Học vê Xác suất

Chia sẻ: Mai Trần Thúy Hạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

153
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu về xác suất

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Học vê Xác suất

M CL C M Đ U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Chương 1. Ki n th c chu n b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Tính đ c l p, đ c l p đôi m t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Tính m-ph thu c, m-ph thu c đôi m t, m-ph thu c đôi m t theo kh i và m-ph thu c theo kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Khái ni m b ch n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. M t s khái ni m h i t c a các bi n ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5. M t s khái ni m v lu t s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. M t s b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Lu t m nh s l n Brunk-Chung cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c đôi m t theo kh i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 K T LU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 TÀI LI U THAM KH O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1
M ĐU Lu t s l n đóng m t vai trò r t quan tr ng trong Lý thuy t Xác su t. Lu t s l n đ u tiên c a J.Bernoulli đư c công b năm 1713. V sau k t qu này đư c Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov,... m r ng. Tuy nhiên, ph i đ n năm 1909 lu t m nh s l n m i đư c E.Borel phát hi n. K t qu này đư c Kolmogorov hoàn thi n năm 1926. Năm 1987, Moricz đã đưa ra khái ni m m-ph thu c c a dãy các bi n ng u nhiên. Trong th i gian g n đây, có nhi u bài báo nghiên c u v Lu t m nh s l n đ i v i dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c. Trên cơ s đ c và tìm hi u các tài li u tham kh o, chúng tôi nghiên c u đ tài "Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c". M c đích chính c a đ tài là thi t l p lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c đôi m t theo kh i b ng cách s d ng phương pháp tương t như trong m t s tài li u tham kh o [4], [5], [6]. Khóa lu n g m 2 chương. Chương 1. Ki n th c chu n b . Trong chương này, chúng tôi đưa ra các khái ni m v tính đ c l p, đ c l p đôi m t, khái ni m v m-ph thu c, m-ph thu c đôi m t, m-ph thu c đôi m t theo kh i và m-ph thu c theo kh i, khái ni m v b ch n ng u nhiên, m t s khái ni m h i t c a các bi n ng u nhiên, khái ni m v Lu t s l n. Đ ng th i chúng tôi đưa ra m t s b t đ ng th c và b đ thư ng s d ng đ ch ng minh Lu t m nh s l n. Chương 2. Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c. Đây là n i dung chính c a khóa lu n, bao g m hai ti t. Ti t 2.1 chúng tôi trình bày chi ti t l i Lu t m nh s l n Brunk-Chung cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i trong [5]. Ti t 2.2 chúng tôi thi t l p Lu t m nh s l n cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c đôi m t theo kh i. K t qu trong ti t này t ng quát Đ nh lý 1 trong [6]. 2
Khóa lu n đư c th c hi n t i Trư ng Đ i h c Vinh dư i s hư ng d n t n tình c a Th c sĩ Lê Văn Thành. Nhân d p này cho phép tác gi bày t l i c m ơn sâu s c nh t t i ThS. Lê Văn Thành, ngư i th y đã t n tình hư ng d n tác gi trong su t quá trình h c t p và hoàn thành khóa lu n. Tác gi xin g i l i c m ơn t i th y giáo PGS.TS. Nguy n Văn Qu ng, th y giáo PGS.TS. Tr n Xuân Sinh. Đ ng th i tác gi xin chân thành c m ơn Ban ch nhi m khoa Toán, các th y cô giáo trong Khoa Toán đã nhi t tình gi ng d y, cu i cùng tác gi c m ơn t t c các b n bè, đ c bi t là các b n trong l p 45B Toán đã đ ng viên giúp đ và t o đi u ki n thu n l i cho tác gi trong su t quá trình h c t p và hoàn thành khóa lu n. M c dù đã có nhi u c g ng nhưng vì năng l c còn h n ch nên khóa lu n không th tránh kh i nh ng thi u sót v c n i dung l n hình th c. Vì v y, tác gi r t mong nh n đư c nh ng l i ch b o quý báu c a các th y cô giáo và nh ng góp ý c a b n đ c. Vinh, tháng 05 năm 2008 Tác gi 3
CHƯƠNG 1 KI N TH C CHU N B Trong toàn b khóa lu n ta luôn gi s (Ω, F , P ) là không gian xác su t c đ nh. 1.1. Tính đ c l p, đ c l p đôi m t 1.1.1. Đ nh nghĩa. Gi s X là bi n ng u nhiên, khi đó F (X ) = {X −1 (B ) : B ∈ B (R)} đư c g i là σ -đ i s sinh b i X . H h u h n {Fi , 1 ≤ i ≤ n} các σ -đ i s con c a F đư c g i là đ c l p n u n n P Ai = P (Ai ), i=1 i=1 đ i v i m i Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) b t kỳ. H vô h n {Fi , i ∈ I } các σ -đ i s con c a F đư c g i là đ c l p n u m i h con h u h n c a nó đ c l p. H các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ I } đư c g i là đ c l p n u h các σ -đ i s sinh b i chúng {F (Xi ), i ∈ I } đ c l p. H các bi n c {Ai , i ∈ I } đư c g i là đ c l p n u h các bi n ng u nhiên {IAi , i ∈ I } đ c l p. 1.1.2. Đ nh nghĩa. T p các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ I } đư c g i là đ c i, j ∈ I . l p đôi m t n u Xi và Xj đ c l p, v i m i i = j, 1.2. Tính m-ph thu c, m-ph thu c đôi m t, m-ph thu c đôi m t theo kh i và m-ph thu c theo kh i Gi s m là s nguyên không âm. 4
