Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản” nhằm nêu ra kinh nghiệm của bản thân về việc giảng dạy cho học sinh học tập môn toán THPT, giúp học sinh được tiếp thu các kiến thức toán một cách chủ động, tích cực, tạo sự hứng thú trong học toán qua đó góp phần phát triển một số thành tố năng lực cho người học. Đề tài có thể áp dụng để giảng dạy tất cả các đối tượng học sinh THPT sau khi học xong kiến thức góc, khoảng cách, thể tích khối đa diện. Đề tài cũng giúp học sinh 12 ôn tập một số kiến thức quan trọng phục vụ cho kì thi THPTQG.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản

I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài. Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới nội dung, chương trình dạy học và đi kèm theo đó là đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Chương trình dạy học mới được xây dựng theo quan điểm tiếp cận năng lực người học, kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hoà đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh. Để giải được một bài toán thì điều quan trọng nhất là chúng ta phải lựa chọn được phương pháp phù hợp để giải bài toán đó. Các bài toán, đặc biệt là các bài toán về liên quan đến góc, khoảng cách…rất đa dạng và phong phú vì thế đòi hỏi người dạy cần luyện cho học sinh khả năng suy luận có lí, biết quy lạ về quen đển giải quyết các bài toán. Đối với học sinh THPT rất nhiều học sinh ngại khi gặp các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách. Đối với việc hướng dẫn giải một số bài toán liên quan đến góc, khoảng cách trong sách giáo khoa ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh, một mặt làm giảm đi việc "sợ" hình không gian ở nhiều học sinh, mặt khác không làm nhàm chán học sinh khá giỏi khi giải dạng toán này, người giáo viên nên hướng dẫn học sinh tìm ra các cách giải khác nhau, xây dựng thành các chuỗi bài tập có hệ thống. Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng đạo đức trong cuộc sống của học sinh. Đối với học sinh yếu kém cần tạo nên cho các em có hứng thứ học tập môn Toán, còn đối với các học sinh khá giỏi cần rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học toán. Chính vì vậy việc dạy học Toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều càng tốt, càng khó càng hay mà phải cần thiết rèn luyện khả năng tư duy, suy luận có lí để giải bài toán. Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề và yêu toán khác thường trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán. Nếu dạy toán chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh các kiến thức có sẵn ở sách giáo khoa thì chắc chắn môn toán sẽ là môn học nhàm chán, khó khơi dậy ở học sinh sự tìm tòi, tự học, tự sáng tạo. Xuất phát từ những lí do đó tôi chọn đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản” 2. Đối tượng nghiên cứu Trang 1
Các bài toán hình học không gian liên quan đến góc, khoảng cách, thể tích. Khó khăn thường gặp của học sinh trong quá trình học tập nói chung và học toán nói riêng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các nội dung trong sách giáo khoa, sách giáo viên toán THPT; các tài liệu liên quan đến việc dạy học theo chương trình mới 2018; các tài liệu tham khảo; các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi THPT Quốc gia; thực tiễn giảng dạy của giáo viên và học sinh; thực tiễn giảng dạy của bản thân để hệ thống hóa, phân dạng và đưa ra cách phân tích bài toán cùng với các kỹ thuật tương ứng để giải quyết tốt các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách. 4. Mục đích nghiên cứu Đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản” nhằm nêu ra kinh nghiệm của bản thân về việc giảng dạy cho học sinh học tập môn toán THPT, giúp học sinh được tiếp thu các kiến thức toán một cách chủ động, tích cực, tạo sự hứng thú trong học toán qua đó góp phần phát triển một số thành tố năng lực cho người học. Đề tài có thể áp dụng để giảng dạy tất cả các đối tượng học sinh THPT sau khi học xong kiến thức góc, khoảng cách, thể tích khối đa diện. Đề tài cũng giúp học sinh 12 ôn tập một số kiến thức quan trọng phục vụ cho kì thi THPTQG. 