Khóa luận tốt nghiệp đại học: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy giải bài tập hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy giải bài tập hình học" trình bày các nội dung chính sau: Cơ sở lý luận và thực tiễn; Một số biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy giải bài tập hình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy giải bài tập hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- DƯƠNG THỊ THOẠI MY BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2017
LỜI CẢM ƠN Vậy là đã kết thúc 4 năm học, đã đến lúc em hoàn thành chương trình học tập để bước ra thực tế cuộc sống bên ngoài. Được sự phân công của khoa Toán Trường Đại học Quảng Nam, sự đồng ý của thầy hướng dẫn Th.S Cao Trung Thạch em đã thực hiện đề tài “Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải bài tập hình học” Lời đầu tiên cho em xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Nam đã tạo điều kiện cho em được làm khóa luận tôt nghiệp, đây là một cơ hội tốt để em có thể thực hành các kĩ năng được học trên lớp và cũng giúp ích cho em rất nhiều để em ngày càng tự tin về bản thân mình hơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo- giáo viên hướng dẫn Thạc sỹ Cao Trung Thạch trong suốt thời gian qua về sự dẫn dắt tận tình, đầy trách nhiệm, động viên và giúp đỡ em hoàn thành tốt bài khóa luận tốt nghiệp này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và các quý thầy cô trong tổ toán của trường Đại học Quảng Nam. Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến toàn thể bạn bè, người thân, gia đình đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Mặc dù đã cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh, nhưng do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu và khả năng bản thân còn nhiều hạn chế, chắc chắn nội dung của đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô góp ý để đề tài của em được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Quảng Nam, tháng 04 năm 2017. Sinh viên thực hiện. Dương Thị Thoại Mỹ
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................1 4. Phương pháp nghiên cứu ..........................................................................................2 5. Đóng góp đề tài ..........................................................................................................2 6. Cấu trúc luận văn ......................................................................................................2 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................................2 1.1. Tư duy...................................................................................................................3 1.2. Tư duy sáng tạo.......................................................................................................3 1.3. Một số yếu tố của tư duy sáng tạo .........................................................................4 1.3.1. Tính mềm dẻo .......................................................................................................4 1.3.2. Tính nhuần nhuyễn..............................................................................................5 1.3.3. Tính độc đáo .........................................................................................................6 1.3.4. Tính hoàn thiện ....................................................................................................6 1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề ..........................................................................................6 1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ...............6 1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh .........................................................................................................................................7 1.6. Kết luận chương 1...................................................................................................8 Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC ..........................9 2.1. Biện pháp 1: Khuyến khích tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán không gian ..................................................................................................................................9 2.2. Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống bài tập gốc giúp học sinh quy lạ về quen ...15 2.3. Biện pháp 3: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học không gian về bài toán hình học phẳng ....................................................................................................19 2.3.1. Tách các bộ phận nghiên cứu ra khỏi bài toán không gian để chuyển về hình học phẳng .............................................................................................................19 2.3.2. Chuyển bài toán hình không gian về bài toán phẳng nhờ sử dụng phép trải hình ...............................................................................................................................23 2.3.3. Chuyển bài toán hình không gian về bài toán phẳng nhờ sử dụng phép chiếu song song .......................................................................................................................25 2.3.4. Sử dụng các bài toán phẳng để phát triển kiến thức hình học không gian nhờ sử dụng phép tương tự mở rộng số chiều....................................................................28 KẾT LUẬN ..................................................................................................................34 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................35
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Công cuộc xây dựng, đổi mới đất nước đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục đào tạo nhiệm vụ quan trọng là đào tạo một nguồn nhân lực chất lượng đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp Công nghiệp hóa - Hiện đại hóa đất nước. Như vậy mục tiêu giáo dục không chỉ hướng đến việc truyền thụ, lĩnh hội kiến thức, kỹ năng có sẵn cho học sinh mà quan trọng hơn là tăng cường rèn luyện cho họ những tri thức, kỹ năng mới, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, kích thích tính hứng thú học tập, tìm kiếm sáng tạo nguồn tri thức mới. Để thực hiện được những yêu cầu trên cần rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Xuất phát từ những yêu cầu xã hội như trên với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập buộc chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo động lực trong thúc đẩy bản thân họ tư duy đạt được mục tiêu đó. Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản suất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản suất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển. Nên việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, môn Toán đóng vai trò rất quan trọng. Tuy nhiên, thực tế cho thấy rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém trong nhận thức, hạn chế về năng lực tư duy, sáng tạo, quen lối suy nghĩ rập khuôn máy móc. Từ đó dẫn đến kết quả là nhiều học sinh vấp phải trở ngại khi giải toán, đặc biệt các bài toán có tính trừu tượng cao, đòi hỏi người học phải có tư duy, tích cực nhận thức như các bài tập về hình không gian. Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Với tác phẩm “Sáng tạo toán học’’ nổi tiếng, nhà toán học kiêm nhà tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học. Đồng thời trong tác phẩm “Tâm lý năng lực sáng tạo của học sinh”, Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh. Ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàng, Nguyễn Bá Kim,…đã có nhiều công trình giải quyết các vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động dạy học toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua dạy giải các bài tập hình học ở trường THPT thì các tác giả chưa khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy giải bài tập hình học ” 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy giải bài tập hình học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng là học sinh trung học phổ thông. Phạm vi nghiên cứu là kiến thức hình học không gian trong chương trình phổ thông. 1
4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán; các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài; các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài. Lấy ý kiến chuyên gia. 5. Đóng góp đề tài Nếu dạy học hình học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thì có thể góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường trung học phổ thông. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2. Một số biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy giải bài tập hình học. 2
