Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu dao động của màng

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung khóa luận trình bày về thiết lập phương trình dao động của màng và nghiên cứu dao động của một số màng có hình dạng đặc biệt như màng chữ nhật, màng tròn và một số hàm đặc biệt có liên quan như hàm Betsen và hàm Gamma. Giải một số bài tập về dao động màng như dao động của màng chữ nhật, màng vuông, màng tròn và bài tập về hàm Betsen.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nghiên cứu dao động của màng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ -------------------- NGUYỄN THỊ HÀ NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA MÀNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận này. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhậnđược những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 19 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hà
LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác giả. Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hà
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG ..................... 3 1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ........................................................... 3 1.2. DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT ............................................ 7 1.2.1. Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật ...................................... 7 1.2.2. Các đường nút trên màng chữ nhật.............................................. 13 1.3. PHƯƠNG TRÌNH BETSEN .............................................................. 15 1.4 HÀM BETSEN ..................................................................................... 17 1.4.1. Các tính chất truy hồi của hàm betsen ......................................... 24 1.4.2. Một vài trường hợp riêng của hàm betsen ................................... 25 1.4.4 Tính trực giao của hàm betsen....................................................... 27 1.4.5. Khai triển một hàm tùy ý vào các hàm betsen .............................. 31 1.5 DAO ĐỘNG CỦA MÀNG TRÒN ...................................................... 32 1.6 HÀM GAMMA .................................................................................... 38 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .......................................................................... 38 CHƯƠNG 2: BÀI TẬP ................................................................................. 39 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .......................................................................... 53 KẾT LUẬN .................................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 55
MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Vật lý là một môn khoa học nghiên cứu những sự vật hiện tượng xảy ra hàng ngày, có tính thực tiễn cao, cần vận dụng những kiến thức toán học. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý rất đa dạng và phong phú. Các kiến thức toán học này không những cần thiết cho các bạn sinh viên khi đang học tại trường mà còn là công cụ hữu ích cho công việc của học khi ra trường. Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong việc đào tạo giáo viên phổ thông chuyên nghành vật lý, giúp cho sinh viên nắm được các phương pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và truyền nhiệt của vật chất. Việc nghiên cứu học phần này là cơ sở nghiên cứu các môn học khác. Đặc biệt việc nghiên cứu về dao động sóng tương đối phức tạp đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học. Các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến ) các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập. Các phương trình vật lý toán cơ bản là các phương trình sóng, phương trình truyền nhiệt và phương trình Laplaxo. Nói một cách đơn giản thì chúng là những phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập được chia làm ba dạng là phương trình eliptic, phương trình hipebolic và phương trình parabolic. Là sinh viên sư phạm vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương pháp toán lý là môn học tương đối khó trong đó có phần dao động của màng. Trong khi đó ở thời điểm hiện tại các tài liệu tham khảo về các loại dao động này còn hạn chế, các phương pháp còn mang tính khái quát thiếu cụ thể vì thế tôi đã chọn đề tài có tên “Nghiên cứu dao động của màng “ 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương trình dao động của màng 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Dao động của màng 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng phương trình dao động của màng - Áp dụng phương trình dao động của màng để giải một số bài tập 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải tích toán học - Các phương trình vi phân - Đọc tài liệu và tra cứu 6. Cấu trúc khóa luận - Phần 1: mở đầu - Phần 2: Nội dung Chương 1: Phương trình dao động của màng Chương 2: Bài tập - Phần 3: Kết luận - Phần 4: Tài liệu tham khảo 2
NỘI DUNG CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH Giả sử ta có một màng được kéo bằng lực căng T. Nghĩa là nếu tách ra một phần của màng giới hạn bởi đường cong kín L, thì phần còn lại có thể thay thế bằng các lực đặt lên L’ nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với màng hướng theo pháp tuyến ngoài của L’(h.1.1) và được phân bố sao cho trên yếu tố cung ds’ của đường cong L’có lực tác dụng Tds’, trong đó T là mật độ phân bố không đổi của lực căng. Giả thiết màng là đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ qua. Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng. Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng (x, y), còn dao động xảy ra sao cho mỗi đểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng này. Kí hiệu độ lệch này là u; u là hàm của các tọa độ x, y và thời gian t: u = u( x, y, t ) L ds’ Tds’ Hình 1.1 Bây giờ ta tìm phương trình mà hàm này thỏa mãn. Khi nằm yên, màng chiếm diện tích  trên mặt phẳng (x, y) ( h1.2). Ta hãy xác định hình chiếu trên trục u của lực tác dụng lên mẫu màng này. 3