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Phương pháp chính Phương pháp nghiên cứu lí luận: tham khảo tài liệu, sách giáo khoa. Phương pháp điều tra thực tiễn: quan sát, khảo sát để tìm hiểu sự hứng thú trong học toán của học sinh cũng như trong việc giải các bài toán hình học không gian. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực hành thông qua quá trình giảng dạy. 5.2. Phương pháp bổ trợ Phương pháp thống kê: Kiểm tra kết quả học tập của học sinh, điểm số của học sinh qua các kì kiểm tra thực nghiệm, kì thi THPT quốc gia, từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt được của việc áp dụng đề tài. *** Trang 2
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Khái niệm năng lực Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều cách khác nhau, theo (W.Westera, 2001), năng lực thường được liên tưởng với tay nghề cao và có mối liên hệ trực tiếp trong lĩnh vực giáo dục giữa năng lực nghề nghiệp của giáo viên và thực hiện của học sinh. Có hai nghĩa khác biệt của từ “năng lực” trong giáo dục. Theo quan điểm lí thuyết, năng lực được hiểu là một cấu trúc nhận thức mà làm cho dễ dàng các hành vi được định rõ. Theo quan điểm hoạt động, năng lực dường như bao hàm một hàm vi rộng lớn các kĩ năng và hành vi bậc cao mà chúng tiêu biểu cho khả năng giải quyết các tình huống phức tạp, không thể đoán trước. Định nghĩa về mặt thực hành này bao gồm kiến thức, kĩ năng, thái độ, siêu nhận thức và tư duy chiến lược, và phỏng đoán việc ra quyết định một cách có ý thức và chủ tâm. Hiện nay, quan điểm thứ hai về năng lực ở trên được dùng phổ biến trong giáo dục. Trong bài viết này tôi quan tâm sử dụng nội hàm này dưới góc độ: Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng và mong muốn. Giáo dục định hướng phát triển năng lực (NL) nhằm mục tiêu phát triển NL người học, đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng NL vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Như vậy, ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thông, HS cần được hình thành và phát triển năng lực vận dụng kiến thức. Như vậy, có thể nhìn nhận một cách tổng quát, NL luôn gắn với khả năng thực hiện, nghĩa là phải biết làm chứ không dừng lại ở hiểu. Hành động “làm” ở đây lại gắn với những yêu cầu cụ thể về kiến thức, kĩ năng, thái độ để đạt được kết quả. 1.1 Các loại năng lực Hiện nay, người ta thường chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên biệt, trong đó năng lực chung, cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển năng lực chuyên biệt. 1.1.1 Năng lực chung Năng lực chung NL chung là những NL cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp như: NL trí tuệ, NL về ngôn ngữ và tính toán, NL giao tiếp, NL Trang 3
vận động. Các NL này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau. Tùy thuộc vào phương pháp thiết kế chương trình, các nhà nghiên cứu có 2 cách tiếp cận phát triển chương trình giáo dục phổ thông, đó là: Tiếp cận dựa vào nội dung nghĩa là tập trung chủ yếu vào các chi tiết của môn học, có tính chỉ đạo cao, cố định cả về cấu trúc và phân bổ thời gian. Việc học tập của HS nhấn mạnh vào ghi nhớ và tái tạo kiến thức đã có. Tiếp cận dựa vào kết quả đầu ra nghĩa là xác định học sinh cần đạt đƣợc hệ thống những nhóm NL chung ở từng môn học vào cuối giai đoạn cụ thể. Chương trình tiếp cận NL thực chất vẫn là cách tiếp cận kết quả đầu ra. Tuy nhiên đầu ra ở đây tập trung vào hệ thống NL của ngƣời học, chú ý đầu ra cần đạt, các NL cần cho cuộc sống, học tập và tham gia có hiệu quả trong xã hội. Cụ thể là những nhóm NL sau: + Nhóm NL làm chủ và phát triển bản thân: NL tự học, NL giải quyết vấn đề, NL tư duy, NL quản lí. + Nhóm NL về quan hệ xã hội: NL giao tiếp, NL hợp tác. + Nhóm NL công cụ: NL sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông (ICT), NL sử dụng ngôn ngữ, NL tính toán. Cách tiếp cận đầu ra trả lời cho câu hỏi: chúng ta muốn học sinh biết