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tư duy Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết. Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy. Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng. Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. 1.2. Tư duy sáng tạo Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người. Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao. Trong quá trình dạy học, kiểu sáng tạo này không mấy xa lạ. Có thể xem là sáng tạo nếu phương thức giải bài toán hiện thời áp dụng được cho các bài toán khác (càng nhiều càng tốt). Trong nhiều trường hợp tuy bài toán không giải được nhưng vẫn hết sức ý nghĩa vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả, ta gọi đó là sự sáng tạo một cách gián tiếp. Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động. Lecne đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo: - Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo. - Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách". - Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. - Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu. 3
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phương thức mới). - Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết những phương thức khác. Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp. Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. 1.3. Một số yếu tố của tư duy sáng tạo Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúc của tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau: - Tính mềm dẻo - Tính nhuần nhuyễn - Tính độc đáo - Tính hoàn thiện - Tính nhạy cảm vấn đề 1.3.1. Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại. Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy. 1.3.2. Tính nhuần nhuyễn Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý 4
tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở đặc trưng sau: - Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu. Ví dụ: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AD 2a, BC a; SA vuông góc với đáy và SA a√3. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). Cách 1: Dựng hình Vì là hình thang cân nội tiếp đường tròn tâm J , đường kính 2 , nên là đáy lớn, là đáy nhỏ và Gọi là trung điểm của thì IJ là đường cao của tam giác đều ABJ cạnh a nên a 3 IJ  . 2 Trong mặt phẳng ( ), vẽ đường thẳng qua và vuông góc với tại đường thẳng này a 3 cắt kéo dài tại , ta có AE  IJ  . 2 Gọi là hình chiếu của lên  Ta có:      Mà // nên  hơn nửa  nên là S khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) Xét tam giác vuông tại nên: 1 1 1 1 4 5 3 3 3 √15  5 Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ H J D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: A  A  0;0;0  , D  0; 2a;0  , S 0;0; a 3  E B I C Lý luận tương tự cách 1, ta có:  a 3 a   a 3 3a  z B  2 ; 2 ;0  , C  2 ; 2 ;0     S        a 3 a    BC   0; a; 0  BS    2 ; 2 ;a 3         a 3 2     BC , BS    a 2 3;0;   2    H     J D y Mặt phẳng ( và nhận vectơ  BC , BS  làm ) đi qua   A véc tơ pháp tuyến, có phương trình: E B I C  a 3  a2 3 x a 2 3x     z  0  0  2x  z  a 3  0  2  2 5
Vì // ( ) nên khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ đến ( ) 2.0  0  a 3 a 3 a 15 d  A,  SBC      2  0 1 2 2 2 5 5 Vậy đối với bài toán được đặt ra có hai cách giải quyết, đây chính là đặc trương của tính nhuần nhuyễn là đa dạng trong cách xử lí giải toán. 1.3.3. Tính độc đáo Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng: - Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới. - Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau. - Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người. 1.3.4. Tính hoàn thiện Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng. 1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau: - Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề. - Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới. Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo. Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em. 1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và nhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các đối tượng và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn và trong sự phát triển. Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và định hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trong việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ có ngày thành công và hướng tìm đến thành công là cố nhìn cho được mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt. 6
