣơng pháp giải. Gọi I là điểm thỏa mãn : m1 IA1  m2 IA2  ...  mk IAk  0 Biến đổi T  (m1  m2  ...  mk )MI  m1  m2  ...  mk MI Khi đó giá trị T nhỏ nhất khi độ dài đoạn MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng ( P ) Lƣu ý: Có thể thay giả thiết điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) bởi giả thiết điểm M thuộc đƣờng thẳng d. Tổng quát 2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho k điểm phân biệt A1 , A2 ,..., Ak . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( P) sao cho T  m1 MA1  m2 MA2  ...  mk MAk  n1 MA1  n2 MA2  ...  nk MAk (với m1  m2  ...  mk  n1  n2  ...  nk  r  0 ) đạt giá trị nhỏ nhất. Phƣơng pháp giải. Gọi I , J là điểm thỏa mãn : m1 IA1  m2 IA2  ...  mk IAk  0 , n1 JA1  n2 JA2  ...  nk JAk  0 Biến đổi T  (m1  m2  ...  mk )MI  (n1  n2  ...  nk )MJ  m1  m2  ...  mk (MI  MJ )  r (MI  MJ ) +) Nếu I , J nằm về hai phía đối với ( P ) Ta có, MI  MJ  IJ, MI+MJ=IJ  M nằm giữa I , J 12
Do đó, Tmin  r IJ  M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mp ( P ) . Nếu I , J nằm về hai phía đối với mp ( P ) Gọi J ' là điểm đối xứng với J qua mp ( P ) Ta có, MI  MJ  MI  MJ '  IJ', MI+MJ=IJ'  M nằm giữa I , J Do đó, Tmin  r IJ'  M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mp ( P ) Bài toán 2.Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng, (hoặc đƣờng thẳng) để biểu thức T  m.MA2  n.MB 2  k .MC 2 nhỏ nhất, lớn nhất. Cho mặt phẳng , đƣờng thẳng, các điểm A, B, C phân biệt và các số thực m, n, k thỏa m  n  k  0 . Để tìm tọa độ điểm M thỏa yêu cầu, ta lập luận nhƣ sau: Gọi I là điểm thỏa mãn: m.IA  n.IB  k.IC  0 m. A  n.B  k .C Có thể ghi nhớ nhanh: I  để xác định tọa độ điểm I . mnk Ta biến đổi: T  m.MA  n.MB  k.MC  m  MI  IA  n  MI  IB  k  MI  IC 2 2 2 2 2 2 T  (m  n  k ).MI 2  m.IA2  n.IB 2  k .IC 2 . Do m.IA2  n.IB 2  k .IC 2 cố định nên: + )Với m  n  k  0 thì T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất +)Với m  n  k  0 thì T lớn nhất khi MI nhỏ nhất Khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng, đƣờng thẳng. Ví dụ 3.Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;0), B(2;0; 1), C (3;1;1) và mặt phẳng ( P) : x  2 y  2 z  9  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( P ) sao cho biểu thức T  2MA2  3MB 2  4MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải. Gọi I là điểm thỏa mãn: 2.IA  3IB  4.IC  0  2 x A  3 xB  4 xC  xI  23 4  4  2 y  3 yB  4 yC Áp dụng:  yI  A  0  I (4;0; 7)  23 4  2 z A  3 z B  4 zC  zI  23 4  7  Ta có T  2.MA  3.MB  4.MC  2  MI  IA   3  MI  IB   4  MI  IC  2 2 2 2 2 2 T  MI 2  2IA2  3IB2  4IC 2  2MI (2.IA  3.IB  4.IC )  MI 2  2IA2  3IB 2  4IC 2 13
Do 2.IA2  3.IB 2  4 IC 2 không đổi nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất, khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mp ( P ) .  x  4  t Đƣờng thẳng d qua I và vuông góc với mp ( P ) có phƣơng trình:  y  2t   z  7  2t  Gọi M  d  ( P )  M (4  t; 2t; 7  2t )  d Mặt khác, M cũng thuộc mp ( P ) nên : 4  t  2(2t )  2(7  2t )  9  0  t  1 Do đó, M (3; 2; 5) Ví dụ 4.Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;3; 2), B(0; 4; 5), C (1; 2; 4) và x y 1 z  2 đƣờng thẳng  :   . Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng  sao 1 1 2 cho biểu thức T  MA2  MB 2  2MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải. Gọi I là điểm thỏa mãn: IA  IB  2IC  0 ta có :  x A  xB  2 xC 3  xI  1  1  2  4   y A  yB  2 yC 11 3 11 15  yI    I( ; ; )  4 4 4 4 4  z A  z B  2 zC 15  zI    4 4 T  MA2  MB 2  2MC 2  4MI 2  IA2  IB 2  2 IC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I trên  , M   nên M (t;1  t; 2  2t ) 3 7 7 IM  (t  ; t  ; 2t  ) , véc tơ chỉ phƣơng của  là u  (1;1; 2) 4 4 4 3 7 7 IM  u  IM .u  0  t   t   2(2t  )  0  6t  6  0  t  1  M (1; 2; 4) 4 4 4 Chú ý: Có thể dùng khảo sát hàm số theo t Do M   nên M (t;1  t; 2  2t ) ta có: T  MA2  MB 2  2MC 2 T   t  1   t  2    2t   t 2   t  3   3  2t   2  t  1   t  1   2  2t   2 2 2 2 2 2 2 2   T  24t 2  48t  35  24  t  1  11  11  Tmin  11  t  1  M (1; 2; 4) 2 Tổng quát 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho k điểm phân biệt A1 , A2 ,..., Ak . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( P) sao cho 14
T  m1MA12  m2 MA22  ...  mk MAk 2 (với m1  m2  ...  mk  0 ) đạt giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất). Phƣơng pháp giải. Gọi I là điểm thỏa mãn: m1 IA1  m2 IA2  ...  mk IAk  0 Biến đổi T  (m1  m2  ...  mk ).MI 2  m1 IA12  m2 IA22  ...  mk IAk 2 +) Nếu m1  m2  ...  mk  0 thì Tmin  MI min +) Nếu m1  m2  ...  mk  0 thì Tmax  MI min Khi đó, M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng ( P ) Lƣu ý: Có thể thay giả thiết điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) bởi giả thiết điểm M thuộc đƣờng thẳng d . 2.2.2. Phân tích các bài toán cực trị hình học sử dụng phương trình mặt phẳng kết hợp phương trình đường thẳng Bài toán 1: Cho điểm A cố định và điểm M di động trên mặt phẳng ( P ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) để độ dài đoạn AM nhỏ nhất. Hƣớng dẫn: Độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P) Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng ( P ) : x  y  z  1  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất. Lời giải. Độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( P ) . Mạt phẳng ( P ) có một vec tơ pháp tuyến là n  (1;1;1) AM  ( P ) nên đường thẳng AM nhận véc tơ n  (1;1;1) làm véc tơ chỉ phương và qua x  1 t  A(1; 4; 2) nên có phương trình  y  4  t z  2  t  M thuộc đường thẳng AM nên M (1  t ; 4  t ; 2  t ) , M  ( P ) nên 1  t  4  t  2  t 1  0  3t  6  0  t  2 Vậy M (1; 2;0) Bài toán 2.Cho mặt phẳng ( P ) và hai điểm A, B phân biệt. Tìm điểm M  ( P ) để MA  MB nhỏ nhất, MA  MB lớn nhất 1) Tìm điểm M  ( P ) để MA  MB nhỏ nhất 15
A A B M I M M0 M0 P P A' B + Nếu A, B nằm khác phía so với mặt phẳng ( P ) . Ta có đánh giá AM  BM  AB Đẳng thức xảy ra khi A, B, M thẳng hàng hay M là giao điểm của đƣờng thẳng AB với mp ( P ) . + Nếu A, B nằm cùng phía so với ( P ) , gọi A ' là điểm đói xứng với A qua ( P ) ta có đánh giá: AM  BM  A ' M  BM  A ' B . Đẳng thức xảy ra khi A ', M , B thẳng hàng hay M là giao điểm của đƣờng thẳng A ' B với mp ( P ) 2) Tìm điểm M  ( P ) để MA  MB lớn nhất B B A A' M M M0 I M0 P P A +Nếu A, B nằm về cùng phía so với mp ( P ) ta có đánh giá: MA  MB  AB Đẳng thức xảy ra khi A, M , B thẳng hàng hay M là giao điểm của đƣờng thẳng AB với mp ( P ) . +Nếu A, B nằm khác phía so với mp ( P ) , gọi A ' là điểm đối xứng với A qua ( P ) ta có đánh giá: MA  MB  MA ' MB  A ' B Đẳng thức xảy ra khi A ', M , B thẳng hàng hay M là giao điểm của đƣờng thẳng A ' B với mp ( P ) . Ví dụ 6.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x  y  2 z  1  0 và hai điểm A(4; 1; 2), B(2;11; 1) . Tìm tọa độ điểm M  ( P ) sao cho: MA  MB có giá trị nhỏ nhất Lời giải: Thay tọa độ hai điểm A, B vào phƣơng trình mặt phẳng ( P ) ta có: ( xA  y A  2 z A  1)( xB  yB  2 z B  1)  (4  1  4  1)(2  11  2  1)  8(16)  0 16