Khối đa diện

Chia sẻ: Trinhthu Trang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

256
lượt xem 111
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12, TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khối đa diện

KHỐI ĐA DIỆN CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12 I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG AB AC 1. sin α = (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos α = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AB AC 3. tan α = (ĐỐI chia KỀ) 4. cot α = A (KỀ chia ĐỐI) AC AB II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) α 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC B C H 1 1 1 = + 4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. 2 AB AC2 2 AH III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC IV. ĐỊNH LÍ SIN a b c = = = 2R sin A sin B sin C V. ĐỊNH LÍ TALET A MN // BC AM AN MN AM AN = = = a) ; b) N M AB AC BC MB NC VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG B C 1. Tam giác thường: 1 b) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông) a) S = ah 2 c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a: a2 3 a3 a) Đường cao: h = ; b) S = 2 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông: 1 a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 2 b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): 1 a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2 2 5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o A a2 3 a3 b) BC = 2AB c) AC = d) S = 8 2 60 o 30 o 1 B C 6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 Trang 1
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 1 8. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 2 b) Đường chéo bằng a 2 9. Hình vuông: a) S = a2 10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11. Đường tròn: a) C = 2 π R (R: bán kính đường tròn) b) S = π R2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm 2 1 b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN A 3 3 N M G C B P 2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: a) Có đáy là đa giác đều b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp( α ): d ⊥ a; d ⊥ b  a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp( α ) Tức là: a ∩ b ⇒d a,b ⊂ α  α) ⊥( (α) ⊥ (β)  b) (α) ∩ (β) = a ⇒ d ⊥ ( α ) a ⊥ d ⊂ (β)  Trang 2
c) Đt d vuông góc với mp( α ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp( α ) 4. Góc ϕ giữa đt d và mp( α ): d cắt ( α ) tại O và A∈ d AH ⊥ (α) thì góc giữa d và ( α ) là ϕ hay AOH = ϕ ˆ Nếu  H ∈ (α )  d A O ϕ 5. Góc giữa 2 mp( α ) và mp( β ): d' H α (α) ∩ (β) = AB  Nếu FM ⊥ AB;EM ⊥ AB β EM ⊂ (α),FM ⊂ (β)  F thì góc giữa ( α ) và ( β ) là ϕ hay EMF = ϕ ˆ 6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ): E (hình ở mục 4) B ϕ Nếu AH ⊥ ( α ) thì d(A, ( α )) = AH M (với H ∈ ( α )) α A IX. KHỐI ĐA DIỆN: 1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 1 2. Thể tích khối chóp: V = Bh (diện tích đáy là đa giác) 3 VS.A′B′C′ SA′ SB′ SC′ = . . 3. Tỉ số thể tích của khối chóp: VS.ABC SA SB SC 4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 1 5. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) 3 6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = πR 2 h ( h: chiều cao khối trụ) 8. Diện tích của mặt cầu: S = 4 πR 2 (R: bk mặt cầu ) 43 9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = πR (R: bán kính mặt cầu) 3 Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a A HD: * Đáy là ∆ BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a 1 1 a2 3 ( ∆ BCD * Tính: V = Bh = SBCD . AH * Tính: SBCD = 3 3 4 đều cạnh a) D B * Tính AH: Trong ∆ V ABH tại H : H 2 a3 a M AH = AB – BH (biết AB = a; BH = BM với BM = 2 2 2 ) 3 2 C a3 2 ĐS: V = 12 Trang 3