những gì và có thể làm được những gì 1.1.2 Năng lực chuyên biệt Năng lực chuyên biệt là những NL được hình thành và phát triển trên cơ sở các NL chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trƣờng đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hẹp hơn của một hoạt động như toán học, âm nhạc, mĩ thuật, thể thao… Như vậy, NL chuyên biệt là sản phẩm của một môn học cụ thể, được hình thành và phát triển do một lĩnh vực hoặc một môn học nào đó. Trong (Trần Kiều, 2015) cho rằng: một số năng lực chủ yếu cần được hình thành và phát triển cho học sinh phổ thông nước ta khi học toán trong mối quan hệ chặt chẽ với những năng lực chung và phản ánh đặc thù của môn Toán, những năng lực đó là: Năng lực tư duy với các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa…; đặc biệt lưu ý đến năng lực tư duy logic trong suy diễn, lập luận đồng thời coi trọng tư duy phê phán, sáng tạo, cũng như các yếu tố dự đoán, tìm tòi, trực giác toán học, tưởng tượng không gian. Trang 4
Năng lực giải quyết vấn đề đây là mọt trong những năng lực mà môn Toán có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, chứng minh các mệnh đề toán học và đặc biệt là qua giải toán. Năng lực mô hình hóa toán học từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc tình huống thực trong cuộc sống. Đây là năng lực cần phải được quan tâmnhiều hơn nữa trong các trường phổ thông ở nước ta. Năng lực giao tiếp (qua nói và viết) liên quan tới việc sử dụng có hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,..) kết hợp với ngôn ngữ thông thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi chứng minh sự đúng đắn của các mệnh đề, khi giải toán. Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán: bao gồm các phương tiện thông thường, đặc biệt là phương tiện gắn chặt với việc sử dụng công nghệ thông tin. Năng lực tự học toán: với phương pháp phù hợp, đồng thời hợp tác được với người khác một cách hiệu quả trong quá trình học tập toán. 2. Đổi mới phương pháp dạy học với việc phát năng lực của học sinh Tổng quát về đổi mới phương pháp dạy học các môn học thuộc chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực là: Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học , hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giao viên”. ́ Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy học. Tuy theo m ̀ ục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài lớp. Sử dụng các phương pháp dạy học tích cực, chú ý cho học sinh thực hành, vận dụng kiến thức vào tình huống có tính phức hợp, tìm tòi, khám phá, nghiên cứu, thực hiện các dự án học tập, thảo luận, thuyết minh, nâng cao hứng thú cho người học. 3. Một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong đề tài. 3.1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Định nghĩa 1 Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với và . Trang 5
Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng và luôn không tù nên 3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa 2 Cho đường thẳng và mặt phẳng . Trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Trường hợp đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Nhận xét: 3.3. Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa 3 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 3.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm và đường thẳng . Trong mặt phẳng gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và được kí hiệu là . 3.5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và được kí hiệu . 4. Một số tính chất bổ trợ được sử để giải quyết các bài toán trong đề tài Trang 6
4.1. Tính chất 1: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vuông tại . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Ta có các kết quả sau i. . ii. . iii. . Chứng minh i. Từ giả thiết ta có . ii. Từ kết chứng minh trên ta có mà , kết hợp với giả thiết ta suy ra . iii. Do , kết hợp giả thiết suy ra . 4.2. Tính chất 2: Thể tích tứ diện được tính theo công thức Chứng minh: Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng , ta có . Đây là kết quả cần chứng minh. 5. Một số kí hiệu được sử dụng trong đề tài TT KÍ HIỆU NỘI DUNG KÍ HIỆU 1 Góc giữa hai đường thẳng và 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 3 Góc giữa hai mặt phẳng và 4 Diện tích tam giác 5 Thể tích khối chóp Trang 7
