Khóa luận tốt nghiệp đại học: Đại cương về dao động tử điều hòa

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của khóa luận là tìm hiểu về dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ket-bra) và một số bài toán về dao động tử điều hòa. Nội dung khóa luận được bố cục thành 2 chương, chương 1 là một số khái niệm cơ bản, chương 2 là dao động tử điều hòa, chương 3 trình bày một số bài toán về dao động tử điều hòa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Đại cương về dao động tử điều hòa

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ HOAN ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ HOAN ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Qua thời gian nghiên cứu và làm việc, tôi đã hoàn thành khóa luận của mình. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những tài liệu quý báu trong suốt quá trình tôi thực hiện khóa luận này. Bên cạnh đó tôi đã nhận đƣợc sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo trong khoa vật lý nói chung và các thầy cô giáo trong tổ vật lý lý thuyết nói riêng. Ngoài ra, tôi xin gửi lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình và bạn bè đã luôn bên cạnh, giúp đỡ và động viên tôi vƣợt qua những khó khăn để hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhƣng chắc hẳn sẽ còn nhiều hạn chế. Tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để đề tài này đƣợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hoan
LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp của tôi hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận tôi có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là trung thực và chƣa từng đƣợc công bố bởi bất kì nơi nào khác. Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hoan
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Cấu trúc của đề tài ......................................................................................... 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN................................................ 3 1.1. Cơ học lƣợng tử.......................................................................................... 3 1.2. Dao động tử điều hòa ................................................................................. 4 1.3. Phƣơng trình Schrodinger .......................................................................... 6 1.4. Kí hiệu ket-bra............................................................................................ 8 1.5. Toán tử Hermite ......................................................................................... 8 1.6. Không gian Hilbert ................................................................................... 11 CHƢƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ................................................. 12 2.1. Đại số của dao động tử điều hòa .............................................................. 12 2.2. Vector riêng, các toán tử xung lƣợng và hàm sóng của dao động tử điều hòa ................................................................................................................... 18 CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA...... 26 3.1. Bài toán về hàm sóng và các mức năng lƣợng của dao động tử điều hòa26 3.2. Bài toán về trị trung bình của các đại lƣợng vật lý của dao động tử điều hòa ................................................................................................................... 34 KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 41
DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ, HÌNH VẼ Hình 1.1. Dao động của con lắc đơn quanh vị trí cân bằng. ............................. 5 Hình 1.2. Dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng. ........................... 5 Hình 1.3. Dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể. ...................... 5