u L  n P [s,n] S 0 y  x ds Hình 1.2 Gọi vecto đơn vị pháp tuyến với màng tại điểm P của đường cong L là n n= cos  i + cos  j+ cos  k cos  , cos𝛽, cos𝛾 là các cosin chỉ phương của n. Vecto đơn vị tiếp tuyến của L tại P là S S = cos  ’i + cos  ’j+ cos  ’k cos  ’, cos  ’, cos  ’ là các cosin chỉ phương của S. Lực căng T tác dụng theo phương của vecto [S,n]=(cos  ’cos  - cos  cos  ’ )i +( cos  ’ cos  - cos  cos  ’)j +( cos  ’ cos  - cos  cos  ’) k. Do đó hình chiếu của lực căng tác dụng lên yếu tố cung ds’ của L’ trên trục u là: 𝑇(cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠′ Còn hình chiếu tương ứng của hợp lực căng phân bố theo chu tuyến L’ là 𝑇 ∮𝐿′ (cos ∝ ′ cos 𝛽 − cos ∝ cos 𝛽′)𝑑𝑠 ′ = 𝑇 ∮𝐿′ (cos 𝛽 𝑑𝑥 ′ − cos ∝ 𝑑𝑦′)(1.1) bởi vì cos  ’ds’ = dx’ ; cos  ’ds’= dy’. Ta đã biết các cosin chỉ phương của pháp tuyến đối với mặt 4
u= u( x,y,t) là. −𝑢𝑥 𝑢′𝑦 1 cos  = ; cos  = ; cos  = √1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦 √1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦 √1+𝑢′2𝑥 +𝑢′2𝑦 (góc giữa n và trục u coi như là nhọn ). Mặt khác diện tích của mẫu màng là ∮𝜎 √1 + 𝑢′2𝑥 + 𝑢′2𝑦 ds =𝑆𝜎 =∫𝜎 𝑑𝑠. Ta giả thiết là diện tích của màng trong quá trình dao động không thay đổi nên√1 + 𝑢′2𝑥 + 𝑢′2𝑦 có thể lấy bằng 1, nghĩa là 𝑢′2𝑥 , 𝑢′2𝑦 có thể bỏ qua so với 1. Do đó ta có thể đặt cos∝ = −𝑢′𝑥 ; cos𝛽 = −𝑢′𝑦 ; cos𝛾 = 1 và biểu thức( 1.1) có dạng : −𝑇 ∮𝐿′ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 ′ − 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑦′)(1.2) Ta kí hiệu hình chiếu của chu tuyến L trên mặt phẳng xy là . Vì ta đặt cos  = 1, nghĩa là  = 0 nên dx’ = dx, dy’=dy với dx, dy là hình chiếu của yếu tố cung ds của chu tuyến  lên các trục ox, oy, do đó tích phân (1.2) có thể lấy theo . −𝑇 ∮ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 ′ − 𝑢′𝑥 𝑑𝑦 ′ ) = −𝑇 ∮ (𝑢′𝑦 𝑑𝑥 − 𝑢′𝑥 𝑑𝑦) 𝜑′ 𝜑 Biến đổi thành tích phân mặt theo công thức Grin ta có : ∫ 𝑢′𝑦 − 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑦 = − ∫ (𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 ) 𝑑𝑆. 𝜑 𝜎 Vì thế cuối cùng hình chiếu trên trục u của hợp lực căng phân bố theo chu tuyến ’ là: 5
𝑇 ∫(𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 )𝑑𝑆 (1.3) 𝜎 Ngoài ra, giả sử màng chịu tác dụng của ngoại lực song song và ngược chiều với trục u có mật độ phân bố theo màng là 𝜌g( x,y,t) thì hợp lực của chúng là −𝜌 ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) 𝑑𝑆 𝜎 Nếu  là mật độ mặt không đổi của màng, thì hợp lực quán tính theo mẫu màng đang xét là 𝜌 ∫ 𝑢′′𝑡𝑡 𝑑𝑆 𝜎 và đối với mọi t≥0, ta có đẳng thức 𝜌 ∫ 𝑢′′𝑡𝑡 𝑑𝑆 = 𝑇 ∫(𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 ) 𝑑𝑆 − 𝜌 ∫ 𝑔𝑑𝑆 𝜎 𝜎 𝜎 Hay ∫𝜎 {𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑇(𝑢′′𝑥𝑥 − 𝑢′′𝑦𝑦 ) + 𝑔𝜌} 𝑑𝑆 = 0 (1.4) Bởi vì  là một vùng bất kỳ của mặt (x,y) nên biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.4) phải bằng 0 ở điểm bất kỳ của màng ở thời điểm bất kỳ, nghĩa là phải xảy ra đẳng thức 𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑇(𝑢′′ 𝑥𝑥 + 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) + 𝜌𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 0 hay 𝜌𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 (𝑢′′ 𝑥𝑥 − 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) = −𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) (1.5) T trong đó a2= là hằng số dương.  