Chương II: THỰC TRẠNG TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA ĐỀ TÀI 1. Về cấu trúc SGK và cấu trúc đề thi THPTQG. 1.1 Về chương trình và sách giáo khoa Các kiến thức hình học không gian liên quan đến thể tích, góc, khoảng cách ở sách giáo khoa được trình bày ở chương cuối sách Hình học 11 và Chương đầu sách Hình học 12.. Các hệ thống các bài tập được đưa ra ở sách giáo khoa nhiều nhưng chưa đủ đáp ứng cho học sinh luyện tập thi THPTQG 1.2. Về đề thi THPTQG trong những năm qua. Đề thi THPT quốc gia trong mấy năm qua bài toán hình học liên quan đến thể tích, góc, khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPTQG ở đầy đủ các mức độ NB, TH, VD, VDC. 2. Thực trạng của học sinh. Đa số học sinh chưa có thói quen tư duy khi gặp các bài toán hình học mà thường chỉ biết lặp lại những kiến thức của giáo viên truyền thụ nên không giải được. Trong thực tế, nhiều học sinh chưa hứng thú với môn hình học không gian, học sinh thường ngại khi gặp các bài toán liên quan đến góc, khoảng cách bởi các lí do: Học sinh không nắm vững lí thuyết cơ bản, chưa chịu khó khai thác sâu hơn các bài toán cơ bản để thấy được mối liên hệ lôgic giữa các bài toán, xâu chuỗi các kiến thức với nhau. Trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự đầu tư để luyện tập cho học sinh biết suy luận có lí. * Bảng số liệu khảo sát 3 lớp học sinh khối 12 năm học 2020 2021 của trường tôi với câu hỏi: Em có hứng thú khi gặp các bài toán hình học không gian không? Tổng số HS Số HS Số HS Số HS Số HS khảo sát hứng thú ít hứng thú không hứng thú không có ý kiến 115 8 37 68 2 Bảng khảo sát cho thấy thực trạng các em không hứng thú khi gặp các bài hình học không gian cho thấy việc dạy học và luyện giải các bài toán hình học không gian chưa thực sự được chú trọng hoặc chưa tìm ra cách dạy học phù hợp. 3. Thực trạng của giáo viên Trang 8
Lâu nay, nhiều giáo viên dạy học làm các bài toán thuần túy mà chưa chú trọng hướng dẫn học sinh cách suy luận có lí. Việc giảng dạy chỉ thuần túy truyền thụ kiến thức một chiều mà chưa cho học sinh tìm tòi, mở rộng, phát triển bài toán. Mặt khác, do áp lực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là không nhiều. Chưa chú trọng việc dạy cho học sinh cách tư duy mà mới chỉ dạy học truyền thụ một chiều. Một số giáo viên chưa chịu khó đầu tư về chuyên môn, mới chỉ dừng lại ở việc góp nhặt các bài toán để ra cho học sinh giải chứ chưa có định hướng để giúp học sinh tìm tòi, mở rộng 4. Tổng quan về đề tài và một số kết quả đạt được. Hiện nay theo cá nhân tôi được biết có rất nhiều đề tài SKKN đề cập đến chủ đề góc, khoảng cách. Các đề tài mà tôi được tìm hiểu chưa đề cập đến quá trình thiết kế các hoạt động dạy học xây dựng cho học sinh tìm tòi, mở rộng các bài toán một cách hoàn toàn tự nhiên để tạo sự hứng thú, gây kích thích tìm tòi học tập cho học sinh; Trong đề tài này tôi xin được đề cập đến những vấn đề sau: + Đề tài đã xây dựng mới được hệ thống các bài tập xuất phát từ những bài tập cơ bản. + Đề tài đã định hướng cho học sinh khai thác hiệu quả một số các tính chất được xây dựng sau khi giải các bài toán cơ bản và vận dụng các tính chất đó giải các bài toán khó + Đề tài đã xây dựng được một số kỹ thuật giải các bài toán liên quan đến thể tích, góc, khoảng cách. + Đề tài cũng đưa ra một số hướng dẫn giúp giáo viên định hướng quá trình tìm tòi sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng các bài toán mới từ những bài toán cơ bản. *** Trang 9