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Nhƣ chúng ta biết cơ học lƣợng tử là một lý thuyết vật lý nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô, các hạt trong thế giới đó gọi là vi hạt. Vấn đề ở đây là các quy luật vận động của vi hạt không tuân theo các quy luật cổ điển. Chỉ có cơ học lƣợng tử mới giải quyết một cách sâu sắc các quy luật và chính xác các hiện tƣợng này. Tuy nhiên, bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng nhƣ bài tập vận dụng của cơ học lƣợng tử tƣơng đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phƣơng trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng nhƣ: Bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hidro (chuyển động của hạt trong trƣờng xuyên tâm). Nhƣng trong đó dao động tử điều hòa là bài toán cơ bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ lƣợng tử và đây cũng là bài toán giải đƣợc chính xác trong cơ lƣợng tử. Khi tìm hiểu về dao động tử điều hòa có rất nhiều con đƣờng khác nhau, và với các lí do trên, tôi đã chọn đề tài “Đại cƣơng về dao động tử điều hòa” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu về dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ket-bra) và một số bài toán về dao động tử điều hòa. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Đối tƣợng nghiên cứu: Cơ học lƣợng tử. Phạm vi nghiên cứu: Đại cƣơng về dao động tử điều hòa. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về dao động tử điều hòa theo biểu diễn số hạt (vector ket- bra) và một số bài toán về dao động tử điều hòa. 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu. Đọc, tra cứu và tổng hợp tài liệu có liên quan. 6. Cấu trúc của đề tài. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc của khóa luận gồm ba chƣơng: CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CHƢƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA CHƢƠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2
NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Cơ học lƣợng tử. Cơ học lƣợng tử đƣợc hình thành vào nửa đầu thế kỷ XX từ đề xuất của các nhà khoa học Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli,… Cơ học lƣợng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của môn vật lý. Cơ học lƣợng tử là phần mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển (hay còn gọi là cơ học Newton), là cơ sở của nhiều ngành vật lý nhƣ vật lý chất rắn, vật lý hạt nhân và cả trong hóa học nhƣ hóa lƣợng tử. Khái niệm lƣợng tử dùng để chỉ một số đại lƣợng vật lý nhƣ năng lƣợng không liên tục mà gián đoạn. Cơ học lƣợng tử là một lý thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động và các đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ xung lƣợng và động năng của các vật chất nhỏ bé, và thể hiện rõ lƣỡng tính sóng-hạt. Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định là tính chất cơ bản của vật chất, vì thế mà cơ học lƣợng tử đƣợc coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì cơ học lƣợng tử cho phép mô tả chính xác và đúng rất nhiều hiện tƣợng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích đƣợc nhƣ ở nguyên tử hay nhỏ hơn là hạ nguyên tử (proton, notron, electron và các hạt cơ bản khác). Cơ học cổ điển không thể giải thích đƣợc tại sao các nguyên tử lại bền vững và không thể giải thích đƣợc một số hiện tƣợng nhƣ siêu dẫn, siêu chảy. Hầu hết các tiên đoán của cơ học lƣợng tử đã đƣợc thực nghiệm chứng minh sau một thế kỷ. Cơ học lƣợng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất bốn loại hiện tƣợng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: (i) việc lƣợng tử hóa một số đại lƣợng vật lý, (ii) lƣỡng tính sóng hạt, (iii) vƣớng lƣợng tử, (iv) nguyên lý bất định. Trong một số trƣờng hợp, 3