Phương trình(1.5) được gọi là phương trình dao động màng. Nó là phương trình sóng hai chiều, hệ số a như trước kia là vận tốc lan truyền sóng, nếu g( x,y,t)  0, thì phương trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của 6
màng. Phương trình không thuần nhất (1.5) mô tả dao động cưỡng bức của màng. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của màng được thiết lập như sau. Giả sử trong trạng thái tĩnh, màn chiếm vùng D trong mặt phẳng (x,y) giới hạn bởi chu tuyến  là biên của màng. Điều kiện ban đầu đối với (1.5) là 𝑢|t=0= 𝑓(𝑥, 𝑦); 𝑢′𝑡 |t=0 = F(x,y) (1.6) trong đó hàm f(x,y) và F(x,y) được xác định trong vùng D là độ lệch ban đầu và vận tốc ban đầu của các điểm x,y của màng. Nếu xét dao động của màng, có biên gắn chặt, thì điều kiện biên được viết dưới dạng 𝑢|L =0 (1.7) 𝑢|L là kí hiệu giá trị của hàm uở các điểm của chu tuyến L. 1.2. DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẬT 1.2.1. Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật Ta hãy xét màng hình chữ nhật, lúc cân bằng nằm trong mặt phẳng (x,y) chiếm miền G{0  x  l ,0  y  m } (h1.3) các điều kiện biên gắn chặt được viết y dưới dạng sau: m 𝑢|𝑥=0 = 0 , 𝑢|𝑥=𝑙 = 0 { (1.8) 𝑢|𝑦=0 = 0 , 𝑢|𝑦=𝑚 = 0 0 l x Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình Hình 1.3 𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 (𝑢′′ 𝑥𝑥 + 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) = 0 (1.9) bằng phương pháp tách biến. Muốn vậy, ta viết u dưới dạng u= X(x)Y(y)T(t) Bởi vì: 𝑢′′𝑡𝑡 = XYT’’ ; 𝑢′′𝑥𝑥 = X’’YT ; 𝑢′′𝑦𝑦 = XY’’T cho nên phương trình (1.9) có dạng XYT’’ – a2(X’’YT+ XY’’T) = 0 T '' hay = a2( X ' '  Y ' ' ) (1.10) T X Y 7
Bởi vì vế trái không phụ thuộc vào x và y còn vế phải không phụ thuộc vào t, nên chúng phải là hằng số T '' = a2( X ' '  Y ' ' ) = c = const T X Y X '' 𝑌′′ Và = −𝜆2 , = −𝜇2 X 𝑌 Cả hai hằng số trên phải là âm để bài toán có nghiệm khác không. T '' Từ đó ta có = −(𝜆2 + 𝜇2 )𝑎2 T Do đó các hàm T(t), X(x), Y(y) thỏa mãn các phương trình vi phân thường X’’ +𝜆2 X=0 (1.11) Y’’+𝜇2 Y=0 (1.12) T’’+(𝜆2 − 𝜇2 )a2T=0 (1.13) Từ đó rút ra: 𝑇 = 𝐴 cos √𝜆2 + 𝜇2 𝑎𝑡 + 𝐵 sin √𝜆2 + 𝜇2 𝑎𝑡 X= C1cos  x+D1sin  x ; Y= C2cos  y+D2sin  y Để làm u= XYT thỏa mãn điều kiện biên (1.8), ta phải đặt 𝑋|𝑋=0 = 𝑋|𝑋=𝑙 𝑣à 𝑌|𝑌=0 = 𝑌|𝑌=𝑚 = 0 (1.14) Từ các đẳng thức này ta rút ra C1=0 ; C2=0, sin𝜆l = 0 và sin𝜇m =0 nghĩa là: λl = k1𝜋 , 𝜇m = k2𝜋 trong đó k1,k2 là các số nguyên tùy ý, ta đặt k1=1,2,3…..và k2=1,2,3… 𝑘1 𝜋 𝑘2 𝜋 vì thế ta có ∶ 𝜆= ; 𝜇= ; 𝑘2 , 𝑘1 = 1,2,3 … 𝑙 𝑚 𝑘12 𝜋 2 𝑘22 𝜋 2 𝑘12 𝜋 2 𝑘22 𝜋 2 𝑇(𝑡) = 𝐴 cos ( √ + 𝑎𝑡) + 𝐵 sin ( √ + 2 𝑎𝑡) 𝑙2 𝑚2 𝑙2 𝑚 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑦 𝑋(𝑥) = 𝐷1 sin ; 𝑌(𝑦) = 𝐷2 sin và u = X(x)Y(y)T(t) 𝑙 𝑙 𝑢 = {𝐴𝐷1 𝐷2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 + 𝐵𝐷1 𝐷2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡} sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦 8