Tư duy sáng tạo là loại tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diện mới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới, xem xét sự vật hiện tượng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, có giá trị. Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau ... như thế mới giải quyết vấn đề một cách sáng tạo được. Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác. Đây là cơ sở để học sinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cách giải khác nhau. Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh từ đó có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học sinh. 1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo. Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ". Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán). Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình. Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh. Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy. Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc trưng của nó và dựa vào quan điểm: “Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho các em” . Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; Khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: Khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau. Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: Nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra 7
kết quả mới, tạo được bài toán mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic. Ngoài ra tư duy hình học mang những nét đặc trưng quan trọng và cơ bản của tư duy toán học. Việc phát triển tư duy hình học luôn gắn với khả năng phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duy hình học luôn gắn liền với việc phát triển của phương pháp suy luận; việc phát triển tư duy ở cấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển tư duy đại số. Như vậy để nâng dần cấp độ tư duy trong dạy học hình học, việc dạy học phải được chú ý vào phát triển trí tưởng tượng không gian bằng cách: Giúp học sinh hình thành và tích luỹ các biểu tượng không gian một cách vững chắc, biết nhìn nhận các đối tượng hình học ở các không gian khác nhau, biết đoán nhận sự thay đổi của các biểu tượng không gian khi thay đổi một số sự kiện. Như vậy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là rất lớn. 1.6. Kết luận chương 1 Trong chương này luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, và vận dụng được tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo, đồng thời nêu được tiềm năng của chủ đề Hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống. Ngoài ra còn giúp học sinh có kiến thức sâu rộng hơn, khả năng làm toán được nâng cao hơn. Điều này càng cần thiết hơn trong hình học không gian vì đây là bộ môn khá mới mẻ và giúp rèn luyện được tư duy của học sinh được nâng cao hơn. Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra được các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. 8
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 2.1. Biện pháp 1: Khuyến khích tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán không gian Mỗi bài toán đặt ra sẽ có nhiều hướng đi khác nhau để dẫn đến đáp án. Theo sự tư duy và hiểu biết của mỗi người vận dụng tri thức mình đã có để giải quyết bài toán đó. Khi giải quyết một bài toán nào đó, giáo viên tuyệt đối không áp đặt cách giải với học sinh, phải làm thế này hay làm thế kia. Mà việc đầu tiên là cần phải hỏi để biết hướng đi học sinh như vậy đã đúng hay chưa để ta chỉnh sửa lại cho phù hợp. Điều đó sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy và giúp cho các em thật sự chủ động trong việc giải quyết vấn đề chứ không phải thụ động, rập khuôn theo mẫu của giáo viên. Từ đó giúp