Kiến thức cơ bản: lũy thừa hàm số mũ

Chia sẻ: Nguyễn Hữu Chung Kiên | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

283
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình và bất phương trình mũ-logarit 1. Phương trình mũ-logarit a. Phương trình mũ : Đưa về cùng cơ số +0 Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3 ), (7 4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kiến thức cơ bản: lũy thừa hàm số mũ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số mũ I. • y=ax; TXĐ D=R • Bảng biến thiên a>1 01 00; m, n∈R ta có: an 1 1 − − = a n − m ;( n =a m ; a0=1; a 1= ); anam =an+m; m a a a n an a m = m;  (an)m =anm ; (ab)n=anbn; = n am . a n b b 2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (00) Với 0
α logax =α ax; a log a x = x ; log log b x 1 1 log aα x = log a x ;(logaax=x); logax= ;(logab= ) α log b a log b a alogbx=xlogba. logba.logax=logbx; IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit 1. Phương trình mũ−logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0 0  + 00), để đưa về một phương trình đại số.. Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3 ), (7 4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)⇔(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0 0] . +logaf(x)= logag(x)⇔ f ( x ) > 0 +logaf(x)=g(x)⇔    f ( x) = a g( x)  f ( x) = g ( x)  Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũ−logarit a. Bất phương trình mũ: a > 0 a > 0  af(x)>ag(x) ⇔  af(x)≥ ag(x) ⇔   ; . ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0 Đặt biệt: af(x)>ag(x)⇔ * Nếu a>1 thì: f(x)>g(x); af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x). ⇔ f(x)< g(x); * Nếu 0logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 logaf(x)≥logag(x)⇔ f ( x ) > 0, g ( x ) > 0   ; . ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0] ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]   Đặt biệt:  f ( x) > g ( x) ⇔  + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ; g( x) > 0  f ( x) < g( x) ⇔  + Nếu 0 0 * * * 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích ( ) − 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . 2 2 2 +x −x −x − 4.2 x − 22 x + 4 = 0 � 2 x x Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành ( ) − 1 . ( 22 x − 4 ) = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. 2 −x x tích: 2 ( ) Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 ( log 9 x ) = log3 x.log 3 2 2x + 1 − 1 . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: ( ) � 3 x − 2 log 3 2 x + 1 − 1 � 3 x = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. log .log � � Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ đ ược thì ta bi ến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 x + 2( x − 2)3x + 2 x − 5 = 0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0 � t = −1, t = 5 − 2 x . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: log 3 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2 x + 6 = 0 . Đặt t = log3(x+1), ta có: 2 t 2 + ( x − 5 ) t − 2 x + 6 = 0 � t = 2, t = 3 − x ⇒ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng ( a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) � u = v . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng ( a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ∃c ∈ ( a; b ) : F ( b) − F ( a ) F ' ( c) = . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì b−a ∃c � a; b ) : F ' ( c ) = 0 � F ' ( x ) = 0 có nghiệm thuộc (a;b). ( Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 2.3log2 x = 3 . Hướng dẫn: x + 2.3log2 x = 3 � 2.3log 2 x = 3 − x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x + 2 x = 5 x + 3x . Phương trình tương đương 6 x − 5 x = 3x − 2 x , giả sử phương trình có nghiêm α. Khi đó: 6 α − 5 α = 3α − 2 α . Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) − t α , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c ( 2;5) α ( c α −1 − cα −1 � 0 � α = 0, α = 1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của sao cho: f ( c ) = 0 � α � + 1) ' = � � phương trình. 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: −2 x − x + 2 x −1 = ( x − 1) 2 . Viết lại phương trình dưới dạng + x 2 − x , xét hàm số f ( t ) = 2 + t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình t 2 2 x −1 + x − 1 = 2 x −x được viết dưới dạng: f ( x − 1) = f ( x − x ) � x − 1 = x − x � x = 1 . 2 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 2 x = 3 x + 2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. 3
Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 � f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 � Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. y e x = 2007 − y −1 2 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. x e y = 2007 − x2 − 1 x HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f ( x ) = e + − 2007 . x x −1 2 Nếu x < −1 thì f ( x ) < e − 2007 < 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm. −1 Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. b a 1 1 Ví dụ 6: Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng � a + a � � b + b �(ĐH Khối D−2007) 2 2 � �� 2�� 2� � 1 1 ln � a + a � ln � b + b � 2 2 � � � � 2 � Xét hàm số 1� 1� HD: BĐT . 2� � � b ln � a ln � b �+ � + 2 a 2 � a� � � a b 2b � 2� � � 1 ln � x + x � 2 � � 2 �với x > 0 � f ( x) = x Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a ≥ b > 0 ta có f (a ) ≤ f ( b ) (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình log 7 x = log3 ( x + 2) . Đặt t = log 7 x � x = 7t Khi đó phương trình trở thành: t t �7� 1 t = log 3 ( 7 + 2) � 3 = 7 + 2 � 1 = � �+ 2. � � t t t . �� 3� 3 �� 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp ( x2 − 2 x − 3 ) . Ví dụ 1: Giải phương trình log 4 6 ( x 2 − 2 x − 2) = 2 log 5 Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6 ( t + 1) = log5 t . ( ) log x Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x + 3 6 = log 6 x . Đặt t = log 6 x , phương trình tương đương t 3 �� 6t + 3t = 2t � 3t + � �= 1 . 2 �� logb ( x +c ) 3. Dạng 3: ( Điều kiện: b = a + c ) =x a Ví dụ 1: Giải phương trình 4log7 ( x +3) = x . Đặt t = log 7 ( x + 3) � 7t = x + 3 , phương trình tương t t 4 1 đương 4t = 7t − 3 � � �+ 3. � �= 1 . �� 7 7 �� Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log3 ( x + 5 ) = x + 4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2 log3 ( t +1) = t Ví dụ 3: Giải phương trình 4log3 ( x +1) − ( x − 1) 2log3 ( x +1) − x = 0 . , với d = ac + α , e = bc + β ( dx +e ) + x +β 4. Dạng 4: α s ax + =c log s b Phương pháp: Đặt ay + b = log s (dx + e) rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax +b + acx = s ay +b + acy . Xét f ( t ) = s at +b + act . Ví dụ: Giải phương trình 7 x −1 = 6 log 7 (6 x − 5) + 1 . Đặt y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) . Khi đó chuyển thành hệ � = 6 ( y − 1) + 1 7 x −1 7 x −1 � = 6y − 5 � 7 x −1 + 6 x = 7 y −1 + 6 y . Xét hàm số f ( t ) = 7t −1 + 6t suy ra x=y, Khi � � y −1 � y − 1 = log 7 ( 6 x − 5 ) 7 = 6x − 5 4