các định luật của cơ học lƣợng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn. Cơ học lƣợng tử đƣợc kết hợp với thuyết tƣơng đối để tạo nên cơ học lƣợng tử tƣơng đối tính và đối lập với cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính (khi bỏ qua tính tƣơng đối của chuyển động). Ta dùng khái niệm cơ học lƣợng tử để chỉ cả hai loại trên. Cơ học lƣợng tử đồng nghĩa với vật lý lƣợng tử. Tuy nhiên, nhiều nhà khoa học coi cơ học lƣợng tử có ý nghĩa nhƣ cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính, và nhƣ thế nó hẹp hơn vật lý lƣợng tử. Một số nhà vật lý cho rằng cơ học lƣợng tử cho ta một mô tả chính xác về vật lý học ở hầu hết các điều kiện khác nhau. Dƣờng nhƣ là cơ học lƣợng tử không còn đúng ở lân cận các hố đen khi xem xét vũ trụ nhƣ một toàn thể. Ở phạm vi này thì cơ học lƣợng tử lại mâu thuẫn với lý thuyết tƣơng đối rộng, một lý thuyết về hấp dẫn. Vấn đề giữa cơ học lƣợng tử và thuyết tƣơng đối rộng vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu rất sôi nổi. Ngoài ra, một số vấn đề cơ bản của cơ học lƣợng tử vẫn đƣợc nghiên cứu cho đến nay. 1.2. Dao động tử điều hòa. Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thực hiện dao động mà chuyển động có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa của thời gian, mà cụ thể ở đây thƣờng là hàm sin và cosin. Năng lƣợng của dao động tử điều hòa có thể nhận các giá trị liên tục và tần số bức xạ trùng với tần số dao động cơ học của dao động tử điều hòa. Ví dụ nhƣ dao động của con lắc đơn, dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng. 4
Hình 1.1. Dao động của con lắc đơn quanh vị trí cân bằng. Hình 1.2. Dao động của con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng. Trong cơ học lƣợng tử, dao động tử điều hòa là khi một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng. Năng lƣợng của các dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển). Ví dụ nhƣ dao động của nguyên tử trong phân tử, dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể. Hình 1.3. Dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể. 5
Xét chuyển động của hạt trong trƣờng thế U  x  , hạt chuyển động thực hiện những dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng x0  0 nên ta có thể triển khai thế năng này dƣới dạng [2]: U 1  2U 2 1  nU n U  x  U0  x x  ...  x  ... x 2 x 2 n! x n Dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng nên các số hạng ứng với xn và n  3 U ta có thể bỏ qua, mà  0 (do thế năng điều hòa), nên: x 1  2U 2 U  x  U0  x (1.1) 2 x 2 Vậy một hạt thực hiện những dao dộng điều hòa nhƣ (1.1) là dao động tử điều hòa. Hay chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa và đó là một hiện tƣợng rất quan trọng của vật lý nói chung và của cơ học lƣợng tử nói riêng. 1.3. Phƣơng trình Schrodinger. Phƣơng trình Schrodinger là một phƣơng trình cơ bản của vật lý lƣợng tử mô tả sự biến đổi trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển. Trong cơ học lƣợng tử, trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý đƣợc mô tả đầy đủ nhất bởi một vector trạng thái thí dụ nhƣ hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phƣơng trình Schrodinger. Nghiệm của phƣơng trình Schrodinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (proton, notron, electron và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vĩ mô, thậm chí có thể là toàn bộ vũ trụ. Phƣơng trình này đƣợc đặt tên theo nhà vật lý ngƣời Áo Erwin Schrodinger, ngƣời đầu tiên thiết lập vào năm 1926. 6
Tùy thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà nghiệm phƣơng trình Schrodinger có dạng khác nhau. Nhƣ vậy khi nghiên cứu chuyển động của hạt hoặc hệ hạt trong trƣờng thế nào đó ta sẽ biết đƣợc năng lƣợng E và hàm sóng  tƣơng ứng ở những trạng thái khác nhau. Khi xác định đƣợc năng lƣợng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính toán đƣợc các yếu tố ứng với phép đo đại lƣợng F nào đó của hệ lƣợng tử nhƣ mật độ xác suất, xác suất, trị trung bình,… Phƣơng trình Schrodinger có nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào các điều kiện khác nhau của hệ vật lý. ˆ có năng lƣợng * Đối với hạt chuyển động trong trƣờng lực tổng quát W, biến đổi theo thời gian thì phƣơng trình Schrodinger tổng quát có dạng [1]:  2 ˆ  ( x, y , z , t ) i  ( x, y, z , t )  (  2  W) t 2m 2 Có Hˆ   ˆ 2  W 2m Nghiệm của phƣơng trình Schrodinger tổng quát là:  i  Ent  ( x, y, z, t )   0 ( x, y, z)e n 0 Trong đó: En là năng lƣợng.  