Kiến thức cơ bản và phương pháp luyện thi trung học phổ thông quốc gia 2016 môn toán (in lần thứ ba): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:102

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Hướng dẫn ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia 2016 môn toán" được xây dựng bám sát Chương trình giáo dục trung học phổ thông, đồng thời được cập nhật, bổ sung theo hướng đánh giá năng lực học sinh trong kì thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy năm 2016 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 cuốn sách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kiến thức cơ bản và phương pháp luyện thi trung học phổ thông quốc gia 2016 môn toán (in lần thứ ba): Phần 1

■ NGHỊ (Chủ biên) - TRÁN QUANG VINH G - GHU CẨM THƠ - NGUYỄN TIẾN TRUNG I HƯƠNG DÂN ÔN LUYỆN LI THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA Môn NẪM2016 MẾ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI Học sư PHẠM
BÙI VĂN NGHỊ (Chủ biên) TR Ầ N Q U A N G VINH - Lưu BÁ T H Ắ N G C HU C ẨM THƠ - NGUYỄN TIẾN TRU NG HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 MÔN TOÁN (In lần thứ ba, có Chĩnh lí, bổ sung) N H À X U Ấ T BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
U N IV E R S IT Y o F E D U C A T IO N P U B L IS H IN G HOUSE HƯỚNG DẪN ÕN LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUÓC GIA NĂM 2016 MÔN TOÁN Bùi Vãn Nghị (Chủ biên) - Trắn Quang Vinh - Lưu Bá Tháng Chu Cẩm Thơ - Nguyẻn Tiến Trung Sách được xuất bản phục vụ việc ôn luyện thi trung học phổ thông quóc gia và tuyén sinh Đại học, Cao đẳng hệ chính quy. Bản q u yẽ n ìcij® fb |h WQôc Vé Nhà xúẩtb ảd O ạiihọ c Sư phạm. M ọi hlnh thức sao chép toàn bô hay m ột Jjhán hoặc ẹá,c hlnh thức phát hành m à J f h é f t ç J c o W ^ o j / h é f W r ^ à c b ^ n g \Ểãn b ả n cùa Nhà x ụ & ịíậ n Đ.ũỰTqc Stf phạm đểu lá vi phạm pháp luật. Chúng tôi luôn m ong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của quý vị độc giá để sách ngày càng hoàn thiện hơn. M ọi góp ý vể sách, liên hệ vể bàn tháo và dịch vụ bàn quyển xin vui lòng gửi về địa chỉ email: kehoach@nxbdhsp.edu.vn Mã sách tiêu chuẩn quốc tế: ISBN 978-604-54-2239-7 2
MỤC LỤC Trang LỜI GIỚI T H IỆ U ................................................................................................................... 5 LỜI NÓI Đ ẦU ......................................................................................................................... 6 Phẩn một. ĐỊNH HƯỚNG CHUNG KÌ THI TRUNG HỌC PHổ THÔNG QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐANG h ệ c h ín h q u y MÔN TOÁN................................................................................................7 Phẩn hai. CÁC CHỦ ĐỂ ÔN LUYỆN......................................................................... 8 Chủ đế 1. Hàm số và ứng dụng của dồ thị hàm số........................................... 8 I. Kiến thức cần n h ớ ...................................................................................................8 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọ c ..................................................................10 III. Một số bài tập ôn lu y ệ n .....................................................................................22 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn lu y ệ n .......................................24 Chủ đề 2. Phương trình, bất phương trình và hệ phưđng trìn h ................... 26 I. Kiến thức cần n h ớ ................................................................................................ 26 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọ c ................................................................. 28 III. Một số bài tập ôn lu y ệ n .....................................................................................53 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn lu y ệ n .......................................57 Chủ dê 3. Nguyên hàm và tích phân................................................................. 61 I. Kiến thức cần n h ớ ................................................................................................. 