Chương III. KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN NHẰM PHÁT TRIỂN CHO NGƯỜI HỌC KHẢ NĂNG SUY LUẬN CÓ LÍ. 1. Khai thác bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp sử dụng định nghĩa. Xuất phát từ bài toán sau Bài toán 1. Cho hình chóp có , . Đáy là tam giác vuông cân tại , . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và . Giải. Dễ chứng minh được suy ra do đó Theo giả thiết nên (1) Lại có nên kết hợp với (1) ta suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và . Từ giả thiết ta có nên tam giác vuông cân, suy ra Vậy góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Nhận xét: Đây là bài toán không quá khó, nhưng với rất nhiều học sinh sẽ gặp khó khăn do lựa chọn phương pháp giải không phù hợp. Ở bài toán trên ta đã sử dụng định nghĩa để tìm góc giữa hai mặt phẳng. Từ cách giải quyết bài toán trên ta có kết quả sau: Tính chất 3: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vuông tại . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Lúc đó Trang 10
Kết quả của bài toán trên tạo ý tưởng cho ta xây dựng một số bài toán hay như sau Bài toán 2: Cho hình chóp có , đáy là tam giác vuông cân tại , . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Tính thể tích khối chóp biết góc giữa hai mặt phẳng và là . Giải: Từ giả thiết suy ra . Sử dụng kết quả trên ta có suy ra Diện tích tam giác là Vậy thể tích khối chóp là Bài toán 3: Cho hình chóp có , đáy là hình thang cân, . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Tính thể tích khối chóp biết góc giữa hai mặt phẳng và là . Phân tích bài toán: Ở bài toán này giáo viên cần định hướng (thông qua phân tích yếu tố ở đáy hình chóp) để học sinh nhận thấy các hình chóp có các đặc điểm giống với hình Trang 11
chóp ở Bài toán 1, từ đó giúp học sinh thấy được góc giữa hai mặt phẳng và là góc . Giải: Gọi là trung điểm cạnh , dễ thấy suy ra tứ giác là một nửa hình lục giác đều nội tiếp đường trong đường kính , suy ra . Áp dụng kết quả ở tính chất 3 ta suy ra Do đó . Diện tích đáy là Thể tích khối chóp là . Nhận xét: Ở bài toán trên nếu trong quá trình dạy học giáo viên không có các hoạt động giúp học sinh nắm được Tính chất 1, không khai thác các yếu tố ở Bài toán 1 thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc khai thác giả thiết góc giữa hai mặt phẳng và dẫn đến khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài toán. Việc tìm ra góc giữa hai mặt phẳng và ở bài toán trên tuy có tạo khó cho học sinh nhưng vẫn chưa thực sự “kín”. Nếu ta thay giả thiết lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh bởi giả thiết lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh thì bài toán sẽ trở nên “hấp dẫn” hơn. Ta có bài toán sau Bài toán 4. Cho hình chóp có , , đáy là hình thang cân, . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và . Phân tích bài toán: Ở bài này ta thấy hình chóp chưa có tính chất như hình chóp ở Bài toán 1, do đó ta chưa xác định được ngay góc giữa hai mặt phẳng và . Ta tìm mối liên hệ giữa Bài toán 4 và Bài toán 3 bằng cách xác định điểm là hình chiếu vuông góc của điêm lên cạnh . Dự đoán sẽ nằm trong mặt phẳng . Giải Trang 12
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên cạnh , từ kết quả Bài toán 3 và các kết quả ở Tính chất 1 ta suy ra nên và do đó . Trong tam giác vuông có Vậy Nhận xét: Từ các kết quả trên ta thấy mấu chốt của vấn đề là ta cần tạo ra mô hình tứ diện ở Bài toán 1, bản chất là tạo ra tứ diện có một cạnh đáy là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Từ đó ta tạo ra bài toán sau đây. Bài toán 5: Cho hình chóp có , đáy là tam giác đều cạnh . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Tính thể tích khối chóp biết góc giữa hai mặt phẳng và là . Giải Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , là điểm đối xứng với qua . (Lúc này dễ thấy ) Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng , theo các kết quả của Tính chất 1 ta có do đó theo Tính chất 3 ta có. Trong tam giác vuông ta có và do đó . Nhận xét: Ở bài toán trên, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng và có chút khó khăn do học sinh chưa tìm được ngay đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng . Nhưng nếu trong quá trình dạy học giáo viên biết tổ chức cho học sinh nghiên cứu, khai thác sâu bản chất bài toán 1 và kỹ thuật giải của bài toán đó thì ở Bài toán 5 học sinh sẽ biết cách dựng thêm điểm để quy về bài toán quen thuộc. Bài toán 5 cho đáy là tam giác đặc biệt nên việc tìm ra các kết quả tính Trang 13