1.2.1. Đ nh nghĩa. M t h các bi n ng u nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} đư c g i là m-ph thu c n u n ≤ m + 1, ho c n > m + 1 và h {Xi , 1 ≤ i ≤ k } đ c l p v i h {Xi , l ≤ i ≤ n} khi l − k > m. M t dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c n u h {Xi , 1 ≤ i ≤ k } đ c l p v i h {Xn , n ≥ l} khi l − k > m. 1.2.2. Đ nh nghĩa. M t h các bi n ng u nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} đư c g i là m-ph thu c đôi m t n u n ≤ m + 1, ho c n > m + 1 và hai bi n ng u nhiên Xi và Xj đ c l p v i nhau khi j − i > m. M t dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c đôi m t n u Xi và Xj đ c l p v i nhau khi j − i > m. 1.2.3. Đ nh nghĩa. M t dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c đôi m t theo kh i n u v i m i s nguyên dương p h {Xi , 2p−1 < i ≤ 2p } là m-ph thu c đôi m t. 1.2.4. Đ nh nghĩa. Gi s {βk , k ≥ 1} là dãy s nguyên dương tăng ng t v i β1 = 1, và đ t Bk = [βk , βk+1 ). Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c theo kh i đ i v i các kh i {Bk , k ≥ 1} n u v i m i k ≥ 1, h các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ Bk } là m-ph thu c. Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là m-ph thu c đôi m t theo kh i đ i v i các kh i {Bk , k ≥ 1} n u v i m i k ≥ 1, h các bi n ng u nhiên {Xi , i ∈ Bk } là m-ph thu c đôi m t. Đ i v i {βk , k ≥ 1} và {Bk , k ≥ 1} như đã nói trên chúng ta đưa vào các ký hi u sau đây: B (l) = {k ∈ N : 2l ≤ k < 2l+1 }, l ≥ 0, (l) Bk = Bk ∩ B (l) , k ≥ 1, l ≥ 0, (l) Il = {k ≥ 1 : Bk = ∅}, l ≥ 0, (l) (l) rk = min{r : r ∈ Bk }, k ∈ Il , l ≥ 0, 5
cl = cardIl , l ≥ 0, (l) dl = max(cardBk ), l ≥ 0, k ∈Il ∞ cl IB (l) (n), n ≥ 1, ϕ(n) = l=0 ∞ dl IB (l) (n), n ≥ 1, φ(n) = l=0 ψ (n) = max ϕ(k ), n ≥ 1, k ≤n p B (l) , l ≥ 0. v i IB (l) là hàm đ c trưng c a t V i các ký hi u trên ta đưa ra nh n xét dư i đây. 1.2.5. Nh n xét (l) Bk = B (l) , l ≥ 0. i) k ∈Il (l) ii) T n t i k ∈ Il đ rk = 2l , l ≥ 0. iii) {ψ (n), n ≥ 1} là dãy s nguyên dương, không gi m. M (l) Bk = {k ∈ N : 1 ≤ k < 2M +1 }. iv) l=0 k ∈Il (l) v) 1 ≤ cardBk ≤ cardB (l) = 2l , k ∈ Il , l ≥ 0. 1.2.6. Nh n xét i) N u βk = 2k−1 , k ≥ 1 thì ψ (n) = 1. ii) N u βk = [q k−1 ] v i k đ l n và q > 1 thì ψ (n) = O(1). 1.3. Khái ni m b ch n ng u nhiên 1.3.1. Đ nh nghĩa. Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là b ch n ng u nhiên b i bi n ng u nhiên X n u t n t i h ng s D < ∞ sao cho P (|Xn | > t) ≤ DP (|DX | > t), t ≥ 0, n ≥ 1. 1.3.2. Nh n xét. N u dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} cùng phân ph i thì nó b ch n ng u nhiên b i bi n ng u nhiên X1 . 6