61 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọc ................................................................ 63 III. Một số bài tập ôn lu yệ n .....................................................................................73 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn lu y ệ n .......................................74 Chủ đế 4. Tổ hợp và xác suất............................................................................ 75 I. Kiến thức cần n h ớ ................................................................................................ 75 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọ c ................................................................. 78 III. Một số bài tập ôn lu y ệ n ................................................................................. 87 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn lu y ệ n .......................................88 3
Chủ đề 5. Số phức................................................................................................. I. Kiến thức cần n h ớ ................................................................................................... 91 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọ c ................................................................... 93 III. Một số bài tập ôn lu y ệ n .................................................................................... 99 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn lu y ệ n ........................................99 Chủ đề 6. Hình học không gian..........................................................................101 I. Kiến thức cần n h ớ ................................................................................................. 101 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọ c ................................................................. 104 III. Một số bài tập ôn lu y ệ n ..................................................................................... 114 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn lu y ệ n ......................................115 Chủ đề 7. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.......................................... 120 I. Kiến thức cần nhớ ................................................................................................120 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọ c ................................................................. 123 III. Một số bài tập ôn luyện .....................................................................................141 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn lu y ệ n ...................................... 143 Chủ dế 8. Phương pháp toạ độ trong không g ia n ..........................................151 I. Kiến thức cần n h ớ ................................................................................................. 151 II. Giới thiệu một số bài toán chọn lọ c ................................................................. 154 III. Một số bài tập ôn lu y ệ n ..................................................................................... 165 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn luyện......................................166 Chủ dề 9. ứng dụng của phưclng pháp hàm s ố ............................................ 169 I. Kiến thức cần n h ớ ................................................................................................. 169 II. Giới thiệu m ột số bài toán chọn lọ c ................................................................. 169 III. Một số bài tập ôn lu y ệ n ..................................................................................... 189 IV. Hướng dẫn giải - Đáp số một sổ bài tập ôn luyện......................................190 Phần ba. MỘT s ố ĐỀ THI THAM KHẢO............................................................... 191 I. Đề thi tham k h ả o .................................................................................................... 191 II. Huớng dẫn g iả i......................................................................................................192 4