cho học sinh tiếp cận kiến thức rộng hơn, sâu hơn, giúp giải quyết được vấn đề một cách nhanh chóng, linh hoạt, đây cũng là cách đánh giá được mức độ hiểu biết của học sinh. Tuy nhiên, không phải mọi bài toán đều giải được theo nhiều phương pháp, cách giải khác nhau, song đối với bài toán về hình không gian, đặc biệt là các bài toán về hình hộp, tứ diện vuông, hình chóp,...ta có thể giải được theo nhiều cách khác nhau. Khi nêu ra một bài toán, đầu tiên giáo viên cần hỏi học sinh có những định hướng giải như thế nào. Mỗi học sinh sẽ có những cách giải khác nhau. Nếu giáo viên không hỏi cách giải của học sinh mà chỉ nêu duy nhất cách giải của mình thì có thể sẽ khiến nhiều học sinh cảm thấy không thỏa đáng vì biết đâu cách giải của các em lại hay hơn, dễ hiểu hơn cách mà giáo viên đưa ra. Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC) và AC AD 4cm, AB 3cm, BC 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD). Cách 1 z Từ giả thiết ta có: AC AB BC nên suy ra tam giác ABC vuông tại A. D(0; 0; 4) Lại có AD  mp (ABC)  AD  AB và AD AC nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Do đó có thể chọn hệ tọa độ như hình vẽ: y A 0; 0; 0 , B 3; 0; 0 , C 0; 4; 0 , D 0; 0; 4 A Mặt phẳng (BCD) có phương trình: C(0; 4; 0) x y z 1 0 3 4 4 Vậy khoảng cách cần tính là: B(3; 0; 0) x 0 0 0 1 6√34 d A, BCD 3 4 4 1 1 1 17 9 16 16 Cách 2 Từ giả thiết ta có: AC 2  AB2  BC 2  ∆ ABC vuông tại A. Lại có: AD  mp (ABC)  AD  AB và AD  AC Khi đó: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi AE là đường cao của tam giác ABC và AH là đường cao của tam giác ADE. 9
AD mp ABC nên ADBC Khi đó ta có: AEBC nên BC ADE suy ra BC AH Mà ta lại có : AHDE nên AH  BCD Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) chính là AH. 1 1 1 1 1 1 AH AD AE AD AB AC 1 1 1 17 16 9 16 72 6√34 AH 17 6√34 Vậy d A, BCD 17 Cách 3 Ta có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau (theo chứng minh trên) 1 1 1 1 V . AD. S . AD. . AB. AC . 4.3.4 8 3 3 2 6 Ta có: DB AD AB 16 9 25  BD 5 CB  ∆DBC cân tại B Ta có: CD CA AD 16 16 32  CD 4√2 Gọi I là trung điểm của CD. khi đó tam giác IBC vuông tại I. Theo Pitago: IB √CB IC √25 8 √17 1 Khi đó: S . √17. 4√2 2√34 2 1 Ta lại có: V . d A, BCD . S 8 3 8.3 24 6√34  d A, BCD S 2√34 17 Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có các kích thước lần lượt AB a, AD b, AA c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BD . Cách 1 Từ D kẻ DH  CD (H  CD ) Từ H kẻ HE // BC (E  BD ) Từ E kẻ EF // DH (F  AD) Khi đó EF là đường vuông góc chung của AD và BD Thật vậy: Do BC CDD C nên BC  DH mà DH  CD suy ra DH  BCD  DH  BD  EF  BD (Vì EF // DH) (1) Mặt khác: AD  CDD C  AD  DH  EF  AD (Vì EF // DH) (2) Từ (1) và (2)  EF là đường  góc chung của BD và AD Ta có d (AD, BD ) = EF = DH 1 1 1 a c Trong đó: DH DD DC a .c 10
ac  DH √a c ac Vậy d AD, BD √a c Cách 2 Gọi (P) là mp qua BD ) và BC Khi đó (P) // AD nên d( AD, BD ) = d( AD,(P) ) = d( D, (P) ). Từ D kẻ DH  CD ( H CD ) Vì BC  CDD C nên BC  DH  DH  (BCD ) hay DH  (P) ac Suy ra d (AD, BD ) = 10 = d(D, (P)) = DH = a 2  c2 Cách 3 Gọi (P) là mp đi qua BD và BC (Q) là mp đi qua AD và // (P) Khi đó d(AD, BD ) = d((Q),( P)) = d(D, (P)) ,(P  (Q)) Qua D kẻ DH  CD (H  CD ) Vì BC  CDD C nên BC  DH do đó DH  (BCD ) hay DH (P) ac d (AD, BD ) = 10 = d(D, (P)) = DH = a 2  c2 Cách 4 Khoảng cách giữa AD và BD bằng chiều cao hình chóp DBD C 3VDBCD1 d (AD, BD ) = . SBCD1 Trong đó: 1 1 1 1 V DD S DD . . DC. BC abc 3 3 2 6 1 1 V BC. CD a c 2 2 1 3. 6 . abc bc Khi đó: d AD, BD 1 √a c 2 . b√a c Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA=2a, ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và AD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật. Tính thể tích khối chóp S. BCNM Cách 1 1 1 Ta có: MN AD à BC AD nên MN BC 1 2 2 Mặt khác: BC AB và BCSA nên BC  mặt phẳng (SAB)  BC BM (2) Từ (1) và (2)  BCMN là hình chữ nhật. 11