1.4. M t s khái ni m h i t c a các bi n ng u nhiên Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên cùng xác đ nh trên không gian xác su t (Ω, F , P ). 1.4.1. S h it theo xác su t Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là h i t theo xác su t đ n bi n ng u nhiên X (khi n → ∞) n u v i m i ε > 0 ta đ u có lim P (|Xn − X | > ε) = 0. n→∞ P Ký hi u Xn −→ X. 1.4.2. S h it h u ch c ch n Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là h i t h u ch c ch n đ n bi n ng u nhiên X (khi n → ∞) n u P ω : lim Xn (ω ) = X (ω ) = 1. n→∞ h.c.c Ký hi u Xn −→ X, ho c lim Xn = X h.c.c. n→∞ 1.4.3. Đ nh lý. Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} h i t h u ch c ch n đ n bi n ng u nhiên X khi và ch khi v i ε > 0 b t kỳ, sup |Xk − X | > ε lim P = 0. n→∞ k ≥n h.c.c h.c.c 1.4.4. Đ nh lý. Cho Xn −→ X, Yn −→ Y . Khi đó h.c.c Xn + Yn −→ X + Y. Ch ng minh. Đ t A1 = ω : lim Xn (ω ) = X (ω ) , n→∞ A2 = ω : lim Yn (ω ) = Y (ω ) . n→∞ 7
Khi đó ta có P (A1 ) = P (A2 ) = 1, Ta suy ra P (A1 ∩ A2 ) = 1. N u ω ∈ A1 ∩ A2 thì lim Xn (ω ) = X (ω ) n→∞ lim Yn (ω ) = Y (ω ) n→∞ Do đó lim (Xn (ω ) + Yn (ω )) = X (ω ) + Y (ω ). n→∞ Ch ng t ta có ω ∈ ω : lim (Xn + Yn )(ω ) = (X + Y )(ω ) , n→∞ Nên ta có A1 ∩ A2 ⊂ ω : lim (Xn + Yn )(ω ) = (X + Y )(ω ) . n→∞ Suy ra P ω : lim (Xn + Yn )(ω ) = (X + Y )(ω ) = 1. n→∞ V y ta có h.c.c Xn + Yn −→ X + Y. 1.5. M t s khái ni m v lu t s l n Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên cùng xác đ nh trên không gian xác su t (Ω, F , P ). Đ t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . 8
1.5.1. Lu t y u s l n Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t y u s l n nu Sn − ESn P −→ 0. n 1.5.2. Lu t y u s l n t ng quát Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t y u s l n t ng quát n u t n t i hai dãy s (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an P −→ 0. bn 1.5.3. Lu t m nh s l n Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t m nh s lnnu Sn − ESn h.c.c −→ 0. n 1.5.4. Lu t m nh s l n t ng quát Dãy các bi n ng u nhiên {Xn , n ≥ 1} đư c g i là tuân theo lu t m nh s l n t ng quát n u t n t i hai dãy s (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn − an h.c.c −→ 0. bn 1.6. M t s b t đ ng th c B đ sau đây giúp ta ch ng minh các đ nh lý chương 2. 1.6.1. B đ Toeplitz. Cho ani , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1, và xi , i ≥ 1 là các s n |ani | ≤ C < ∞. Khi th c sao cho v i m i i c đ nh, lim ani = 0 và v i m i n, n→∞ i=1 n n đó, n u lim xn = 0 thì lim ani xi = 0, và n u lim ani = 1, lim xn = x n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ i=1 i=1 n thì lim ani xi = x. n→∞ i=1 9