LỜI GIỚI THIỆU Thực hiện Công văn số 525/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 03/02/2016 của Bộ trường Bộ Giáo dục và Đào tạo về việc tổ chức Kì thi Trung học phố thông quốc gia và tuyền sinh đại học, cao đăng hệ chính quy năm 2016, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm tổ chức biên soạn và phát hành bộ sách H ướng dẫn ôn luyện thi trung học p hổ thông quốc gia năm 2016 gồm 8 cuốn, tương ứng vói 8 môn: Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Bộ sách được biên soạn bởi các tác giả là giảng viên, chuyên gia giáo dục uy tín của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và giáo viên dạy giỏi ở các trường trung học phổ thông - những người đã có nhiều kinh nghiệm tham gia công tác tuyển sinh của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Nội dung bộ sách được xây dựng bám sát Chương trình giáo dục trung học phồ thông, đồng thòi được cập nhật, bổ sung theo hướng đánh giá năng lực học sinh trong kì thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy năm 2016 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Cấu trúc mỗi cuốn sách gồm ba phần chính: Phần một: Định hướng chung kì thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy (theo từng môn học) Phần bai: Các chủ đề/nội dung ôn luyện Các chủ đề/nội dung ôn luyện được biên soạn bám sát quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo về cấu trúc đề thi đổi mới theo hướng đánh giá năng lực, trong đó có phần tóm tắt lí thuyết, yêu cầu về bài tập/câu hòi vận dụng, các bài tập/câu hỏi mẫu và hướng dẫn ôn luyện. Phần ba: Một số đề thi tham khảo Các đề thi này có đáp ấn hoặc hướng dẫn ừả lời. Học sinh được rèn luyện và nâng cao kĩ năng thực hiện trọn vẹn một đề thi trong thời gian quy định; một mặt luyện khả năng giải bài tập, giải quyết vấn đề, mặt khác hệ thống hoá được các kiến thức và kĩ năng cần thiết cho kì thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy. Cùng với bộ sách trên, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm tiếp tục giói thiệu và phát hành bộ sách Bồi dưỡng năng lực thi trung học phổ thông quốc gia qua đề tham khảo gồm 8 cuốn, tương ứng với 8 môn: Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Lịch sử và Địa ư phục vụ học sinh ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy một cách hiệu quả. Đội ngũ giáo viên phồ thông có thể sử dụng sách để hướng dẫn học sinh ôn luyện kiến thức, kĩ năng theo hướng tiếp cận năng lực một cách có hệ thống nhằm đạt hiệu quả cao nhất trong kì thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy năm 2016. Xin trân trọng giới thiệu! NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯPHẠM 5
LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách nhằm đáp ứng nhu cầu của học sinh trong việc ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy môn Toán theo định hướng cùa Bộ Giáo dục và Đào tạo. Nội dung cuốn sách gồm ba phần, được các tác giả biên soạn theo hướng đôi mới vê hình thức và nội dung, đồng thời hướng tới những tài liệu bồi dưỡng giáo viên trong những năm sau. Phần một là định hướng chung của kì thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy môn Toán; Phàn hai là các chủ đề ôn luyện, trong mỗi chủ đề giới thiệu một số bài toán chọn lọc kèm theo hướng dẫn giải, khái quát những nhận xét và một số bài tập ôn luyện có hướng dẫn giải hoặc đáp số; Phần ba giới thiệu một số đề thi tham khảo có hướng dẫn giải. Nội dung Phần hai gồm 9 chủ đề: • Hàm số và ứng dụng của đồ thị hàm số; • Phương tìn h , bất phương trình và hệ phương trình; • Nguyên hàm và Ưch phân; • Tổ hợp và xác suất; • Số phức; • Hình học không gian; • Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng; • Phương pháp toạ độ ữong không gian; • ử n g dụng của phương pháp hàm số. Trong mỗi chủ đề, các tác giả trình bày thống nhất theo các mục: Kiến thức cần nhớ; Giói thiệu một số bài toán chọn lọc; Một số bài tập ôn luyện; Hướng dẫn giải - Đáp số một số bài tập ôn luyện. Cuốn sách có thể xem là một tài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo giúp học sinh ôn luyện môn Toán cho kì thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học cao đẳng hệ chính quy. Tập thể tác giả mong muốn nhận được những góp ý của độc giả để nâng cao chất lương cuốn sách. Các ý kiến góp ý cho cuốn sách xin gửi về địa chỉ: Phòng biên tập, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Truờng Đại học Sư phạm Hà Nôi - Số 136, Đường Xuân Thủy, Quận cầu Giấy, Thành phố Hà Nội. Các tác giả 6