Trong mp(SAB) vẽ SH  BM (3) Ta có: BC  (SAB)  BC SH (4) Từ (3) và (4) ta  SH mp(BCMN) Vì ∆MAB vuông cân tại A  MB a√2 Khi đó diện tích (CBMN) = MB. BC = SHM BAM 90° Và SMH BMA đối đỉnh  MHS MAB nên: SH MS a SH AB MB √2 1 a Vậy V . . SH. S . 3 3 Cách 2 1 1 Ta có: MN AD à BC AD nên MN BC 1 2 2 Mặt khác: BC AB và BCSA nên BC  mặt phẳng (SAB)  BC BM (2) Từ (1) và (2)  BCMN là hình chữ nhật. Ta có: V . V. V. 1 1 . d S, MNCB . S d S, MNCB . S 3 3 Mà S MNBC là hình chữ nhật V. 2V . V SM 1 Ta lại có: V SA 2 1  V . 2V . 2 V 2 . 1 1 1 a SA. S 2a. . a 3 3 2 3 Cách 3 Gắn trục như hình vẽ thì: A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C(a;a;0), D 0; 2a; 0 , S(0;0;2a)  M 0; 0; a , N a; 0; a Ta có MN 0; a; 0 BC 1 và BM a; 0; a Khi đó: BC. BM 0 nên BC  BM (2) Từ (1) và (2) ta suy ra BCNM là hcn Tích vô hướng BC, BM a ; 0; a a 1; 0; 1 Vậy phương trình mp BCNM là: 1 x a 1 z 0 0 hay x z a 0 |0 2a a| a Nên SH d S, BCNM √2 √2 và S BC. BM a a a a √2 12
1 1 a a V . SH. S . . a √2 3 3 √2 3 Lưu ý: Cẩn thận khi đọc tọa độ C vì CD không vuông góc 0y. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trọng tâm A′ của ∆BCD. Cách 1 Chứng minh AG đi qua A′  Chứng minh A, G, A′ thẳng hàng  Chứng minh A, G, A′ cùng thuộc hai mặt phẳng Do G ∈ MN nên G ∈ ABN Do A′ là trọng tâm ∆BCD nên A′ ∈ BN  A′ ∈ ABN A , G, A ∈ ABN (1) Gọi I , J lần lượt là trung điểm BC, AD. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác MNIJ là hình bình hành hay G ∈ IJ  G ∈ ADI Mặt khác A′ ∈ DI A ∈ ADI A, G, A (ADI) (2) Từ (1) và (2)  A, G, A thẳng hàng hay AG đi qua A′ Cách 2 Chứng minh AG đi qua A′. Trong ∆ABN gọi A′′ là giao của BN và AG. Áp dụng định luật Mê – nê – la – uýt cho ba điểm A, G. A′′ ta có: AM BA′′ NG . . 1 AB A′′N GM AM 1 M là trung điểm AB Trong đó: AB 2 NG 1 G là trung điểm MN GM Thay vào ta có: BA′′ AB 2 hay BA 2A N 1 A′′N AM Mặt khác vì A′ là trọng tâm ∆BCD nên A′ ∈ BN 2 BA 2A′N Từ (1) và (2)  A ≡ A Vậy AG đi qua A′ Cách 3 Chứng minh A, G, A′ thẳng hàng.  Chứng minh AA , GA′ cùng song song một đường thẳng. Dựng đường thẳng MH // AA′ (H ∈ BN) (1) Khi đó MH là đường trung bình ∆ABA′  H là trung điểm BA′  BH HA′ Mặt khác: BA 2A′N hay HA A′N Mà G là trung điểm MN 13
 GA′ // MH (2) Từ (1) và (2)  A, G, A′ thẳng hàng hay AG đi qua A′ . Cách 4 Do A′ là trọng tâm ∆BCD  A′ DI ∩ AN ( I là trung điểm BC). Nên để chứng minh AG đi qua trọng tâm A′ của ∆BCD ta đi chứng minh AG, BN, DI đồng quy Gọi J là trung điểm AD Khi đó ta có tứ giác MINJ là hình bình hành.  G ∈ IJ , G ∈ MN  AG là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (ADI). DI là giao tuyến của hai mặt phẳng (ADI và (BCD). BN là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD và (ABN) DI ∩ BN A′ (trọng tâm ∆BCD ) Suy ra (theo định luật về giao tuyến của ba mặt phẳng) AG, BN, DI đồng quy tại A′ hay A, G, A thẳng hàng. Vậy AG đi qua trọng tâm A′ của ∆BCD Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có ABC vuông cân tại B, AB a, SA 2a. SA vuông góc với mp(ABC). Mặt phẳng qua A và vuông góc cắt SB, SC tại H, K.Tính thể tích khối chóp S. AHK. BC  BA Ta có:  BC  SAB  BC  AH 1 BC  SA Mà SC  AHK  SC  AH 2 Cách 1  SAC vuông nên SA SK. SC SA SA 4a  SK SC √4a 2a √6 SA. AC 2a. a√2 2a và AK SC a√6 √3 SA. AB 2a. a 2a ∆SAB vuông nên AH SB a√5 √5 ∆AHK vuông tại H nên HK AK AH 4 4 8 3 5 15 1 1 2a 2a√2 2a √2 S HA. HK . . 2 2 √5 √15 5√3 1 1 4a 2a √2 8a Do đó: S . . SK. S . . 3 3 √6 5√3 45 Cách 2 V. SA SH SK SH. SB SK. SC V. SA SB SC SB SC SA a 8 SB SC 5a 6a 15 14
8 8 1 1 8a V . .V . . . 2a. . a 15 15 3 2 45 Ví dụ 6: Cho hình chóp O. ABC trong đó OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và OA a, OB 2a, OC 3a . Tính diện tích tam giác ABC. Cách 1 Vẽ đường cao AH 1 S∆ . AH. BC 2 Mà BC OB OC 2a 3a a√13 BC AH Ta có:  BC AOH  BC OH BC OA OB. OC 2a. 3a 6a suy ra OH BC a√13 √13 7a và AH OA OH √13 1 7a 7a Khi đó: S . . a√13 2 √13 2 Cách 2 Vẽ OK  AH OK  AH cách dựng Ta có:  OK  ABC BC  AHO  BC OK OA  OB Ta lại có:  OA  OBC OA  OC 1 1  V . . OA. S . OK. S 3 3 1 1 3. V 3. 3 OA. 2 . OB. OC 7a Suy ra S OK 6a 2 7 Cách 3 Vì O là hình chiếu vuông góc của A xuống mp(OBC): 1 1 S . AH. BC và S . OH. BC 2 2 OH mà cos OHA AH 1 nên S . AH. cos OHA . BC S . cos OHA 2 1 S . 2a. 3a hay S 2 cos OHA OH AH 1 . 2a. 3a 7a 2 6a 7a 2 : √13 √13 15