Ch ng minh. N u lim xn = 0 thì v i m i ε > 0 t n t i nε sao cho n→∞ |xn | < C −1 ε, v i m i n ≥ nε . Do đó, v i n ≥ nε ta có nε −1 n n ani xi ≤ |ani xi | + |ani xi | i=1 i=1 i=nε nε −1 ≤ |ani xi | + ε. i=1 Theo gi thi t ta suy ra lim ani = 0, v i m i i = 1, 2, . . . , nε − 1. n→∞ Do v y ta có n lim ani xi = 0. n→∞ i=1 n N u lim ani = 1, lim xn = x thì t k t qu trên và đ ng th c n→∞ n→∞ i=1 n n n ani (xi − x), ani xi = x ani + i=1 i=1 i=1 n ta cũng thu đư c lim ani xi = x. n→∞ i=1 Đ nh lý sau đây là m t k t qu n i ti ng có tên là B đ Kronecker, đư c s d ng r t nhi u khi ch ng minh các đ nh lý d ng Lu t m nh s l n. ∞ xn đ Kronecker. Gi s 0 < bn ↑ ∞, và chu i s 1.6.2. B hit . n=1 bn Khi đó n 1 lim xk = 0. bn n→∞ k =1 10
Ch ng minh. Đ t xn , n ≥ 1, yn = bn an = bn − bn−1 , n ≥ 1, b0 = 0, n yi , n ≥ 1. Sn+1 = i=1 lim Sn+1 = S. n→∞ Khi đó n n 1 1 bk (Sk+1 − Sk ) lim xk = lim bn bn n→∞ n→∞ k =1 k =1 n 1 Sn+1 − = lim ak Sk bn n→∞ k =1 n 1 = S − lim ak Sk n→∞ bn k =1 =S−S (Do B đ Toeplitz) = 0. 1.6.3. B t đ ng th c Markov. Gi s X là bi n ng u nhiên b t kỳ và 0 < p < ∞. Khi đó v i m i ε > 0 b t kỳ ta đ u có E |X |p P (|X | > ε) ≤ . εp Ch ng minh. V i ε > 0 b t kỳ ta có 0 ≤ εp I (|X | > ε) ≤ |X |p I (|X | > ε) ≤ |X |p . T đó ta có E (εp I (|X | > ε)) ≤ E |X |p , Do đó εp P (|X | > ε) ≤ E |X |p . T đây ta suy ra đi u ph i ch ng minh. 11
1.6.4. Đ nh lý. Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên, và p > 0. Nu ∞ E |Xn |p < ∞, (1.2) n=1 thì h.c.c Xn −→ 0. (1.3) Ch ng minh. V i ε > 0 b t kỳ và m i k ≥ 1 ta có ∞ sup |Xn | > ε ≤ P (|Xn | > ε) P n≥k n=k ∞ 1 E |Xn |p ≤p (1.4) ε n=k (Do b t đ ng th c Markov). sup |Xn | > ε T (1.2) và (1.4) ta có lim P = 0. k →∞ n≥k h.c.c V y Xn −→ 0. 1.6.5. Đ nh lý. Gi s bi n ng u nhiên X không âm, α > 0 và EX α < ∞. Khi đó ∞ xα−1 P (X > x) dx. EX α = α 0 Ch ng minh. Ta có EX α = X α dP Ω ∞   αxα−1 I (X > x) dx dP =  0 Ω ∞   xα−1 =α I (X > x) dP  dx (Đ nh lý Fubini) 0 Ω ∞ xα−1 P (X > x) dx. =α 0 12
1.6.6. Đ nh lý. Gi s {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là h các bi n ng u nhiên, 0 < p ≤ 1, và E |Xi |p < ∞, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó n n p E |Xi |p . ≤ E Xi (1.5) i=1 i=1 Ch ng minh. Do 0 < p ≤ 1 nên ta có n n p |Xi |p . ≤ Xi i=1 i=1 L y kỳ v ng hai v ta suy ra (1.5). 1.6.7. Đ nh lý. Cho bi n ng u nhiên X và r > 0. Khi đó ∞ ∞ 1 1 r P |X | ≥ n ≤ E |X | ≤ P |X | ≥ n r . (1.6) r n=1 n=0 Ch ng minh. Đ t ∞ Y= jI(j ≤|X |r