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a S HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo * Tất cả các cạnh đều đầu bằng a 1 1 Bh = SABCD . SH * Tính: SABCD = a2 * Tính: V = 3 3 * Tính AH: Trong ∆ V SAH tại H: A D a 2) SH = SA – AH (biết SA = a; AH = 2 2 2 a 2 H C B a3 2 a3 2 . Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V = ĐS: V = 6 3 Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A ’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích của khối lăng trụ A B b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C C HD: a) * Đáy A’B’C’ là ∆ đều cạnh a . AA’ là đường cao * Tất cả các cạnh đều bằng a * VABC.A ′B′C′ = Bh = SA ′B′C′ .AA’ SA ′B′C′ = a 3 (A’B’C’ là ∆ đều cạnh a) và AA’ = a 2 * Tính: 4 B' A' 1 a3 a3 3 3 ĐS: VABC.A ′B′C′ = b) VA ′BB′C = VABC.A ′B′C′ ĐS: 3 4 12 C' ( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau) ∧ Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C = 600, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300. B' C' a) Tính độ dài cạnh AC b) Tính thể tích lăng trụ ’ A' HD: a) * Xác định ϕ là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’) + CM: BA ⊥ ( ACC’A’) 30° • BA ⊥ AC (vì ∆ ABC vuông tại A) • BA ⊥ AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) + ϕ = B C′ A = 300 ∧ * Tính AC’: Trong ∆ V BAC’ tại A (vì BA ⊥ AC’) C AB AB B 60 ° ⇒ AC’ = 3 0 tan30 = tan300 = AB AC′ A AB * Tính AB: Trong ∆ V ABC tại A, ta có: tan600 = AC ⇒ AB = AC. tan60 = a 3 (vì AC = a). 0 ĐS: AC’ = 3a 1 1 VABC.A ′B′C′ = Bh = SABC .CC’ * Tính: SABC = AB.AC = .a 3 .a = a 3 2 b) 2 2 2 ∆ V ACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 ⇒ CC’ = 2a 2 ’ * Tính CC : Trong ĐS: VABC.A ′B′C′ = a3 6 Trang 4
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ. HD: * Kẻ A’H ⊥ (ABC) * A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ∆ ABC đều cạnh a * Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là ϕ = A ′ A H = 600 ∧ A' C' * Tính: VABC.A ′B′C′ = Bh = SABC .A’H a2 3 * Tính: SABC = (Vì ∆ ABC đều cạnh a) B' 4 * Tính A’H: Trong ∆ V AA’H tại H, ta có: A ′H 2 60 ° ⇒ A’H = AH. tan600 = AN. 3 = a tan600 = A AH 3 C a3 3 a ĐS: VABC.A ′B′C′ = H 4 N B Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và ’ ’ ’ ’ AA = 3a. Tính thể tích của lăng trụ B' C' HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a * Tính: VABC.A ′B′C′ = Bh = SABC .AA’ 1 A' * Tính: SABC = AB.AC (biết AC = a) 2 3a * Tính AB: Trong ∆ V ABC tại A, ta có: 2a B 2 2 2 2 2 2 AB = BC – AC = 4a – a = 3a C 3a3 3 a ĐS: VABC.A ′B′C′ = 2 A ∧ Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 600. Chân đường ’ ’ ’ ’ vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB ’ = a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp D' C' HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD * B’O ⊥ (ABCD) (gt) B' * Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là ϕ = B′ BO ∧A' * Tính ϕ = B′ BO : Trong ∆ V BB’O tại O, ta có: ∧ a OB OB cos ϕ = = BB′ a D C + ∆ ABD đều cạnh a (vì A = 60 và AB = a) ⇒ DB = a ∧ 0 ϕ 60 ° O a 1 1 A a B DB = . Suy ra: cos ϕ = ⇒ ϕ = 600 ⇒ OB = S 2 2 2 ⇒ SABCD = 2. a 3 = a 3 2 2 b) * Đáy ABCD là tổng của 2 ∆ đều ABD và BDC 4 2 a 3 .B’O 2 * VABCD.A ′B′C′D′ = Bh = SABCD .B’O = 2 3B 3 a A a3 (vì ∆ B BO là nửa tam giác đều) ĐS: ’ ’ ’ * Tính B O: B O = 4 2 H M a Trang 5 C
Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH a) Chứng minh: SA ⊥ BC b) Tính thể tích của hình chóp HD: a) Gọi M là trung điểm của BC * CM: BC ⊥ SH (SH ⊥ mp( ABC)) BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ mp(SAM). Suy ra: SA ⊥ BC (đpcm) b) * Tất cả các cạnh đều bằng a 1 1 a2 3 * Tính: VS.ABC = Bh = SABC .SH * Tính: SABC = 3 3 4 * Tính SH: Trong ∆ V SAH tại H, ta có: SH = SA – AH2 2 2 2 a3 a3 2 vì ∆ ABC đều cạnh a). ĐS: VS.ABC = (biết SA = a; AH = AM mà AM = 3 2 12 Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC HD: a) Hạ SH ⊥ (ABC) ⇒ H là trọng tâm của ∆ ABC đều cạnh a Gọi E là trung điểm của BC * Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là ϕ = SA E = 600 ∧ S VS.DBC SD SB SC SD = = .. * Tính: VS.ABC SA SB SC SA * Tính SD: SD = SA – AD * Tính SA: SA = 2AH (vì ∆ SAH là nửa tam giác đều) D 2 a 3 vì ABC đều cạnh a. ∆ ° 60 và AH = AE mà AE = C A 3 2 a H 2a 3 E Suy ra: SA = 3 B AE a3 ( vì ∆ ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD = * Tính AD: AD = 2 4 5a 3 . ĐS: VS.DBC = SD = 5 * Suy ra: SD = VS.ABC SA 8 12 1 1 a2 3 (vì ∆ ABC đều cạnh a) b) Cách 1: * Tính VS.ABC = Bh = SABC.SH * Tính: SABC = 3 3 4 SH * Tính SH: Trong ∆ V SAH tại H, ta có: sin600 = ⇒ SH = SA.sin600 = a. SA a3 3 Suy ra: VS.ABC = 12 VS.DBC 5 = . Suy ra: VS.DBC = 5a 3 3 * Từ VS.ABC 8 96 1 1 1 * Tính: SDBC = DE.BC Cách 2: * Tính: VS.DBC = Bh = SDBC.SD 3 3 2 DE 3a * Tính DE: Trong ∆ V ADE tại D, ta có: sin600 = ⇒ DE = AE.sin600 = . AE 4 Trang 6
3a 2 Suy ra: SDBC = 8 Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB S a) Chứng minh rằng: SH ⊥ (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB) ⊥ (ABCD) * (SAB) ∩ (ABCD) = AB; * SH ⊂ (SAB) * SH ⊥ AB ( là đường cao của ∆ SAB đều) Suy ra: SH ⊥ (ABCD) (đpcm) 1 1 A B b) * Tính: VS.ABCD = Bh = SABCD.SH H 3 3 a 3 (vì SAB đều Dạnh a) C ∆ a * Tính: SABCD = a2 * Tính: SH = c 2 a3 3 ĐS: VS.ABCD = 6 Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. HD: * Hạ SH ⊥ (ABC) và kẻ HM ⊥ AB, HN ⊥ BC, HP ⊥ AC S * Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là ϕ = SM H = 600 ∧ * Ta có: Các ∆ vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600) * Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC 1 1 * Tính: VS.ABC = Bh = SABC .SH 3 3 P 7a A C p(p − a)(p − b)(p − c) * Tính: SABC = ° 60 6a p(p − AB)(p − BC)(p − CA) (công thức Hê-rông) M H = N 5a + 6a + 7a 5a = 9a Suy ra: SABC = 6 6a2 * Tính: p = 2 B SH * Tính SH: Trong ∆ V SMH tại H, ta có: tan600 = ⇒ SH = MH. tan600 MH SABC 2a 6 * Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH ⇒ MH = = p 3 Suy ra: SH = 2a 2 ĐS: VS.ABC = 8a3 3 Trang 7
a3 3 Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng . 6 a5 Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA = 2 3a Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng và thể tích bằng a3. 2 Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB = a 2 Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3/8, các mặt bên tạo với đáy ĐS: AB = a 3 (ABC) một góc 600. Tính độ dài cạng đáy AB. Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (2 tiết) Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình A nón b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Sxq = π Rl = π .OB.AB = 15 π Tính: AB = 5 ( ∆ ∨ AOB tại O) 4 * Stp = Sxq + Sđáy = 15 π + 9 π = 24 π 12 1 12 B O 3 b) V = πR h = π.OB .OA = π.3 .4 = 12 π 2 3 3 3 Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón S b) Tính thể tích của khối nón HD: a) * Sxq = π Rl = π .OB.SB = 2 π a2 * Stp = Sxq + Sđáy = 2 π a2 + π a2 = 23 π a2 2a πa3 3 12 1 12 b) V = πR h = π.OB .SO = π.a .a 3 = 2 3 3 3 3 A B O 2a 3 = a 3 (vì SO là đường cao của ∆ SAB đều cạnh 2a) Tính: SO = 2 Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón S ∧ ∧ HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A = B = 45 0 * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π a2 2 Tính: SA = a 2 ; OA = a ( ∆ ∨ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = π a2 2 + π a2 = (1 + 2 ) π a2 45 πa3 12 1 1 A B O πR h = π.OA 2 .SO = π.a2 .a = b) V = 3 3 3 3 Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón ∧ ∧ HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450 Trang 8