toán là không khó. Tiếp theo ta thay giả thiết đáy là tam giác thường thì sẽ có bài toán sau. Bài toán 6: Cho hình chóp có , , . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và . Nhận xét: Ở bài toán này ta cũng sẽ “học tập” cách giải ở Bài toán 5 là tạo ra điểm để xác định được góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng , tuy nhiên trong trường hợp này học sinh sẽ gặp đôi chút khó khăn khi tìm độ dài . Để tìm học sinh cần vận dụng kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác Giải: Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , là điểm đối xứng với qua . (Lúc này dễ thấy ) Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng , theo các kết quả của Tính chất 1 ta có do đó theo Tính chất 3 ta có. Trong tam giác vuông ta có (1) . Ta cần tính Do là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác nên áp dụng định lí sin cho tam giác ta có Suy ra . Thay vào (1) ta được Vậy Nhận xét: Trang 14
Qua các bài toán trên ta thấy việc khai thác các tính chất của 1 dạng tứ diện đặc biệt (đã nêu ở Tính chất 1) giúp học sinh nắm vững hơn phương pháp dùng định nghĩa để giải quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng qua đó sẽ có cách nhìn sâu sắc hơn đối với các bài toán hình học không gian. Từ ý tưởng trên ta có thể tiếp tục tạo ra nhiều bài toán hay nữa bằng cách “lồng ghép” các yếu tố trên vào khối lăng trụ. Bài toán sau đây là một ví dụ. Bài toán 7. Cho hình lập phương cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng . Tính góc giữa hai mặt phẳng và . Giải: Ta có . Từ kết quả của các bài toán trên ta suy ra ngay Nhận xét: Đây là bài toán không khó (học sinh có thể giải theo nhiều cách khác nhau nhưng cách nhìn nhận ở trên là đơn giản hơn), tuy nhiên nếu không có quá trình phân tích, định hướng một cách hợp lí thì học sinh sẽ khó nhìn nhận ra vấn đề hoặc giải được nhưng mất nhiều thời gian. Việc định hướng khai thác các bài toán cơ bản để xây dựng các bài toán mới sẽ giúp học sinh nắm bản chất và sâu sắc hơn các tính chất hình học, qua đó giúp học sinh giải quyết nhanh hơn các bài toán khó. (đặc biệt trong kỳ thi THPT QG như hiện nay đòi hỏi học sinh cần giải nhanh các bài toán để đảm bảo yêu cầu về mặt thời gian) Bài toán trên không quá khó do tính chất đặc biệt của hình lập phương, giáo viên tiếp tục thay đổi giả thiết để tạo ra bài toán sau đây. Bài toán 8. Cho hình hộp có hình chiếu đỉnh lên đáy là trọng tâm của tam giác , đáy là hình thoi có . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh . Tính thể tích của hình hộp biết góc giữa hai mặt phẳng và là . Giải. Gọi ta có , mà suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Trang 15
Gọi là điểm đối xứng với qua điểm ta có nên theo kết quả các bài toán trên suy ra do đó Diện tích đáy là suy ra thể tích khối hộp là . Đáp số: Nhận xét. Rõ ràng bài toán trên có mức độ khó hơn bởi các yếu tố quen thuộc được dấu kín hơn, thực tế tôi đã kiểm chứng khi cho học sinh trực tiếp giải bài toán trên khi chưa có các định hướng thông qua hệ thống bài tập trên thì đa số học sinh gặp khó khăn và không tìm ra kết quả, nhưng sau khi có các hoạt động thông qua phân tích và luyện tập các bài toán đã nêu ở phần trước thì các học sinh đã tìm ra hướng giải quyết Bài toán 8 một cách nhanh chóng. Ở Bài toán 8 có cảm giác “may mắn” khi tìm ra tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm hai đường chéo, tuy nhiên giáo viên có thể thay đổi giả thiết của các yếu tố đáy để mục đích tìm ra được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tiếp tục ý tưởng trên ta còn có thể tạo ra nhiều bài toán hay khác nữa nhưng trong khuôn khổ đề tài tôi xin trình bày sang ý tưởng khai thác bài toán cơ bản khác, 2. Khai thác bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp sử dụng Tính chất 2. Bài toán 1: Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và . * Bài toán này học sinh có thể giải theo một số cách giải khác nhau như sau: Cách 1: Trang 16