∞ ∞ ∞ 1 P (j ≤ |X |r < j + 1) P |X | ≥ n = r n=0 n=0 j =n j ∞ P (j ≤ |X |r < j + 1) = j =0 n=0 ∞ (j + 1)P (j ≤ |X |r < j + 1) = j =0 = EZ. (1.9) T (1.7), (1.8) và (1.9) ta thu đư c (1.6). Khi ch ng minh các đ nh lý gi i h n nói chung và Lu t m nh s l n nói riêng, ngư i ta thư ng s d ng b đ sau. 1.6.8. B đ Borel-Cantelli. Gi s {An , n ≥ 1} là dãy các bi n c b t kỳ. ∞ P (An ) < ∞ thì P (lim sup An ) = 0. a) N u n=1 ∞ P (An ) = ∞ và {An , n ≥ 1} đ c l p thì P (lim sup An ) = 1. b) N u n=1 ∞ Am , n ≥ 1 là dãy gi m nên v i m i n ≥ 1, ta có Ch ng minh. a) Vì m=n ∞ ∞ 0 ≤ P (lim sup An ) = lim P ≤ lim Am P (Am ) = 0, n→∞ n→∞ m=n m=n T đó ta thu đư c P (lim sup An ) = 0. b) N u {An , n ≥ 1} đ c l p thì {An , n ≥ 1} cũng đ c l p. Do đó ∞ ∞ P Am = P (Am ). m=n m=n Mà ta có P (Am ) = 1 − P (Am ) ≤ e−P (Am ) (Do 1 − x ≤ e−x , 0 ≤ x ≤ 1). Nên ta có ∞ ∞ ∞ ∞ − P (Am ) e−P (Am ) = e = e−∞ = 0. 0≤P P (Am ) ≤ Am = m=n m=n m=n m=n 14
T đó ta có ∞ ∞ =1−P P Am Am = 1. m=n m=n Như v y ta có P (lim sup An ) = 1. 1.6.9. B t đ ng th c Doob. N u {Xi , Fi , 1 ≤ i ≤ N } là hi u martingale, và E |Xi |p < ∞, 1 < p < ∞ thì p k N p p p ≤ E max Xi E Xi . p−1 k ≤N i=1 i=1 1.6.10. B t đ ng th c Marcinkiewicz-Zygmund. N u {Xn , n ≥ 1} là dãy bi n ng u nhiên đ c l p và EXn = 0, n ≥ 1, thì v i p ≥ 1 luôn t n t i h ng s dương Ap , Bp ph thu c vào p th a mãn 1 1   2 2 n n n 2 2 ≤ ≤ Bp  Ap  Xj  Xj Xj  . p j =1 j =1 j =1 p p 1.6.11. B t đ ng th c Redemacher-Menshov. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên tr c giao. Khi đó v i n ≥ 1 ta có k n 2 2 EXi2 . ≤ 4 log (n + 1) E max Xi 1≤k ≤n i=1 i=1 15
CHƯƠNG 2 LU T M NH S L N CHO DÃY CÁC BI N NG U NHIÊN m-PH THU C Trong chương này, ký hi u C ch m t h ng s . H ng s đó không nh t thi t gi ng nhau gi a các dòng. Ký hi u log ch logarit cơ s 2. 2.1. Lu t m nh s l n Brunk-Chung cho dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i Trong ti t này chúng tôi trình bày chi ti t hơn hai đ nh lý trong [5]. Đ nh lý 2.1.6 là Đ nh lý 3.1 trong [5], Đ nh lý 2.1.7 là Đ nh lý 3.3 trong [5]. 2.1.1. B đ . Gi s {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên đ c l p v i EXn = 0, n ≥ 1 và gi s p > 1 thì p p j n 2 Xi2 ≤ CE E max Xi , (2.1) 1≤j ≤n i=1 i=1 đây C là h ng s không ph thu c vào n. Ch ng minh. Đ t Fn = σ (X1 , X2 , . . . , Xn ), n ≥ 1 Khi đó ta có {Xn , Fn , n ≥ 1} là hi u martingale. Áp d ng b t đ ng th c Doob và b t đ ng th c Marcinkiewicz-Zygmund ta thu đư c (2.1). đ . Gi s {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là h các bi n ng u nhiên m-ph 2.1.2. B thu c v i EXi = 0, 1 ≤ i ≤ n, và gi s p ≥ 1. Khi đó t n t i h ng s C ch ph thu c vào m và p sao cho p j n E |Xi |p , 1 ≤ p ≤ 2 ≤C E max Xi (2.2) 1≤j ≤n i=1 i=1 16