0 ( x, y, z) là hàm sóng chỉ phụ thuộc không gian của hạt ở trạng thái lƣợng tử n. * Đối với hạt có khối lƣợng m chuyển động trong trƣờng thế U( x, y, z ) phƣơng trình Schrodinger có dạng: 2m 2 ( x, y, z )   E  U ( x, y, z) ( x, y, z)  0 Đây là phƣơng trình schrodinger dừng không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc vào không gian. 7
1.4. Kí hiệu ket-bra. Trong lĩnh vực cơ học lƣợng tử, ký hiệu bra-ket là biểu diễn chuẩn dùng để mô tả những trạng thái lƣợng tử và đƣợc kí hiệu là:  với phần bên trái  gọi là bra và phần bên phải  gọi là ket. Ký hiệu đƣợc giới thiệu bởi nhà toán học Paul Dirac năm 1939 nên còn có tên gọi là ký hiệu Dirac, mặc dù Grassman đã dùng ký hiệu  |  cho tích vô hƣớng của mình hàng trăm năm trƣớc đó. Tuy vậy, ngày nay ứng dụng chủ yếu của ký hiệu bra-ket chủ yếu nằm ở cơ học lƣợng tử. Hầu hết các hiện tƣợng đƣợc giải thích bằng cơ học lƣợng tử (bao trùm cả một phần của vật lý hiện đại) đều đƣợc biểu diễn dƣới dạng bra- ket. Cách biểu diễn này thuận lợi hơn biểu diễn hàm sóng ở chỗ là tính độc lập trong biểu diễn trừu tƣợng của đối tƣợng mà nó ký hiệu, cộng với tính linh hoạt khi tạo ra những biểu diễn đặc thù (tọa độ, động lƣợng hoặc hàm riêng cơ sở) một cách dễ dàng, hoặc phụ thuộc quá nhiều vào không gian tuyến tính có liên quan. 1.5. Toán tử Hermite. Tích vô hƣớng [1]:  x , Fxˆ   F T i j ij Ta gọi Fij là phần tử  i, j  của toán tử Fˆ , còn phần tử:  Fxˆ , x    x Fxˆ  * i j j, i  Fij*  Fij (dấu (+) ở trên Fij chỉ phép toán vừa lấy liên hợp phức vừa chuyển vị trí i  j của Fij ), Fij đƣợc gọi là phần tử liên hợp của phần tử Fij của toán tử 8
Fˆ , còn toán tử tƣơng ứng với nó là toán tử Fˆ  đƣợc gọi là toán tử liên hợp của toán tử Fˆ .  ˆ Nếu: Fij  Fij , tức là xi ,Fx   ˆ j  Fxi , x j  hay Fˆ  Fˆ  thì toán tử Fˆ đƣợc gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử Hermite. Tính chất của toán tử Hermite [1, 3, 4]: a. Tổng của hai toán tử Hermite là một toán tử Hermite. b. Tích của toán tử Hermite với một số là một toán tử Hermite khi số đó là thực. c. Tích của hai toán tử Hermite là toán tử Hermite khi hai toán tử giao hoán với nhau. Chứng minh: Ta có:  y, FG ˆ ˆ  x    y,F(G ˆ ˆ x)    Fy  ˆ , x   GF ˆ   Gˆ  Fy ˆ , Gx   ˆ ˆ  y, x  ˆ ˆ  y, x   FG ˆ ˆ là toán tử hecmite khi FG Vậy FG ˆ ˆ  GF ˆ ˆ (đpcm). d. Các trị riêng của toán tử Hermite là số thực. Chứng minh: ˆ  x  a u  x Aun n n Nếu A là toán tử Hermite thì an là số thực. Thực vậy, ta có:   * * ˆ ˆ  un Aun dx   un Aun dx Hay    u a u dx   u a u dx * * * n n n n n n   9
Ở đây, các thừa số bên trong dấu tích phân đều là những số, không phải toán tử nên ta có thể thay đổi thứ tự, còn an là hằng số không phụ thuộc biến số x, có thể đƣa ra khỏi dấu tích phân. Vậy  (an  a )  un*un dx  0 * n  Tích phân nói chung khác không, nên: an  an*  0 an trùng với lƣợng tử liên hợp phức của nó, vậy trị riêng an là số thực. e. Tập hợp các vector riêng của toán tử Hermite trong trƣờng hợp không suy biến là trực giao. Chứng minh: Giả sử X '  X là tập hợp các vector riêng của toán tử Hermite Fˆ nào đó: X '   xm  ; Fx ˆ f x . j j j  j  ˆ  f  x , x   Fx Ta có: xi , Fx j i j i j i ˆ ,x  f *x ,x . i j  Từ đây suy ra:  f j  fi *   xi , x j   0 . Nếu xi  x j ,  xi , xi   0 với xi  0 , cho nên f j  f j*. Nếu xi  x j trong trƣờng không suy biến fi  f j . Do đó  xi , x j   0 (đpcm). f. Các hàm riêng của toán tử Hermite là trực giao. Chứng minh: Giả sử các hàm sau: f1  x  , f 2  x  ,… f k  x  ,… f n  x  là các hàm riêng của toán tử Aˆ thì ta có các hàm này là trực giao tức là: f L ( x ) f K ( x)   ( L  K ) 10