đó: 7 x −1 − 6 x + 5 = 0 . Xét hàm số g ( x ) = 7 x −1 − 6 x + 5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. 2x 8 18 +x = x −1 1− x Ví dụ: Giải phương trình x −1 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 8 1 18 + 1− x = x −1 1− x , đặt u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1.u, v > 0 . HD: Viết phương trình dưới dạng x −1 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 81 18 += Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: u v u + v u.v = u + v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: ( ) x −2 a. ( x 2 − x + 1 ) c. ( x 2 − 2 x + 2 ) x 2 −1 4− x2 x − x2 =1 =1 =1. b. Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 34 x +8 − 4.32 x + 5 + 27 = 0 b. 22 x + 6 + 2 x + 7 − 17 = 0 c. ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) − 4 = 0 d. ( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2 x +3 x x x x ( ) +( ) x x e. ( 7 + 4 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) + 2 = 0 x x 2− 3 2+ 3 =4 f. 1 1 1 g. 3.16 x + 2.8 x = 5.36 x h. 2.4 x + 6 x = 9 x Bài 3: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) 2 x x b. x − 3 − 2 x + 2 1 − 2 = 0 a. 3x + 4 x = 5 x 2 2 d. 3x + x − 4 = 0 c. 2 x − 5 x + 6 + 21− x = 2.26 − 5 x + 1 f. 32 x −3 + (3 x − 10)3 x −2 + 3 − x = 0 e. 22x −1 + 32x + 52x +1 = 2x + 3x +1 + 5x +2 h. 4 x 2 −3 x + 2 + 4 x 2 + 6 x +5 = 42 x 2 +3 x +7 + 1 2 −x + 2 x −1 = ( x − 1) 2 g. − 2 x j. 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 i. 6 x + 2 x = 5 x + 3 x x x k. 1 + 8 2 = 3 x l. 15 2 + 1 = 4 x n. 2.2 − x − 2 x + 1 = 0 m. 5 x = 6 − x o. 2 x + 3 x − 5 x = 0 p. 3 x + 8 x = 4 x + 7 x r. 8 − x.2 x + 2 3− x − x = 0 q. 9 x + 15 x = 10 x + 14 x ( ) s. x.2 x = x( 3 − x ) + 2 2 x − 1 t. 5 2 x +1 − 5 3 x − x + 1 = 0 u. 3 x − 2 x − 3 2 x − 3 = 1 − ( x − 2 ) 2 2 v. 4 x + 7 x = 9 x + 2 Bài 4: Giải các phương trình sau: 5 x + y = 125 4 x + y = 128 32 x − 2 y = 77 a. b. b. 53 x −2 y −3 = 1 2 3x − 2 y = 7 4( x − y ) −1 = 1 x− y x− y = m2 − m −m 4 x y m2 2 + 2 = 12 với m, n > 1. d. e. x+ y x+ y x+ y =5 = n2 − n −n 6 n3 Bài 5: Giải và biện luận phương trình: a . ( m − 2 ) .2 x + m.2− x + m = 0 . b . m.3x + m.3− x = 8 . Bài 6: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm: (m − 4).9 x − 2( m − 2).3 x + m − 1 = 0 . 5
Bài 7: Giải các bất phương trình sau: 1 6 1 a. x b. 2 x −1 9 < 3 x+2 2 3 x +1 2 ( ) x 2 c. 1 < 5 x − x < 25 d. x 2 − x + 1 x2 −1 . e. x 2 + 2 x + 3 x +1 < 1 Bài 8: Giải các bất phương trình sau: a. 3x + 9.3−x − 10 < 0 b. 5.4x + 2.25x − 7.10x 0 1 1 d. 52 x + 5 < 5 x +1 + 5 x c. x +1 3 − 1 1 − 3x f. 9x − 3x + 2 > 3x − 9 . e. 25.2x − 10x + 5x > 25 21− x + 1 − 2 x Bài 9: Giải bất phương trình sau: 0. 2x − 1 ( ) 16 x −1 − m. 2 x + 1 > 0 Bài 10: Cho bất phương trình 4 a. Giải bất phương trình khi m= . 9 b. Định m để bất phương trình thỏa ∀x R . 2 1 +2 1x 1x Bài 11: a. Giải bất phương trình : � � + 9. � � (*) > 12 �� 3 3 �� b. Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: 2 x 2 + ( m + 2 ) x + 2 − 3m < 0 Bài 12: Giải các phương trình sau: a. log5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 ) b. log5 x + log 25 x = log 0,2 3 ( ) x+3 2 d. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg c. log x 2 x − 5 x + 4 = 2 =0 x −1 1 e. .lg(5 x − 4) + lg x + 1 = 2 + lg 0,18 2 Bài13: Giải các phương trình sau: 1 2 + =1 b. log 2 x + 10 log 2 x + 6 = 0 a. 4 − lg x 2 + lg x c. log 0,04 x + 1 + log 0,2 x + 3 = 1 d. 3log x 16 − 4 log16 x = 2 log 2 x e. log x 2 16 + log 2 x 64 = 3 . Bài 14: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) 1 � x� x x b. log 2 4.3 − 6 − log 2 9 − 6 = 1 a. log3 � 9 x + + 9 � 2 x = log 2 � � ( ) ( ) ( ) 1 x +1 + 4 .log 2 4 x + 1 = log 1 x x c. log 2 4 d. lg 6.5 + 25.20 = x + lg 25 8 2 ( ) x e. x + lg 4 − 5 = x lg 2 + lg 3 f. 5lg x = 50 − xlg5 2 2 g. x − 1 lg x −lg x = x − 1 3 2 h. 3log3 + x log3 x = 162 x Bài 15: Giải các phương trình sau: ( ) a. x + lg x − x − 6 = 4 + lg ( x + 2 ) b. log3 ( x + 1) + log5 ( 2 x + 1) = 2 2 d. 2log5 ( x +3) = x c. ( x + 2 ) log32 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log 3 ( x + 1) − 16 = 0 ( ) 2 2 f. log 4 6 ( x − 2 x − 2) = 2 log 5 x − 2 x − 3 e. log 2 x + ( x − 4) log 2 x − x + 3 = 0 2 g. 6 = 3 log 6 ( 5 x + 1) + 2 x + 1 x 6
Bài 16: Giải các phương trình sau: lg x + lg y = 1 log3 x + log3 y = 1 + log3 2 a. 2 b. c. x+ y =5 x + y 2 = 29 ( ) xy + lg x 2 + y 2 = 1 + 3lg 2 log 4 x − log 2 y = 0 yx = 32 e. 4 d. x2 − 5 y2 + 4 = 0 lg ( x + y ) − lg ( x − y ) = lg 3 log3 ( x + y ) = 1 − log3 ( x + y ) log x xy = log y x 2 f. 2log x = 4y + 3 y y Bài 17: Giải và biện luận các phương trình sau: log3 a + log x a = log x a a. lg � + ( 2m − 3) x + m − 3� lg ( 2 − x ) mx 2 = b. � � 3 2 a −4 c. logsin x 2.logsin 2 x a = −1 d. log a.log 2 =1 a x 2a − x Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) lg ( ax ) a. log3 x + 4ax + log 1 ( 2 x − 2a − 1) = 0 2 =2 b. lg ( x + 1) 3 2 Bài 19: Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2 log3 x − log3 x + a = 0 . Bài 20: Giải bất phương trình: ( ) 2 a. log8 x − 4 x + 3 b. log3 x − log3 x − 3 < 0 1 ( ) ( ) d. log 1 x − 6 x + 8 + 2 log5 ( x − 4 ) < 0 � � 2 2 c. log 1 � 4 x − 5 � 0 > log 5 3 ( ) 5 f. log x � 9 3 − 9 � 1 e. log 1 x + 2 x log x 3 < log � � 3 4x + 6 h. log 1 0 g. log x 2.log 2 x 2.log 2 4 x > 1 x 3 2 j. 2 log8 ( x − 2) + log 1 ( x − 3) > 3 i. log 2 ( x + 3) 1 + log 2 ( x − 1) 8 � � k. log3 � 1 x� 0 l. log5 3x + 4.log x 5 > 1 log � � �2 � x2 − 4 x + 3 log 1 x + log3 x > 1 m. log3 n. 0 2 x + x −5 2 ( ) p. log3 x − x 2 ( 3 − x ) > 1 2 o. log 2 x x − 5 x + 6 < 1 x −1 � �2 5 � � � − 2 x + 1� 0 > q. log x r. log x +6 � 2 x + 2 � 0 log 3x � � � � x 2 +1 3 1 t. log x 2.log x 2 > log x − 6 s. log 2 x + log 2 x 0 2 2 16 ( ) log 2 x < 2 4 − log16 x 4 x + 4 log 2 2 u. v. log3 x − 4 log3 x + 9 2 log 3 x − 3 1 2 Bài 21: Giải bất phương trình: 1 3 b. x 2−log 2 2 x −log 2 x > 2 a. 6log6 x + xlog6 x 12 x 7
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 log 5 x 2 − 4 x − 11 − log11 x 2 − 4 x − 11 x +1 x c. log 2 2 − 1 .log 1 2 − 2 > −2 d. 0 2 − 5 x − 3x 2 2 Bài 22: Giải hệ bất phương trình: ( x − 1) lg 2 + lg ( 2 x+1 + 1) < lg ( 7.2 x + 12 ) x2 + 4 >0 a. x − 16 x + 64 2 b. log x ( x + 2 ) > 2 lg x + 7 > lg( x − 5) − 2lg 2 log 2− x ( 2 − y ) > 0 c. log 4− y ( 2 x − 2 ) > 0 Bài 23: Giải và biện luận bất phương trình( 0 < a 1 ): 1 + log 2 x a. x log a x +1 > a 2 x a >1 b. 1 + log a x 1 2 1 + 0 c. 5 − log a x 1 + log a x 2 ( ) ( ) 9 Bài 24: Cho bất phương trình: log a x − x − 2 > log a − x + 2 x + 3 thỏa mãn với: x = 2 2 . Giải bất phương 4 trình. lg 2 x − m lg x + m + 3 0 Bài 25: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: . x >1 x 2 − ( m + 3) x + 3m < ( x − m ) log 1 x Bài 26: Cho bất phương trình: 2 a. Giải bất phương trình khi m = 2. b. Giải và biện luân bất phương trình. ( ) 2 ( 1 − x) −x Bài 27: Giải và biện luân bất phương trình: log a 1 − 8a −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 8