𝑘12 𝜋 2 𝑘22 𝜋 2 𝑘12 𝑘22 𝜔𝑘1,𝑘2 =√ + 𝑎= √ + 𝜋𝑎 (1.15) 𝑙2 𝑚2 𝑙 2 𝑚2 𝑘1 𝜋 𝑘2 𝜋 và 𝜆𝑘1 = ; 𝜇𝑘2 = 𝑙 𝑙 Đặt các hằng số ∶ 𝐴𝐷1 𝐷2 = 𝑎𝑘1,𝑘2 ; 𝐵𝐷1 𝐷2 = 𝑏𝑘1 ,𝑘2 𝑢𝑘1,𝑘2 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = (𝑎𝑘1,𝑘2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 + 𝑏𝑘1,𝑘2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡) sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦 (1.16) Hàm (1.15) thỏa mãn phương trình(1.9) và các điều kiện biên (1.8), nghĩa là nghiệm của bài toán biên, các hàm 𝑋𝑘1 (𝑥) = sin 𝜆𝑘1 𝑥 𝑣à 𝑌𝑘2 (𝑦) = sin 𝜇𝑘2 𝑦 (1.17) là nghiệm của bài toán biên đối với các phương trình vi phân thông thường (1.11) (1.12) với các điều kiện biên (1.14). Vì thế các số 𝜆𝑘1 và 𝜇𝑘2 là các giá trị riêng còn (1.17) là các hàm riêng của bài toán biên này. Tần số 𝜔𝑘1,𝑘2 xác định bằng (1.15) được gọi là các tần số riêng của màng chữ nhật, còn dao động (1.16) là các dao động riêng, đó là các sóng đứng với màng chữ nhật. Mỗi điểm của màng x,y thực hiện một dao động điều hòa tần số 𝜔𝑘1,𝑘2 có biên độ là √∝2𝑘1,𝑘2 + 𝛽𝑘21,𝑘2 sin 𝜆𝑘1 𝑥 sin 𝜇𝑘2 𝑦 hơn nữa tất cả các điểm của màng đồng thời dạt được độ lệch cực đại của mình về 1phía này hay phía kia. Chẳng hạn trên (h1.4) ta có dạng của màng ( nghĩa là dạng của sóng đứng) ứng với các dao động u1,1(k1=, k2=1) ; u2,1(k1=2, k2=1) ; u1,2(k1=1, k2=2) ở thời điểm các độ lệch là cực đại. Với dao động 𝑢𝑘1,𝑘2 có (k1-1) đường thẳng 1 2 𝑘1 −1 song song với trục y là: 𝑥 = 𝑙; 𝑥 = 𝑙; … ; 𝑥 = 𝑙 ; 𝑘1 ≥ 2 𝑘1 𝑘1 𝑘1 và k2-1 đường thẳng song song với trục x là 9
1 2 𝑘2 − 1 𝑦= 𝑚; 𝑦 = 𝑚; … ; 𝑦 = 𝑚 ; 𝑘2 ≥ 2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 Bụng Bụng Đường nút Bụng Đường nút Hình 1.4 Chúng được gọi là các đường nút. Điểm mà màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên gọi là bụng. Song 𝑢𝑘1,𝑘2 có k1, k2 bụng ( k1  1, k2  1). Tần số âm cơ bản của màng ( tần số riêng thấp nhất ) là 𝜋2 𝜋2 1 1 𝑇 𝜔1,1 = √ 2 + 2 𝑎 = 𝜋√ 2 + 2 √ 𝑙 𝑚 𝑙 𝑚 𝜌 các tần số còn lại 𝜔𝑘1,𝑘2 là các họa âm. 𝜋 𝜋 𝑇 Đối với màng vuông, tần số âm cơ bản là: 𝜔1,1 = √2𝑎 = √2√ 𝑙 𝑙 𝜌 nghĩa là lớn hơn tần số âm cơ bản của sợi dây √2 lần. Bây giờ ta cộng tất cả các sóng dừng lại nghĩa là tổng 2 lần theo k1, k2 ∞ ∞ 𝑢 = ∑ ∑ 𝑢𝑘1,𝑘2 𝑘2 =1 𝑘1 =1 ∞ ∞ = ∑ ∑ ( 𝑎𝑘1,𝑘2 cos 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡 𝑘2 =1 𝑘1 =1 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑥 + 𝑏𝑘1 ,𝑘2 sin 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑡)sinsin (1.18) 𝑙 𝑚 Hàm này thỏa mãn phương trình (1.9) và điều kiện biên (1.8). 10
Bây giờ ta xác định hệ số 𝑎𝑘1,𝑘2 và𝑏𝑘1 ,𝑘2 từ các điều kiện ban đầu. Từ công thức (1.18), tại t=0, ta có ∞ ∞ 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑦 0