πl 2 l * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . .l = 2 2 S l ( ∆ ∨ SOA tại O) Tính: OA = 2 πl 2 πl 2  1 1  2 + ÷πl * Stp = Sxq + Sđáy = + =  2 2 2 2 l πl3 1 l2 l 12 1 b) V = πR h = π.OA .SO = π. . = 2 3 3 3 2 2 62 45 A B l O ( ∆ ∨ SOA tại O) Tính: SO = 2 Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón ∧ ∧ HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A = B = 300 ∧ ∧ hay A SO = B SO = 600 S * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . a 3 .2a = 2πa2 3 120 Tính: OA = a 3 ; SA = 2a ( ∆ ∨ SOA tại O) ( ) * Stp = Sxq + Sđáy = 2πa2 3 + 3 π a2 = 2 3 + 3 πa 2 a 12 1 1 πR h = π.OA 2 .SO = π.3a2 .a = πa3 b) V = A B 3 3 3 O Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón S HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A = B = α ∧ ∧ * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . lcos α .l = πl 2 cosα Tính: OA = lcos α ( ∆ ∨ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = πl 2 cosα + π l2cos2 α = ( 1 + cosα ) πl cosα l 2 12 1 πR h = π.OA 2 .SO b) V = α 3 3 A B O πl 3cos2α sinα 122 = π.l cos α .lsinα = 3 3 Tính: SO = lsin α ( ∆ ∨ SOA tại O) Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2 π a2. Tính thể tích của hình nón 2πa2 2a2 S HD: * Sxq = π Rl ⇔ π Rl = 2 π a2 ⇒ R = = =a πl 2a * Tính: SO = a 3 ( ∆ ∨ SOA tại O) 2a πa3 3 12 1 1 πR h = π.OA 2 .SO = π.a2 .a 3 = *V= 3 3 3 3 A B O Trang 9
Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9 π . Tính thể tích của hình nón HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều * Sđáy = π R2 ⇔ 9 π = π R2 ⇔ R2 = 9 ⇔ R = 3 S AB 3 2R 3 = =3 3 * SO = 2 2 60 12 1 12 * V = πR h = π.OA .SO = π.3 .3 3 = 9π 3 2 3 3 3 A B O Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này ∧ ∧ HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450 πa2 a * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . .a = 2 2 a S ( ∆ ∨ SOA tại O) Tính: OA = 2 πa2 πa2  1 1  2 + ÷πa * Stp = Sxq + Sđáy = + =  2 2 2 2 a πa3 1 a2 a 12 1 b) V = πR h = π.OA .SO = π. . = 2 3 3 3 2 2 62 a ( ∆ ∨ SOA tại O) 45 Tính: SO = A B O 2 M ∧ C c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600: SM O = 600 1 1 a 6 2a 3 a2 2 * SSAC = SM.AC = . . = 2 23 3 3 a6 ∆ 2a 3 ( ∨ SMO tại O). * Tính: AC = 2AM = * Tính: SM = 3 3 a3 a6 ∆ * Tính: AM = OA 2 − OM 2 = ( ∨ SMO tại O) * Tính: OM = 3 6 Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Trang 10
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó S HD: a) * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π .25.SA = 25 π 1025 (cm2) Tính: SA = 1025 ( ∆ ∨ SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 25 π 1025 + 625 π 12 1 1 πR h = π.OA 2 .SO = π.252.202 (cm3) b) V = l 3 3 3 h c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH = 12cm H 1 1 O * SSAB = .AB.SI = .40.25 = 500(cm2) A 2 2 I OS.OI 20.OI B = 25(cm) ( ∆ ∨ SOI tại O) * Tính: SI = = OH 12 1 1 1 ⇒ OI = 15(cm) ( ∆ ∨ SOI tại O) = - * Tính: OI 2 OH2 OS2 * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = OA 2 − OI 2 = 20 (cm) ( ∆ ∨ AOI tại I) Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC ∧ ∧ HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450 πa2 2 a2 * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π . .a = S 2 2 AB a 2 Tính: SA = a ( ∆ ∨ SOA tại O) Tính: OA = = ; 2 2 πa2 2 πa ( 2 + 1)πa2 2 * Stp = Sxq + Sđáy = + = 2 2 2 1 a a 2 πa3 2 12 1 2 b) V = πR h = π.OA .SO = π. . = 2 O 3 3 322 12 A B a2 M a2 ∆ ( ∨ SOA tại O) C Tính: SO = 2 1 a 2 2a a2 2 1 ∧ c) * Kẻ OM ⊥ BC ⇒ SM O = 600 ; * SSBC = SM.BC = . . = 2 233 3 a a2 ( ∆ ∨ SOM tại O) * Tính: BM = ( ∆ ∨ SMB tại M) * Tính: SM = 3 3 Trang 11
