Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

Chia sẻ: Tabicani09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số (do Thường trực HĐ ghi): .................................. 1. Tên sáng kiến: Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn môn Toán THCS 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Qua nhiều năm giảng dạy môn toán THCS, chúng tôi nhận thấy rằng hầu hết học sinh mỗi khi gặp bài toán liên quan đến luỹ thừa là tỏ vẻ e sợ, đặc biệt là luỹ thừa với số mũ lớn, số mũ tổng quát. Khi đó học sinh lớp 6, lớp 7 mới được tiếp xúc với toán luỹ thừa, trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ vừa phải, nhẹ nhàng. Chính vì thế mà khi giáo viên chỉ cần thay đổi yêu cầu của đề bài là học sinh đã thấy khác lạ, khi nâng cao lên một chút là các em gặp khó khăn chồng chất: Làm bằng cách nào? làm như thế nào? ... chứ chưa cần trả lời các câu hỏi: làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: a. Mục đích của giải pháp: Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh THCS bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, chúng tôi muốn trình bày một số ý kiến “Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS” nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng. b. Nội dung giải pháp: b.1. Tính mới của giải pháp: Trong toán học, “Toán luỹ thừa’’ là một mảng kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về luỹ thừa không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh lớp 6, lớp 7, các em mới được làm quen với môn đại số và mới được tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính toán... Để học tốt bộ môn toán nói chung và “Toán luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng là luôn biết rèn nếp suy 1
nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải từng bài tâp... qua sự suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đứng trước một bài toán khó, chưa tìm ra cách giải, học sinh thực sự lúng túng, hoang mang và rất có thể sẽ bỏ qua bài toán đó, nhưng nếu có được sự giúp đỡ, gợi mở thì các em sẽ không sợ mà còn thích thú khi làm những bài toán như vậy. b.2. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ: Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập. b.3. Cách thức thực hiện sáng kiến Ngay từ đầu năm học, tôi đã tham khảo sách giáo khoa, sách tham khảo sau đó phối hợp với thầy cô đồng nghiệp cùng nhau thực hiện chuyên đề này. Chúng tôi thường xuyên trao đổi khả năng tiếp thu, sự hứng thú trong học tập của học sinh thông qua các buổi họp tổ chuyên môn, cũng như tổ chức thao giảng, hội giảng, chuyên đề của tổ. b.4. Các bước thực hiện của sáng kiến. Sau đây chúng tôi xin trình bày một số dạng toán và phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao bằng một vài ví dụ cụ thể. 1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa *Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ. Bài tập 1: Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = - 8 c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = 9 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp. Giải 3 a) x = -27 b) (2x – 1)3 = -8 x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3 x = -3 2x – 1 = - 2 1 Vậy x = - 3 x= 2 1 Vậy x = 2 c) (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3 2
2x = 6 2x = 0 x=3 x=0 Vậy x = 3 hoặc x = 0 . d ) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – 2 = -4 hoặc x–2=4 x = -2 x=6 Vậy x = -2 hoặc x = 6 Bài tập 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x 5 Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết, số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ “ tìm mò’’ được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? Giáo viên có thể gợi ý : x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 x 2  0 x  0 x  0 =>  3 =>  3 =>   x  1  0  x  1 x  1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau : Bài tập 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x 20 x  0  x 10  0 x  0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được :  10 =>  10 =>  x  1  x  1  0  x  1  x  1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y. 1 +) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 3 2 +) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 3 +) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0 1 2 Vậy y = ; y= ; y=0 3 3 Bài tập 5 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200  0 (*) 3
Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu “  ’’ thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0. Giải 100 Ta thấy: (3x - 5)  0  x Q (2y +1)200  0  x Q => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0 Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 3x – 5 = 2y + 1 =0 1 => x = 5 và y= 3 2 Bài tập 6: Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4 Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2  0  x Z (1) 2(y – 3)2  0  x Z (2) Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 4 ” , học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4 thì chỉ có thể xảy ra những trường hợp sau : +) Trường hợp 1: (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 0 => x = -2 => y=3 2 2 +) Trường hợp 2 : (x + 2) = 0 và (y – 3) = 1 y  4 => x = -2 =>  y  2 +) Trường hợp 3 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 0 x  2  1 =>  => y=3  x  2  1  x  1 =>   x  3 +) Trường hợp 4 : (x + 2)2 = 1 và (y – 3)2 = 1  x  1 y  4 =>  =>   x  3 y  2 Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là : 4
x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 2 3 3 4 2 4 2 Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài. 1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số. Bài tập 1: Tìm n  N biết: a) 2008n = 1 c) 32-n. 16 n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a a) 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên: b) 5n + 5 n+2 = 650 5 n + 5n.52 = 650 5 n. (1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5 n = 25 = 52 => n = 2 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d, c) 32-n. 16 n = 1024 (25)-n. (24)n = 1024 2 -5n. 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d) 3-1.3n + 5.3 n-1 = 162 3n-1 + 5. 3n-1 = 162 =>6. 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – 1 = 3 5
n=4 Bài tập 2: Tìm hai số tự nhiên m, n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý: 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = 0 => 2m.2n -2 m -2n + 1 = 1 2m (2n - 1) – (2n - 1) = 1 (2m - 1) (2n - 1) = 1 (*) Vì 2m  1 , 2 n  1  m, n  N 2 m  1  1 2 m  2 m  1 Nên từ (*) =>  =>  n =>  2 n  1  1 2  2 n  1 Vậy: m = n = 1 Bài tập 3: Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 < 3n  234 b) 8.16  2n  4 Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số. a) 3 < 3n  234 3 1 < 3n  3 5 => n  2;3;4;5 b) 8.16  2n  4 2 3.24  2 n  22 27  2n  22 => n  2;3;4;5;6;7 Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415. 915 < 2n. 3n < 1816. 216 Với bài này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán: 415. 915 < 2n. 3n < 18 16. 216 (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 6
630 < 6n < 6 32 => n = 31 Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1. Tìm các số nguyên n sao cho: a) 9 . 27n = 35 b) (23 : 4) . 2n = 4 c) 3-2. 34. 3n = 37 d) 2-1 . 2 n + 4. 2n = 9. 25 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: a) 125.5  5n  5.25 b) (n54)2 = n c) 243  3n  9.27 d) 2 n+3 2 n =144 3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng : a) 2x+1. 3y = 12x b) 10x : 5y = 20 y 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng : 411. 2511  2n. 5n  2012.512 Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa. 2.1 Tìm một chữ số tận cùng * Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau : +) Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó. +) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó. +) Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9 +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 . Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án: 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0. 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1. 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5. 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. Bài tập 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7
