zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 10

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

228
lượt xem 52
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'kỳ thi olympic truyền thống 30.4 tại tp huế môn toán 10', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 10

KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4 L N TH XIII T I THÀNH PH HU THI MÔN TOÁN L P 10 Th i gian làm bài: 180 phút Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi t Câu 1 (4 i m). Gi i h phương trình:  2 2 8 xy  x + y + x + y = 16   x + y = x2 − y  Câu 2 (4 i m). Cho các s th c a, b, x, y tho mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . Câu 3 (4 i m). Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n: 3A 3B A− B sin + sin = 2 cos . 2 2 2 Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u. Câu 4 (4 i m). Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m sao cho: MB + MC + MD = 4 MP ; MC + MD + MA = 4 MQ ; MD + MA + MB = 4 MR ; MA + MB + MC = 4 MS . Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD. Câu 5 (4 i m). Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t i m có t a nguyên. -------------------H T--------------------- Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 1: Gi i h phương trình:  2 2 8xy x + y + x + y = 16 (1)   x + y = x2 − y ( 2)  * i u ki n: x + y > 0 0,5 * (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) 1 ⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0 ⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0 x + y − 4 = 0 (3) 0,5 ⇔  2 2  x + y + 4(x + y) = 0 (4) T (3) ⇒ x + y = 4, th vào (2) ta ư c: 1  x = −3 ⇒ y = 7 x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔  . x = 2 ⇒ y = 2 (4) vô nghi m vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5 V y h có hai nghi m là (–3; 7); (2; 2) 0,5
áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 2: Cho các s th c a , b , x , y th a mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . 2 2 0,5 Vi t l i F =  x +  +  y +  + a 2 + b 2 . b a 3     ( )  2  2 4 t M = (x; y ) , A =  − ; −  , (∆ ) : ax − by = 3 . Ta có 1,5 b a    2 2 2 2  b  a 3 MA =  x +  +  y +  . Mà M ∈ (∆ ) nên MA 2 ≥ [d ( A; ∆ )] = 2 2 2 .  2  2 a + b2 ng th c x y ra khi M là hình chi u c a A trên (∆ ) . 3 3 3 3 1 Suy ra F ≥ 2 a +b 2 4 ( + a2 + b2 ≥ 2 2 )2 a +b 4 . a2 + b2 = 3 .( ) V y min F = 3 t ư c ch ng h n khi 1   (a; b; x; y ) =  2 ; 0; 6 ; − 2  .   2 2  
áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n : sin  3A   3B   A− B   + sin   = 2cos  .  2   2   2  Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u. Ta có: sin( 3A ) + sin( 3B ) = 2 sin( 3( A + B) ) cos( 3( A − B) ) . 1 2 2 4 4 1 ≥ sin( 3( A + B ) ) > 0; cos( A − B ) > 0 4 2 0≤ A− B ≤ 3A− B 0 1 2 2 2 2 Suy ra : 2sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) >0 4 4 Hay cos( 3( A − B ) )>0. 4 K t h p v i sin( 3( A + B) ) ≤ 1, ta có sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ cos( 3( A − B) ) 1 4 4 4 4 Do ó: 2 sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( A − B ) 4 4 4 2 Vì v y n u sin( 3A ) + sin( 3B ) = 2cos( A − B ) thì ph i có: 1 2 2 2  A− B 3A− B   2 = π  4 ⇔A=B= .  sin( 3( A + B) ) = 1 3   4 V y tam giác ABC là tam giác u.
áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 4: Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m sao cho MB + MC + MD = 4MP ; MC + MD + MA = 4MQ MD + MA + MB = 4MR ; MA + MB + MC = 4MS Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD. Gi s có i m M th a bài toán. G i G là i m sao cho 0,5 5MG = MA + MB + MC + MD . T MB + MC + MD = 4MP , ta có 4 PA = 5GA . 1 Tương t 4QB = 5GB , 4 RC = 5GC , 4SD = 5GD . Do ó PA = QB = RC = SD ⇔ GA = GB = GC = GD. 1 N u ABCD là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn tâm O thì G 1 trùng O và M là i m duy nh t xác nh b i ( ) OM = − OA + OB + OC + OD . Ki m tra l i th y th a PA = QB = RC = SD. N u ABCD không ph i là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn thì 0,5 không t n t i i m M.
áp án Toán 10 N I DUNG I M Câu 5: Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t i m có t a nguyên. Coi nh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5. 1,5 (xi; yi) có th rơi vào nh ng trư ng h p sau: (2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) v i k, k’ ∈ Z Do a giác có 5 nh nên theo nguyên lí i rich lê, có ít nh t 2 nh 1,5 có t a thu c m t trong b n ki u trên. Khi ó trung i m c a o n n i 2 nh y s có t a nguyên. 1 Do ngũ giác là l i nên i m này mi n trong ho c trên c nh c a ngũ giác ó.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.