Như vậy với việc tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán hình không gian đã giúp nâng cao khả năng tư duy,khả năng nắm bắt vấn đề , phân tích được bài toán một cách toàn diện theo nhiều mặt hơn. Nếu một bài toán không gian được giải theo nhiều hướng đi khác nhau sẽ giúp được học sinh phát triển khả năng tư duy của bản thân, giúp các em đánh giá vấn đề một cách chính xác và toàn diện nhất. 2.2. Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống bài tập gốc giúp học sinh quy lạ về quen Xây dựng bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen có nghĩa là ta sẽ giải bài toán đã được đặt ra bằng cách giải từ một bài toán gốc quen thuộc nào đó. Vậy khi đó bài toán ta cần giải sẽ có những điểm tương tự như bài gốc nhưng sẽ khác ở một số yếu tố. Có thể bài toán ta cần giải quyết chính là bài toán gốc ban đầu chỉ thêm hay bớt một yếu tố nào đó khiến bài toán trở nên lạ so với bài toán gốc nhưng bản chất thì vẫn là nó. Việc giải quyết một bài toán dựa trên một bài toán gốc nào đó sẽ giúp tri thức mới tiếp nhận trở nên quen thuộc, dễ dàng tiếp thu, ít tốn thời gian. Tất nhiên là giáo viên không ép buộc cách giải bài toán cần giải phải giải giống bài toán gốc nào đó. Mà đây chỉ là một trong những cách giúp học sinh dễ nắm bắt kiến thức mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ để học sinh dễ hiểu hơn thôi. Nếu học sinh có thể quy một bài toán mới về cách giải quyết của bài toán cũ thì điều đó chứng tỏ học sinh đó có một sự tư duy vô cùng logic và kiến thức nắm được ở bài toán đã giải là rất chắc chắn. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng có thể hướng dẫn cho học sinh xây dựng các bài toán gốc để củng cố khái niệm, định lý. Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sức quan trọng vì ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài tập gốc còn góp phần định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạng toán có quy trình giải. Khi đó, nếu gặp những bài toán đã có một dạng cụ thể thì ta không tốn nhiều thời gian để tìm định hướng giải cho bài toán đó nữa. Việc thực hiện quy trình trong dạy học toán không những hướng cho học sinh tới tư tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho học sinh sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học khác nhau, giúp nâng cao sự tư duy, sáng tạo trong cách giải quyết vấn đề của học sinh. Ví dụ 1: Cho tứ diện S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh: 1) SC  (BHK) 2) HK  (SBC) Lời giải SA  BH 1 Do  BH  SAC  BH  SC 1 AC  BH K là trực tâm của SBC nên BK  SC (2) Từ (1) và (2)  SC  (BHK) 2) Gọi I AH ∩ BC thì: BC  AI  BC  SAI BC  SA BC  SI K ∈ SI. Do vậy BC  SAI  BC  HK 3 Mà SC  (BHK) ( câu a)  SC  HK (4) Từ (3) và (4)  HK  ( SBC). Bài toán 1. Trong (P) cho ABC cố định, trên đường thẳng Ax  (P) lấy điểm S. Ky là đường thẳng đi qua trực tâm K của tam giác SBC và vuông góc với mp(SBC). 16
Chứng minh rằng khi S di động trên Ax, đường thẳng Ky luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn đưa về bài toán gốc: + So sánh bài toán 1 và bài toán gốc. Trong bài toán gốc đường thẳng nào đóng vai trò của Hy? + Quy bài toán 1 về bài toán gốc? Chứng minh HK  ( SBC) Lời giải Gọi H là trực tâm tam giác SBC  H cố định SA  BH Do  BH  SAC BH  SC 1 AC  BH K là trực tâm của SBC nên BK  SC (2) x Từ (1) và (2)  SC  (BHK) S Gọi I AH ∩ BC thì: BC  AI  BC  SAI BC  SA y  BC  SI  K  SI. Do vậy BC  (SAI)  BC  HK (3) Mà SC  (BHK)  SC  HK (4) C Từ (3) và (4)  HK  (SBC). A Mà đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với H I một mặt phẳng (SBC) là đường thẳng HK duy nhất ( H ∈ (ABC)). B Vậy Hy luôn đi qua K cố định. Bài toán 2. Trong mặt phẳng (P) cho một đoạn thẳng AB cố định. Một đường thẳng d cố định vuông góc với AB tại I ∈ AB. Đường tròn (C) thay đổi luôn qua AB và cắt d tại hai điểm M, N. Qua A dựng nửa đường thẳng Ax  P và trên Ax lấy điểm chuyển động C. Chứng minh rằng khi (C) thay đổi, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (CNM) và đi qua trực tâm của tam giác CMN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn quy về bài toán gốc: + Các yếu tố nào là cố định, yếu tố nào là thay đổi? + Dự toán điểm cố định cần tìm? Nếu học sinh đã giải quyết bài toán 1 thì bài toán 2 sẽ dự đoán là K với K là trực tâm tam giác MNA. Tuy nhiên trong bài toán 1 tam giác ABC là cố định còn trong bài toán 2 do đường tròn (C) thay đổi nên MN thay đổi, dẫn đến tam giác AMN thay đổi. Lời giải Gọi K là trực tâm tam giác AMN Gọi H là trực tâm tam giác CMN MNAB Ta có MNAC  MN CAB  MNKH 1 NKAM Ta lại có NKCA  NK CAM  NKCM Mà NHCM  CM  NHK  CMHK (2) Từ (1) và (2)  CMN HK 17