Phần một ĐỊNH HƯỚNG CHUNG KI THI TRUNG HỌC PHổ THÔNG QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐANG h ệ c h ín h quy MÔN TOÁN Ngày 09/9/2014, Bộ trường Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Quyết định số 3538/QĐ-BGDĐT về việc phê duyệt phương ấn thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2015 (gọi là kì thi trung học phổ thông quốc gia), trong đó quy định thí sinh phải thi bốn môn tối thiểu gồm: ba môn bắt buộc là Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và một môn tự chọn trong các môn Vật lí, Hoá học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Ngoài bốn môn thi nói trên, thí sinh có quyền đăng kí thi thêm các môn thi còn lại của kì thi để sử dụng cho việc đăng kí tuyển sinh đại học, cao đẳng theo yêu cầu của các ngành đào tạo do từng trường đại học, cao đẳng quy định ưong Đe án tuyển sinh của trường đó. Đề thi trung học phổ thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đẳng hệ chính quy môn Toán về cơ bản như năm 2015, bám sát chương trình trung học phổ thông, chủ yếu là lớp 12, tăng cường độ phân hoá và có nhiều câu hỏi mờ, câu hỏi gắn với thực tiễn và câu hỏi vận dụng. Đề thi có phần kiểm ưa kiến thức cơ bản, dùng để xét tốt nghiệp; và phần nâng cao, dùng để sàng lọc thí sinh trong tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng hệ chính quy. Đề thi nói chung sẽ đảm bảo cả bốn mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Đe thi đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức tong hợp, liên môn để làm bài, giải quyết các vấn đề liên quan đến thực tiễn cuộc sống. Công tác ra đề thi tiếp tục được đổi mới theo hướng đánh giá năng lực người học, tăng dần các câu hỏi ở mức độ vận dụng, các câu hòi mở; nội dung câu hỏi chú trọng hình thành phẩm chất, năng lực của học sinh; đề thi sẽ tăng dần yêu cầu vận dụng kiến thức tồng hợp, liên môn từ dễ đến khó. Đề thi môn Toán ở dạng tự luận vói thòi gian làm bài là 180 phút. 7
Phần hai CÁC CHỦ ĐỂ ÔN LUYỆN Chủ đế 1 HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA Đ ổ THỊ HÀM s ố I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 0 Sự đổng biến, nghịch biến của hàm số Định lí: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng trong R. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. - Nếu f (x) > 0 với mọi X e K thì hàm số đồng biến trên K. - Neu f (x) < 0 với mọi X e K thỉ hàm số nghịch biến trên K. - Neu f (x) = 0 với mọi X e K thì hàm số không đồi trên K. M ở rộng định lí: - Neu f (x) > 0 với mọi X e K và f (x) = 0 chi tại một số hữu hạn điểm của K thỉ hàm số đồng biến trên K. - Neu f (x) < 0 với mọi X G K và f (x) = 0 chi tại một số hữu hạn điểm cùa K thì hàm số nghịch biến trên K. Quy tắc x é t tính đơn điệu của hàm số: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Tính đạo hàm f (x). Tìm các điểm Xi(i = 1, 2,..., n) mà tại đó đạo hàm bàng 0 hoặc không xác định. Bước 3: sắp xếp các điểm X theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. i Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. ü Cực trị của hàm số Diều kiện cần để m ột hàm số có cực trị: Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có cực trị tại điểm x0. Khi đó nếu tồn tại đạo hàm f (x0) thì f (x0) = 0. Điều kiện đủ để m ột hàm số có cực trị: Định L 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K chứa X và có đạo hàm trên í o K\{x0}. _ - Neu f(x) đổi dấu từ âm sang dương khi X qua x0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. - Neu f(x) đổi dấu từ dương sang âm khi X qua X thì f(x) đạt cực đại tại x0. o - Neu f (x) không đổi dấu khi X qua X thì f(x) không có cực trị tại x0. o 8
Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b) chứa điểm Xo sao cho f (x0) = 0 và f'(x 0) ^ 0. Khi đó: - Neu f '(X o ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại Xo; - Neu f ’ ( x o ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại Xo. i d Tiệm cận của đồ thị hàm số y = ax + b (c * 0, ad - bc * 0) CX + d Tập xác định: 'M -± a • a +) lim y = —, suy ra đường tiệm cận ngang của đô thị là y = —; x - » ± 0° c c +) lim y = +00 và lim y = -00 hoặc lim y = -00 và lim y = +00 suy ra đường X—>—< •* .. d" X—>— ..- > —- x d* d" X—>—— tiệm cận đứng của đồ thị là X = - n Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm số Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Xét sự biến thiên cùa hàm số: - Tính đạo hàm y', xét dấu đạo hàm để suy ra chiều biến thiên của hàm số. - Tìm cực trị (đối với hàm số bậc ba, bậc bốn). - Tim các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và các đường tiệm cận (đối với hàm bậc nhất trên bậc nhất). - Lập bảng biến thiên của hàm số. Bước 3: Vẽ đồ thị cúa hàm số: - Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (đối với hàm số bậc nhất trên bậc nhất). 9
- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đô thị VỚI các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tim toạ độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này). - Vẽ đồ thị. - Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng (đối với đồ thị hàm bậc hai, bậc bôn), tâm đối xúng (với đồ thị hàm bậc ba hàm bậc nhất trên bậc nhất), hình dạng tông quát của đồ thị hàm số. II. GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài toán 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = X3 - 3x + 2. H ướng dẫn 1) Tập xác định: R. 2) Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y' = 3x2 - 3 = 3(x + l)(x - 1); y' = 0 X = ±1. Trên các khoảng (-oo; -1 ) và (1; +oo), y' > 0 nên hàm số đồng biến; trẽn khoảng (-1 ; 1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến. - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại X = -1 , yC = y(— = 4; Đ 1) Hàm số đạt cực tiểu tại X = 1, yC = y (l) = 0. T - Giới hạn: lim y = +oo; lim y = - 00. X —>+00 X -> -0 0 - Bảng biến thiên: X — 00 -1 1 +00 Ỳ + 0 - 0 + y _.,4 -..^ +00 — 00 3) Đồ thị: 10
Bài toán 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -X4 + 2x2- 1. H ướng dẫn 1) Tập xác định: R. 2) Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y' = -4 x 3+ 4x = -4x(x - l)(x + 1); y' = 0 < > X = 0 hoặc X = ±1. = Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 00; - l ) , (0; 1). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1; 0), (1; +oo). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại hai điểm: X = -1 và X = 1, yCĐ = y ( - l ) = y (l) = 0; Hàm số đạt cực tiểu tại X = 0, yC = y(0) = — T 1. - Giới hạn: lim y = -oo; lim y = - 00. X—»+00 X—>-oo - Bảng biến thiên: X —00 -1 0 1 +00 y' + 0 - 0 + 0 - y °" - 0 —00 -1-"' —0 0 3) Đồ thị: - Đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm (-1; 0) và (1; 0); cắt trục tung tại điểm (0 ;-l). - Hàm số là hàm số chẵn trên R nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. ii
2x +1 Bài toán 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x+1■ H ướng dẫn 1) Tập xác định: R \ { -1}. 2) Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = --- !—r-> 0 Vx € R \{ —1}. (x + 1)2 Hàm số đồng biến trên từng khoảng (-o o ;-l), (-l;+oo). - Tiệm cận: lim y = 2; lim y = 2 => Tiệm cận ngang: y = 2; X—»-00 X—>-K» lim y = +oo; lim y = -00 => Tiệm cận đứng: X = - 1 . X► —1 — X>1 — * — Bảng biến thiên: - Đồ thị cắt Ox tại điểm o j và cắt Oy tại điểm (0; 1). - Đô thị nhận điểm I ( - l; 2) là giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 12
Bài toán 4. Xác định giá trị cùa tham số m để hàm số sau đồng biến trên M: 1 1 7 y = — +m x +(m + 2 ) x - ( 3 m - l) . X Hướng dẫn +) Tập xác định: R. +) Ta có: y ' = X 2 + 2mx + (m + 2). Do y' là tam thức bậc hai, có A1= m2 - (m + 2) = m 2 - m - 2 = (m + l)(m - 2) và hệ số a = 1 > 0; y' = 0 có tối đa hai nghiệm trên M, nên hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' > 0, Vx e R, hay y' có A' < 0. Tacó: A' -l< m < 2 . Vậy hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi -1 < m < 2. Bài toán 5. Cho hàm số y = X 4 - 6mx2 - 3ra2 + 1. Xác định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên nửa khoảng [2;+ 00). Hướng dẫn +) Tập xác định: R. +) Ta có: y' = 4x3 -12m x = 4x(x2 -3m ); y' = 0 có tối đa ba nghiệm trên R, nên hàm số đồng biến trên [2 ; + 00) khi và chi khi y 1> 0, Vx e [2;+ 00). Ta có:4x(x2 -3 m ) > 0 Vx>2x2 > 3 m V x > 2 « 3 m < min x2 = 4. [ * .) Vậy hàm số đã cho đồng biến trên Í2;+°o) khi và chi khi 3m < 4 o m < —. / 3 Bài toán 6. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại X = 1. Hướng dẫn +) Tập xác định: K. +) Ta có: y' = 3x2 - 4 x + m; y '(l) = 3 —4 + m = m - l . Neu hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm X = 1 thì y '(l) = 0 và y' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm X = 1. y '( l ) = 0 » m = 1. +) Khi đó y' = 3x2 - 4 x + 1 = (x - l) ( 3 x - 1); y' = 0 tai hai điểm X = 1; X = — ; 3 y' > 0 -O X < — hoặc X > 1; y' < 0 —< X < 1. 3 3 13