p j n p −1 E |Xi |p , p ≥ 2. ≤ Cn E max Xi (2.3) 2 1≤j ≤n i=1 i=1 Ch ng minh. N u n ≤ m + 1, B đ 2.1.2 hi n nhiên đúng. Ta ch ng minh B đ 2.1.2 trong trư ng h p n > m + 1. Trong trư ng h p p = 1, v i m i n ≥ 1 ta có j j ≤E |Xi | E max Xi max 1≤j ≤n 1≤j ≤n i=1 i=1 n |Xi | =E i=1 n E |Xi |, = i=1 (2.2) đư c ch ng minh. Trong trư ng h p p > 1, v i n > m + 1 ta có p p  j m+1 k ≤E E max Xi max Xi(m+1)+j  1≤j ≤n 0≤k (m+1)≤n−j i=1 j =1 i=0 p m+1 k ≤ (m + 1)p−1 E max Xi(m+1)+j 0≤k (m+1)≤n−j j =1 i=0 p  2 m+1 Xi2(m+1)+j  ≤C E (2.4) j =1 0≤i(m+1)≤n−j (Do B đ 2.1.1). N u 1 < p ≤ 2 thì p    2 m+1 m+1 Xi2(m+1)+j  ≤ |Xi(m+1)+j |p  E E j =1 j =1 0≤i(m+1)≤n−j 0≤i(m+1)≤n−j (Do Đ nh lý 1.6.6) n E |Xi |p . = (2.5) i=1 17
T (2.4) và (2.5) ta thu đư c (2.2). N u p ≥ 2 thì p    2 m+1 m+1 p Xi2(m+1)+j  ≤ n 2 −1 |Xi(m+1)+j |p  E E j =1 j =1 0≤i(m+1)≤n−j 0≤i(m+1)≤n−j n−j ≤ n, j = 1, 2, . . . , m + 1 m+1 n p −1 E |Xi |p . =n (2.6) 2 i=1 T (2.4) và (2.6) ta thu đư c (2.3). 2.1.3. B đ . Gi s {Xn , n ≥ 1} là m t dãy các bi n ng u nhiên , gi s {bn , n ≥ 1} là m t dãy s dương không gi m, và gi s {kn , n ≥ 0} là dãy s dương th a mãn bkn+1 bk > 1 và sup n+1 < ∞ inf (2.7) n≥0 bkn n≥0 bkn Thì n 1 lim Xi = 0 h.c.c (2.8) n→∞ bn i=1 khi và ch khi   k 1 lim  max Xi  = 0 h.c.c. (2.9) bkn+1 − bkn n→∞ kn ≤k 1 thì t n t i ε > 0 tho mãn n≥0 b2n b2n+1 ≥ 1 + ε. inf n≥0 b2n b 2n 1 ≤ , ∀n ≥ 0, Suy ra b2n+1 1+ε 18
Do đó luôn t n t i h ng s C > 0 tho mãn b2n+1 − b2n ≥ C b2n+1 , ∀n ≥ 0. 2.1.6. Đ nh lý. Gi s {Xn , n ≥ 1} là m t dãy các bi n ng u nhiên v i EXn = 0, n ≥ 1, gi s p ≥ 1 và {bn , n ≥ 1} là dãy s dương không gi m th a mãn b2n+1 b2n+1 < ∞. inf >1 sup (2.10) và n≥0 b2n n≥0 b2n N u {Xn , n ≥ 1} là dãy các bi n ng u nhiên m-ph thu c theo kh i đ i v i các kh i {Bk , k ≥ 1} và n u ∞ E |Xn |2p (ϕ(n))2p−1 (φ(n))p−1 < ∞, (2.11) b 2p n n=1 thì n 1 lim Xi = 0 h.c.c. (2.12) n→∞ bn i=1 Ch ng minh. Đ t j (l) k ∈ Il , l ≥ 0, Tk = max Xi , (l ) j ∈Bk (l ) i=rk 1 (l) l ≥ 0. Tl = Tk , b2l+1 k ∈Il V i l ≥ 0, ta có 1 2p−1 (l) E (Tl )2p ≤ E (Tk )2p 2p c l b2l+1 k ∈Il   (l) p−1 1 C 2p c2p−1 E |Xi |2p  ≤ cardBk   l  b2l+1 k ∈Il (l ) i∈Bk (Do B đ 2.1.2) 1 2p−1 dp−1 E |Xi |2p ≤C 2p c l l b2l+1 k ∈Il i∈B (l) k 1 2p−1 p−1 E |Xi |2p =C 2p c l dl b2l+1 (l ) i∈ Bk k∈Il 19
2l+1 −1 1 2p−1 p−1 E |Xi |2p =C 2p c l dl b2l+1 i=2l 2l+1 −1 E |Xi |2p 2p−1 (φ(i))p−1 , ≤ C 2p (ϕ(i)) bi i=2l Do đó ∞ ∞ E |Xi |2p ETl2p (ϕ(i))2p−1 (φ(i))p−1 , ≤C b 2p i i=1 l=0 T đó và (2.11) ta có ∞ ETl2p < ∞. l=0 Do đó lim Tl = 0 h.c.c (Do Đ nh lý 1.6.4). l→∞ Ta có k k 1 C Xi ≤ max max Xi b2l+1 − b2l b2l+1 2l ≤k