67 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 9 , 4 5 ,996, 81975 , 9 20072007 , 10231024. Hướng dẫn: Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6. +) 2007 2008 = (20074)502 = ( ......1 )502 = ......1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 1 . +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ......1 . 1357 = ......7 =>13 5725 có chữ số tận cùng là 7. +) 20072007 = 20072004.20073 = (2007 4)501. ......3 = ( ......1 )501. ......3 = = ......1 . ......3 => 20072007 có chữ số tận cùng là 3. +) 23456 = (24)864 = 16864 = ......6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6 . +) 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = ( ......6 )8 . ......8 = ......6 . ......8 = ......8 => 5235 có chữ số tận cùng là 8. +) 10231024 = (10234)256 = ( ......1 )256 = ......1 =>10231024 có chữ số tận cùng là 1 . +) 2003 2005 = 2003 2004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ......1 )501. 2003 = ......1 . 2003 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3 . +) 204208 =( 2042)104 = ( ......6 )104 = ......6 => 204208 có chữ số tận cùng là 6. 7 67 +) Ta thấy 56 là một số lẻ nên 4 5 có chữ số tận cùng là 4 +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( ......6 )502 = ......6 => 1358 2008 có chữ số tận cùng là 6. +) 81975 = 81972. 83 = (84)493. ......2 = ......6 ......2 => 8 1975 có chữ số tận cùng là 2 . +) 996 = ( 94)24 =( ......1 )24 = ......1 => 996 có chữ số tận cùng là 1 . +) Ta thấy 9 9 là một số lẻ nên 9 9 có chữ số tận cùng là 9 . 9 Bài tập 3: Cho A = 172008 – 112008 – 3 2008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A. Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận cùng của tổng số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại. Hướng dẫn: Tìm chữ số tận cùng của 172008 ; 112008 ; 32008 ta có : A = 172008 – 112008 – 32008 = ......1 - ......1 - ......1 = ......0 - ......1 = ......9 Vậy A có chữ số tận cùng là 9. Bài tập 4: Cho M = 1725 + 244 – 1321 . Chứng tỏ rằng : M  10 8
Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0. Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( ......1 )6.17 = ......1 .17 = ......7 244 =(242)2 = 5762 = .....6 1321 = (134)5.13 = ( ......1 )5.13 = ......1 . 13 = ......3 Vậy M = ......7 + .....6 - ......3 = ......0 => M  10 Đến đây, sau khi làm bài 2, bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau: Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: a. A = 24n – 5 (n  N, n ≥ 1) 4n + 2 b. B = 2 +1 (n  N) c. C = 74n – 1 (n  N) Hướng dẫn: a) Có : 24n = (24)n = 16 có chữ số tận cùng bằng 6 => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1 b) B = 24n + 2+ 1 (n  N) 4n + 2 Ta có 2 = 2 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4 2 => B = 24n + 2+ 1 có chữ số tận cùng là 5 c) C = 74n – 1 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1 Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0. Bài 6: Chứng tỏ rằng, các số có dạng: n a) A = 22 1 chia hết cho 5 (n  N, n ≥ 2) n b) B = 2 4  4 chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1) n c) H = 92  3 chia hết cho 2 (n  N, n ≥ 1) Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng n như bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 2 2 , n n 2 4 , 9 2 , học sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: n n n a 2  2 2 n , 2 4  2 4 n , 9 2  9 2n Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: a) Với n  N, n ≥ 2, ta có : 2n  2 n 2 2 = 2 2 .2 2 n 2  24    16 2 n 2 có chữ số tận cùng là 6 n => A = 2 2  1 có chữ số tận cùng là 5 9