𝑏𝑘1,𝑘2 𝑙 𝑚 1 4 𝑘2 𝜋 𝑘1 𝜋 = ∫ ∫ 𝐹(, ) sin sin 𝑑𝑑 (1.22) 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑙𝑚 𝑚 𝑙 0 0 Do đó bài toán về dao động tự do của màng đã giải xong, nghiệm có dạng (1.18), các hệ số 𝑎𝑘1,𝑘2 và 𝑏𝑘1 ,𝑘2 được tính theo các công thức (1.21) (1.22), Còn 𝜔𝑘1,𝑘2 được tính theo công thức (1.15) Bài toán về dao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng phương pháp tách biến tương tự như bài toán dao động cưỡng bức của dây hữu hạn. Nghiệm của phương trình 𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 (𝑢′′ 𝑥𝑥 + 𝑢′′ 𝑦𝑦 ) = −𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) (1.23) với điều kiện ban đầu (1.6) và điều kiện biên (1.8) được viết dưới dạng ∞ ∞ 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑥 𝑢 = ∑ ∑ 𝑇𝑘1 ,𝑘2 (𝑡)sin sin (1.24) 𝑙 𝑙 𝑘2 =1 𝑘1 =1 vế phải –g(x,y,t) được khai triển thành chuỗi hai lớp theo sin ∞ ∞ 𝑘1 𝜋𝑥 𝑘2 𝜋𝑦 −𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑ ∑ 𝑘 (𝑡)sin sin , (1.25) 1 ,𝑘2 𝑙 𝑚 𝑘2 =1 𝑘1 =1 và đối với hàm 𝑇𝑘1,𝑘2 (𝑡) ta rút ra được phương trình vi phân thông thường từ phương trình(1.23) và khai triển (1.25) 𝑇′′𝑘1,𝑘2 + 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑇𝑘1 ,𝑘2 = 𝑘 (𝑡) 1 ,𝑘2 với điều kiện ban đầu 𝑇𝑘1,𝑘2 (0) = 𝑎𝑘1 ,𝑘2 , 𝑇′𝑘1,𝑘2 (0) = 𝜔𝑘1,𝑘2 𝑏𝑘1 ,𝑘2 , trong đó 𝑎𝑘1 ,𝑘2 và 𝑏𝑘1,𝑘2 được xác định bằng các công thức (1.21) và (1.22). Nghiệm của bài toán dao động cưỡng bức của màng sẽ xác định được nhờ thay thế 𝑇𝑘1,𝑘2 (𝑡) vào công thức (1.24) 12
1.2.2. Các đường nút trên màng chữ nhật Để đơn giản ta xét trường hợp màng hình vuông. Khi đó ta có m=l . Tần 𝜋 số dao động của sóng đứng là: 𝜔𝑘1,𝑘2 = 𝑎√𝑘12 + 𝑘22 𝑙 giá trị của 𝜔𝑘1,𝑘2 Không thay đổi, với các k1,k2 thỏa mãn phương trình 𝑘12 + 𝑘22 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Chẳng hạn với 𝜔1,1 ta luôn có một sóng đứng kể cả đối với màng chữ nhật. Ứng với 𝜔5,5 = 𝜔1,7 = 𝜔7,1 (52+ 52 = 12+72 = 72 +12), ta có ba sóng đứng có cùng tần số. Như vậy, sẽ có một vài hàm riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng ( bội của các giá trị riêng). Trong dao động của sợi dây, không có hiện tượng này. Ta xét trường hợp dao động của màng vuông có tần số 𝜔1,2 = 𝜔2,1=𝜋√5𝑎 dao động tổng hợp có dạng 2 𝜋 𝜋 𝜋𝑥 2𝜋𝑦 𝑢1,2 + 𝑢2,1 = (𝑎1,2 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏1,2 sin √5𝑎𝑡) sin sin 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝜋 𝜋 2𝜋𝑥 𝜋𝑦 + (𝑎2,1 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏2,1 sin √5𝑎𝑡) sin sin . 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 Ta tìm các đường nút trong dao động này nghĩa là các điểm đứng yên với mọi 𝑡 ≥ 0 ( u1, 2  u 2,1  0 ). Các điểm x,y đó phải thỏa mãn đẳng thức 𝜋𝑥 2𝜋𝑦 𝜋 𝜋 sin sin 𝑎2,1 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏2,1 sin √5𝑎𝑡 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 2𝜋𝑥 𝜋𝑦 =− 𝜋 𝜋 . sin sin 𝑎1,2 cos √5𝑎𝑡 + 𝑏1,2 sin √5𝑎𝑡 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 Từ đó ta rút ra 𝜋𝑥 2𝜋𝑦 sin sin 𝑝 𝑙 𝑙 2𝜋𝑥 𝜋𝑦 = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. sin sin 𝑞 𝑙 𝑙 Vì vế trái chỉ phụ thuộc tọa độ còn vế phải chỉ phụ thuộc thời gian, mặt 𝜋𝑦 𝜋𝑥 khác vì ở các điểm trong màng 0