Hàm Delta   x  nhận giá trị 1 nếu x  0 , và nhận giá trị 0 khi x khác 0. Nhƣ vậy  ( L  K ) nhận giá trị 1 nếu L  K , và nhận giá trị 0 khi L khác K . Ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa cho các hàm riêng f1  x  , f 2  x  ,… f k  x  ,… f n  x  của toán tử Aˆ :  dxf L ( x) f K ( x)   ( L  K ) g. Các hàm riêng của toán tử Hermite hợp thành một hệ đủ: Nghĩa là một hàm riêng U ( x) bất kỳ của toán tử Aˆ có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính theo các hàm f1  x  , f 2  x  ,… f k  x  ,… f n  x  của toán tử Aˆ : n U( x)   Ck f k ( x) k 1 Trong đó Ck là các số thực đƣợc chọn duy nhất. 1.6. Không gian Hilbert. Không gian Hilbert là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có tích vô hƣớng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt là khái niệm trực giao hay vuông góc). Hơn nữa, không gian Hilbert thỏa mãn một yêu cầu nữa là tính đầy đủ để chắc chắn rằng giới hạn là tồn tại khi cần, làm các định nghĩa khác nhau trong tính toán vi tích phân dễ dàng hơn. Các không gian Hillbert cho phép các trực giác hình học có thể áp dụng vào một số không gian hàm vô hạn chiều. Chúng cung cấp một khung để hệ thống hóa và tổng quát hóa khái niệm chuỗi Fourier theo một hệ bất kì của các hàm số trực giao và của phép biến đổi Fourier, là những khái niệm trung tâm của giải tích hàm. Không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng trong việc hình thức hóa toán học cơ học lƣợng tử. 11
CHƢƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1. Đại số của dao động tử điều hòa. Trong phần này ta đƣa ra dạng toán học về đại số của dao động tử điều hòa. Việc tìm các tính chất toán học về đại số của dao động tử điều hòa có nghĩa là tìm ra cách các toán tử tác động trên vector của không gian Hilbert. Để làm đƣợc điều đó, ta đƣa ra toán tử mới aˆ và toán tử aˆ  (kết hợp của aˆ ) : 1   ˆ i  aˆ   Q Pˆ  , 2   (2.1) 1   ˆ i   aˆ   Q Pˆ  , 2   trong đó: Qˆ là toán tử tọa độ. Pˆ là toán tử xung lƣợng. Tiếp theo, ta định nghĩa toán tử mới [3, 5]: Nˆ  aˆ  aˆ, (2.2) Nˆ đƣợc gọi là toán tử số hạt. Thế (2.1) vào (2.2), ta đƣợc:  ˆ 2 Nˆ  2 Q  1 ˆ2 i ˆ ˆ ˆ ˆ 2  P  2 PQ  QP ,  với: ˆ ˆ  QP PQ ˆ ˆ  Iˆ, i ˆ Pˆ 2  2 ˆ 2 H  Q , 2 2 Hˆ là toán tử năng lƣợng. Nên: 12
1 ˆ 1ˆ Nˆ  H  I.  2 Tƣơng tự, tính: 1 ˆ 1ˆ ˆ ˆ  aa H  I.  2 Do đó, ta thu đƣợc hệ thức giao hoán: ˆ ˆ   aˆ  aˆ  Iˆ.  aˆ , aˆ    aa (2.3) Hơn nữa, có thể biểu diễn toán tử năng lƣợng Hˆ theo aˆ và aˆ  : ˆ  1  Hˆ  aˆ  aˆ  I    Nˆ  Iˆ  . (2.4) 2  2  Để tìm các giá trị riêng và các vector riêng của toán tử Hˆ và toán tử Nˆ . Giả sử rằng có ít nhất một vector riêng của toán tử Nˆ trong không gian Hilbert, và gọi giá trị riêng  (đây không phải một giả thuyết tầm thƣờng, vì có nhiều toán tử không có vector riêng trong không gian Hilbert). Gọi  là vector riêng, do đó: Nˆ    . Ta có: ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aa Na      ˆ ˆ   Iˆ aˆ  aˆ aˆ  aˆ  Iˆ      aˆ Nˆ  Iˆ   aˆ    1     1 aˆ . Do đó Nˆ  aˆ      1 (aˆ ). Vậy aˆ  0 hoặc aˆ là một vector riêng của toán tử Nˆ với giá trị riêng   1. Với trƣờng hợp: 13
 1  aˆ . Lặp lại tính toán ở trên  1 , ta thấy:  2  aa ˆ ˆ . Là không hoặc một vector riêng với giá trị riêng   2. Tiếp tục theo cách này và có đƣợc một chuỗi các vector:  m  aˆ m ( m = 0, 1, 2,…), đó là các vector riêng của toán tử Nˆ với giá trị riêng (   m ) khi  m  0 . Tƣơng tự tính đƣợc Nˆ  aˆ   bằng: Nˆ  aˆ       1  aˆ  . Vì thế  1  aˆ  là vector không hoặc vector riêng của toán tử Nˆ với giá trị riêng   1, luôn có  1  0 . Giả sử aˆ   0, có nghĩa: aˆ   0. Nhƣng   aˆ  , aˆ   , 2 aˆ  Và theo định nghĩa:  aˆ  , aˆ     , aa     ˆ ˆ  .    Do hệ thức giao hoán của aˆ và aˆ  , ta đƣợc:  , aa  ˆ ˆ     , aˆ aˆ    ,          aˆ    0, 2 2 khi   0 . Do đó  1 luôn là vector riêng của toán tử Nˆ với giá trị riêng   1. Một lần nữa lặp lại quá trình trên, ta có đƣợc một dãy của vector  n ( n = 0, 1, 2,…), là vector riêng của toán tử Nˆ với giá trị riêng   n . 14