Vậy A  5 b) Với n  N, n ≥ 1, ta có : 4 n 1 n 2 4 = 2 4 .4 n 1  24   16 4 n 1 có chữ số tận cùng là 6 n => B = 24  4 có chữ số tận cùng là 0 Vậy B  10 c) Với n  N, n ≥ 1, ta có : 2 n 1 n 9 2 = 9 2 .2 n 1  92   812 n 1 có chữ số tận cùng là 1 n => H = 9 2  3 có tận cùng là 4 Vậy H  2 2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa. * Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau: +) Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó. +) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. +) các số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. +) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01. +) Số 26n (n  N, n >1) Bài tập 1: Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này: 2100 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76 3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01 Bài tập 2: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101. 16101 Hướng dẫn: Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. a) 5151 = (512)25. 51 = ( ......01 )25. 51 = ......01 . 51 = ......51 => 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51 Tương tự: b) 9999 =(992)49.99 = ( ......01 )49 . 99= ......01 . 99 = ......99 c) 6666 =(65)133.6 = ( ......76 )133 . 6= ......76 . 6 = ......56 d) 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( ......76 )50 . 224 = ......76 . 224 = ......24 10
Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: Bài tập 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 512k; 512k+1 (k  N*) b) 992n; 992n+1; (n  N*) 99 99 99 ; c) 65n; 65n+1; (n  N*) 66 6 66 ; Gợi ý: a) 512k = (512)k = ( ......01 )k 512k+1 = 51. (512)k = 51. ( ......01 )k b) 992n = (992)n = ( ......01 )n 992n+1 = 99. (992)n = 99. ( ......01 )n 99 là một số lẻ => 99 99 có dạng 992n+1 (Với n  N, n > 1) 99 99 99 99 , ta có 99 => 99 99 = 99.(992)n = 99 . ( ......01 )n 99 (Với n  N, n > 1 5n 5 n n c) 6 = ( 6 ) = ( ......76 ) 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( ......76 )n 66 là một số có tận cùng là 6 => 6 66 có dạng 65n+1 (n  N, n > 1) 66 66 6 66 , ta có 66 => 6 66 = 6 . ( ......76 )n 66 2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. *Phương pháp: Chú ý một số điểm sau. +) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. +) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài tập 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 52000 = (5 4)500 = 625500 = (0625)500 Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625. có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài tập 2: Tìm ba chữ số tận cùng của: a) 23n . 47n (n  N*) b) 23n+3 . 47n+2 (n  N) 11
Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376. b) 23n+3 . 47 n+2. Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn: 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 = (8.47)n+1 . 47 = 47 . 376n+1 Ta có: 376 n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672 Bài tập3: Chứng tỏ rằng: n a. 5 4 + 375  1000 ( n  N, n ≥ 1) n b. 5 2 - 25  100 ( n  N, n ≥ 2) c. 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002 Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi. n n 1 n 1 a. Ta có: 5 4 = 5 4.4 = 625 4 tận cùng là 625 ( n  N, n ≥ 1) n => 5 4 + 375 có tận cùng 000. n Vậy: 5 4 + 375  1000 2n  2 b. Ta có 5 2 = 5 2 .2 = 5 4  n 2 n2 n 2 = 6252 ( n  N, n ≥ 2) n Vậy 5 2 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. n Do đó : 5 2 - 25  100 c. 2001n + 23n . 47n + 252n Ta thấy : 2001n có tận cùng là 001 23n. 47n = (8 . 47 )n = 376 n có tận cùng là 376 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 Vậy: 2001n + 2 3n . 47n + 252n có tận cùng là 002. Dạng 3: So sánh hai lũy thừa 12
* Phương pháp: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý một số tính chất sau : Với a, b, m, n N , ta có: a > b  an > bn  n N* m > n  am > an (a > 1) a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n  0) Với A, B là các biểu thức ta có: An > Bn  A > B > 0 Am > An => m > n và A > 1 m < n và 0 < A < 1 Bài tập 1: So sánh : a) 33317 và 33323 b) 200710 và 200810 c) (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ. a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 2007 10 < 200810 c) Ta có : (2008-2007)2009 = 1 2009 = 1 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài tập 2: So sánh a) 2300 và 3200 e) 9920 và 999910 b) 3500 và 7300 f) 111979 và 371320 c) 85 và 3.4 7 g) 1010 và 48.505 d) 202 303 và 303202 h) 199010 + 1990 9 và 199110 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Hướng dẫn : a) Ta có : 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100 => 2300 < 3200 b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 13