Ta có bảng biến thiên: 1 X —00 1 +00 3 V + 0 - 0 + y ....., y c Đ ^ +00 —o c ‘■ycT Từ bảng biến thiên suy ra X = 1 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại X = 1. Nhận xét: Ngoài cách làm trên, có thể làm theo cách khác dựa vào định lí 3 “Hàm s ố đạt cực tiểu tại X - 1 khi y ' ( l ) = 0 và y " (l) > 0 ”. G iải hệ điều kiện n à y và thừ lạ i ta cũng tìm đư ợc g iá trị cùa m thoả mãn y ê u cầu đ ề bài. Bài toán 7. Cho hàm số y = 2x3 - 3 m x 2 + m3. a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đó. H ướng dẫn a) +) Tập xác định: R. + ) y ' = 6 x 2 - 6m x = 6 x (x - m); y ' = 0 X = 0 hoặc X = m. Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chi khi y' đổi dấu hai lẩn, hay phương trình bậc hai y' = 0 có hai nghiệm phân biệt, suy ra m * 0. Vậy với m 0 hàm số có cực đại và cực tiểu. b) +) y - 0 o x = 0 hoặc X = m. Hàm số đạt cực trị tại hai điểm X = 0 và X = m. +) y(0) = m3; y(m) = 0; suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; m3); B(m; 0). +) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: —H—^r = lm2x + y - m 3 = 0 (m * 0 ). m m +) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị là: AB = Vm2 + m6 = |m| Vl + m 4 Bài toán 8. Cho hàm số y = x 3 -3 (m + l)x 2 -3 (m + l ) x - l . Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm Xi; x2 thoả mãn - ỳ + - ^ - = 5. X? xị 14
Hướng dẫn +) Tập xác định: R. +) Ta có: y ' = 3x2 - 6 (m + l)x -3 (m + l) = 3^x2 - 2 (m + l) x - ( m + l)J; A' = (m + 1)2 + (m +1) = (m + l)(m + 2). Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi y' đổi dấu hai lần, hay phương trinh bậc hai: y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với A! > 0 m > -1 hoặc m < -2. Ta thấy X = 0 không là nghiệm của phương trình y' = 0 khi m e (-oo; -2 ) u (-1; +co). Khi đó gọi Xi; x2 là hai nghiệm của phương trình y' = 0 thì Xiỉ x2 là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Theo Định lí Vi-ét ta có: Í xị + x 2 = 2(m + l) Ị x ị -Xị = -( m + l) . 1 1 4m + 6 1 (X , + X j ) 2 - 2 x , x 5 1 , 4m + 6 , , +> xf + x ị 2 2 ----- xfx 2 " ^ = T T ; 2 + 2 + 1° Xf Ì F rm +5C:>m = 1 2 Ĩ m 5 ~ Tíị = 1 (thoả mân điều kiện A' > 0). Vậy m = 1 là giá trị cẩn tìm. Bài toán 9. Cho hàm số y = - X 3 + 3x2 + m2 - 3m. Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Tìm tham số m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d : y = X + 1. H ướng dẫn +) Tập xác định: R. +) Ta có: y' = -3 x 2 + 6x = -3x(x - 2); y' = 0 X = 0 hoặc X = 2. Với mọi m, y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y' đồi dấu qua hai nghiệm đó, nên hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. +) y(0) = m2 - 3m; y(2) = m2 - 3m + 4. Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số, ta có: A(0; m2 - 3m); B(2; m2 - 3m + 4). Phương trình đường thẳng d : y = X + 1 hay X - y + 1 = 0. |m2- 3 m - l | |m2 -3 m + l| d(A;d) = ------- 7^---- 1; d(B;d) =J 72 V2 ■ Các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d khi và chi khi: |m2- 3 m - l | |m2- 3 m + l| d(A;d) = d(B;d)
Bài toán 10. Cho hàm số y = X - 2mx2 + 3m2 + 2. Với giá trị nào cùa tham số m thì 4 hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đô thị hàm sô tạo thành các đinh của một tam giác đ ề u ? _______________________________________________________ H ướng dẫn +) Tập xác định: R. +) Ta có: y' = 4x3 - 4mx = 4x(x2 - m). Hàm số có ba cực trị khi phương trinh y' = 0 có ba nghiêm phân biệt, tương đương với m > 0. Khi đó: y' = 0 X = 0 hoặc X = Vm hoặc X = —Jĩã. Ta có: y(0) = 3m2 + 2; y (Vm) = 2m2 + 2; y (-V m ) = 2m2 + 2. Vậy ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 3m2 + 2); B (Vm; 2m2 + 2); c (—Vĩñ; 2m2 + 2); AB2 = m4 + m; AC2 = m4 + m; BC2 = 4m. +) Ta thấy AB = AC. Do