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ B b) Tính thể tích của khối trụ O HD: a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .R.2R = 4 π R2 A ’ * OA =R; AA = 2R * Stp = Sxq + 2Sđáy = 4 π R2 + π R2 = 5 π R2 h l b) * V = πR h = π.OA .OO′ = π.R .2R = 2πR 2 2 2 3 B' O' A' Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên HD: a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .5.7 = 70 π (cm2) B O * OA = 5cm; AA’ = 7cm * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 π + 50 π = 120 π (cm2) I r b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π .52.7 = 175 π (cm3) A c) * Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI = 3cm l h * SABB′A ′ = AB.AA = 8.7 = 56 (cm ) (hình chữ nhật) ’ 2 * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) ( ∆ ∨ OAI tại I) O' B' Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 A' a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ A HD: a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .r. r 3 = 2 3 π r2 r O * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 π r2 3 + 2 π r2 = 2 ( 3 + 1) π r2 b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.r2 .r 3 = πr3 3 c) * OO’//AA’ ⇒ BA A ′ = 300 ∧ r3 * Kẻ O’H ⊥ A’B ⇒ O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB A' và trục OO’ của hình trụ O' r3 H (vì ∆ BA’O’ đều cạnh r) * Tính: O’H = 2 B * C/m: ∆ BA O đều cạnh r ’’ * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r ( ∆ ∨ AA’B tại A’) r2 r 3 ∆ ’ ’ O′A ′ − A ′H = r− = ( ∨ A O H tại H) Cách khác: * Tính O’H = 2 2 2 4 2 A ′B r * Tính: A’B = r ( ∆ ∨ AA’B tại A’) * Tính: A’H = = 2 2 Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ Trang 12
HD: a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .R. R 2 = 2 2 π R2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 π R2 + 2 π R2 = 2 ( 2 + 1) π R2 b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .R 2 = πR3 2 O R A R2 Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm. O' A' a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ ( Cách giải và hình vẽ như bài 14) * Sxq = 2 π Rl = 5000 π (cm2) ĐS: a) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 π + 5000 π = 10000 π (cm2) * V = πR 2 h = 125000 π (cm3) b) * O’H = 25(cm) c) Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ∆ ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD. * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; 1 * Chứng minh: ∆ DAC vuông tại A ⇒ OA = OC = OD = CD 2 (T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) 1 * Chứng minh: ∆ DBC vuông tại B ⇒ OB = CD 2 D CD 1 * OA = OB = OC = OD = CD ⇔ A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; ) 2 2 CD 1 1 O AD2 + AC2 = AD2 + AB2 + BC2 b) * Bán kính R = = 2 2 2 1 5a 2 25a2 + 9a2 + 16a2 = = C 2 2 A 2 3 B  5a 2  4  5a 2  125 2πa3 4 π R3 = π  * S = 4π  ÷ = 50πa ; ÷= 2 *V= 3 2 3 2  3 Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS a3π 2 a2 ; S = 2a2 π ; V = b) R = OA = 3 2 Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S Trang 13
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu HD: a) * Gọi O là trung điểm SC * Chứng minh: Các ∆ SAC, ∆ SCD, ∆ SBC S lần lượt vuông tại A, D, B SC SC ⇔ S(O; * OA = OB = OC = OD = OS = ) 2 2 SC 1 a6 O SA 2 + AB2 + BC2 = b) * R = = 2a 2 2 2 A 2 3 a 6 4 a 6 D * S = 4π  ÷ = 6πa ; * V = π  ÷ = πa 6 2 3 2 32 B a C Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ ∆ vuông góc với mp(SAB) tại I * Dựng mp trung trực của SC cắt ∆ tại O ⇒ OC = OS (1) * I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB (vì ∆ SAB vuông tại S) ⇒ OA = OB = OS (2) * Từ (1) và (2) ⇒ OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) 2 2 a2 + b2 + c2  SC   AB  = OI + AI =  ÷ + 2 2 * R = OA = ÷ 2 2 4 C 2  a2 + b2 + c2  * S = 4π  ÷ = π(a + b + c ) 2 2 2  ÷ 4   c O S B b 3 4  a2 + b2 + c2 1 a * V = π ÷ = π(a + b + c ) a + b + c I 2 2 2 2 2 2 3 ÷6 4   A Trang 14