𝜋𝑥 𝜋𝑦 𝜋𝑦 𝜋𝑦 sin 2 sin cos cos 𝑝 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝜋𝑦 = 𝜋𝑥 = . 2sin cos sin cos 𝑞 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝜋𝑦 𝜋𝑥 từ đó ta có phương trình của đường nút: 𝑞 cos = 𝑝 cos 𝑙 𝑙 Đó là dạng đơn giản nhất của các đường nút tương ứng với họa âm thấp nhất. Ta xét các trường hợp cụ thể: 𝜋𝑦 𝜋𝑥 a). 𝑝 = 𝑞 ≠ 0 thì cos = cos , ta rút ra 𝑙 𝑙 y=x : ta có đường nút là đường chéo của màng (h1.5) 𝑝 b). > 1 thì đường nút nằm trong một dải song song với trục y, trong đó bởi 𝑞 𝜋𝑥 𝑞 𝑙 𝑞 vì|cos | ≤ , nghĩa là trong dải |𝑥 − | ≤ 𝑎𝑟𝑐 sin (h5b) 𝑙 𝑝 2 𝑝 𝑙 c).q=0 thì 𝑥 = (h5c) 2 p 𝑙 𝑝 d).  1 , đường nút nằm trong dải |𝑥 − | ≤ 𝑎𝑟𝑐 sin | | (h1.5d) q 2 𝑞 e).𝑝 ≠ −𝑞 ≠ 0 thì y= l-x, đường nút là đường chéo thứ hai của màng (h1.5e) 𝑝 f).−1 < < 0, thay y cho x ta dẫn đến trường hợp d) (h1.5f) 𝑞 𝑙 g).p=0 thì 𝑦 = (h5g) 2 𝑝 h).0 < < 1 thay y cho x ta dẫn đến trường hợp b) (h1.5h) 𝑞 y y y y l l l l 0 0 b 0 y 0 d x a l x l x c l x l y y y l l l l 0 0 0 0 l x g l x h l x e l x f Hình 1.5 14
𝑙 Tất cả các đường nút đều đi qua tâm của màng 𝑥 = 𝑦 = hình 1.5 biểu 2 diễn tất cả các đường nút đó. Đối với các tần số riêng cao hơn 𝜔𝑘1 ,𝑘2 ( k1  2, k2  2) các đường nút có dạng phức tạp hơn. 1.3. PHƯƠNG TRÌNH BETSEN Xét dao động của một màng tròn. Giả sử màng chiếm một hình trong D bán kính q trên mặt phẳng xy có tâm ở gốc tọa độ. Nếu ta dùng tọa độ cực thì phương trình của đường tròn biên của màng sẽ là r=q (h1.6) độ lệch của một điểm của màng u là r,  và t: u=u( r,  ,t) y Điều kiện biên bây giờ có dạng r 𝜑 𝑢|𝑟=𝑞 = 0 (1.26) 0 q x Trong tọa độ cực, toán tử laplaxo hai chiều có dạng Hình 1.6 2 1𝜕 𝜕𝑢 1 𝜕 𝑢 ∆𝑢 ≡ 𝑢′′𝑥𝑥 + 𝑢′′𝑦𝑦 = (𝑟 ) + 2 ( 2 ) 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 (có thể suy ra từ toán tử laplaxo trong tọa độ trụ với 𝑢′′𝑧𝑧 = 0) Do đó có phương trình dao động tự do của màng trong hệ tọa độ cực có dạng 2 1𝜕 𝜕𝑢 1 𝜕2𝑢 𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎 [ (𝑟 ) + 2 ( 2 )] = 0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 1 1 ℎ𝑎𝑦 𝑢′′𝑡𝑡 − 𝑎2 [ (𝑟𝑢′ 𝑟 )′𝑟 + 2 𝑢′′ 𝜑𝜑 ] = 0 (1.27) 𝑟 𝑟 Các điều kiện ban đầu trong hệ tọa độ cực có dạng 𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑟, 𝜑) ; 𝑢′𝑡 |𝑡=0 = 𝐹(𝑟, 𝜑) (1.28) Dùng phương pháp tách biến, ta có thể viết nghiệm của phương trình (1.27) biểu diễn sóng đứng trên màng tròn dưới dạng 𝑢 = 𝑅(𝑟)𝛷(𝜑)𝑇(𝑡) 15
Thay vào phương trình (1.27) ta được 1 1 𝑅𝑇 ′′ − 𝑎2 [ (𝑟𝑅′ )′ 𝑇 + 2 𝑅′′ 𝑇] = 0 𝑟 𝑟 1 𝑇′′ (𝑟𝑅′ )′ 1 ′′ 2 𝑟 hay −𝑎 [ + 2 ]=0 𝑇 𝑅 𝑟  𝑇′′ Từ phương trình này, ta có thể đặt: = −𝑣 2 𝑎2 (1.29) 𝑇 1 (𝑟𝑅′ )′ 1 ′′ 𝑟 và + = −𝑣 2 (1.30) 𝑅 𝑟  2 trong đó v là hằng số Phương trình ( 1.30) có thể viết dưới dạng 1 ′′ 2 𝑟 (𝑟𝑅′)′ = −𝑟 [ + 𝑣2]  𝑅 ′′ từ đó rút ra =𝑐 (1.31)  1 (𝑟𝑅′ )′ 2 𝑟 và −𝑟 [ + 𝑣2] = 𝑐 (1.32) 𝑅 trong đó c là hằng số, có giá trị phụ thuộc vào sự tuần hoàn của hàm : Φ(𝜑 + 2𝜋) = 𝛷(𝜑). Thực vậy, từ phương trình (1.31) ta tìm được (𝜑)=𝐷1 cos 𝑘𝜑 + 𝐷2 sin 𝑘𝜑 (1.33) trong đó D1 và D2 là các hằng số bất kỳ và k2 = -c Vì thế đối với hàm R(r) ta có phương trình 1 (𝑟𝑅′)′ -r [2 𝑟 + 𝑣 2 ] = −𝑘 2 𝑅 ′′ 1 ′ 2 𝑘2 Hay 𝑅 + 𝑅 + (𝑣 − 2 ) 𝑅 = 0 𝑟 𝑟 Bây giờ ta đưa vào biến số mới x=vr và đặt 16