Gọi là trung điểm cạnh suy ra do đó góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và . Xét tam giác có , nên . Vậy . Cách 2: Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh ; Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các cạnh (với là tâm đáy ). Dễ thấy suy ra góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và . Cách 3: Phương pháp vectơ hoặc gắn hệ trục tọa độ và dùng phương pháp tọa độ để giải. Cách 4: Sử dụng Tính chất 2 đã nêu ở phần đầu đề tài. Trang 17
Dễ tìm được thể tích tứ diện là Mặt khác, theo Tính chất 2: . Vậy . Nhận xét: Đây là hình chóp đặc biệt nên ta có thể sử dụng được các cách 1, 2, 3. Nếu thay đổi giả thiết để hình chóp trên không đặc biệt nữa thì các cách giải đó sẽ khó áp dụng được. Nếu người dạy chỉ dừng lại ở đây thì học sinh sẽ không có cái nhìn sâu sắc hơn về dạng toán này. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy khai thác tính chất 2 để áp dụng cho các bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng (ở dạng không cơ bản) nhiều khi rất hiệu quả, học sinh nắm được sâu sắc kiến thức và vận dụng linh hoạt để giải toán. Giáo viên cần chú ý cho học sinh dấu hiệu để có thể sử dụng Tính chất 2 là trong bài toán có 4 điểm tào thành một tứ diện dễ tìm được thể tích, 2 mặt của tứ diện đó có thể tính được diện tích đồng thời cạnh chung của hai mặt đó tính được độ dài thì ta sẽ tìm được góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt tứ diện đó. Ngược lại nếu cho góc giữa hai mặt phẳng chứa 2 mặt bên của tứ diện, tìm được độ dài cạnh chung của hai mặt và diện tích hai mặt đó thì ta tính được thể tích tứ diện đó. Trang 18
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã tạo ra một số bài toán để giúp học sinh nắm vững tính chất, sau đó lấy một số ví dụ trong các đề thi thử của một số trường trên cả nước để giúp học sinh thấy được hiệu quả của phương pháp. Sau đây tôi xin trình bày một số bài toán mà tôi tạo ra trong quá trình dạy học cũng như một số ví dụ ở các đề thi nhằm minh họa tính hiệu quả của phương pháp một cách khách quan. Tính chất 2 không chỉ cung cấp cho ta công cụ tính góc giữa hai mặt phẳng mà còn được áp dụng để tính thể tích các khối đa diện trong một số bài toán “dấu đường cao” sẽ được trình bày trong sau Từ Bài toán 1, tôi thay đổi một số giả thiết để có bài toán sau Bài toán 2. Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại , . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và biết . Phân tích: Bài toán này ta không nên sử dụng Cách 1 ở Bài toán 1 do hai tam giác và không bằng nhau Trang 19
Ta hoàn toàn có thể sử dụng phương phương pháp dùng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng để giải bài toán này nhưng sẽ mất nhiều thời gian cho tính toán Ở bài này, diện tích các tam giác và dễ dàng tìm được do biết được độ dài các cạnh nên áp dụng Tính chất 2 để giải sẽ là hợp lí. Giải: Thể tích khối chóp là . Từ giả thiết ta có do đó , Theo Tính chất 2 ta có: Suy ra Vậy . * Tiếp tục ý tưởng đó ta tạo ra bài toán sau. Bài toán 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh . Các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng tạo với nhau góc . Tính thể tích khối chóp . Nhận xét. Đây là bài toán chưa xác định được đường cao của chóp nên sẽ gây khó khăn cho học sinh trong quá trình giải. Do tứ diện có hai mặt tìm được diện tích, số đo góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt đó và độ dài cạnh chung đã biết nên học sinh nắm vững Tính chất 2 thì sẽ nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết. Giải: Áp dụng công thức ở Tính chất 2 ta có: Thể tích tứ diện là suy ra Vậy thể tích khối chóp cần tìm là . * Từ ý tưởng của Tính chất 2, giáo viên có thể lồng yếu tố tứ diện vào các hình chóp, hình lăng trụ…ta sẽ có các bài toán hay khác, sau đây là một ví dụ tôi đã lồng yếu tố tứ diện vào hình hộp. Trang 20