7300 = (73)100 = 343100 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7 300 c) Ta có : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 d) Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.101 2)101 = (808.101)101 303 202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.101 2 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e) Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (99 2)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 371320 = 372)660 = 1369660 Từ (1) và (2) suy ra : 11 1979 < 371320 g) Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*) 5 4 5 10 9 10 48. 50 = (3. 2 ). (2 . 5 ) = 3. 2 . 5 (**) Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 h) Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 199110 = 1991. 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 Bài tập 3. Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 Với bài nà , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 2 63> 527 và 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (5 4)7 = 6257 => 263 < 528 (2) 27 63 2 Từ (1) và (2) => 5 < 2 < 5 Bài tập 4 . So sánh : a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán.Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1) 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 14
Vậy 10750 < 73 75 b) 291 > 290 = (2 5)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 25 18 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 Bài tập 5. So sánh: a) (-32)9 và (-16)13 b) (-5)30 và (-3)50  1 100 1 c) (-32)9 và (-18)13 d) ( ) và ( )500 16 2 Hướng dẫn: Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13 b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > - 1813 = (-18)13 Vậy (-32)9 > (-18)13  1 100  1100 1 1  1 500 (1) 500 1 d) Ta có : ( ) = 100 = 100 = 400 còn ( ) = 500 = 500 16 16 16 2 2 2 2 1 1 Vì 2400 < 2500 nên 400 > 2 2 500  1 100 1 Vậy ( ) > ( )500 16 2 2008 2008  1 2008 2007  1 Bài 6. So sánh A và B biết : A= ; B= 2008 2009  1 2008 2008  1 Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau: * Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được: a a ac +) Nếu > 1 thì  b b bc 15
a a ac +) Nếu < 1 thì  b b bc Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có : 2008 2008  1 Vì A = < 1 nên 2008 2009  1 2008 2008  1 2008 2008  1  2007 2008  2008 2008.(2008 2007  1) A= < = = 2008 2009  1 2008 2009  1  2007 2008 2009  2008 2008.( 20082009  1) 2008 2007  1 = =B 2008 2007  1 Vậy A < B . Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau : (2008 2008  1).2008 2008 2009  1  2007 2007 Cách 1: Ta có : 2008.A = 2009  2009 =1+ 2008 1 2008 1 2008 2009  1 2008 2007  1).2008 20082008  1  2007 2007 2008.B = 2008  2008 =1+ 2008 1 2008 1 20082008  1 2007 2007 Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 2009 < 2008  1 20082008  1 => 2008.A < 2008. B => A < B Cách 2: 1 2008 2009  1 2008 2009  2008  2007 2008.( 20082008  1)  2007 = = = A 2008 2008  1 2008 2008  1 20082008  1 2007 = 2008 - 2008 2008  1 1 2008 2008  1 2008 2008  2008  2007 2008.( 20082007  1)  2007 = = = B 2008 2007  1 2008 2007  1 20082007  1 2007 = 2008 - 2008 2007  1 2007 2007 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên 2008 < 2008  1 2008 2007  1 2007 2007 => 2008 - 2008 > 2008 - 2008 1 2008 2007  1 1 1 Vậy > => A < B (vì A,B > 0) A B 100100  1 100101  1 Bài 8 . So sánh M và N biết: M= ; N= 10099  1 100100  1 Hướng dẫn: 16