đó điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là: m=0 AC2 = BC2 m4 + m = 4m m4 - 3m = 0 « • Đối chiếu với điều kiện m > 0, ta được m = \ ß thoả mãn bài toán. Nhộn xét: - Với hàm số đa thức (hàm bậc hai, hàm bậc ba, hàm bậc bốn (trùng phương)): Điều kiện cần và đủ đ ể hàm s ố đ ạ t cực đại tại điểm X = Xo là đ ạ o hàm y'(x 0 = 0 và y ' đ ổ i dấu ) từ dương sa n g âm khi đ i qua Xo hoặc y '(X(j) = 0 và y "(xo) < 0; Đ iếu kiện cân và đủ đ ế hàm s ố đạt cực tiểu tại điểm X = Xo là đạo hàm y '(xo) = 0 và y ' đ ổ i dấu từ âm sa n g dư ơn g khi đi qua Xo hoặc y Ỵx0 = 0 và y "(xo) > 0. ) - Đạo hàm cùa hàm số bậc ba là hàm bậc hai, luôn xác định và liên tục trẽn R, nên điều kiện cần và đù đề hàm số bậc ba có cực đại, cực tiểu là phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. - Điều kiện cần và đủ để một hàm số bậc bon có ba điểm cực trị là phương trình y' = 0 có ba nghiệm p h â n biệt. Bài toán 11. Cho hàm số y = X3 + 3x2 - 4 có đồ thị (C). Qua điểm I ( - l;- 2 ) thuộc đồ thị (C), có đường thẳng d với hệ số góc k. Tìm điều kiện của k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. H ướng dẫn +) Phương trình đường thẳng d : y = k(x + 1) - 2 hay y = kx + k - 2. +) Phương trình hoành độ giao điềm của đường thẳng d và đồ thị (C): X3 + 3x2- 4 = kx + k - 2 (x + l)(x2 + 2 x - 2 - k) = 0 X = —1 » X 2 + 2x - (k + 2 ) = 0 (*) 16
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi và chi khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác (-1). Điều này tưcmg đương với A' = 1+ (k + 2) = k + 3 > 0 ík > - 3 «••T k>-3. l - 2 - ( k + 2 )* 0 ]k * -3 Khi đó, hai nghiệm Xi, x2 là của phương trinh (*) là hoành độ của A và B. Do ba điểm I, A, B cùng thuộc một đường thẳng nên điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là: Xi + x2 = 2 .(-l) (**). Theo Định lí Vi-ét, Xi + x2 = -2 , nên điều kiện (**) luôn được thoả mãn. Vậy điều kiện cùa k là k > -3. Bài toán 12. Tìm tham số m để đồ thị (C) của hàm số y = X4 - 2mx2 + 3m - 6 cắt trục hoành tại bốn điếm phân biệt cách đều nhau. H ướng dẫn +) Tập xác định: R. +) Phương trình hoành độ giao điếm của đồ thị (C) và trục hoành Ox là: X4 - 2 m x 2 + 3 m - 6 = 0 (1 ). +) Đặt X2 = t (t > 0). Khi đó, phương trinh (1) trờ thành: t2 - 2mt + 3m - 6 = 0 (2). v ế trái của (2) là tam thức bậc hai có À' = m2 - (3m - 6) = m2 - 3m + 6. +) Đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chi khi phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với phương trình (2) phải có hai nghiệm đương phân biệt A' > 0 m - 3m + 6 > 0 s > 0 2m >0 = o m >2. p>0 3m - 6 > 0 Khi đó, giả sử ti; t2 (0 < t, < t2) là hai nghiệm phân biệt của phương trinh (2), suy ra bốn nghiệm của phương trinh (1) sắp xếp theo thứ tự tăng dàn là: - ^ Ị t ĩ ; - +) Các giao điểm cách đều nhau trên trục hoành khi và chỉ khi các nghiệm của phưcmg trình (1) tạo thành một cấp số cộng. Điều này tương đương với í-2-v/t^ = - J ĩ ĩ + A
Vậy với m = 5 hoặc m = — thì đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt - cách đều nhau. Nhận xét: Mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình ax4 + bx2 + c = 0 quy về mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình trung gian aír + bt + c = 0. Bài toán 13. Cho hàm sốy = — — có đồ thi (C). Tim tham số m để đường thẳng X +1 d : y = -2 x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng \Í3 . H ướng dẫn +) Tập xác định: R \{ -1 } . +) Phương trinh hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: 2x + l (x * -l í xx* - l ^ -1 — — = -2 x + m « • \ — •! x+1 [2x +1 = (x + l)(-2x + m) [-2 x + (m - 4)x + m -1 = 0 (1). Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chi khi phương trinh (1) A = m2 + 8 > 0 có hai nghiệm phân biệt khác (-1). Điều này tương đương với (đúng vói 1*0 mọi m). +) Khi đó gọi x2 là hai nghiệm của phương trinh (1), toạ độ hai giao điểm của d và (C) là: A(xĩ; -2 x i + m); B(x2; -2 x 2 + m). Độ dài đoạn thẳng AB là: AB = ^/(x2 - X ,) 2 + ( - 2 x 2+ m + 2x1 - m ) 2 = V5.|x2 -X j|. Suy ra diện tích tam giác AOB là: SAOB = ị- ^ - - > /5 -|x 2 - x 1| = H h | ^1 = 73 m2(x2 -X ))2 =12. Theo Định lí Vi-ét: Suy ra SA0B = yỊị m".--------- 12 « • m = ±2 (thoả mãn). m ".---------= 4 Vậy m = ±2 là các giá trị cần tim. 18