100101  1 Cách 1 : N = >1 100100  1 100101  1 100101  1  99 100101  100 (100100  1).100 100100  1 => N = > = = = =M 100100  1 100100  1  99 100100  100 (100 99  1).100 10099  1 Vậy M < N. 100100  1 100100  100  99 (100 99  1).100  99 99 Cách 2: M = 99 = 99 = 99 = 100 - 100  1 100  1 100  1 100 99  1 100101  1 100101  100  99 (100100  1).100  99 99 N= = = = 100 - 100 100  1 100 100  1 100 100  1 100100  1 99 99 99 Vì 100 99 + 1 < 100100 + 1 nên 99 > 100 => 100 - < 100 - 100  1 100  1 100 99  1 99 100100  1 Vậy M < N. Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: 1. So sánh: a, 528 và 2614 b, 5 21 và 12410 c, 3111 và 1714 d, 421 và 647 e, 291 và 5 35 g, 544 và 2112 h, 230 + 330 + 430 và 3. 24 10 2. So sánh: 1 1 1 1 a) 300 và 200 b) 199 và 300 2 3 5 3 8 5 15 20 1 1 1 3 c)    và   d)   và    4 8  10   10  3. So sánh: 1315  1 1316  1 a) A = và B = 1316  1 1317  1 19991999  1 1999 2000  1 b) A = và B = 19991998  1 19991999  1 100100  1 100 69  1 c) A = và B = 10099  1 100 68  1 Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa. *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi. 17
Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau với x=7. 2 30.5 7  213.5 27 a) A= 2 27 .5 7  210.5 27 ( x 5 ) ( x 6 )( x 6 ) b) M = x  4 ( x 5) với x = 7 Hướng dẫn: Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ. 2 30.5 7  213.5 27 213.5 7 (217  .5 20 ) a) A= 27 7 10 27 = 10 7 17 20 = 23 = 8 2 .5  2 .5 2 .5 (2  5 ) ( x 5 ) ( x 6 )( x  6) b) M = x  4 ( x 5) Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng. ( x 5 ) ( 7 5 ) ( x 6 )( x  6 ) ( 7 6 )( 7 6 ) M =  x  4( x 5) = 7  4(7 5) 12 113 = 32 = 32 = 9 1 M = 32 Bài tập 2: Chứng tỏ rằng: a) A = 102008 + 125  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 c) M = 88 + 220  17 d) H = 3135 . 299 – 313 6 . 36  7 Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a  m, a  n, (m;n) = 1 thì a  m.n (a, m, n  N*) a) A = 102008 + 125  45 Ta có: 102008 + 125 = 100...0 + 125 = 100...0125 2008 số 0 2005 số 0 A có tận cùng là 5 => A  5 Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A  9. Mà (5;9) = 1 => A  5.9 hay A  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 18
Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung. B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 .( 52 + 5 1 + 1) B = 52006 . 31  31 c) M = 88 + 220  17 Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 . 17  17 d) H = 313 5 . 299 – 3136 . 36  7 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn: H = 3135 . 299 – 3136 . 36 H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136 H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136 H = 3135 . 14 - 35. 3136 H = 7 . (313 5 . 2 – 5. 3136 )  7 Bài tập 3 . Cho A = 2+ 2 2 + 23 +……+ 260 Chứng tỏ rằng: A  3 , A  7 , A 5 Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2 / 3 / 4 / ….lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó. Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 +……+ 260 = (2+22)+(2 3+24)+(2 5+26)+…….+(2 57+2 58)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+…..+257+259) = 3.( 2+23+2 5+…..+257+2 59) => A  3 Tương tự, ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+2 7+…….+258) = 7.(2+24+27+…….+258) 19
=> A  7 A = (2+ 23)+(2 2+24)+……+(2 57+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22) = (1+2 2).(2+22+25+26+…….+257+258) = 5. (2+22+25+26+…….+257+2 58 => A  5 Bài tập 4: Chứng tỏ rằng: a) D = 3 + 32 + 33 + 34 +……..+ 32007  13 b) E = 71 + 72 + 73 + 74 +…. + 74n-1 + 74n  400 Hướng dẫn: a) Ta thấy : 13 = 1 + 3 + 32 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau : D = (3 + 32 + 33) + (3 4 +35 + 36) +…….+ (32005 + 3 2006.+ 32007) =3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) +…….+ 32005.(1 + 3 + 32) = 3. 13 + 34. 13 + ……..+ 32005. 13 = (3 + 34 + ……+ 32005). 13 => D  13 b, Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 7 2 + 73 nên : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 7 2 + 73 + 74). (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ). (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + 7 + 49 + 343 ). (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.400 . (1+74 + 78 + …+74n-4)  400 => E  400 Bài tập 5: a) Tính tổng : Sn = 1 + a + a2 + .. + an b) áp dụng tính các tổng sau: A = 1 + 3 + 32+ … + 32008 B = 1 + 2 + 22 + 2 3 + ……+ 21982 C = 71 + 72 + 73 + 7 4 +…. + 7n-1 + 7n a) Đây là một bài toán tổng quát , giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm: Để thu gọn các tổng lũy thừa nà, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa. 20